极限思想及其在数学中的应用.doc

极限思想及其在数学中的应用

摘 要：高等数学中极限教学作为重要内容，是高等数学计算分析的基础，也是高等数学问题分析的难题，极限的基本思考都是围绕高等数学计算分析开展的，高等数学中微积分、级数等基础概念和思想都是基于极限思想提出的，以极限作为工具去解决和处理数学问题是一种极其重要的方法。许多学生在学习数列极限时感觉很困难，原因在于数列极限概念很抽象，而且计算也有一定的难度。本文首先阐述极限的定义；接着从数列极限和函数极限两方面分析极限的求解方法；最后指出极限的应用状况，通过这些应用使我们对极限有一个更系统立体的了解。
关键词：极限；求解方法；应用状况

Limit thought and its application in mathematics
Abstract：Limits in higher mathematics teaching as an important content, is the foundation of higher mathematics calculation and analysis, is also a difficult problem in higher mathematics problem analysis, limit the basic thinking about higher mathematics calculation and analysis, calculus of higher mathematics, series, and other basic concepts and ideas are put forward based on the limit state, in order to limit as a tool to solve and deal with the mathematics problem is a very important method. Many students find it difficult to learn the limit of the sequence because the concept of the limit is abstract and putationally difficult. Firstly, the definition of limit is described. Then the solution method of limit is analyzed from the limit of sequence and the limit of function. Finally, the application of the limit is pointed out. Through these applications, we have a more systematic understanding of the limit.
Key words: limit; Solution method; Application status

目 录
一、引言 1
（一） 选题背景 1
（二）研究目的和意义 1
二、极限的概念 1
（一）数列极限的定义 1
（二）函数极限的定义 2
1 一元函数极限的定义 2
2 多元函数极限的定义 3
三、极限的求法 3
（一） 数列极限的求法 3
1 极限定义求法 3
2 极限运算法则法 6
3 夹逼准则求法 6
4 单调有界定理求法 7
5 定积分定义法 8
6 级数法 8
（二）函数极限的求法 9
1 一元函数极限的求解方法 9
2 多元函数极限的求解方法 15
四、极限的应用 18
（一）在计算面积中的应用 18
（二）在求方程数值解中的应用 18
五、结论 20
致 谢 22

一、引言
（一） 选题背景
随着对变量间函数关系的不断深化，微积分由此产生。极限是微积分的基础也是微积分中最重要的部分，它描述的是一种趋势，是从数量上描述变量在无限变化过程中的变化趋势。极限思想是微积分的基本思想，微积分作为现代数学的基础，与各类科学问题紧密相关。如：求物体运动的瞬时加速度、求曲线的切线、求函数最大值、最优化问题等。这些问题在十七世纪中期，牛顿和莱布尼茨在前人的基础上，经过不懈努力，创立了微积分。在创立微积分的过程中也产生了一种重要的数学思想——极限思想。微积分的基础和研究工具是极限理论，极限理论的核心是极限概念，因此，搞好极限概念的教学不仅关乎学生数学分析课程的学习，而且关乎学生整个数学生涯的学习。
（二）研究目的和意义
极限是《高等数学》课程中最重要的概念之一极限思想贯穿整个教材，它是微积分的灵魂,《高等数学》课程中的很多概念都是由极限来定义的，因此理解极限思想的内涵和掌握求极限的方法是学习这门课程的基本要求。但是，笔者在教学过程中发现大部分学员往往对求极限这一问题感到束手无策，这一方面是因为求极限的题目类型比较多，求解方法也是因题而异，变化多端；另一方面是因为几乎所有的《高等数学》课程教材没有把求极限的方法进行归纳总结。为了帮助学员掌握求极限的方法并能熟练地求极限，笔者对《高等数学》课程中常用的求极限的方法进行了分析研究，给出了每种方法的注意事项及使用技巧，并对数列极限的应用进行了探讨。
二、极限的概念
在研究极限解法之前，首先我们要清楚极限的定义,这是对极限做进一步深入研究的先决基础。高等数学中，极限主要分为数列极限和函数极限。
（一）数列极限的定义
数列极限概念是由于求某些实际问题的精确解答而产生的,如我国古代数学家刘徽（公元3世纪）利用圆内接正多边形来推算圆面积的方法—割圆术。因一系列圆内接正多边形的面积An在n无限增大（n→∞）时，内接正多边形无限接近于圆，同时An也无限接近于某一确定的数，此时这一数值可精确表达圆的面积.在解决类似的实际问题中逐步的引出了数列极限。
对于数列{An}，若当n无限增大时，{An}能无限地接近某一个常数a，就称此数列为收敛数列，a是此数列的极限.例如，对于数列{1/n}，当n→∞时，1/n能无限地接近于0，则称数列1/n为收敛数列.就是说，当n充分大时，数列的通项An与常数a之差的绝对值可以任意小.
针对不同的数列极限我们对其定义将会有细微的不同，下面主要介绍两种定义：ε-N定义，A-N定义.
定义1（ε-N语言）：设{An}是个数列，若存在常数a，对于任意给定的正数ε，都存在一个正整数N，使得当n＞N时，都有|An-N|＜ε，则称是数列{An}的极限，或称{An}收敛于a，记作，或An→a（n→+∞）。这时也称{An}的极限存在。
定义2（A-N语言）：若A＞0,存在正整数N，使得当n＞N时，都有An＞N,则称是数列{An}当无限增大时的非正常极限，或称{An}发散于，记作或，这时，称有非正常极限。
（二）函数极限的定义
1 一元函数极限的定义
定义1 设函数在某个空心邻域内有定义， 为定数. 若对任给的, 存在正数, 使得当时有
,
则称函数为当趋于时以为极限， 记作
或 .
若时， 记作, 称为右极限； 若时， 记作, 称为左极限，左右极限统称为单侧极限。
定义2 设函数在时有定义， 为常数. 若对于任意给定的正数（无论它怎么小）， 总存在正数, 使得当时， 都有
,
则称函数为当时以为极限. 记做
或.
若我们把定义2.2中的改成()， 则称为函数当取正值且无限增大（记作）时的极限， 记作

把定义2.2中的改成, 则称为函数当取负值且绝对值无限增大（记作）时的极限， 记作

2 多元函数极限的定义
定义1 设函数在以为聚点的集合上有定义， 若对任何的存在, 使得只要及[其中为和二点间的距离]， 则, 我们就说
特别地， 当时， 可以得到

在对于不致产生误解时， 也可简单地写作

当分别用坐标表示时， 也常写作

注意：二元函数极限有时也称二重极限，它与一元函数极限存在着一定的差别，在二元函数极限中自变量趋于点的方向的任意性及方式的多样性，这是一元函数与二元函数极限的主要区别，也是造成二元函数极限、连续、偏导数、全微分概念间关系有别于一元函数相关概念间关系的根源。
三、极限的求法
（一） 数列极限的求法
1 极限定义求法
由定义可以看到，用定义求数列极限的关键是：通常化为一常数与一含有的无穷小之和，从而得到，并依次求出，用定义进行求解。因此，关键是找出，可以看成是关于正整数n的函数，我们可以通过求解不等式，找到使成立，n所要满足的条件，也就是不等式的解集。该解集是自然数N的无限子集.对同一个并不唯一，因此，只需在该解集中找出一个作为N即可.这样寻找N的问题就转化成求解不等式的问题了。
（1）一般求法
对一些较为简单的极限问题，可以先设，通过用定义得出N，其步骤如下：
第一步：先找到这个常数，使得当时，无限地接近于.
第二步：，求出使成立的n所要满足的条件——寻找N.
第三步：取出N.
例1.求的极限.
解：对欲使

只要，即，故只需取，
则当时，就有，因此 .
（2）适当放大法
其步骤如下：
第一步：找出这个常数，使得当时，无限地接近于，将作适当放大成，即对一切n，有<成立.
第二步：，寻求使成立时n所要满足的条件——寻找.
第三步：求出N.
例2 计算：的极限.
解：由于有，令，即.从而有

即，或解得.
于是，对，有（适当放大，对n没有限制）.
故对，要想使成立，只需，解得.取.于是，对，当，有即
.
（3）条件放大法
在对进行放大时，有时需要对n加以限制，这就是所谓条件放大法.具体步骤如下：
第一步：找出一个常数，使得当时，无限地接近于，将作条件放大成，即当时，有.
第二步：，寻求使成立n所要满足的条件——寻找.
第三步： 取.
例3 已知，计算的极限.
解：因为，所以当时，
于是，当时，有

其中

又因为于是对于上述的，存在，当时，.
取则当时，有

所以
=
2 极限运算法则法
我们知道如果每次求极限都用定义法的话，计算量会太大。若已知某些极限的大小，就可以简化数列极限的求法。
例4：求,其中.
解：分子分母同乘，所求极限式化为

由知，
当时，所求极限等于；当时，由于，故此时所求极限等于0.综上所述，得到

3 夹逼准则求法
迫敛性不仅给出了判定数列收敛的一种方法，而且也提供了一个求极限的工具。
例5：求极限.
解：因为

所以

因 ，再由迫敛性知

4 单调有界定理求法
有的时候我们需要先判断一个数列是否收敛，再求其极限，此时该方法将会对我们有很大帮助，我们来看几个例子。
例6：求例2.1.3注解中的.
解：.
事实上，令.当时，
.
因此从某一项开始是递减的数列，并且显然有下界0.因此，由单调有界原理知极限存在，在等式的等号两边令，得到,所以为无穷小。从而

5 定积分定义法
通项中含有的数列极限，由于的特殊性，直接求非常困难，若转化成定积分来求就相对容易多了。
例7：求.
解：令，则
而,
也即，所以.
6 级数法
若一个级数收敛，其通项趋于0（）,我们可以应用级数的一些性质来求数列极限，我们来看两个实例来领会其数学思想。
例8：求极限.
解： 因级数收敛，由级数收敛的柯西准则知，对，存在, 使得当时，

此即

所以

（二）函数极限的求法
1 一元函数极限的求解方法
本文在高等数学教材的基础上总结归纳了下面几种常见的极限求法：
（1）利用定义求函数极限
定义在数学分析中相当重要，极限定义也如此，如果将极限定义理解透彻， 很多题目就可以迎刃而解。下面就举例介绍一下用定义求函数极限的方法.
例1 用极限的定义求
解 任给, 取, 则当时， 有, 所以

这是利用定义求极限的简单例子，但在平时的练习中，不可能遇到的题目都这么简单，往往需要一些处理方法，放缩法和含绝对值不等式是最常见的。具体的就留给读者细细体会，这种方法适合于初学者，但是在平时的求极限过程中往往避免用定义来求。
（2）利用极限的四则运算性质求函数极限
若, . 根据定理2.2我们就可以计算出以下各种极限.
1）
2）
3）（其中）
4） （其中c为常数）.
上述性质对于时也同样成立，极限的四则运算是求函数极限的基础，也是求一些简单函数的和差积商的极限常见的方法，要想学好函数极限的求法必须要先熟练掌握极限的四则运算。
例 2 求 .
解
注意：运用极限的四则运算的时候，必须注意适用条件.首先要保证各项极限都存在， 如果遇到分式的话， 分母极限不能为零。例如, 因为极限不存在。
（3）利用洛比达法则求函数极限
求“”或“”型未定式极限更常用的方法是用洛比达法则.
定理 3.1 设（或）， （或）； 在的空心邻域内可导， 且, 若
,
则.
其中可以是有限数， 也可以是.
将换成或或也有相应的洛比达法则， 同时这些法则也成立。
洛比达法则可用语言简单而又直接的描述成如下形式：
假设当自变量x趋近于某一定值（或无穷大）时， 函数和满足：
1） 和的极限都是0或都是无穷大；
2） 和都可导， 且的导数不为0；
3） 存在（或是无穷大），
则极限也一定存在， 且等于, 即=.
说明：用该法则求极限时，应注意条件是否满足，只要有一条不满足，洛比达法则就不能应用。特别要注意条件1）是否满足，即验证所求极限是否为“”型或“”型；条件2）一般都满足，而条件3）则在求导完毕后可以知道是否满足； 应用洛比达法则， 要分别求分子、分母的导数，而不是求整个分式的导数。另外，洛比达法则可以连续使用，但每次使用之前都需要注意条件。当不存在时，本法则失效，但并不是说极限不存在，此时求极限须用另外方法。当所求极限中的函数比较复杂时，也可能用到前面的重要极限、后面的等价无穷小代换等方法。一般情况下， 对于“”、“”、“”、“”、“”、“”型都可以直接或间接地使用洛比达法则进行计算。对于“”型、“”型的可以直接使用洛比达法则进行计算，面对于“”型，我们只要进行简单的转化就可以转化成“”型、“”型再进行计算。对于“”、“”、“”型，用对数的性质把它化成“”型.
例 3 求下列函数极限.
1） . 2） .
3） .4） .
解 1） 原式==.
此题连续用洛比达法则，最后用重要极限得出答案.
2）原式
.
3） 因为

因此， 原式=.
4） 因为
因此， 原式=.
（4）利用夹逼准则求函数极限
若函数满足上述定理2.3的条件，且函数本身的极限不易直接求出时，可考虑将求极限的变量做适当得放大和缩小，使放大、缩小后的极限较易求得，并且两者的极限相同，即求得原极限的值。
例4 求 ().
解 当时， 存在唯一的正整数, 使, 于是当时， 有
,.
又因为当时， , 有
, ,
所以=0.
（5）利用函数的连续性求函数极限
一些函数在其定义区间内连续， 因此求这类函数在其定义区间内的点处的极限， 可以根据以下性质来求极限（对于等情况都适用）.
（1） 若在处连续， 则;
（2） 若是复合函数， 有且在处连续， 则
.
例 5 求 .
解 由于在定义域内都连续， 所以

（6）分别利用左右极限求得函数极限
在文献介绍了用左右极限求函数极限的方法. 求分段函数在连接点处的极限， 要分别求左、右极限求得函数极限. 即对于分段函数

考察是否存在就要分别求与. 若与相等， 则可得; 若与不相等， 则不存在.
例6 设= 求 及.
解 因为, 由, 所以
. 又因为
,,
由于, 所以不存在.
（7）利用泰勒公式求函数极限
对于求某些不定式的极限来说， 应用泰勒公式比使用罗比塔法则更为方便.
例7 求.
解 利用文献中的泰勒公式， 当, 有, 于是
=
=
=.
（8）利用导数定义求某些函数的极限
例 8 求证： 若存在， 则
证明 注意到

有

（9）利用级数收敛的必要条件求函数极限
级数收敛的必要条件是：若级数收敛， 则。因此，对某些极限, 可将函数作为级数的一般项。只须证明此级数收敛，便有
例9 求
解 令, 则,
因为, 所以. 即收敛， 所以
（10）利用只保留最大量的原则求函数极限
对于“”型， 求其极限时， 遵循一个原则， 那就是分子分母只保留最大量的项. 当遇到时， 按量级的降序是： ; 当遇到有限量时， 按量级的降序则是： .
例 10 求 （1） （2） .
解 （1） 原式（2） 原式
上面两例属于极限问题中的特例， 常常不好解释， 实际上它满足保留最大量原则。
2 多元函数极限的求解方法
类似于一元函数的常见求法，多元函数也有相似的求法，在这里就简单介绍一下（以二元函数为例）。
（1）利用定义求极限
例 11 求 .
解 因为 , 所以

于是对任意的, 存在, 当 有 即

（2）利用函数的连续性求极限
定义 3.2（二元函数的连续性） 设为定义在点集上的二元函数， （它或者是的聚点，或者是的孤立点）.对于任给的正数, 总存在相应的正数, 只要 就有
,
则称关于集合D在点连续. 在不至于误解的情况下， 也称在点连续。
例 12 求 .
解 因为在是连续的， 所以
（3）利用两边夹定理求极限
例13 求 .
解 因为, 而, 所以
.
（4）利用重要极限求极限
例 14 求 .
解 , 而,
所以， 原式.
（5）利用有理化的方法求极限
例 15 求
解 分子分母同乘以, 即得

（6）利用无穷小与有界变量的乘积仍为无穷小求极限
例16 求
解 因为, 所以，
原式
（7）利用极限的四则运算定理、无穷小的运算定理、无穷小于无穷大的关系求极限
例 17 求
解 由, 得, 故.
同理，于是原式
（8）利用等价无穷小代换求极限
例18 求
解 因为时 所以
故原式
（9）利用换元法求极限
运用换元的形式求极限的方法中最为主要的是整体代换或三角代换，特别是当遇到时，可以设，相当于。通过变量代换可以将某些二元函数的极限转化为—元函数的极限，从而二元函数的极限变得简单。
例 19 求
解 设 因为 故当时， 则
原式
四、极限的应用
（一）在计算面积中的应用
如何求抛物线与两直线和所围的面积.
先将区间等分为个小区间，以这些小区间为底边，分别以为高，作个小矩形.
这个小矩形的面积之和是

＝
＝
这样我们就定义一个数列，对每个而言，它都小于欲求的“面积”，但是这两者之间的差别不会大于长为1,宽为的矩形面积，即，所以，当越来越大时，将越来越接近于欲求的“面积”，因此，我们可以定义此面积为 .
这种定义面积并求面积的方法简单又朴素，它同时孕育出了数学分析的一个重要组成部分：积分学。
（二）在求方程数值解中的应用
我们都知道，是无理数.目前的问题是如何用有理数来逼近，以达到事先指定的精确度？是二次方程的正根，所以我们的问题可以说成是求方程的“数值解”。
把问题提得更一般一些，设是任意给定的，我们来求的近似值.给定的一个近似值，在两个正数中，一定有一个大于另一个小于，除非正好就是。有理由指望这两个数的算术平均值可能更加靠近，这便得到了更好的近似。事实上

这表明：不论初值如何，得出的第一次近似值是过剩近似值.不妨设初值本身就是过剩近似值，因此。由此得出

这个不等式告诉我们：第一次近似值到的距离至多是初值到的距离的一半。重复施行上述的步骤，便产生数列，其中

由

可见，对于充分大的，数与的距离要多小有多小。
让我们看看实际应用起来有多方便，设想我们需求的近似值.取初值（这是相当粗糙的近似值），反复迭代的结果是

这已是相当精确的近似值。

五、结论
当然《高等数学》课程中求极限的方法还有很多，如可以利用导数的定义、泰勒公式、微分中值定理、无穷级数收敛的必要条件等。尽管求极限的方法有很多，每种方法也都有自己的适用范围，但是很多求极限的题目不是用一种方法就能解决的，它需要多种方法的结合才能解决。另外，很多求极限的题目也可以用很多方法来求解。因此，大家在学习的过程中，一定要善于思考和归纳总结，总结各种方法的优缺点、使用条件及适用范围，这样遇到求极限的题目才能游刃有余、得心应手。

参考文献
[1]李庆娟. 基于高等数学中数列极限求解的讨论[J]. 佳木斯职业学院学报,2015,02:245.
[2]王淑芳,杜继明. 数列极限求解方法研究[J]. 高教学刊,2015,16:199-200.
[3]景慧丽. 极限求解方法研究[J]. 哈尔滨师范大学自然科学学报,2015,05:16-22.
[4]何凤英. 数列求极限方法浅谈[J]. 漯河职业技术学院学报,2013,02:156-157.
[5]葛喜芳. 数列极限的几种计算方法[J]. 北京工业职业技术学院学报,2013,03:63-65.
[6]余晓娟. 数列极限求解方法研究[J]. 保山学院学报,2016,02:61-65.
[7]张俊青. 数列极限求解方法的探讨[J]. 山东农业工程学院学报,2016,04:150-151.
[8]刘合财,陈治友. 一道典型数列极限问题的多种解法[J]. 贵阳学院学报(自然科学版),2016,01:8-9.
[9]景慧丽. 《高等数学》课程中极限求解方法探讨[J]. 廊坊师范学院学报(自然科学版),2016,02:110-111.
[10]许宏文. 不同视角下的积分极限问题[J]. 高等数学研究,2016,01:71-74.
[11]帕尔哈提·阿里甫. 关于一类特殊类型数列极限的计算方法[J]. 重庆工商大学学报(自然科学版),2016,06:62-65.
[12]刘春新. 定积分求解数列极限[J]. 河南科学,2012,09:201-203.
[13]程斐涵. 极限计算方法的探讨[J]. 科技视界,2013,14:29-31.
[14]曾祥远,程功任,李科赞. 关于函数和数列极限的相关理论及计算方法的探讨[J]. 教育现代化,2015,12:253-256.
[15]尹江丽,王莉. 非未定式极限的求解[J]. 高师理科学刊,2013,03:36-38.
[16]唐燕武. 极限的几种求解方法[J]. 安庆师范学院学报(自然科学版),2009,03:86-87.

致 谢
本论文是在导师的谆谆教诲和指导下完成的，从选题、构思到定稿无不渗透着导师的心血和汗水；导师渊博的知识和严谨的学风使我受益终身，在此表示深深的敬意和感谢。
这次写论文的经历也会使我终身受益，我感受到，做论文是要真正用心去做的一件事情，是真正的自己学习的过程和研究的过程。没有认真学习和钻研，自己就不可能有研究的能力，就不可能有自己的研究，就不会有所收获和突破。希望这个经历，在今后的学习和生活中能够继续激励我前进。
另外，还要特别感谢我的家人，他们时刻关心我，给我提供了学习的机会，时时刻刻为我鼓劲、为我加油，进而促使我不断成长和进步。同时，也要感谢寝室的室友以及所有关心我的朋友，感谢他们陪伴我走过了很多美好的时光，在我遇到困难时他们关心我、帮助我。在完成毕业论文的过程中，很多朋友都给了我无私的帮助和支持，在此表示由衷的谢意！
最后，因本人水平有限，论文肯定还有不少不足之处，恳请各位老师批评指正，我希望可以有机会继续去完善，我将不断努力继续充实自己。