MATLAB数学实验100例题解.doc

一元函数微分学实验1 一元函数的图形（基础实验） 实验目的 通过图形加深对函数及其性质的认识与理解, 掌握运用函数的图形来观察和分析函数的有关特性与变化趋势的方法,建立数形结合的思想; 掌握用Matlab作平面曲线图性的方法与技巧.初等函数的图形2 作出函数和的图形观察其周期性和变化趋势.解：程序代码： x=linspace(0,2*pi,600); t=sin(x)./(cos(x)+eps); plot(x,t);title(tan(x);axis (0,2*pi,-50,50);图象：程序代码： x=linspace(0,2*pi,100); ct=cos(x)./(sin(x)+eps); plot(x,ct);title(cot(x);axis (0,2*pi,-50,50);图象：4在区间画出函数的图形.解：程序代码： x=linspace(-1,1,10000);y=sin(1./x);plot(x,y);axis(-1,1,-2,2)图象： 二维参数方程作图 6画出参数方程的图形：解：程序代码： t=linspace(0,2*pi,100);plot(cos(t).*cos(5*t),sin(t).*cos(3*t); 图象：极坐标方程作图8 作出极坐标方程为的对数螺线的图形.解：程序代码： t=0:0.01:2*pi; r=exp(t/10); polar(log(t+eps),log(r+eps); 图象：分段函数作图10 作出符号函数的图形.解：程序代码： x=linspace(-100,100,10000);y=sign(x);plot(x,y);axis(-100 100 -2 2); 函数性质的研究12研究函数在区间上图形的特征.解：程序代码： x=linspace(-2,2,10000);y=x.5+3*exp(x)+log(3-x)/log(3);plot(x,y); 图象： 实验2 极限与连续（基础实验）实验目的 通过计算与作图, 从直观上揭示极限的本质,加深对极限概念的理解. 掌握用Matlab画散点图, 以及计算极限的方法. 深入理解函数连续的概念,熟悉几种间断点的图形特征,理解闭区间上连续函数的几个重要性质.作散点图14分别画出坐标为的散点图, 并画出折线图.解：散点图程序代码： i=1:10;plot(i,i.2,.)或： x=1:10;y=x.2;for i=1:10;plot(x(i),y(i),r)hold onend折线图程序代码： i=1:10;plot(i,i.2,-x)程序代码： i=1:10;plot(i.2,4*(i.2)+i.3,.) i=1:10;plot(i.2,4*(i.2)+i.3,-x)数列极限的概念16通过动画观察当时数列的变化趋势.解：程序代码： n=1:100;an=(n.2);n=1:100;an=1./(n.2);n=1:100;an=1./(n.2);for i=1:100plot(n(1:i),an(1:i),axis(0,100,0,1)pause(0.1)end图象：函数的极限18在区间上作出函数的图形, 并研究 和 解：作出函数在区间上的图形 x=-4:0.01:4;y=(x.3-9*x)./(x.3-x+eps);plot(x,y)从图上看，在x1与x时极限为0两个重要极限20计算极限 解：（1） limit(x*sin(1/x)+1/x*sin(x) ans =1(2) limit(x2/exp(x),inf) ans = 0(3) limit(tan(x)-sin(8)/x3) ans =NaN(4) limit(xx,x,0,right) ans =1(5) limit(log(cot(x)/log(x),x,0,right) ans =-1(6) limit(x2*log(x),x,0,right)ans =0(7) limit(sin(x)-x.*cos(x)./(x.2.*sin(x),x,0) ans =1/3(8) limit(3*x.3-2*x.2+5)/(5*x.3+2*+1),x,inf) ans =3/5(9) limit(exp(x)-exp(-x)-2*x)./(x-sin(x) ans =2(10) limit(sin(x)/x).(1/(1-cos(x) ans =exp(-1/3)实验3 导数（基础实验）实验目的 深入理解导数与微分的概念, 导数的几何意义. 掌握用Matlab求导数与高阶导数的方法. 深入理解和掌握求隐函数的导数, 以及求由参数方程定义的函数的导数的方法. 导数概念与导数的几何意义22作函数的图形和在处的切线.解：作函数的图形程序代码： syms x; y=2*x3+3*x2-12*x+7; diff(y) ans = 6*x2+6*x-12 syms x;y=2*x3+3*x2-12*x+7; f=diff(y)f = 6*x2+6*x-12 x=-1;f1=6*x2+6*x-12f1 = -12 f2=2*x3+3*x2-12*x+7f2 = 20 x=linspace(-10,10,1000);y1=2*x.3+3*x.2-12*x+7;y2=-12*(x+1)+20;plot(x,y1,r,x,y2,g)求函数的导数与微分24求函数的一阶导数. 并求解：求函数的一阶导数程序代码： syms a b x y;y= sin(a*x)*cos(b*x);D1=diff(y,x,1)答案：D1 = cos(a*x)*a*cos(b*x)-sin(a*x)*sin(b*x)*b求程序代码： x=1/(a+b); cos(a*x)*a*cos(b*x)-sin(a*x)*sin(b*x)*b答案：ans = cos(a/(a+b)*a*cos(b/(a+b)-sin(a/(a+b)*sin(b/(a+b)*b拉格朗日中值定理26对函数观察罗尔定理的几何意义. (1) 画出与的图形, 并求出与解：程序代码： syms x;f=x*(x-1)*(x-2);f1=diff(f) f1 = (x-1)*(x-2)+x*(x-2)+x*(x-1) solve(f1) ans = 1+1/3*3(1/2) 1-1/3*3(1/2) x=linspace(-10,10,1000);y1=x.*(x-1).*(x-2);y2 =(x-1).*(x-2)+x.*(x-2)+x.*(x-1);plot(x,y1,x,y2) (2)画出及其在点与处的切线.程序代码： syms x; f=x*(x-1)*(x-2); f1=diff(f) f1 = (x-1)*(x-2)+x*(x-2)+x*(x-1) solve(f1) ans = 1+1/3*3(1/2) 1-1/3*3(1/2) x=linspace(-3,3,1000); y1=x.*(x-1).*(x-2); y2 =(x-1).*(x-2)+x.*(x-2)+x.*(x-1); plot(x,y1,x,y2) hold on x=1+1/3*3(1/2); yx1=x*(x-1)*(x-2)yx1 = -0.3849 x=1-1/3*3(1/2); yx2=x*(x-1)*(x-2)yx2 = 0.3849x=linspace(-3,3,1000);yx1 =-0.3849*x.0;yx2 =0.3849*x.0;plot(x,yx1,x,yx2)28求下列函数的导数:(1) ; 解：程序代码： syms x y;y=exp(x+1)3);D1=diff(y,1) 答案：D1 = 3*(x+1)2*exp(x+1)3)(2) ;解：程序代码： syms x;y=log(tan(x/2+pi/4);D1=diff(y,1) 答案：D1 = (1/2+1/2*tan(1/2*x+1/4*pi)2)/tan(1/2*x+1/4*pi)(3) ; 解：程序代码： syms x;y=1/2*(cot(x)2+log(sin(x);D1=diff(y,1) 答案：D1 = cot(x)*(-1-cot(x)2)+cos(x)/sin(x)(4) .解：程序代码： syms x; y=sqrt(2)*atan(sqrt(2)/x); D1=diff(y,1) 答案：D1 = -2/x2/(1+2/x2) 一元函数积分学与空间图形的画法实验4 一元函数积分学(基础实验) 实验目的 掌握用Matlab计算不定积分与定积分的方法. 通过作图和观察, 深入理解定积分的概念和思想方法. 初步了解定积分的近似计算方法. 理解变上限积分的概念. 提高应用定积分解决各种问题的能力.不定积分计算30求解：程序代码： syms x y; y=x2*(1-x3)5; R=int(y,x) 答案：R = -1/18*x18+1/3*x15-5/6*x12+10/9*x9-5/6*x6+1/3*x332求解：程序代码： syms x y; y=x2*atan(x); R=int(y,x) 答案：R = 1/3*x3*atan(x)-1/6*x2+1/6*log(x2+1)定积分计算34 求解：程序代码： syms x y; y=x-x2; R=int(y,x,0,1)答案： R = 1/6变上限积分36 画出变上限函数及其导函数的图形.解：程序代码： syms x y t; y=t*sin(t2); R=int(y,x,0,x)答案：R = t*sin(t2)*x再求导函数程序代码： DR=diff(R,x,1)答案：DR = t*sin(t2)实验5 空间图形的画法(基础实验)实验目的 掌握用Matlab绘制空间曲面和曲线的方法. 熟悉常用空间曲线和空间曲面的图形特征,通过作图和观察, 提高空间想像能力. 深入理解二次曲面方程及其图形.一般二元函数作图38作出函数的图形.解：程序代码： x=linspace(-5,5,500);x,y=meshgrid(x);z=4./(1+x.2+y.2);mesh(x,y,z);xlabel(x-axis),ylabel(y-axis),zlabel(z-axis);title(function)40作出函数的图形.解：程序代码： x=-10:0.1:10;x,y=meshgrid(x);z=cos(4*x.2+9*y.2);mesh(x,y,z);xlabel(x-axis),ylabel(y-axis),zlabel(z-axis);title(function)讨论：坐标轴选取范围不同时，图形差异很大，对本题尤为明显，如右图为坐标轴-1，1二次曲面42作出单叶双曲面的图形.(曲面的参数方程为 ()解：程序代码： v=0:pi/100:2*pi; u=-pi/2:pi/100:pi/2; U,V=meshgrid(u,v); x=sec(U).*sin(V); y=2*sec(U).*cos(V); z=3*tan(U); surf(x,y,z)44 可以证明: 函数的图形是双曲抛物面. 在区域上作出它的图形.解：程序代码： x=-2:0.01:2;x,y=meshgrid(x); z=x.*y; mesh(x,y,z); 46 画出参数曲面 的图形.解：程序代码： v=0.001:0.001:2; u=0:pi/100:4*pi; U,V=meshgrid(u,v); x=cos(U).*sin(V); y=sin(U).*sin(V); z=cos(V)+log(tan(V/2)+U/5); mesh(x,y,z);空间曲线48 作出空间曲线的图形.解：程序代码： syms t;ezplot3(t*cos(t),t*sin(t),2*t,0,6*pi)50绘制参数曲线 的图形.解：程序代码： t=-2*pi:pi/100:2*pi; x=cos(t).*cos(t);y=1./(1+2*t);z=atan(t);plot3(x,y,z);grid;xlabel(x),ylabel(y),zlabel(z) 多元函数微积分实验6 多元函数微分学（基础实验）实验目的 掌握利用Matlab计算多元函数偏导数和全微分的方法, 掌握计算二元函数极值和条件极值的方法. 理解和掌握曲面的切平面的作法. 通过作图和观察, 理解二元函数的性质、方向导数、梯度和等高线的概念.求多元函数的偏导数与全微分52设求解：程序代码： syms x y;S=sin(x*y)+(cos(x*y)2;D1=diff(S,x,1);D2=diff(S,y,1);D3=diff(S,x,2);D4=diff(S,y,2);D1,D2,D3,D4答案： D1 = cos(x*y)*y-2*cos(x*y)*sin(x*y)*y D2 = cos(x*y)*x-2*cos(x*y)*sin(x*y)*x D3 =-sin(x*y)*y2+2*sin(x*y)2*y2-2*cos(x*y)2*y2 D4 = -sin(x*y)*x2+2*sin(x*y)2*x2-2*cos(x*y)2*x2 实验7 多元函数积分学（基础实验）实验目的掌握用Matlab计算二重积分与三重积分的方法; 深入理解曲线积分、曲面积分的概念和计算方法. 提高应用重积分和曲线、曲面积分解决各种问题的能力. 计算重积分54计算 其中为由 所围成的有界区域. 解：程序代码： syms x y;int(int(x*y2,x,2-y,sqrt(y),y,1,2)答案：ans = 193/120 重积分的应用56求旋转抛物面在平面上部的面积解：程序代码： int(2*pi*r,r,0,2)答案： ans = 4*pi无穷级数与微分方程 实验8 无穷级数（基础实验） 实验目的观察无穷级数部分和的变化趋势,进一步理解级数的审敛法以及幂级数部分和对函数的逼近. 掌握用Matlab求无穷级数的和, 求幂级数的收敛域, 展开函数为幂级数以及展开周期函数为傅里叶级数的方法. 数项级数58(1) 观察级数的部分和序列的变化趋势.解：程序代码：for i=1:100 s=0;for n=1:i s=s+1/n2;endplot(i,s,.);hold on;end(2) 观察级数的部分和序列的变化趋势. for i=1:100 s=0;for n=1:i s=s+1/n;endplot(i,s,.); hold on;end60 求的值.解：程序代码： syms n;score=symsum(1/(4*n2+8*n+3),1,inf)答案： score = 1/6函数的幂级数展开62求的5阶泰勒展开式. syms x; T5=taylor(atan(x),6)答案：T5 = x-1/3*x3+1/5*x5 实验9 微分方程（基础实验） 实验目的 理解常微分方程解的概念以及积分曲线和方向场的概念,掌握利用Matlab求微分方程及方程组解的常用命令和方法. 求解微分方程64求微分方程 的通解.解：程序代码： y=dsolve(Dy+2*x*y=x*exp(-x2),x)答案：y = (1/2*x2+C1)*exp(-x2) 66求微分方程的通解.解：程序代码： y=dsolve(D2y-2*Dy+5*y=exp(x)*cos(2*x),x)答案： y = exp(x)*sin(2*x)*C2+exp(x)*cos(2*x)*C1+1/4*exp(x)*sin(2*x)*x68求微分方程组在初始条件下的特解.解：程序代码： x,y=dsolve(Dx+x+2*y-exp(t),Dy-x-y,x(0)=1,y(0)=0,t)答案： x = cos(t) y = 1/2*sin(t)-1/2*cos(t)+1/2*exp(t)70求解微分方程并作出积分曲线.解：程序代码： syms x yy=dsolve(Dy-2*y/(x+1)-(x+1)(5/2),x)答案：y = (2/3*(x+1)(3/2)+C1)*(x+1)2做积分曲线由 syms x yx=linspace(-5,5,100);C=input(请输入C的值:);y=(2/3*(x+1).(3/2)+C).*(x+1).2;plot(x,y) 例如对应有： 请输入C的值:2 请输入C的值:20矩阵运算与方程组求解实验10 行列式与矩阵实验目的掌握矩阵的输入方法. 掌握利用Matlab对矩阵进行转置、加、减、数乘、相乘、乘方等运算, 并能求矩阵的逆矩阵和计算方阵的行列式.矩阵A的转置函数TransposeA72 求矩阵的转置.解：程序代码： A=1,7,2;3,4,2;5,6,3;1,1,4; Sove=A答案：Sove = 1 3 5 1 7 4 6 1 2 2 3 4矩阵线性运算73设求解：程序代码： A=3,4,5;4,2,6; B=4,2,7;1,9,2; S1=A+B S2=4*B-2*A答案：S1 = 7 6 12 5 11 8S2 = 10 0 18 -4 32 -474设求矩阵ma与mb的乘积.解：程序代码： ma=3,4,5,2;4,2,6,3; mb=4,2,7;1,9,2;0,3,5;8,4,1; Sove=ma*mb答案：Sove = 32 65 56 42 56 65矩阵的乘法运算75设求AB与并求解：程序代码： A=4 2 7;1 9 2;0 3 5;B=1;0;1; AB=A*BAB = 11 3 5 BTA=B*ABTA = 4 5 12 A3=A3A3 = 119 660 555 141 932 444 54 477 260求方阵的逆76 设求解：程序代码： A=2,1,3,2;5,2,3,3;0,1,4,6;3,2,1,5;Y=inv(A)答案：Y = -1.7500 1.3125 0.5000 -0.6875 5.5000 -3.6250 -2.0000 2.3750 0.5000 -0.1250 0.0000 -0.1250 -1.2500 0.6875 0.5000 -0.312577 设求解：程序代码： A=3 0 4 4 ;2 1 3 3 ;1 5 3 4;1 2 1 5;B=0 3 2 ;7 1 3;1 3 3 ;1 2 2;Solve=A*B答案：Solve = 16 16 17 14 20 22 25 26 28 30 37 3978 解方程组解：程序代码： A=3 2 1;1 -1 3;2 4 -4;b=7 6 -2; Ab答案：ans = 1.0000 1.0000 2.0000求方阵的行列式79 求行列式 解：程序代码： A=3,1,-1,2;-5,1,3,-4;2,0,1,-1;1,-5,3,-3;D=det(A)答案：D = 4080求解：程序代码： syms a b c d;D=a2+1/a2 a 1/a 1;b2+1/b2 b 1/b 1;c2+1/c2 c 1/c 1;d2+1/d2 d 1/d 1;det(D) 答案：ans = -(-c*d2*b3+c2*d*b3-c3*d2*a+c3*d*a2*b4+c*d2*a3-c3*d2*a*b4-c2*d*a3-c*d2*b3*a4+c2*d*b3*a4+c3*d2*b*a4-c3*d*b2*a4-c2*d3*b*a4+c*d3*b2*a4+c*d2*a3*b4-c2*d*a3*b4+c3*d2*b-c3*d*b2-c2*d3*b+c*d3*b2+c3*d*a2+c2*d3*a-c*d3*a2-b*d2*a3+b2*d*a3+b3*d2*a-b3*d*a2-b2*d3*a+b*d3*a2+b*c2*a3-b2*c*a3-b3*c2*a+b3*c*a2+b2*c3*a-b*c3*a2+c2*d3*a*b4-c*d3*a2*b4-b*d2*a3*c4+b2*d*a3*c4+b3*d2*a*c4-b3*d*a2*c4-b2*d3*a*c4+b*d3*a2*c4+b*c2*a3*d4-b2*c*a3*d4-b3*c2*a*d4+b3*c*a2*d4+b2*c3*a*d4-b*c3*a2*d4)/a2/c2/d2/b281 计算范德蒙行列式解：程序代码： syms x1 x2 x3 x4 x5; A=1,1,1,1,1;x1,x2,x3,x4,x5;x12,x22,x32,x42,x52; x13,x23,x33,x43,x53;x14,x24,x34,x44,x54; DC=det(A); DS=simple(DC) 答案：DS = (-x5+x4)*(x3-x5)*(x3-x4)*(-x5+x2)*(x2-x4)*(x2-x3)*(-x5+x1)*(x1-x4)*(x1-x3)*(x1-x2)82 设矩阵 求解：程序代码： A=3,7,2,6,-4;7,9,4,2,0;11,5,-6,9,3;2,7,-8,3,7;5,7,9,0,-6; D=det(A),T=trace(A),A3=A3答案：D = 11592T = 3A3= 726 2062 944 294 -358 1848 3150 26 1516 228 1713 2218 31 1006 404 1743 984 -451 1222 384 801 2666 477 745 -125向量的内积83 求向量与的内积.解：程序代码： u=1 2 3; v=1 -1 0; solve=dot(u,v)答案：solve = -184设求一般地 (k是正整数).解：程序代码： syms r; A=r,1,0;0,r,1;0,0,r; A10答案：ans = r10, 10*r9, 45*r8 0, r10, 10*r9 0, 0, r1085.求的逆.解：程序代码： syms aA=1+a,1,1,1,1;1,1+a,1,1,1;1,1,1+a,1,1;1,1,1,1+a,1;1,1,1,1,1+a; solve=inv(A)答案：solve = 1/a*(a+4)/(a+5), -1/a/(a+5), -1/a/(a+5), -1/a/(a+5), -1/a/(a+5) -1/a/(a+5), 1/a*(a+4)/(a+5), -1/a/(a+5), -1/a/(a+5), -1/a/(a+5) -1/a/(a+5), -1/a/(a+5), 1/a*(a+4)/(a+5), -1/a/(a+5), -1/a/(a+5) -1/a/(a+5), -1/a/(a+5), -1/a/(a+5), 1/a*(a+4)/(a+5), -1/a/(a+5) -1/a/(a+5), -1/a/(a+5), -1/a/(a+5), -1/a/(a+5), 1/a*(a+4)/(a+5)实验11 矩阵的秩与向量组的极大无关组实验目的 学习利用Matlab求矩阵的秩,作矩阵的初等行变换; 求向量组的秩与极大无关组.求矩阵的秩86 设 求矩阵M的秩.解：程序代码： M=3,2,-1,-3,-2;2,-1,3,1,-3;7,0,5,-1,-8;R=rank(M)答案：R= 2向量组的秩87求向量组的秩.解：程序代码： A=1,2,-1,1;0,-4,5,-2;2,0,3,0; R=rank(A)答案：R = 288向量组是否线性相关?解：由 A=1 1 2 3;1 -1 1 1;1 3 4 5;3 1 5 7;rank(A)ans = 3即rank(A)=3 小于阶数489向量组是否线性相关?解：由 A3=2,2,7;3,-1,2;1,1,3; R=rank(A3)得 R = 3即rank(A3)=3 等于阶数3故向量组线性无关。向量组的极大无关组90求向量组的极大无关组, 并将其它向量用极大无关组线性表示.解：程序代码： A=1,-1,2,4;0,3,1,2;3,0,7,14;1,-1,2,0;2,1,5,0;R,b=rref(A)答案：R = 1.0000 0 3.0000 0 -0.5000 0 1.0000 1.0000 0 1.0000 0 0 0 1.0000 2.5000 0 0 0 0 0b = 1 2 4 A(:,b)极大无关相量组ans = 1 0 1 -1 3 -1 2 1 2 4 2 0即，为所求的极大无关向量组3-0.52.5向量组的等价91设向量求证:向量组与等价.解：程序代码： A=2,1,-1,3;3,-2,1,-2;-5,8,-5,12;4,-5,3,-7; R,jb=rref(A)R = 1 0 2 -1 0 1 -3 2 0 0 0 0 0 0 0 0jb = 1 2= 2-3 = -+2即任何由与表示的向量都能用与表示，两组等价实验12 线性方程组实验目的 熟悉求解线性方程组的常用命令,能利用Matlab命令求各类线性方程组的解. 理解计算机求解的实用意义.92求解线性方程组解：程序代码： A=1,1,-2,-1;3,-1,-1,2;0,5,7,3;2,-3,-5,-1; B=0,0,0,0; X=AB答案：X = 0 0 0 0非齐次线性方程组的特解93 求线性方程组 的特解.非齐次线性方程组的通解94解方程组 解：程序代码： A=1,-1,2,1;2,-1,1,2;1,0,-1,1;3,-1,0,3;b=1;3;2;5;B=A b;r1=rank(A);r2=rank(B);if r1=r2 R=rref(B) end答案：R = 1 0 -1 1 2 0 1 -3 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0即=2+- =1+3令(,)=(0,1) 与(1,0) 得特解y*=(2，4，1，1)故通解为y=(2，4，1，1)+a(1,1,0,1)+b(3,4,1,0)矩阵的特征值与特征向量 实验13 求矩阵的特征值与特征向量实验目的学习利用Matlab命令求方阵的特征值和特征向量;能利用软件计算方阵的特征值和特征向量及求二次型的标准形.求方阵的特征值与特征向量.95求矩阵的特征值与特值向量.解：程序代码： A=-1,0,2;1,2,-1;1,3,0;V,D=eig(A)答案：V = 0.9487 0.7071 - 0.0000i 0.7071 + 0.0000i -0.3162 -0.0000 + 0.0000i -0.0000 - 0.0000i 0.0000 0.7071 0.7071 D = -1.0000 0 0 0 1.0000 + 0.0000i 0 0 0 1.0000 - 0.0000i96求矩阵的特征值与特征向量.解：程序代码： A=2,3,4;3,4,5;4,5,6;V,D=eig(A)答案：V = 0.8051 0.4082 0.4304 0.1112 -0.8165 0.5665 -0.5827 0.4082 0.7027D = -0.4807 0 0 0 0.0000 0 0 0 12.4807 97 求方阵的特征值和特征向量.解：程序代码： A=1 2 3; 2 1 3;3 3 6;V,D=eig(A)答案：V =