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事件与概率
一、事件
(一).事件的概念
1.现象
确定性现象:结果事先可以肯定
随机现象: 结果事先无法肯定
2.随机试验
对随机现象进行的试验和观察称为随机试验.具有以下特点:
(1).可在相同条件下重复进行；
(2).试验可能结果不止一个,但能确定所有的可能结果;
(3).一次试验之前无法确定具体是哪种结果出现
3.样本空间
随机试验的所有可能结果所组成的集合称为样本空间，记为,试验的每一个结果称为一个样本点.
4.随机事件:
样本空间的子集称为随机事件.
5. 事件的种类
(1).基本事件:由一个样本点组成的单点集.
(2).必然事件
(3).不可能事件
(二).事件间的关系
1.事件的包含：事件发生必然导致事件发生，则称事件包含事件,记为或.
2.事件的相等：若且,称事件,相等,记为.
(三).事件的运算
1.事件的和:“事件与至少有一个发生”是一个新的事件,称为事件与的和,记为或.
2.事件的积:“事件与同时发生”是一个新的事件,称为事件与的积,记为或.
3.事件的差:“事件发生而不发生”是一个新的事件,称为事件与的差,记为.
4.互不相容：若事件与事件不能同时发生，即，则称事件与是互不相容的事件
5.对立事件：“不发生”是一个新的事件,称为的对立事件,记为.
(四).事件的运算性质：
1.交换律:,
2.结合律:,
3.分配律:,
4、对偶律
可推广为：
(五).实例
例1：设为三个事件,用的运算表示下列事件:
(1) 都发生;
(2) 发生,不发生; 或
(3) 都不发生;
(4) 中至少有一个发生而不发生; 或
(5) 中至少有一个发生;
(6) 中至多有一个发生; +++或
++
(7) 中至多有两个发生; ++或或
+++
(8) 中恰有两个发生. ++
例2：观察张明的寿命情况，记表示事件:张明能活到50岁，表示事件:张明能活到55岁，问具有何种关系？（填 ，等）
例3：设是同一试验的三个事件,
则0
二、概率
(一).概率的概念
1.概率: 随机事件发生的可能性大小的量度称为的概率,记为.
2.频率: 若事件在次重复试验中出现次,称比值为在次重复试验中出现的频率,记为.
1.概率的性质:
(1) 非负性:
(2) 规范性:
(3) 可列可加性：设,,是一列两两互不相容的事件，即，且 (i¹j),有

推广:
有限可加性：设,,是一列两两互不相容的事件，即，且 (i¹j),有
.
(4) 单调不减性：若事件，则
(5) 互补性：.
三、概率的计算---------模型法
(一). 古典概型
1.概念
若随机试验的样本空间满足，
(1).有限性： 仅有个样本点;
(2).等可能性：各样本点出现的几率一样,即.
则称随机试验为古典概型，其概率定义如下：
设事件中含个样本点，则有
2.实例
例1:有三个子女的家庭,设每个孩子是男是女的概率相等,则至少有一个男孩的概率是多少?
解:设--至少有一个男孩,以H表示某个孩子是男孩,以T表示某个孩子是女孩，
={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,TTH,THT,TTT},
{HHH,HHT,HTH,THH,HTT,TTH,THT},

例2:从五双鞋子中任选4只,问这四只鞋子中至少有两只配成一双的概率是多少?
解:设--这四只鞋子中没有两只能配成一双,,
.
（如何求？
第一步：从五双鞋子中任选4双鞋子，共有种选法。
第二步：在选出的四双鞋子中，各选1只，共有种选法。
第三步：在选出的四只鞋子中没有两只能配成一双的情形有）
或
例3:一个班级中有个人,问至少有两人生日相同的概率为多少?
解:设:个人生日各不相同,则,
至少有两人生日相同的概率为
(二). 几何概型
1.概念
若随机试验的样本空间充满维空间中的一个区域,且落在区域中的概率仅同的测度成正比,同的形状无关,则.
2.实例
例:甲乙两人约定在7:00-8:00之间见面,且两人在7:00-8:00之间任一时刻到达见面地点均是等可能的,并约定:先到者须等15分钟未等着方可离去,问两人能见面的概率为多少?
解:设:两人能见面,且设甲乙两人分别在7点分和7点分到达见面地点,则
而
则.
(三).二项分布
1.贝努里试验
重重复试验满足:
(1).每次试验仅有2个结果;
(2).每次试验中出现的概率,出现的概率都不变;
(3).各次试验独立
则称随机试验为重贝努里试验.
2.二项分布
记重贝努里试验中出现的次数为,则,且

3.实例
例:一张试卷共20道四择一选择题,一人在毫无准备的情况下参加考试,问能通过考试的概率为多少?
解:设为答对的题数,则～,即
能通过考试的概率为
四、概率的计算---------公式法
(一). 加法公式
1.
2.
推广:
3.
(二). 乘法公式
1.条件概率:如果是随机试验的两个事件，且，则称事件发生的条件下事件的概率为发生的条件下发生的条件概率，记为.
2.条件概率的计算:
3.乘法公式:
推广:
4.实例
例:三个人通过抓阄分一张电影票,问公平吗?
解: 记:第人抓到阄,
,
,
.
(三). 全概率公式与贝叶斯公式
1. 全概率公式:设有一组事件满足：
(1). 两两互不相容,即.
(2).
则
2. 贝叶斯公式
设有一组事件满足：
(1). 两两互不相容,即.
(2).
则 .
例：用甲胎蛋白法检测肝癌。已知某地肝癌患病率，根据临床统计，正常人经甲胎蛋白法检测呈“+”性为5﹪，病人经甲胎蛋白法检测呈“+”性为95﹪，问随机抽一人发现呈“+”性，问该人患病的概率有多大？
解：记：随机抽一人恰是肝癌患者，：随机抽一人发现呈“+”性，
则

=0.087，并不高！该方法有效吗？
(四). 独立性公式
1.两个事件的独立性
(1)概念: 两个事件满足,称相互独立.
(2)本质: 两个事件相互独立的充要条件为.
(3)性质: 下列4组事件中如有一组独立,则其余3组也独立.
; ; ; .
2.三个事件的独立性
若三个事件满足：
,
,
,

则称事件A、B、C相互独立.
3.多个事件的独立性
一般地，设是个事件，
如果对任意,任意的，都具有等式

则称个事件相互独立.
例：设有枚导弹攻击敌机，每枚导弹击中敌机的概率为0.6，问欲以99﹪的把握击中敌机，至少需要几枚导弹？
解：设需枚，并设：第枚导弹击中敌机，则，据题意
，
取即至少需要5枚导弹.
五、概率的计算举例
例1. 设为三个事件,已知:

试求
解 0.3+0.8-0.2=0.9;
0.3-0.2=0.1;

=0.3+0.8+0.6-0.2-0-0.6+0=0.9.
注: 因为 , 所以即
例2. 将一颗骰子投掷两次, 依次记录所得点数, 试求:
(1)两骰子点数相同的概率;
解 用表示“点数相同”, 则
={(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6)}.
因为样本空间的样本点数为36, 的样本点数为6, 所以
.
(2)两数之差的绝对值为1的概率;
解 用表示“两数之差的绝对值为1”, 则
={(1, 2), (2, 1), (2, 3), (3, 2), (3, 4), (4, 3), (4, 5), (5, 4),
(5, 6), (6, 5)}.
因为样本空间的样本点数为36, 的样本点数为10, 所以
.
(3)两数之乘积小于等于12的概率.
解 用表示“两数之乘积小于等于12”, 则
={(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6),
(2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6),
(3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4),
(4, 1), (4, 2), (4, 3),
(5, 1), (5, 2),
(6, 1), (6, 2)}.
因为样本空间的样本点数为36, 的样本点数为23, 所以
.
例3：已知, , ,试求
(1); (2) ; (3) ; (4) .
解 (1) .
(2) .
(3) .
(4)
.
例4：已知 , , , 求
(1). (2). (3).
解 ,
(1). .
(2) .
(3) .
例5：将S，C，I，E，N，C，E随机排成一排，问恰好能组成science一词的概率是多大？
解1：
解2：用事件表示：抽到第1个为S ,抽到第2个为C ,抽到第3个为I,抽到第4个为C,抽到第5个为E , 抽到第6个为C,抽到第7个为E,则
=
例6：甲乙丙3部机床独立工作，由一人照管，某段时间内它们不需人照管的概率分别为0.9,0.8及0.85，问这段时间内有机床需人照管的概率及因无人照管而停工的概率是多大？
解：用分别表示这段时间内机床甲乙丙不需人照管，
则，,
这段时间内有机床需人照管的概率为
==0.388.
因无人照管而停工的概率为
=
=++
---
+
=++-2
=++-
例7.甲城电话局有5个分机专供与乙地通话，设每个分机在1小时内平均占线20分钟，并且各分机是否占线相互独立，问甲乙两城应设几条线路才能保证甲乙两城通话的畅通率不小于0.95？
解：设为5个分机中被使用的台数，则
～，

甲乙两城应设3条线路才能保证甲乙两城通话的畅通率不小于0.95
例8. 设有来自三个地区的各10名、15名和25名考生的报名表，其中女生的报名表分别为3份、7份和5份，随机地抽取一个地区的报名表，从中先后抽取两份。
(1).求先抽到的一份是女生表的概率。
(2).已知后抽到的一份是男生表，求先抽到的一份是女生表的概率。
解：设：抽到第个地区报名表，，
：第次抽到男生表，，
则，,,
所以
(1). ,
(2).
,
,,

,
,
,,

,
.
例9. 设甲地下雨的概率是0.5, 乙地下雨的概率是0.3, 甲、乙两地同时下雨的概率是0.10, 试求:
(1).已知甲地下雨的条件下, 乙地下雨的概率;
(2).已知甲、乙两地中至少有一地下雨的条件下, 甲地下雨的概率.
解
(1).用表示“甲地下雨”, 表示“乙地下雨”, 表示“丙地下雨”, 则
, ,
所求概率为.
(2).所求概率为
.
例10. 设某人按如下原则决定某日的活动: 如该天下雨则以0.2的概率外出购物, 以0.8的概率去探访朋友; 如该天不下雨, 则以0.9的概率外出购物, 以0.1的概率去探访朋友. 设某地下雨的概率是0.3.
(1).试求那天他外出购物的概率;
(2).若已知他那天外出购物, 试求那天下雨的概率.
解 用表示“该天下雨”, 用表示“外出购物”, 则
， , P(`B|A)=0.8, P(B|`A)=0.9, P(`B|`A)=0.1, P(A)=0.3.
(1).所求概率为

(2).所求概率为
.
例11. 设在某一男、女人数相等的从群中, 已知5%的男人和0.25%的女人患有色盲. 今从该人群中随机地选择一人, 试问:
(1)该人患有色盲的概率是多少？
(2)若已知该人患有色盲, 那么他是男性的概率是多少？
解 用表示“选到男”, 用表示“所选的人是色盲”, 则
, , .
(1) 所求概率为

(2) 所求概率为
.
例12. 甲、乙、丙三门大炮对某敌机进行独立射击, 设每门炮的命中率依次为0.7, 0.8, 0.9. 若敌机被命中两弹或两弹以上则被击落, 设三门炮同时射击一次, 试求敌机被击落的概率.
解 用表示“甲命中”,表示“乙命中”,表示“乙命中”,表示“敌机被击落”, 则, ,
所求概率为

.