高等数学复习习题答案(全).doc
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1、1、设在连续,在内可导,且在内,证明:在内有且只有一个数,使得。证明:先证其存在性。作辅助函数,则在连续,在内可导,注意到,故由零点存在定理知,存在,使得,即有。最后证明唯一性。用反证法。假设还有一个,使得,则在与之间的区间对用罗尔定理,知存在使得,即,这与题设矛盾,所以唯一性得证。2、设在连续,在内可导,且,证明:在必存在,使得。证明:因为在连续,设其在取得最小值m和最大值M。又因为,故由介值定理知,存在,使得,又,由罗尔定理得,使得。3、设在上具有二阶导数,且,令,证明必存在,使得。证明:由题设,在上具有二阶导数,且。注意到,由罗尔定理,知存在,使得。又,故由罗尔定理,知存在,使得。4、见
2、课件5、见课件6、设在上可导,且,证明存在,使得。证明:先不妨设,则由函数极限保号性质,知存在,使得 , ,故在内取到最小值,设在取得最小值,则由费尔马引理知,。同理,如果,则在内取到最大值,设在取得最大值,则由费尔马引理知,。7.证明:令,利用第6题的结论即可得到。8、设在上可导,且,证明方程在内至少有两个根。证明:因为,所以由函数极限的保号性知,存在,使得,故由零点存在定理,存在,使得。又,在区间和对分别用罗尔定理,即可知方程在内至少有两个根。9、设在上连续,在内可导,证明存在,使得。证明:由朗格朗日中值定理和柯西中值定理,得存在,使得,故证得。10、设在上连续,在内可导,且,证明:对于任
3、意给定的整数a, b, 在内存在不同的,使得。证明:注意到,由介值定理知,存在,使得,在区间和分别用朗格朗日中值定理,存在,使得 从而,得证。11、设在上连续,在内可导,且,证明:存在,使得。证明:作辅助函数,则在上连续,在内可导,且。在区间和分别用朗格朗日中值定理,存在,使得 因此即有。12、设在上连续,在内可导,且,试证:(1)存在,使得;(2)存在不同的,使得。证明:(1)作辅助函数,则在连续,在内可导,注意到,故由零点存在定理知,存在,使得,即有。(2)在区间和分别用朗格朗日中值定理,可得,存在,使得 因此,得证。13、设在内可导,且证明在内有界。证明:由朗格朗日中值定理,存在在和x之
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