三年级数学思维训练(上).doc

实用标准
第一讲 和倍问题
（一） 知识要点
和倍问题是已知大小两个数的和与它们的倍数关系，求大小两个数的应用题。此类题我们常采用画线段图的方法解答。
解答此类题首先要找倍数关系，通过倍数关系画出线段图，然后在图上根据题意标出俩个数的倍数与俩个数的和。于是根据图产生这样的思路：相对小的数自己是自己的一倍，而相对大的数是相对小的数的几倍,当然俩个数相等时这个几就是1），那么就有大数和小数的和就是小数的几+1倍，又因为大数和小数的和已知，于是这个题就变成了一个简单的，已知一个数和这个数是另一个数的几倍求另一个数的简单除法题。从而可以求出相对较小的也就是自己是自己一倍的数，我们简称为1倍数.
（二） 例题选讲
例1 甲班和乙班共有图书160本.甲班的图书本数是乙班的3倍，甲班和乙班各有图书多少本？
[精妙解答]

160÷（3+1）=40（本）-------作为一倍数的乙班的
40×3=120（本）----------根据题意关系求的甲班的
或者：160-40=120（本
答：甲班有图书120本，乙班有图书40本
例2 甲、乙两辆汽车在相距360千米的两地同时出发，相向而行，2时后两车相遇。已知甲车的速度是乙车速度的2倍。甲、乙两辆汽车每小时各行多少千米？
[精彩思路]
已知甲车速度是乙车速度的2倍，所以“1倍”数是乙车的速度。现只需知道甲、乙汽车的速度和，就可用“和倍公式”了。由题意知两辆车 2时共行 360千米，故1时共行 360÷2＝180(千米)，这就是两辆车的速度和。
[精妙解答]
乙车的速度为
　　(360÷2)÷(2＋1)= 60(千米/时)，
　　甲车的速度为
　　60×2=20(千米/时)，或180-60=120(千米/时)。
　　答：甲车每时行120千米，乙车每时行60千米。
　　从上面两道例题看出，用“和倍公式”的关键是确定“1倍”数(即小数)是谁，“和”是谁。例1、例2的“1倍”数与“和”极为明显，其中例2中虽未直接给出“和”，但也很容易求出。下面我们讲几个“1倍”数不太明显的例子。
　　例3 甲队有45人，乙队有75人。甲队要调入乙队多少人，乙队人数才是甲队人数的3倍？
[精彩思路]
容易求得“二数之和”为 45＋75=120(人)。如果从“乙队人数才是甲队人数的3倍”推出“1倍”数(即小数)是“甲队人数”那就错了，从75不是45的3倍也知是错的。这个“1倍”数是谁？根据题意，应是调动后甲队的剩余人数。倍数关系也是调动后的人数关系，即“调入人后的乙队人数”是“调走人后甲队剩余的人数”的3倍。由此画出线段图如下：

从图中看出，把甲队中“？”人调入乙队后，

(45＋75)就是甲队剩下人数的 3＋1＝4(倍)。从而，甲队调走人后剩下的人数就是“1倍”数。由和倍公式可以求解。
　[精妙解答]
甲队调动后剩下的人数为
　　(45＋75)÷(3＋1)＝ 30(人)，故甲队调入乙队的人数为45-30＝15(人)。
答：甲队要调15人到乙队。
　　例4 妹妹有书24本，哥哥有书53本。要使哥哥的书是妹妹的书的6倍，妹妹应给哥哥多少本书？
　　仿照例3的分析可得如下解法。
　　[精妙解答]
兄妹图书总数是妹妹给哥哥一些书后剩下图书的(6＋1)倍，根据和倍公式，妹妹剩下
　　(53＋24)÷(6＋1)＝11(本)。故妹妹给哥哥书24-11＝13(本)。
　　答：妹妹给哥哥书13本。
　　例5 大白兔和小灰兔共采摘了蘑菇160个。后来大白兔把它的蘑菇给了其它白兔20个，而小灰兔自己又采了10个。这时，大白兔的蘑菇是小灰兔的5倍。问：原来大白兔和小灰兔各采了多少个蘑菇？
[精彩思路及解答]
这道题仍是和倍应用题，因为有“和”、有“倍数”。但这里的“和”不是 160，而是160－20＋10＝150，“1倍”数却是“小灰兔又自己采了10个后的蘑菇数”。线段图如下：

根据和倍公式，小灰兔现有蘑菇(即“1倍”数)
　　(160-20＋10)÷(5＋1)＝25(个)，
　　故小灰兔原有蘑菇25-10＝15(个)，大白兔原有蘑菇
　　160-15＝145(个)。
　　答：原来大白兔采蘑菇145个，小灰兔采15个。
　　练习
[初试牛刀]
　　1.小敏与爸爸的年龄之和是64岁，爸爸的年龄是小敏的3倍。小敏和她爸爸的年龄各是多少岁？
　　2.一肉店卖出猪肉和牛肉共560千克，卖出的猪肉是卖出的牛肉的4倍。猪、牛肉各卖了多少千克？
3.甲、乙两桶汽油共84千克。如果把乙桶中的油倒入甲桶15千克，那么这时甲桶中的汽油等于乙桶中的汽油的3倍。甲、乙两桶原有汽油各多少千克？
[挑战自我]
　　1.甲、乙两人共生产零件100个，其中甲有2个零件、乙有5个零件不合格。已知乙生产的合格零件是甲生产的合格零件的2倍。甲、乙各生产了多少个零件？
　　2.团结村原有水田290公顷，旱田170公顷。要把多少公顷旱田改为水田，才能使水田的公顷数比旱田的公顷数多2倍？
　　3.红星小学图书馆内，科技书是故事书的3倍，连环画书又是科技书的2倍。已知这三种书共有1600本，那么每种书各有多少本？

第二讲 还原问题
（三） 知识要点
对于有些问题，当顺着题目条件的叙述去寻找解法时，往往有一定的困难，但是，如果改变思考顺序，从问题叙述的最后结果出发，一步一步倒着思考，一步一步往回算，原来加的用减，减的用加，原来乘的用除，除的用乘，那么问题便容易解决。这种解题方法叫做还原法或逆推法，用还原法解题的问题叫做还原问题。
（四） 例题选讲
例1有一个数，把它乘以4以后减去46，再把所得的差除以3，然后减去10，最后得4。问：这个数是几？
[精彩思路]
这个问题是由 （□×4—46）÷3—10＝4，
　　求出□。我们倒着看，如果除以3以后不减去10，那么商应该是4＋10＝14；如果在减去46以后不除以3，那么差该是14×3＝42；可知这个数乘以4后的积为42＋46＝88，因此这个数是88÷4=22。
　　[精妙解答]
［（4＋10）×3＋46］÷4＝22。
　　答：这个数是22。
　　例2小马虎在做一道加法题目时，把个位上的5看成了9，把十位上的8看成了3，结果得到的“和”是123。问：正确的结果应是多少？
　[精彩思路]
利用还原法。因为把个位上的5看成9，所以多加了4；又因为把十位上的8看成3，所以少加了50。在用还原法做题时，多加了的4应减去，多减了的50应加上。
[精妙解答]
123-4＋50＝169。
　　答：正确的结果应是169。
　　例3学校运来36棵树苗，乐乐与欢欢两人争着去栽，乐乐先拿了若干树苗，欢欢看到乐乐拿得太多，就抢了10棵，乐乐不肯，又从欢欢那里抢回来6棵，这时乐乐拿的棵数是欢欢的2倍。问：最初乐乐拿了多少棵树苗？
　[精彩思路]
先求乐乐与欢欢现在各拿了多少棵树苗。学校共有树苗36棵，乐乐拿的树苗数是欢欢的2倍，所以欢欢现在拿了36÷（2＋1）=12（棵）树苗，而乐乐现在拿了12×2＝24（棵）树苗，乐乐从欢欢那里抢走了6棵后是24棵，如果不抢，那么乐乐有树苗24-6＝18（棵），欢欢看乐乐拿得太多，去抢了10棵，如果欢欢不抢，那么乐乐就有 18＋10＝28（棵）。
　[精妙解答]
36÷5（1＋2）×2-6＋10=28（棵）。
　　答：乐乐最初拿了28棵树苗。
　　例4甲、乙、丙三组共有图书90本，乙组向甲组借3本后，又送给丙组5本，结果三个组拥有相等数目的图书。问：甲、乙、丙三个组原来各有多少本图书？
[精彩思路及解答]
尽管甲、乙、丙三个组之间将图书借来借去，但图书的总数90本没有变，由最后三个组拥有相同数目的图书知道，每个组都有图书90÷3＝30（本）。根据题目条件，原来各组的图书为
　　甲组有30＋3＝33（本），
　　乙组有30—3＋5＝32（本），
　　丙组有30—5＝25（本）。
　　例5、一捆电线，第一次用去全长的一半多3米，第二次用去余下的一半少10米，第三次用去15米，最后还剩7米，这捆电线原有多少米？
[精彩思路]
由逆推法知，第二次用完还剩下15＋7=22（米），第一次用完还剩下（22—10）×2＝24（米），原来电线长（24＋3）×2＝54（米）。
　 [精妙解答]
［（15＋7—10）×2＋3］×2＝54（米）。
　　答：这捆电线原有54米。
练习
[初试牛刀]
　　1.某数加上11，减去12，乘以13，除以14，其结果等于26，这个数是多少？
　　2.某数加上6，乘以6，减去6，其结果等于36，求这个数。
　　3.在125×□÷3×8—1=1999中，□内应填入什么数？
4.小乐爷爷今年的年龄数减去15后，除以4，再减去6之后，乘以10，恰好是100。问：小乐爷爷今年多少岁？
[挑战自我]
　　1.粮库内有一批面粉，第一次运出总数的一半多3吨，第二次运出剩下的一半少7吨，还剩4吨。问：粮库里原有面粉多少吨？
　 2.有一筐梨，甲取一半又一个，乙取余下的一半又一个，丙再取余下的一半又一个，这时筐里只剩下一个梨。这筐梨共值8.80元，那么每个梨值多少钱？
　 3.某人去银行取款，第1次取了存款的一半还多5元，第二次取了余下的一半还多10元，这时存折上还剩125元。问：此人原有存款多少元？
第三讲 巧求长方形、正方形的周长
（一）知识要点
我们知道：　长方形、正方形的公式看起来十分简单，但用途却十分广泛。用它们可以解决许多直角多边形(所有的角都是直角的多边形)的周长问题。这是因为直角多边形总可以分割成若干个正方形或长方形。
下面的图形都可以分割成若干个正方形或长方形，当然分割的方法不是唯一的。

由此，可以演变出许多只涉及正方形、长方形周长计算公式的题目。
（二）例题选讲
例1一个苗圃园(如左下图)，周边和中间有一些路供人行走(图中线段表示“路”)，几个小朋友在里面观赏时发现：从A处出发，在速度一样的情况下，只要是按“向右”、“向上”方向走，几个人分头走不同的路线，总会同时达到B处。你知道其中的道理吗？

分析与解：如右上图所示，将各个交点标上字母。由A处到B处，按“向右”、“向上”方向走，只有下面六条路线：
　　(1)A→C→D→E→B；
　　(2)A→C→O→E→B；
　　(3)A→C→O→F→B；
　　(4)A→H→G→F→B；
　　(5)A→H→O→E→B；
　　(6)A→H→O→F→B。
　　因为A→C与H→O，G→F的路程一样长，所以可以把它们都换成A→C；同理，将O→E，F→B都换成C→D；将A→H，C→O都换成D→E；将H→G，O→F都换成E→B。这样换过之后，就得到六条路线的长度都与第(1)条路线相同，而第(1)条路线的长“AD+DB”就是长方形的“长+宽”，也就是说，每条路线的长度都是“长+宽”。路程、速度都相同，当然到达B处的时间就相同了。
例2 计算下列图形的周长(单位：厘米)。

解：(1)将图中右上缺角处的线段分别向上、向右平行移动到虚线处(见左下图)，这样正好移补成一个正方形，所以它的周长为25×4=100(厘米)。

(2)与(1)类似，可以移补成一个长方形，周长为
(10＋15)×2=50(厘米)。[
例3 求下面两个图形的周长(单位：厘米)。

解：(1)与例2类似，可以移补成一个长(15＋10＋15)厘米、宽(12＋20)厘米的长方形，所以周长为
　　(15＋10＋15)×2＋(12＋20)×2＝144(厘米)。
　　(2)设想先把长20厘米的线段向上平移到两条长15厘米的线段中间，构成一个长60厘米，宽(15＋20＋15)厘米的长方形，此时，还有两条长35厘米的竖线段。所以周长为
　　60×2＋(15＋20＋15)×2＋35×2＝290(厘米)。
　　例4在一张纸上画出由四个边长为3厘米的正方形拼凑或组合成的图形(重叠的线段只算画一次)。显然，这个图形有多种多样的画法，下列各图是其中的一部分画法。在所有的这些画法中，
　　(1)哪种画法画出的线段总长最长？有多长？
　　(2)哪种画法画出的线段总长最短？有多长？

分析与解：画的线段重叠部分越少，画的线段就越长。反之，重叠部分越多，画的线段就越短。因此，类似图1那样画的线条最长，共画了
　　3×4×4=48(厘米)。
　　右图画的线条最短，共画了
　　(3＋3)×6=36(厘米)。

例5下图是一个方形螺线。已知两相邻平行线之间的距离均为1厘米，求螺线的总长度。

分析与解：如

左下图所示，按箭头方向转动虚线部分，于是得到了三个边长分别为3，5，7厘米的正方形和中间一个三边图形(见右下图)。所以螺线总长度为
　　(3＋5＋7)×4＋1×3=63(厘米)。

（三）练习
1.试求左下图的周长(单位：厘米)。

2.上页右下图是由边长为1厘米的11个正方形堆成的“土”字图形。试求出其周长。
3.右图是某小学教学楼的平面示意图，设计者在图上只标明了三条线段的长度(单位：米)。请你算出它的周长。

4.下图是由七个长5厘米、宽3厘米的相同长方形经过竖放、横放而成的图形。求这个图形的周长。

5.下面两图中的小方格的大小相同。图(1)的周长为48厘米，图(2)的周长等于多少？

6.如右图所示，一个正方形被分成了三个相同的长方形。如果其中一个长方形的周长是16米，那么这个正方形的周长是多少米？

（四）参考答案
1、 移动成长3+5+4、宽6+7的长方形，所以周长=（12+13）*2=50
2、移动成5+1的长方形，没有宽、长为4的长方形，再加上4段边。
（5+1）*2+2*4+4=24
3、移动成长50、宽28+16的长方形，所以周长=（50+28+16）*2=188
4、移动成长4*3+5*3、宽5的长方形，再加上6个（5-3）
所以（12+15+5）*2+6*2=76
5、图一移动成长5宽3的长方形，周长段为（5+3）*2=16，周长为48，每段为48/16=3，图二移动后为（7+1）*2+4=20，每段为3，共60。
6、把长方形的宽看作一份，长为3份。一个长方形的周长是8份，8份是16，1份是2，3份是6，正方形的周长是6*4=24

第四讲 图形计数
（五） 知识要点
小朋友，你想学会数图形的方法吗？要想不重复也不遗漏地数出线段、角、三角形……那就必须要有次序、有条理地数，从中发现规律，以便得到正确的结果。要正确数出图形的个数，关键是要从基本图形入手。首先要弄清图形中包含的基本图形是什么，有多少个，然后再数出由基本图形组成的新的图形，并求出它们的和。
（六） 例题选讲
例题1 数出下面图中有多少条线段？

[精彩思路]
我们可以采用以线段左端点分数数的方法，我们还可以把图中线段AB、BC、CD看作基本线段来数，
[精妙解答]
采用以线段左端点分数数的方法。
以A点为左端点的线段有：AB、AC、AD共3条；
以B点为左端点的线段有：BC、BD共2条；
以C点为左端点的线段有：CD共1条。
所以，图中共有线段3＋2＋1=6条。
我们还可以这样想：把图中线段AB、BC、CD看作基本线段来数，那么：
由1条基本线段构成的线段：AB、BC、CD共3条；
由2条基本线段构成的线段：AC、BD共2条；
由3条基本线段构成的线段：AD只1条。
所以，图中共有3＋2＋1=6条线段。
例题2 数出下图中有几个角。

[精彩思路]
数角的个数可以采用与数线段相同的方法来数。
[精妙解答]
以AO为一边的角有：∠AOB、∠AOC、∠AOD三个；
以BO为一边的角有：∠BOC、∠BOD两个；
以CO为一边的角有：∠COD一个。
所以图中共有3＋2＋1=6个角。
小朋友，如果把图中∠AOB、∠BOC、∠COD看作基本角，那应该怎样数呢？动动脑筋。
例题3 数出下面图中共有多少个三角形。

[精彩思路]
数三角形的个数也可以采用按边分类的方法来数，还可以数出图中三角形的个数，只需数出△ABE的底边中包含几条线段就可以了。
[精妙解答]
数三角形的个数也可以采用按边分类的方法来数。
以AB为边的三角形有：△ABC、△ABD、△ABE三个；
以AC为边的三角形有：△ACD、△ACE二个；
以AD为边的三角形有：△ADE一个。
所以图中共有三角形3＋2＋1=6个。
我们还发现，要数出图中三角形的个数，只需数出△ABE的底边中包含几条线段就可以了，即3＋2＋1=6条。所以图中共有6个三角形。
例题4 数出下图中有多少个长方形。

[精彩思路]
数图形中有多少个长方形和数三角形的方法一样，长方形是由长宽两对线段围成，线段CD上有3＋2＋1=6条线段，其中每一条与AC中一条线段对应，分别作为长方形的长和宽，这里共有6×1=6个长方形；而AC上共2＋1=3条线段也就有6×3=18个长方形。
[精妙解答]
长方形的总数=长边线段的总数×宽边线段的总数
6×3=18（个）长方形
例题5 有10个小朋友，每2个人照一张合影，一共要照多少张
[精彩思路]
这道题可以用数线段的方法来解答。根据题意，画出线段图，每一个点代表一个小朋友：

从图上可以看出，第1个小朋友要与其余9个小朋友合影，要照9张照片；第2个小朋友还要与其余8个小朋友合影，再照8张照片……以此类推，第9个小朋友只要再与1个小朋友合影，再照1张照片。
[精妙解答]
一共要照9＋8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1=45张照片。

练习
[初试牛刀]
1，数出下图中各有多少条线段？

2，数出下图中有几个角。

3、数出下面图中共有多少个三角形。

4、数出下图中有多少个长方形。

[挑战自我]
1，三年级有6个班，每两个班要比赛拔河一次，这样一共要组织多少场比赛？
2，有红、黄、蓝、白四只气球，如果每两只气球扎成一束，共有多少种不同的扎法？
3，有1——6六个数字，能组成多少个不同的两位数？

[参考答案]
[初试牛刀]
1、⑴ 4+3+2+1 = 10（条）
⑵ 5+4+3+2+1 = 15（条）
2、1+2+3 = 6（条）
3、⑴ 1+2 = 3（个）
⑵ 1+2+3+4 = 10（个）

4、⑴ （1+2+3+4）×（1+2）= 30（个）
⑵ （1+2+3+4）×（1+2+3）= 60（个）

[挑战自我]
1、假设班号为①、②、③、④、⑤、⑥。
①班和其他班比赛的场次是：①②、①③、①④、①⑤、①⑥，5场；
②班因为已经和①班比赛过，不能重复计算，还可以比赛的场次是：②③、②④、②⑤、②⑥，4场；
同理，③班还可以比赛的场次是：③④、③⑤、③⑥，3场；
同理，④班还可以比赛的场次是：④⑤、④⑥，2场；
同理，⑤班还可以比赛的场次是：⑤⑥，1场
共计：5+4+3+2+1 = 15（次）
2、可以扎的方法：红黄、红蓝、红白、黄蓝、黄白、黄、蓝白。
共计：3+2+1 = 6（种）
3、1可以和其他5个数组成5种：12、13、14、15、16；
2可以和其他4个数组成4种：23、24、25、26；
3可以和其他3个数组成3种：34、35、36；
4可以和其他2个数组成2种：45、46；
5可以和其他1个数组成1种：56。
与前面题目类型不同的是，这两个数可以颠倒，比如1、2，可以组成12或者21。
此题共有：（5+4+3+2+1）×2 = 30（种）

第五讲 和差问题
（一）知识要点
和差问题是小学数学常见的一种应用题，它在日常生活中应用很广泛，解题的关键在于找出题目中的和与差，再利用以下的数量关系式去解答，就显得容易了。
（和＋差）÷2＝较大的数； （和－差）÷2＝较少的数
或 和－较大的数＝较少的数； 和－较少的数＝较大的数
（二）例题选讲

[精彩思路]

[精妙解答]

（1）3△2=（3+2）÷2=2.5

[精妙思路]

[精妙解答]

[精彩思路]

[精妙解答]

[精彩思路]

[精妙解答]

[精妙思路]

[精妙解答]

练习
[初试牛刀]
1、学校做扫除，张娟和陈芳一共擦玻璃31块，又知张娟比陈芳少擦9块，张娟、陈芳各擦玻璃多少块？

2、小兰期末考试时语文和数学平均分是96分，数学比语文多4分，问小兰语文多少分？数学多少分？

3、今年弟弟16岁，哥哥20岁，当两人的年龄和是52时，弟弟多少岁。

4、一个两位数由两个数字组成，两个数字之和是 8 ，两个数字之差是 2，这个数是多少？
[挑战自我]
1、甲框里有苹果 30 千克，乙框里有桔子若干千克，如果从乙框里取出12千克桔子，苹果就比桔子多10千克，乙框原有桔子多少千克。

2、甲乙两船共载客623人，若甲船增加34人，乙船少57人，这时两船乘客同样多，甲船原来有乘客多少人。

3、 无线电厂、二厂共有工人864人，为了照顾工人就近上班，从一厂调入二厂32名工人，这样一厂工人数还比二厂多48，一厂、二厂原来各有工人多少人？

4、一部书有上、中、下三册，上册比中册贵5角，中册比下册贵7角，这样的四部书共值340角，上、中、下册多少角？

5、两筐苹果共重90千克，如果从第一框中取出6千克，放入第二筐后，两筐的重量相等，两筐苹果原来各多少千克？

6、两个水桶共盛水50千克，如果把第一桶里的水倒出6千克，两个水桶的水就一样多了。第一桶原盛水多少千克？

[参考答案]
[初试牛刀]
1、陈芳；（31÷9）÷2＝20（块） 张娟；20－9＝11块
2、数学（96×2＋4）＝98分 语文98－4＝94分
3、弟弟【52 －（20－16）】÷2＝24岁
4、（8＋2）÷2＝5 5－2＝3
[挑战自我]
1、30－10＋12＝32千克
2（623＋34－57）÷2＝266
3、 一厂；（864＋48）÷2＋32＝488人
二厂； 864－488＝376人
4、上；（342＋5＋5＋7）÷3＝119角
中；119－5＝114角
下；114－7＝107角
5、 90÷2－6＝39（千克） 90－39＝51（千克）
答； 第一筐有51千克， 第二筐有39千克
6、（50－6）÷ 2＝22（千克） 50－22＝28（千克）
答； 第一桶原盛水28千克。

第六讲 余数问题
（七） 知识要点
在三年级上期的学生开始初步接触有余数的除法，知道了余数必须比除数小，余数是余下的不能够再分（整数）的数。尽管学生初次接触，但余数这个概念在数学上有着非常重要的地位，故在此进行一些拓展。这里，主要介绍一些在整数范围内的余数问题。
1、利用直观体验的方法，使学生会观察、学会深入思考问题，从中领悟如何利用余数解决一些有关余数的实际问题，提高学生学习的能力，激发学生进一步学习数学的兴趣。
2、弄清一些数量关系：被除数÷除数＝商……余数；商×除数＋余数＝被除数；进一步弄清余数的两个性质：两个数相除，余数一定小于除数；两个数相除，若除数是a，那么，余数就有(a－1)种可能。

（八） 例题选讲
例1、如图：△○○△○○△○○…，那么,
⑴第13个图是什么形?
⑵第115个图是什么形?
[精彩思路]
通过观察可以看出这些图形的排列是有规律的，按照“△○○”一组，不断的在重复出现。
第一小题，可以让学生根据自己观察到的规律，自己接着往后面画，就能够得出第13个图形是什么图形了。
第二小题，学生根据观察的规律，如果再往后边画，到第115个图形，显然有些复杂，很花费时间。此时，再引导学生观察这样的一组“△○○”有3个图形，13里面最多能够有这样的几组？还剩下几个？学生很直观观察到了其结果。进一步引导用算式表示，并说出算式与图形之间的内在联系。用这样的思维来解决第二小题，从而提升学生解决问题的能力，并锻炼了其思维。
[精妙解答]
因为，是按照这样“△○○”3个为一组在不断的重复。
115÷3=38（组）……1（个）
所以，第115个图形应该是“△”。
例2、一段路上的树，按2棵桑树，3棵槐树，4棵柏树的顺序栽种，第50棵树是什么树?
[精彩思路]
学生按照2棵桑树，3棵槐树，4棵柏树的顺序画图，不难发现其中的规律按是2棵桑树，3棵槐树，4棵柏树为一组在不断地重复，故可以按照有余数的问题的思维来解决。
[精妙解答]
因为按2棵桑树，3棵槐树，4棵柏树为一组在不断地重复，
50÷9=4（组）……5（棵）
所以，第50棵树是槐树。
例3、今天是星期一，从今天算起第100天是星期几？
[精彩思路]
今天是星期一，求第100天是星期几，因为今天已经算第1天，实际上从明天算起第99天是星期几就是本题的解。
[精妙解答]
99÷7=14（周）……1（天）
99天共有14个星期又1天，今天是星期一，过14个星期还是星期一，再过一天就是星期二。
例4、有同样大小的红、黄、蓝三色珠子共360个，按先3个红色珠子，再2个黄色珠子，再4个蓝色珠子排列。三色珠子各是多少个？
[精彩思路]
按先3个红色珠子，再2个黄色珠子，再4个蓝色珠子排列，一个循环就是9（4＋2＋3=9），在360个珠子里包含有360÷9=40（个）循环（循环也称为周期）。以求黄珠子为例，每个周期里有2个黄色珠子，共40个周期，因此2×40=80（个），同理可求红珠子和蓝珠子的个数。
[精妙解答]
360÷（4＋2＋3）=40（个）
3×40=120（个）；2×40=80（个）；4×40=160（个）
例5、2008个学生按照下列的方法编号排列：
A B C D E
1 2 3 4 5
9 8 7 6
10 11 12 13
17 16 15 14
18 19 20 21
25 24 23 22
……
那么，最后一名学生应该排在第几列？
[精彩思路]
仔细观察排列规律，除1~5以外，从第二行开始8个数按一个循环依次不断地重复排列，每个循环的第一个数排列在Ｄ的后面。如果2008名学生先去掉5名，还剩下2008－5=2003（名）学生，把2003名学生按每8个一组，2003÷8=250（组）……3（名），从而得到所求的解。
[精妙解答]
（2008－5）÷8=250（组）……3（名）
所以，最后一名学生应该排在B列。

练习
[初试牛刀]
1、如图：○□□△△△○□□△△△○□□△△△……那么
①第38个图是什么形？ ②第121个图是什么形？ ③第60个图是什么形？

2、学校插彩旗，按照2面红旗，1面蓝旗，4面黄旗的顺序插旗子，这样第82的面是什么旗子？

3、有一堆围棋，按“二白三黑”的顺序排列，那么第31个是白子还是黑子？

4、国庆节挂灯，按“红、黄、红、蓝、绿”的顺序挂，一共挂了100盏，这些灯各有多少盏？

5、今年六月一日是星期三，那么今年八月一日是星期几？

6、下面有一列数：1、3、5、1、3、5、1、3、5……
①第32个数是几？

②这32个数的和是多少？

7、1993年9月1日是星期三，
①再过58日是星期几？
②那年的10月15日是星期几？

[挑战自我]
1、某年的9月1日是星期三，问该年的4月1日是星期几？

2、今年的1月1日是星期四，问今年的5月1日是星期几？

3、某年的十月里有五个星期六，4个星期日，问这年的10月1日是星期几？

[参考答案]
[初试牛刀]
1、①38÷6=6（组）……2（个），第38个图是□形。
②121÷6=20（组）……1（个），第121个图是○形。
③60÷6=10（组），第60个图是△形。

2、82÷（2+1+4）=11（组）……5（面）
所以，这样第82的面是黄旗子。

3、31÷（2+3）=6（组）……1（个）
所以，第31个是白子。

4、国庆节挂灯，按“红、黄、红、蓝、绿”的顺序挂，一共挂了100盏，这些灯各有多少盏？
100÷5=20（组）
2×20=40（盏），1×20=20（盏）
所以，红灯有40盏，黄、红、蓝、绿各有20盏。

5、（29+31+1）÷7=8（周）……5（天）
那么今年八月一日是星期一。

6、①32÷3=10（组）……2（个）第32个数是3。
②（1+3+5）×10+1+3=94.所以这32个数的和是94。

7、1993年9月1日是星期三，
①58÷7=8（周）……2（天），所以再过58日是星期五。
②（29+15）÷7=6（周）……2（天）那么，那年的10月15日是星期五。

[挑战自我]
1、（29+31+30+31+31+1）÷7=21（周）……5（天），那么该年的4月1日是星期五。

2、今年是2009年，是平年，所以二月只有28天。
（30+28+31+30+1）÷7=17（周）……1（天），那么，今年的5月1日是星期五。

3、这年的10月1日是星期三。
第七讲 竖式数字谜
（一） 知识要点
在竖式中，有一些待定的数字，如何根据运算法则和式子的结构特征，通过掌握数的加、减的“拆分”。关键是通过综合观察、分析，灵活运用运算法则和整数的性质，找出解题的“突破口”，把待定的数字确定出来，使原式成立。这里我们所用的数字都为整数中的数字。
（二）例题选讲
例1 在下面的竖式中，A，B，C，D各代表什么数字？

【精彩思路】：显然，C=5，D=1(因两个数字之和只能进一位)。
由于A＋4＋1即A＋5的个位数为3，且必进一位(因为4＞3)，
【精妙解答】C=5,D=1
A＋5=13，从而A＝13-5=8。
同理，由7＋B＋1=12，即B＋8＝12，得到B＝12-8＝4。
故所求的A=8，B=4，C=5，D=1。
例2 求下面各竖式中两个加数的各个数位上的数字之和：

（）（） （） （）
+ （）（） + （） （）
1 4 9 1 9 5
【精彩思路】：(1)由于和的个位数字是9，两个加数的个位数字之和不大于9＋9＝18，所以两个加数的个位上的两个方框里的数字之和只能是9。(这是“突破口”)
再由两个加数的个位数之和未进位，因而两个加数的十位数字之和就是14。
故这两个加数的四个数字之和是9＋14=23。
(2)由于和的最高两位数是19，而任何两个一位数相加的和都不超过18，因此，两个加数的个位数相加后必进一位。(这是“突破口”，与(1)不同)
这样，两个加数的个位数字相加之和是15，十位数字相加之和是18。
所求的两个加数的四个数字之和是15＋18＝33。
注意：(1)(2)两题虽然题型相同，但两题的“突破口”不同。(1)是从和的个位着手分析，(2)是从和的最高两位着手分析。
例3 在下面的竖式中，A，B，C，D，E各代表什么数？
A B C D
+ E B E D
E B C A D
[精彩思路]
由于四位数加上四位数其和为五位数，所以可以确定和的首位数字E=1。又因为个位上D+D=D，所以D=0。此时算式为：
A B C 0
+ 1 B 1 0
1 0 C A 0
下面分两种情况进行讨论：
（1） 若百位没有向千位进位，则由千位可确定A=9，由十位可确定C=8，由百位可确定B=4，由此得到问题的一个解。
（2） 若百位向千位进1，则由千位可确定A=8，由十位可确定C=7，百位上不论B为什么样的整数，B+B的个位都不可能为7，因此不成立。
【精妙解答】
9 4 8 0
+ 1 4 1 0
1 0 8 9 0
例4 在下面的竖式中，“车”、“马”、“炮”各代表一个不同的数字。请把这个文字式写成符合题意的数字式。
炮 车 车 炮
— 车 马 车
________________________
马 车 马
[精彩思路]
例3是从个位着手分析，而这里就只能从首位着手分析。
由一个四位数减去一个三位数的差是三位数知“炮”＝1
被减数与减数的百位数相同，其相减又是退位相减，所以，“马”＝9。至此，得到下式：
由上式知，个位上的运算也是退位减法，由11-“车”=9得到“车”＝2。
【精妙解答】
炮=1，马=9，11-车=9则车=2
因此，符合题意的数字式为：
1 2 2 1
- 2 9 2
9 2 9
例5 在下面的竖式中，“巧，填，式，谜”分别代表不同的数字，它们各等于多少？
谜
式谜
填式谜
+ 巧填式谜
2 0 0 0
[精彩思路]由(4×谜)的个位数是0知，“谜”＝0或5。
当“谜”＝0时，(3×式)的个位数是0，推知“式”＝0，与“谜”≠“式”矛盾。
当“谜”＝5时，个位向十位进2。
由(3×式+2)的个位数是0知，“式”＝6，且十位要向百位进2。
由(2×填+2)的个位数是0，且不能向千位进2知，“填”＝4。
　最后推知，“巧”＝1。
[精妙解答]“巧”＝1，“填”＝4，“式”=6，“谜”＝5。

练习
【初试牛刀】
1.在下面的乘法竖式中，每个汉字代表一个数字，不同的汉字代表不同的数字，那么“学”代表