2018年文科数学全国三卷真题及答案).doc

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2018年数学试题 文（全国卷3）
一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给的四个选项中，只有一项符合题目要求的.）
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．（ ）
A． B． C． D．
3．中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫棒头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是棒头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是（ ）4．若，则（ ）
A． B． C． D．
5．若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为（ ）
A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7
6．函数 的最小正周期为（ ）
A． B． C． D．
7．下列函数中，其图像与函数的图像关于直线对称的是（ ）
A． B． C． D．
8．直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．函数的图像大致为（ ）
10．已知双曲线（）的离心率为，则点到的渐近线的距离为（ ）
A． B． C． D．
11．的内角，，的对边分别为，，．若的面积为，则（ ）
A． B． C． D．
12．设，，，是同一个半径为4的球的球面上四点，为等边三角形且其面积为，则三棱锥体积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知向量，，．若，则________．
14．某公司有大量客户，且不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异．为了解客户的评价，该公司准
备进行抽样调查，可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，则最合适的抽样方法是
________．
15．若变量满足约束条件则的最大值是________．
16．已知函数，，则________．
三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17~31题为必考题，每个试
考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答．）
（一）必考题：共60分。
17．（12分）
等比数列中，．
⑴求的通项公式；
⑵记为的前项和．若，求．
18．（12分）
某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两
种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，
第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min）绘制了如下茎叶图：
⑴根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；
⑵求40名工人完成生产任务所需时间的中位数，并将完成生产任务所需时间超过和不超过的工人数填入下面的列联表：

超过
不超过
第一种生产方式

第二种生产方式

⑶根据⑵中的列表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？
附：，．
19．（12分）
如图，矩形所在平面与半圆弧所在平面垂直，是上异于，的点．
⑴证明：平面平面；
⑵在线段上是否存在点，使得平面？说明理由．
20．（12分）
已知斜率为的直线与椭圆交于，两点．线段的中点为．
⑴证明：；
⑵设为的右焦点，为上一点,且．证明: ．
21．（12分）
已知函数．
⑴求由线在点处的切线方程；
⑵证明：当时，．
（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分．
22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）
在平面直角坐标系中，的参数方程为（为参数），过点且倾斜角为的直线与交于两点．
⑴求的取值范围；
⑵求中点的轨迹的参数方程．
23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）
设函数．
⑴画出的图像；
⑵当， ，求的最小值．
参考答案
一、选择题
1．答案：C
解答：∵，，∴.故选C.
2．答案：D
解答：，选D.
3．答案：A
解答：根据题意，A选项符号题意；
4．答案：B
解答：.故选B.
5．答案：B
解答：由题意.故选B.
6．答案：C
解答：
，
∴的周期.故选C.
7．答案：B
解答：关于对称，则.故选B.
8．答案：A
解答：
由直线得，∴，圆的圆心为，∴圆心到直线的距离为，∴点到直线的距离的取值范围为，即，∴.
9．答案：D
解答：
当时，，可以排除A、B选项；
又因为，则的解集为，单调递增区间为，；的解集为，单调递减区间为，.结合图象，可知D选项正确.
10．答案：D
解答：
由题意，则，故渐近线方程为，则点到渐近线的距离为.故选D.
11．答案：C
解答：
，又，故，∴.故选C.
12．答案：B
解答：
如图，为等边三角形，点为，，，外接球的球心，为的重心，由，得，取的中点，∴，∴，∴球心到面的距离为，∴三棱锥体积最大值.
二、填空题
13．答案：
解答：
，∵，∴，解得.
14．答案：分层抽样
解答：由题意，不同龄段客户对其服务的评价有较大差异，故采取分层抽样法.
15．答案：
解答：
由图可知在直线和的交点处取得最大值，故.
16．答案：
解答：
，
∴，∴.
三、解答题
17．答案：（1）或；（2）.
解答：（1）设数列的公比为，∴，∴.
∴或.
（2）由（1）知，或，
∴或（舍），
∴.
18．
解答：
（1）第一种生产方式的平均数为，第二种生产方式平均数为，∴
，所以第一种生产方式完成任务的平均时间大于第二种，∴第二种生产方式的效率更高.
（2）由茎叶图数据得到，∴列联表为
（3），∴有
的把握认为两种生产方式的效率有差异.
19．
解答：（1）∵正方形半圆面，
∴半圆面，∴平面.
∵在平面内，∴，又∵是半圆弧上异于的点，∴.又∵，∴平面，∵在平面内，∴平面平面.
（2）线段上存在点且为中点，证明如下：
连接交于点，连接；在矩形中，是中点，是的中点；
∴，∵在平面内，不在平面内，∴平面.
20．
解答：
（1）设直线方程为，设,,
联立消得，
则，
得…①，
且，，
∵，∴ 且.
且…②.
由①②得，
∴或.
∵，∴ .
（2），,
∵，，∴的坐标为.
由于在椭圆上，∴ ，∴，，
又，，
两式相减可得，
又，，∴，
直线方程为，
即，
∴，
消去得，，
，
,
∴.
21．
解答：（1）由题意：得，
∴，即曲线在点处的切线斜率为，∴，即；
（2）证明：由题意：原不等式等价于：恒成立；令，
∴，，∵，∴恒成立，∴在上单调递增，∴在上存在唯一使，∴，即，且在上单调递减，在上单调递增，∴.
又，
，∵，∴，∴，∴，得证.
综上所述：当时，.
22．
解答：
（1）的参数方程为，∴的普通方程为，当时，直线：与有两个交点，当时，设直线的方程为，由直线与有两个交点有，得，∴或，∴或，综上.
（2）点坐标为，当时，点坐标为，当时，设直线的方程为，，∴有，整理得，∴，，∴ 得代入④得.当点时满足方程，∴中点的的轨迹方程是，即，由图可知，，，则，故点的参数方程为（为参数，）.
23．
解答：
（1），如下图：
（2）由（1）中可得：，，
当，时，取最小值，
∴的最小值为.
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