初二数学上学期期末试卷(一)(人教版).doc

期末试卷（一）　（人教版）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分），在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请将所选选项的字母填涂在答题卷中对应题号的方格内．
1．（3分）在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．（3分）下列运算正确的是（　　）
A．a4•a2=a8 B．a8÷a2=a4
C．（a3）2=a5 D．（2ab2）2=4a2b4
3．（3分）如图，△ABC≌△DEF，∠A=50°，∠B=100°，则∠F的度数是（　　）

A．100° B．60° C．)50° D．30°
4．（3分）一个三角形的两边长分别是3和7，则第三边长可能是（　　）
A．2 B．3 C．9 D．10
5．（3分）下列算式结果为﹣2的是（　　）
A．2﹣1 B．（﹣2）0 C．﹣21 D．（﹣2）2
6．（3分）如图，在△ABC中，∠B=40°，∠C=30°，延长BA到D，则∠CAD的度数为（　　）

A．110° B．70° C．80° D．60°
7．（3分）花粉的质量很小，一粒某种植物花粉的质量约为0.000037毫克，那么0.000037毫克可用科学记数法表示为（　　）
A．0.37×10﹣5毫克 B．3.7×10﹣6毫克
C．37×10﹣7毫克 D．3.7×10﹣5毫克
8．（3分）一个多边形的外角和与它的内角和相等，则多边形是（　　）
A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形
9．（3分）如图，已知∠ABC=∠DCB，下列所给条件不能证明△ABC≌△DCB的是（　　）

A．AC=BD B．AB=DC C．∠ACB=∠DBC D．∠A=∠D
10．（3分）将图（甲）中阴影部分的小长方形变换到图（乙）位置，根据两个图形的面积关系得到的数学公式是（　　）

A．（a+b）2=a2+2ab+b2
B．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2
C．a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）
D．（a+2b）（a﹣b）=a2+ab﹣2b2

二、填空题（本大题6小题，每小题4分，共24分）请将下列各题的正确答案填写在答题卡相应的位置上.
11．（4分）有意义，则x的取值范围是　 　．
12．（4分）点（﹣3，﹣4）关于x轴对称点的坐标为　 　．
13．（4分）分解因式：m3﹣mn2=　 　．
14．（4分）已知等腰三角形的两边长分别为x和y，且x和y满足|x﹣3|+（y﹣1）2=0，则这个等腰三角形的周长为　 　．
15．（4分）Rt△ABC中，∠B=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AC于E，若BC=8，DE=3，则CD的长度是　 　．

16．（4分）△ABC中，AB=AC=12厘米，∠B=∠C，BC=8厘米，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．若点Q的运动速度为v厘米/秒，则当△BPD与△CQP全等时，v的值为　 　．

三、解答题（一）（本大题3小题，每小题6分，共18分）
17．（6分）下面是小颖化简的过程，仔细阅读后解答所提出的问题．
解：x（x+2y）﹣（x+1）2+2x
=（x2+2xy）﹣（x2+1）+2x 第一步
=x2+2xy﹣x2﹣1+2x 第二步
=2xy+2x﹣1 第三步
（1）小颖的化简过程从第　 　步开始出现错误；
（2）对此整式进行化简．
18．（6分）如图，点B、E、C、F在同一直线上，∠A=∠D，∠B=∠DEF，AB=DE，求证：BE=CF．

19．（6分）解分式方程：﹣=1．

四、解答题（二）（本大题3小题，每小题7分，共21分）
20．（7分）先化简，再求值：÷﹣，其中a=2．
21．（7分）如图所示，在△ABC中，∠ABC=∠ACB．
（1）尺规作图：过顶点A，作△ABC的角平分线AD；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在AD上任取一点E，连接BE、CE．求证：BE=CE．

22．（7分）小明的家距离学校1600米，一天小明从家里出发去上学，出发10分钟后，爸爸发现他的数学课本忘记拿了，立即带上课本去追他，正好在校门口追上了他．已知爸爸的速度是小明速度的2倍，求小明和爸爸的速度分别为多少？

五、解答题（三）（本大题3小题，每小题9分，共27分）
23．（9分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE、BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F．已知AD=2cm，BC=5cm．
（1）求证：FC=AD；
（2）求AB的长．

24．（9分）观察下列等式：
第一个等式：
第二个等式：
第三个等式：
第四个等式：
按上述规律，回答下列问题：
（1）请写出第六个等式：a6=　 　=　 　；
（2）用含n的代数式表示第n个等式：an=　 　=　 　；
（3）a1+a2+a3+a4+a5+a6=　 　（得出最简结果）；
（4）计算：a1+a2+…+an．
25．（9分）数学课上，李老师出示了如下框中的题目．

小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：
（1）特殊情况•探索结论
当点E为AB的中点时，如图1，确定线段AE与的DB大小关系．请你直接写出结论：AE　 　DB（填“＞”，“＜”或“=”）．

（2）特例启发，解答题目
解：题目中，AE与DB的大小关系是：AE　 　DB（填“＞”，“＜”或“=”）．理由如下：
如图2，过点E作EF∥BC，交AC于点F，（请你完成以下解答过程）
（3）拓展结论，设计新题
在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED=EC．若△ABC的边长为1，AE=2，求CD的长（请你直接写出结果）．

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分），在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请将所选选项的字母填涂在答题卷中对应题号的方格内．
1．（3分）在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
【解答】解：A、是轴对称图形，故A符合题意；
B、不是轴对称图形，故B不符合题意；
C、不是轴对称图形，故C不符合题意；
D、不是轴对称图形，故D不符合题意．
故选：A．
【点评】本题主要考查轴对称图形的知识点．确定轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．（3分）下列运算正确的是（　　）
A．a4•a2=a8 B．a8÷a2=a4
C．（a3）2=a5 D．（2ab2）2=4a2b4
【分析】根据同底数幂的乘法底数不变指数相加，同底数幂的除法底数不变指数相减，幂的乘方底数不变指数相乘，根据积的乘方等于乘方的积，可得答案．
【解答】解：A、同底数幂的乘法底数不变指数相加，故A错误；
B、同底数幂的除法底数不变指数相减，故B错误；
C、幂的乘方底数不变指数相乘，故C错误；
D、积的乘方等于乘方的积，故D正确；
故选：D．
【点评】本题考查了同底数幂的除法，熟记法则并根据法则计算是解题关键．
3．（3分）如图，△ABC≌△DEF，∠A=50°，∠B=100°，则∠F的度数是（　　）

A．100° B．60° C．50° D．30°
【分析】首先根据三角形内角和定理可得∠C的度数，再根据全等三角形，对应角相等可得∠F=∠C=30°．
【解答】解：∵∠A=50°，∠B=100°，
∴∠C=180°﹣100°﹣50°=30°，
∵△ABC≌△DEF，
∴∠F=∠C=30°，
故选：D．
【点评】此题主要考查了全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形，对应角相等．
4．（3分）一个三角形的两边长分别是3和7，则第三边长可能是（　　）
A．2 B．3 C．9 D．10
【分析】根据三角形的三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边可得7﹣3＜x＜7+3，再解即可．
【解答】解：设第三边长为x，由题意得：
7﹣3＜x＜7+3，
则4＜x＜10，
故选：C．
【点评】此题主要考查了三角形的三边关系：第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和．
5．（3分）下列算式结果为﹣2的是（　　）
A．2﹣1 B．（﹣2）0 C．﹣21 D．（﹣2）2
【分析】根据负整数指数幂和零指数幂及乘方的运算法则逐一计算即可得．
【解答】解：A、2﹣1=，此选项不符合题意；
B、（﹣2）0=1，此选项不符合题意；
C、﹣21=﹣2，此选项符合题意；
D、（﹣2）2=4，此选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题主要考查负整数指数幂、零指数幂，解题的关键是掌握负整数指数幂和零指数幂及乘方的运算法则．
6．（3分）如图，在△ABC中，∠B=40°，∠C=30°，延长BA到D，则∠CAD的度数为（　　）

A．110° B．70° C．80° D．60°
【分析】由三角形的外角性质即可得出结果．
【解答】解：由三角形的外角性质得：
∠CAD=∠B+∠C=40°+30°=70°；
故选：B．
【点评】本题考查了三角形的外角性质；熟记三角形的外角性质是解决问题的关键．
7．（3分）花粉的质量很小，一粒某种植物花粉的质量约为0.000037毫克，那么0.000037毫克可用科学记数法表示为（　　）
A．0.37×10﹣5毫克 B．3.7×10﹣6毫克
C．37×10﹣7毫克 D．3.7×10﹣5毫克
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.000037毫克可用科学记数法表示为3.7×10﹣5毫克．
故选：D．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
8．（3分）一个多边形的外角和与它的内角和相等，则多边形是（　　）
A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形
【分析】任意多边形的外角和为360°，然后利用多边形的内角和公式计算即可．
【解答】解：设多边形的边数为n．
根据题意得：（n﹣2）×180°=360°，
解得：n=4．
故选：B．
【点评】本题主要考查的是多边形的内角和和外角和，掌握任意多边形的外角和为360°和多边形的内角和公式是解题的关键．
9．（3分）如图，已知∠ABC=∠DCB，下列所给条件不能证明△ABC≌△DCB的是（　　）

A．AC=BD B．AB=DC C．∠ACB=∠DBC D．∠A=∠D
【分析】利用全等三角形的判定定理进行分析即可．
【解答】解：A、添加AC=BD不能判定△ABC≌△DCB，故此选项符合题意；
B、添加AB=DC可利用SAS判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意；
C、添加∠ACB=∠DBC可利用ASA判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意；
D、添加∠A=∠D可利用AAS判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意；
故选：A．
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定，关键是掌握判定两个三角形全等的方法：SSS、SAS、AAS、ASA、HL．
10．（3分）将图（甲）中阴影部分的小长方形变换到图（乙）位置，根据两个图形的面积关系得到的数学公式是（　　）

A．（a+b）2=a2+2ab+b2
B．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2
C．a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）
D．（a+2b）（a﹣b）=a2+ab﹣2b2
【分析】首先求出甲的面积为a2﹣b2，然后求出乙图形的面积为（a+b）（a﹣b），根据两个图形的面积相等即可判定是哪个数学公式．
【解答】解：甲图形的面积为a2﹣b2，乙图形的面积为（a+b）（a﹣b），
根据两个图形的面积相等知，a2﹣b2=（a+b）（a﹣b），
故选：C．
【点评】本题主要考查平方差的几何背景的知识点，求出两个图形的面积相等是解答本题的关键．

二、填空题（本大题6小题，每小题4分，共24分）请将下列各题的正确答案填写在答题卡相应的位置上.
11．（4分）有意义，则x的取值范围是　x≠1　．
【分析】分式有意义，分母不等于零．
【解答】解：当分母x﹣1≠0，即x≠1时，有意义．
故答案是：x≠1．
【点评】本题考查了分式有意义的条件．从以下三个方面透彻理解分式的概念：
（1）分式无意义⇔分母为零；
（2）分式有意义⇔分母不为零；
（3）分式值为零⇔分子为零且分母不为零．
12．（4分）点（﹣3，﹣4）关于x轴对称点的坐标为　（﹣3，4）　．
【分析】直接利用关于x轴对称的性质，关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．即点P（x，y）关于x轴的对称点P′的坐标是（x，﹣y），进而得出答案．
【解答】解：点（﹣3，﹣4）关于x轴对称点的坐标为：（﹣3，4）．
故答案为：（﹣3，4）．
【点评】此题主要考查了关于x轴对称的性质，正确记忆横纵坐标关系是解题关键．
13．（4分）分解因式：m3﹣mn2=　m（m+n）（m﹣n）　．
【分析】先提取公因式m，再运用平方差公式分解．
【解答】解：m3﹣mn2，
=m（m2﹣n2），
=m（m+n）（m﹣n）．
【点评】本题考查提公因式法分解因式和利用平方差公式分解因式，本题要进行二次分解因式，分解因式要彻底．
14．（4分）已知等腰三角形的两边长分别为x和y，且x和y满足|x﹣3|+（y﹣1）2=0，则这个等腰三角形的周长为　7　．
【分析】根据非负数的性质求得x、y的值，然后得到三角形的三边长，接下来，利用三角形的三边关系进行验证，最后求得三角形的周长即可．
【解答】解：∵|x﹣3|+（y﹣1）2=0，
∴x=3，y=1．
当腰长为3时，三边长为3、3、1，周长=3+3+1=7；
当腰长为1时，三边长为3、1、1，1+1＜3，不能组成三角形．
故答案为：7．
【点评】本题主要考查的是非负数的性质、等腰三角形的定义，三角形的三边关系，利用三角形的三边关系进行验证是解题的关键．
15．（4分）Rt△ABC中，∠B=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AC于E，若BC=8，DE=3，则CD的长度是　5　．

【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DE=BD，从而得解．
【解答】解：∵∠ACB=90°，DE⊥AB于E，AD平分∠BAC交BC于D，
∴DE=BD，
∵DE=3，
∴BD=3，
又∵BC=8，
∴CD=BC﹣DE=8﹣3=5．
故答案是：5．

【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，比较简单，熟记性质是解题的关键．
16．（4分）△ABC中，AB=AC=12厘米，∠B=∠C，BC=8厘米，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．若点Q的运动速度为v厘米/秒，则当△BPD与△CQP全等时，v的值为　2或3　．

【分析】此题要分两种情况：①当BD=PC时，△BPD与△CQP全等，计算出BP的长，进而可得运动时间，然后再求v；②当BD=CQ时，△BDP≌△QCP，计算出BP的长，进而可得运动时间，然后再求v．
【解答】解：当BD=PC时，△BPD与△CQP全等，
∵点D为AB的中点，
∴BD=AB=6cm，
∵BD=PC，
∴BP=8﹣6=2（cm），
∵点P在线段BC上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动，
∴运动时间时1s，
∵△DBP≌△PCQ，
∴BP=CQ=2cm，
∴v=2÷1=2；
当BD=CQ时，△BDP≌△QCP，
∵BD=6cm，PB=PC，
∴QC=6cm，
∵BC=8cm，
∴BP=4cm，
∴运动时间为4÷2=2（s），
∴v=6÷2=3（m/s），
故答案为：2或3．

【点评】此题主要考查了全等三角形的判定，关键是要分情况讨论，不要漏解，掌握全等三角形的判定方法：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．

三、解答题（一）（本大题3小题，每小题6分，共18分）
17．（6分）下面是小颖化简的过程，仔细阅读后解答所提出的问题．
解：x（x+2y）﹣（x+1）2+2x
=（x2+2xy）﹣（x2+1）+2x 第一步
=x2+2xy﹣x2﹣1+2x 第二步
=2xy+2x﹣1 第三步
（1）小颖的化简过程从第　一　步开始出现错误；
（2）对此整式进行化简．
【分析】（1）根据完全平方公式得出第一步出现错误；
（2）利用单项式乘以多项式以及完全平方公式计算得出答案．
【解答】解：（1）第一步出错；
故答案为：一；

（2）原式=（x2+2xy）﹣（x2+2x+1）+2x
=x2+2xy﹣x2﹣2x﹣1+2x
=2xy﹣1．
【点评】此题主要考查了单项式乘以多项式以及完全平方公式，正确掌握运算法则是解题关键．
18．（6分）如图，点B、E、C、F在同一直线上，∠A=∠D，∠B=∠DEF，AB=DE，求证：BE=CF．

【分析】根据ASA推出△ABC≌△DEF，根据全等三角形的性质得出BC=EF，即可得出答案．
【解答】证明：在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（ASA）
∴BC=EF，
∵BE=BC﹣EC，CF=EF﹣EC，
∴BE=CF．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，能根据全等三角形的判定推出△ABC≌△DEF是解此题的关键．
19．（6分）解分式方程：﹣=1．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：3x+2=x﹣1，
移项得：3x﹣x=﹣1﹣2，
解得：x=﹣1.5，
经检验x=﹣1.5是分式方程的解．
【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．

四、解答题（二）（本大题3小题，每小题7分，共21分）
20．（7分）先化简，再求值：÷﹣，其中a=2．
【分析】把多项式分解因式后做除法，化简后再做减法，最后代入求值．
【解答】解：原式=
=
=
当a=2时，
原式=
=
=4．
【点评】本题考查了分式的化简求值．化简商后再做减法，能使运算简便．
21．（7分）如图所示，在△ABC中，∠ABC=∠ACB．
（1）尺规作图：过顶点A，作△ABC的角平分线AD；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在AD上任取一点E，连接BE、CE．求证：BE=CE．

【分析】（1）利用基本作图（作已知角的平分线）作∠BAC的平分线交BC于D，则AD为所求；
（2）先证明△ABC为等腰三角形，再根据等腰三角形的性质，由AD平分∠BAC可判断AD垂直平分BC，然后根据线段垂直平分线的性质可得EB=EC．
【解答】（1）解：如图，AD为所作；

（2）证明：如图，
∵∠ABC=∠ACB，
∴AC=AB，
∵AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC，BD=CD，即AD垂直平分BC，
∴EB=EC．

【点评】本题考查了作图﹣基本作图，等腰三角形的判定与性质以及线段垂直平分线的性质．正确作出图形是解题的关键．
22．（7分）小明的家距离学校1600米，一天小明从家里出发去上学，出发10分钟后，爸爸发现他的数学课本忘记拿了，立即带上课本去追他，正好在校门口追上了他．已知爸爸的速度是小明速度的2倍，求小明和爸爸的速度分别为多少？
【分析】设小明的速度为x米/分，则爸爸的速度是2x米/分，根据时间=路程÷速度结合爸爸比小明少用10分钟，即可得出关于x的分式方程，解之并检验后即可得出结论．
【解答】解：设小明的速度为x米/分，则爸爸的速度是2x米/分，依题意得
=+10，
解得x=80．
经检验，x=80是原方程的根．
∴2x=160
答：小明的速度是80米/分，爸爸的速度是160米/分．
【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．

五、解答题（三）（本大题3小题，每小题9分，共27分）
23．（9分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE、BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F．已知AD=2cm，BC=5cm．
（1）求证：FC=AD；
（2）求AB的长．

【分析】（1）根据AD∥BC可知∠ADC=∠ECF，再根据E是CD的中点可求出△ADE≌△FCE，根据全等三角形的性质即可解答．
（2）根据线段垂直平分线的性质判断出AB=BF=BC+CF=BC+AD，将已知代入即可．
【解答】（1）证明：∵AD∥BC（已知），
∴∠ADC=∠ECF（两直线平行，内错角相等）
∵E是CD的中点（已知），
∴DE=EC（中点的定义）．
∵在△ADE与△FCE中，
，
∴△ADE≌△FCE（ASA），
∴FC=AD（全等三角形的性质）；

（2）解：∵△ADE≌△FCE，
∴AE=EF，AD=CF（全等三角形的对应边相等），
∴BE是线段AF的垂直平分线，
∴AB=BF=BC+CF，
∵AD=CF（已证），
∴AB=BC+AD（等量代换）
=5+2=7（cm）．
【点评】此题主要考查线段的垂直平分线的性质等几何知识．关键是掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．
24．（9分）观察下列等式：
第一个等式：
第二个等式：
第三个等式：
第四个等式：
按上述规律，回答下列问题：
（1）请写出第六个等式：a6=　　=　﹣　；
（2）用含n的代数式表示第n个等式：an=　　=　﹣　；
（3）a1+a2+a3+a4+a5+a6=　　（得出最简结果）；
（4）计算：a1+a2+…+an．
【分析】（1）根据已知4个等式可得；
（2）根据已知等式得出答案；
（3）利用所得等式的规律列出算式，然后两两相消，计算化简后的算式即可得；
（4）根据已知等式规律，裂项相消求解可得．
【解答】解：（1）由题意知，a6==﹣，
故答案为：，﹣；

（2）an==﹣，
故答案为：，﹣；

（3）原式=﹣+﹣+﹣+﹣+﹣+﹣
=﹣
=，
故答案为：；

（4）原式=﹣+﹣+…+﹣
=﹣
=．
【点评】本题主要考查数字的变化，解题的关键是根据已知等式得出等式的变化规律及裂项相消求解．
25．（9分）数学课上，李老师出示了如下框中的题目．

小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：
（1）特殊情况•探索结论
当点E为AB的中点时，如图1，确定线段AE与的DB大小关系．请你直接写出结论：AE　=　DB（填“＞”，“＜”或“=”）．

（2）特例启发，解答题目
解：题目中，AE与DB的大小关系是：AE　=　DB（填“＞”，“＜”或“=”）．理由如下：
如图2，过点E作EF∥BC，交AC于点F，（请你完成以下解答过程）
（3）拓展结论，设计新题
在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED=EC．若△ABC的边长为1，AE=2，求CD的长（请你直接写出结果）．
【分析】（1）根据等边三角形的性质和三角形的内角和定理求出∠D=∠ECB=30°，∠ABC=60°，求出∠D=∠DEB=30°，推出DB=BE=AE即可得到答案；
（2）作EF∥BC，证出等边三角形AEF，再证△DBE≌△EFC即可得到答案；
（3）分为四种情况：画出图形，根据等边三角形性质求出符合条件的CD即可．
【解答】解：（1）答案为：=．

（2）答案为：=．
证明：在等边△ABC中，∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，AB=BC=AC，
∵EF∥BC，
∴∠AEF=∠ABC，∠AFE=∠ACB，
∴∠AEF=∠AFE=∠BAC=60°，
∴AE=AF=EF，
∴AB﹣AE=AC﹣AF，
即BE=CF，
∵∠ABC=∠EDB+∠BED，∠ACB=∠ECB+∠FCE，
∵ED=EC，
∴∠EDB=∠ECB，
∵∠EBC=∠EDB+∠BED，∠ACB=∠ECB+∠FCE，
∴∠BED=∠FCE，
在△DBE和△EFC中
，
∴△DBE≌△EFC（SAS），
∴DB=EF，
∴AE=BD．

（3）解：分为四种情况：
如图1：
∵AB=AC=1，AE=2，
∴B是AE的中点，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC=BC=1，△ACE是直角三角形（根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半），
∴∠ACE=90°，∠AEC=30°，
∴∠D=∠ECB=∠BEC=30°，∠DBE=∠ABC=60°，
∴∠DEB=180°﹣30°﹣60°=90°，
即△DEB是直角三角形．
∴BD=2BE=2（30°所对的直角边等于斜边的一半），
即CD=1+2=3．

如图2，
过A作AN⊥BC于N，过E作EM⊥CD于M，
∵等边三角形ABC，EC=ED，
∴BN=CN=BC=，CM=MD=CD，AN∥EM，
∴△BAN∽△BEM，
∴=，
∵△ABC边长是1，AE=2，
∴=，
∴MN=1，
∴CM=MN﹣CN=1﹣=，
∴CD=2CM=1；
如图3，∵∠ECD＞∠EBC（∠EBC=120°），而∠ECD不能大于120°，否则△EDC不符合三角形内角和定理，
∴此时不存在EC=ED；

如图4
∵∠EDC＜∠ABC，∠ECB＞∠ACB，
又∵∠ABC=∠ACB=60°，
∴∠ECD＞∠EDC，
即此时ED≠EC，
∴此时情况不存在，
答：CD的长是3或1．

【点评】本题主要考查对全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，等边三角形的性质和判定等知识点的理解和掌握，能综合运用这些性质进行推理是解此题的关键．

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