第12章整式的乘除知识点总结.doc

第12章 整式的乘除
§12。1幂的运算
一、同底数幂的乘法
1、法则：am·an·ap·……=am+n+p+……（m、n、p……均为正整数)
文字:同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
2、注意事项:
（1）a可以是实数,也可以是代数式等。
如：2·3·4=2+3+4=9；
(-2）2·(—2）3=(—2)2+3=（—2)5=—25；
（）3·（）4=（）3+4=(）7；
(a+b)3·（a+b）4·（a+b）= （a+b)3+4+1=（a+b）8
（2）一定要“同底数幂”“相乘"时,才能把指数相加。
（3)如果是二次根式或者整式作为底数时,要添加括号。
二、幂的乘方
1、法则:(am)n=amn（m、n均为正整数）。推广：｛[（am)n]p｝s=amn p s
文字：幂的乘方,底数不变,指数相乘。
2、注意事项：
(1）a可以是实数，也可以是代数式等。
如:(2）3=2×3=6；
[（)3]4=（)3×4=（）12；
［(a-b）2］4= （a—b)2×4=（a-b）8
（2）运用时注意符号的变化.
(3）注意该法则的逆应用，即：amn= (am）n，
如：a15= (a3）5= （a5）3
三、积的乘方
1、法则：（ab)n=anbn（n为正整数）。推广：(acde)n=ancndnen
文字：积的乘方等于把积的每一个因式都分别乘方,再把所得的幂相乘.
2、注意事项:
（1)a、b可以是实数,也可以是代数式等。
如：(2）3=222=42；
(×)2=（)2×（）2=2×3=6;
（—2abc）3=(—2)3a3b3c3=-8a3b3c3；
[（a+b）（a—b)］2=（a+b)2（a—b)2
（2）运用时注意符号的变化。
（3)注意该法则的逆应用,即：anbn =(ab)n；
如:23×33= （2×3)3=63，
（x+y)2(x-y)2=[（x+y)（x—y）］2
四、同底数幂的除法
1、法则：am÷an=am—n（m、n均为正整数,m＞n，a≠0）
文字：同底数幂相除,底数不变，指数相减.
2、注意事项：
(1）a可以是实数，也可以是代数式等。
如：4÷3=4—3=；
（-2)5÷(-2)3=（—2）5—3=（-2)2=4；
（)6÷()4=(）6—4=（)2=2；
（a+b）16÷(a+b)14= (a+b)16—14=(a+b）2=a2+2ab +b2
（2）注意a≠0这个条件。
（3)注意该法则的逆应用,即:am-n = am÷an；
如:a x-y= ax÷ay，
（x+y)2a-3=(x+y)2a÷(x+y)3
§12.2 整式的乘法
一、单项式与单项式相乘
法则:单项式与单项式相乘,只要将它们的系数与系数相乘,相同字母的幂相乘,多余的字母照搬到最后结果中。
如：（-5a2b2）·（—4 b2c）·（-ab)
=[（-5）×(-4）×(-）］·（a2·a）·(b2·b2)·c
=—30a3b4c
二、单项式与多项式相乘
法则：（乘法分配律)只要将单项式分别去乘以多项式的每一项，再将所得的积相加。
如：
=（-3x2)·(—x2)+（—3x2)·2 x一(—3x2)·1
=
三、多项式与多项式相乘
法则：
（1）将一个多项式中的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再将所得的积相加.
如：(m + n)(a + b)= ma+mb+na+nb
(2）把其中一个多项式看成一个整体(单项式）,去乘以另一个多项式的每一项，再按照单项式与多项式相乘的法则继续相乘，最后将所得的积相加.
如:(m+n）(a+b）
= （m+ n)a+( m +n)b
= ma+ na+mb+nb
§12。3 乘法公式
一、两数和乘以这两数的差
1、公式:(a+b）(a-b）=a2—b2;名称：平方差公式。
2、注意事项：(1）a、b可以是实数,也可以是代数式等.
如：(10+9)（10—9）=102-92=100—81=19；
(2xy+a）(2xy—a）=(2xy）2—a2=4 x2y2-a2；
(a+b+）（ a+b —)=(2xy)2-a2=4 x2y2—a2；
（2)注意公式中的第一项、第二项各自相同，中间是“异号”的情况，才能用平方差公式.
（3)注意公式的来源还是“多项式×多项式"。
二、完全平方公式
1、公式:(a±b）2=a2±2a b+b2；名称：完全平方公式。
2、注意事项：（1）a、b可以是实数，也可以是代数式等。
如：(+3)2
=（）2+2××3+32
=2+6+9
=11+6；
（mn—a) 2=（mn)2-2mn·a+ a2= m2n2-2mna+ a2；
（ a+b —）2
=( a+b)2—2（ a+b）+2
= a2+2a b+b2—2a-b +2;
（2)注意公式运用时的对位“套用”;
（3）注意公式中“中间的乘积项的符号”.
3、补充公式：（a+ b+ c)2=a2+c2+b2+2a b+2bc+2ca
特别提醒：利用乘法公式进行整式的运算时注意“思维顺序”是：“一看二套三计算"。
§12.4 整式的除法
一、单项式除以单项式
法则：单项式相除,只要将它们的系数与系数相除，相同字母的幂相除，只在被除式中出现的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式。
如:—21a2b3c÷3ab
=（—21÷3)·a2—1·b3-1·c
=-7ab2c
（2x2y）3·(-7xy2）÷14x4y3
=8x6y3·（—7xy2)÷14x4y3
=[8×(-7)］·x6+1y3+2÷14x4y3
=（—56÷14）·x7-4·y5—3=—4x3y2
5(2a+b）4÷(2a+b）2
=(5÷1）（2a+b）4—2
=5(2a+bz2=5（4a2+4ab+b2）
=20a2+20ab+5b2
二、多项式除以单项式
法则：（乘法分配律)只要将多项式的每一项分别去除以单项式，再将所得的商相加。
如：（21x4y3-35x3y2+7x2y2）÷（-7x2y）
=21x4y3÷(-7x2y）-35x3y2÷(—7x2y)+ 7x2y2÷（—7x2y）
=-3x2y2+5xy—y
[4y（2x—y)—2x（2x-y）］÷(2x—y)
= 4y(2x-y)÷(2x-y)-2x(2x-y）］÷（2x-y）
=4y-2x
◇整式的运算顺序:先乘方（开方）,再乘除，最后加减，括号优先。
§12。5 因式分解
一、因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做因式分解.（分解因式）
因式分解与整式乘法互为逆运算
二、提取公因式法：把一个多项式的公因式提取出来，使多项式化为两个因式的积,这种分解因式的方法叫做提公因式法。
△公因式定义：多项式中每一项都含有的相同的因式称为公因式。
△具体步骤：
(1）“看”。观察各项是否有公因式；
（2）“隔”。把每项的公因式“隔离”出来；
（3）“提”。按照乘法分配律的逆运用把公因式提出来,使多项式化为两个因式的积。
△(a-b) 2n=（b-a) 2n(n为正整数)；
（a-b) 2n+1=-（b-a） 2n+1(n为正整数)；
如:8a2b-4ab+2a
=2a·4ab-2a·2b+2a·1
=2a（4ab-2b+1）;—5 a2+25 a
=-5 a·a+5a·5
=-5 a（a+5）
(注意：凡给出的多项式的“首项为负"时，要连同“-”号与公因式一并提出来。）
三、公式法：利用乘法公式进行因式分解的方法,叫做公式法。
1、平方差公式: a2-b2=(a+b)(a-b）;名称：平方差公式。
△注意事项：(1）a、b可以是实数,也可以是代数式等。
如：102—92 =(10+9)（10-9)=19×1=19；
4 x2y2-a2=（2xy）2-a2=(2xy+a)(2xy—a)；
(2)注意公式中的第一项、第二项各自相同，中间是“异号”的情况,才能用平方差公式。
(3）注意公式的结构好形式，运用时一定要判断准确。
2、完全平方公式：(a±b）2=a2±2a b+b2;名称：完全平方公式。
△注意事项：
（1）a、b可以是实数，也可以是代数式等。
如:m2n2—2mna+ a2=(mn)2—2mn·a+ a2=（mn—a)2；
x2+4xy+y2
=x2+2·x·2y+(2y)2
=（ x+2 y)2
（2）注意公式运用时的对位“套用”；
(3）注意公式中“中间的乘积项的符号”。
四、补充分解法：
1、公式：x2+（a+b）x+ab=（x+a）（ x+b）。
如：x2+5x+6
= x2+（2+3)x+2×3=(x+2）（ x+3)；
x2+5x—6
=x2+[6+(-1))］x+6×（—1)=
(x+6)（ x—1)
2、“十字相乘法”
如:=(x+2）( x+7) =（x+2）（ x-4)
1 2 1 2
1 7 1 —4
2 + 7=9 2 + (—4)= -2
五、综合
1、注意利用乘法公式进行因式分解时注意“思维顺序”是：“一看二套三分解”。
2、遇到因式分解的题目时，其整体的思维顺序是：
(1）看首项是否为“一”，若为“一”，就要注意提负号；
（2）看各项是否有公因式,若有公因式,应该首先把公因式提取出来再说；
（3）没有公因式时，就要考虑用乘法公式进行因式分解或者“十字相乘法”。
3、注意事项：
(1）注意(a-b）与（b-a）的关系是互为相反数；
（2)因式分解要彻底,不要只提出公因式就完,还要看剩下的因式是否可以继续分解；
（3)现阶段的因式分解的题目,一般都要求在有理数范围内分解，所以不能出现带根号的数；
(4）注意“十字相乘法”只适用于“二次三项式型"因式分解，不要乱用此法.