八年级数学全等三角形一对一辅导讲义(2).doc

八数第三周辅导资料（TH）2016.09.16
辅导内容：全等三角形（2）
知识梳理：一、

二、寻找两个三角形全等的途径
（1）三角形全等的判定是这个单元的重点，也是平面几何的重点
　　 ①有两组对应角相等时；找
　　 ②有两组对应边相等时；找
　 　③有一边，一邻角相等时；找
　　 ④有一边，一对角相等时；找任一组角相等（AAS）

基础测试：
1．如图，若OA＝OB，OC＝OD，∠O＝50°，∠D＝35°，则∠AEC的度数为 ( )
A．60° B．50° C．45° D．30°
2．如图，小强利用全等三角形的知识测量池塘两端M，N的距离．若△PQO≌△NMO，则只需测出其长度的线段是 ( )
A．PO B．PQ C．MO D．MQ

3．已知△A1B1C1与△A2B2C2的周长相等，现有两个判断：①若A1B1＝A2B2，A1C＝A2C2，则△A1B1C1≌△A2B2C2；②若∠A1＝∠A2，∠B1＝∠B2，则△A1B1C1≌△A2B2C2．对于上述两个判断，下列说法正确的是 ( )
A．①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①②都错误 D．①②都正确
4．如图，已知点A，D，C，F在同一条直线上，AB＝DE，BC＝EF，要使△ABC≌△DEF，还需要添加一个条件是 ( )
A．∠BCA＝∠F B．∠B＝∠E C．BC∥EF D．∠A＝∠EDF
5．如图，为了使一扇旧木门不变形，木工师傅在木门的背面加钉了一根木条，这样做的道理是_______．
6．如图，OA＝OB，OC＝OD，若∠O＝60°，∠C＝25°，则∠BED＝_______．
第5题 第6题 第7题

7．如图，已知点C是∠AOB平分线上的点，点P，P'分别在OA，OB上，如果要得到OP＝OP'，需要添加以下条件中的某一个即可：①∠OCP＝∠OCP'；②∠OPC＝∠OP'C；③PC＝P'C；④PP'⊥OC．请你写出所有可能的结果的序号：_______．
8．若三角形的两边长分别为5和7，则第三边上的中线长x的取值范围是_______．

9．如图，在△ABC中，∠B=2∠C，且AD⊥BC于D．求证：CD=AB+BD．

例题讲解：
一、截取构全等
如下左图所示，OC是∠AOB的角平分线，D为OC上一点，F为OB上一点，若在OA上取一点E，使得OE=OF，并连接DE，则有△OED≌△OFD，从而为我们证明线段、角相等创造了条件。

例：如上右图所示，AB//CD，BE平分∠BCD，CE平分∠BCD，点E在AD上，求证：BC=AB+CD。
提示：在BC上取一点F使得BF=BA，连结EF。

二、角分线上点向角两边作垂线构全等
利用角平分线上的点到两边距离相等的性质来证明问题。如下左图所示，过∠AOB的平分线OC上一点D向角两边OA、OB作垂线，垂足为E、F，连接DE、DF。
则有：DE=DF，△OED≌△OFD。

例：如上右图所示，已知AB>AD, ∠BAC=∠FAC,CD=BC。求证：∠ADC+∠B=180 

三、作角平分线的垂线构造等腰三角形。
如下左图所示，从角的一边OB上的一点E作角平分线OC的垂线EF，使之与角的另一边OA相交，则截得一个等腰三角形（△OEF），垂足为底边上的中点D，该角平分线又成为底边上的中线和高，以利用中位线的性质与等腰三角形的三线合一的性质。
如果题目中有垂直于角平分线的线段，则延长该线段与角的另一边相交，从而得到一个等腰三角形，可总结为：“延分垂，等腰归”。

例1、如上右图所示，已知∠BAD=∠DAC，AB>AC,CD⊥AD于D，H是BC中点。
求证：DH=（AB-AC）
提示：延长CD交AB于点E，则可得全等三角形。问题可证。

例2、已知，如图，在Rt△ABC中，AB = AC，∠BAC = 90o，∠1 = ∠2 ，CE⊥BD的延长线于E,求证：BD = 2CE
提示：延长CE交BA的延长线于点F。

四、作平行线构造等腰三角形
作平行线构造等腰三角形分为以下两种情况：
①如下左图所示，过角平分线OC上的一点E作角的一边OA的平行线DE，从而构造等腰三角形ODE。
②如下右图所示，通过角一边OB上的点D作角平分线OC的平行线DH与另外一边AO的反向延长线相交于点H，从而构造等腰三角形ODH。

五、由中点想到的辅助线
在三角形中，如果已知一点是三角形某一边上的中点，那么首先应该联想到三角形的中线加倍延长中线及其相关性质（等腰三角形底边中线性质），然后通过探索，找到解决问题的方法。
（1）中线把原三角形分成两个面积相等的小三角形
即如图1，AD是ΔABC的中线，则SΔABD=SΔACD=SΔABC（因为ΔABD与ΔACD是等底同高的）。

例3、如图2，ΔABC中，AD是中线，延长AD到E，使DE=AD，DF是ΔDCE的中线。已知ΔABC的面积为2，求：ΔCDF的面积。

（2）倍长中线
已知中点、中线问题应想到倍长中线，由中线的性质可知，一条中线将中点所在的线段平分，可得到一组等边，通过倍长中线又可得到一组等边及对顶角，因而可以得到一组全等三角形。如图，延长AD到E，使得AD=AE，连结BE。

六、验证中点、中线问题，应构造平行线
如图，过B作BE平行AC交AD延长线于E。

例4．如图3，在等腰△ABC中，AB=AC，在AB上截取BD，在AC延长线上截取CE，且使CE=BD．连接DE交BC于F．求证：DF=EF．

反馈检测：
一、选择题（每题2分，共16分）
1．如图，已知△ACB≌△A'CB'，若∠BCB'＝30°，则∠ACA'的度数为 ( )
A．20° B．30° C．35° D．40°
2．工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法如下：如图，∠AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别取点M，N，使OM＝ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点M，N重合，过角尺顶点C作射线OC．由做法得△MOC≌△NOC的依据是 ( )

A．AAS B．SAS C．ASA D．SSS
3．如图，在△ABC和△DEC中，已知AB＝DE，还需要添加两个条件才能使△ABC≌△DEC，不能添加的一组是 ( )
A．BC＝EC，∠B＝∠E B．BC＝EC，AC＝DC
C．BC＝DC，∠A＝∠D D．∠B＝∠E，∠A＝∠D
4．如图，点B，C，E在同一条直线上，若△ABC与△CDE都是等边三角形，则下列结论不一定成立的是 ( )
A．△ACE≌△BCD B．△BGC≌△AFC
C．△DCG≌△ECF D．△ADB≌△CEA
5．在如图所示的4×4的正方形网格中，∠1＋∠2＋∠3＋么4＋∠5＋∠6－∠7的度数为 ( )
A．330° B．315° C．310° D．320°

6．如图，在△ABC中，AQ＝PQ，PR＝PS，若PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分别为点R，S，给出下列三个结论：①AS＝AR；②QP∥AR；③△BPR≌△QPS．其中正确的是 ( )
A．①②③ B．① C．①② D．①③
7．如图1，已知两个全等直角三角形的直角顶点及一条直角边重合．若将△ACB绕点C按顺时针方向旋转到△A'CB'的位置（图2），其中A'C交直线AD于点E．A'B'分别交直线AD，AC于点F，G，则在图2中，全等三角形共有 ( )
A．5对 B．4对 C．3对 D．2对
8．如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为点F，DE＝DG．若
△ADG和△AED的面积分别为50和39，则△EDF的面积为 ( )
A．11 B．5.5
C．7 D．3.5
二、填空题（每题2分，共20分）
9．如图所示是用七巧板拼成的一艘帆船，其中全等的三角形共有_______对．
10．如图，△ABC≌△DEF，请根据图中提供的信息，写出x＝_______．

11．如图，点B，E，C，F在一条直线上，AB∥DE，BE＝CF，请添加一个条件_______，
使△ABC≌△DFF．（写出一个即可）
12．如图，已知∠1＝∠2＝90°，如果AD＝AE，那么图中有_______对全等三角形．
13．如图，以△ABC的顶点A为圆心、BC长为半径作弧，再以顶点C为圆心、AB长为半径作弧，两弧交于点D，连接AD，CD．若∠B＝65°，则∠ADC＝_______．

14．在△ADB和△ADC中，给出下列条件：①BD＝DC，AB＝AC；②∠B＝∠C，∠BAD＝∠CAD；③∠B＝∠C，BD＝DC；④∠ADB＝∠ADC，BD＝DC．其中能得出△ADB≌△ADC的序号是_______．
15．如图，黄芳不小心把一块三角形的玻璃打成三块碎片，现要带其中一块去配出
与原来完全一样的玻璃，正确的办法是带第_______块去配，其依据是定理_______（可以用字母简写）．
16．如图，D为Rt△ABC斜边BC上的一点，且BD－AB，过点D作BC的垂线，交AC于点E，若AE＝12cm，则DE的长为_______cm．

17．如图，在△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，垂足分别为点D，E，AD与BE相交于点F，若BF＝AC，则∠ABC＝_______．
18．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝10，BC＝5，线段PQ＝AB，P，Q两点分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AO上运动，当AP＝_______时，△ABC≌△QPA．
三、解答题（共64分）
19．（本题6分）如图，已知△ABC≌△DEF，∠A＝85°，∠B＝60°，AB＝8，EH＝2．
(1)求么F的度数与DH的长；
(2)求证：AB∥DE．

20．（本题6分）如图，已知在△ABC中，D为BC上的一点，AD平分∠EDC，且∠E＝∠B，ED＝DC．求证：AB＝AC．

21．（本题6分）如图，已知点B，C，D，E在同一条直线上，AB＝FC，AD＝FE，BC＝DE，探索AB与FC的位置关系？并说明理由．

22．（本题6分）有两块完全相同的三角形纸板ABC和DEF，按如图所示的方式叠放，阴影部分为重叠部分，点O为边AC和DF的交点．
(1)不重叠的两部分△AOF与△DOC是否全等？为什么？
(2)连接BO，求证：BO平分∠ABD．

23．（本题6分）在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN，BE⊥MN，垂足分别为点D，E．求证：DE＝AD＋BE．

24．（本题8分）如图，把一个Rt△ACB（∠ACB＝90°）绕着顶点B按顺时针方向旋转60°，使得点C旋转到边AB上的一点D，点A旋转到点E的位置．F，G分别是BD，BE上的点，BF＝BG，延长CF与DG交于点H．
(1)求证：CF＝DG；
(2)求∠FHG的度数．

25．（本题8分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AE是边BC上的中线，过点C作CF⊥AE，垂足为点F，过点B作BD⊥BC交CF的延长线于点D．
(1)求证：AE＝CD；
(2)若AC＝12cm，求BD的长．

26．（本题8分）如图，两根旗杆间相距12m，某人从点B沿BA走向点A，一段时间后他到达点M，此时他仰望旗杆的顶点C和D，两次视线的夹角为90°，且CM＝DM．已知旗杆AC的高为3m，此人的运动速度为1m/s，求这个人运动了多长时间．

27．（本题10分）如图，已知CE⊥AB，BD⊥AC，垂足分别为点E，D，BD与CE交于点O，且AO平分∠BAC．
(1)图中有多少对全等三角形？请一一列举出来（不必说明理由）．
(2)小明说：欲证BE＝CD，可先证明△AOF≌△AOD，得到AE＝AD，再证明△ADB≌△AEC．得到AB＝AC，然后利用等式的性质得到BE＝CD，请问他的说法正确吗？如果正确，请按照他的说法写出推导过程；如果不正确，请说明理由．
(3)要得到BE＝CD，你还有其他思路吗？若有，请写出推理过程．

基础测试参考答案
1.A 2.B 3.D 4.B 5．三角形具有稳定性 6.70° 7.①②④ 8.1<x<6

9.∠B＝∠D． 10．略
反馈检测参考答案
一、选择题
1．B 2．D 3．C 4．D 5．B 6．C 7．B 8．B
二、填空题
9．2 10．20 11．∠A＝∠D或AB＝DE或∠ACB＝∠DFE或AC∥DF 12．3 13．65° 14．①②④ 15．③．ASA 16．12 17．45° 18．5
三、解答题
19．(1)6 (2)略
20．jj
21．AB//FC．
22．(1)不重叠的两部分△AOF与△DOC全等 (2)略
23．略
24．(1) 略 (2)120°
25．(1) 略 (2)6cm
26．3s
27．(1)图中有4对全等三角形，分别是△ADB≌△AEC，△ADO≌△AEO，△AOB≌△AOC，△EOB≌△DOC (2)正确．

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