2017年江苏省连云港市中考数学试卷(含答案解析版).doc

2017年江苏省连云港市中考数学试卷
一、选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上．
1．（3分）2的绝对值是（　　）
A．﹣2 B．2 C．﹣ D．
2．（3分）计算a•a2的结果是（　　）
A．a B．a2 C．2a2 D．a3
3．（3分）小广、小娇分别统计了自己近5次数学测试成绩，下列统计量中能用来比较两人成绩稳定性的是（　　）
A．方差 B．平均数 C．众数 D．中位数
4．（3分）如图，已知△ABC∽△DEF，AB：DE=1：2，则下列等式一定成立的是（　　）

A．= B．= C．= D．=
5．（3分）由6个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，比较它的正视图、左视图和俯视图的面积，则（　　）

A．三个视图的面积一样大 B．主视图的面积最小
C．左视图的面积最小 D．俯视图的面积最小
6．（3分）关于的叙述正确的是（　　）
A．在数轴上不存在表示的点 B．=+
C．=±2 D．与最接近的整数是3
7．（3分）已知抛物线y=ax2（a＞0）过A（﹣2，y1）、B（1，y2）两点，则下列关系式一定正确的是（　　）
A．y1＞0＞y2 B．y2＞0＞y1 C．y1＞y2＞0 D．y2＞y1＞0
8．（3分）如图所示，一动点从半径为2的⊙O上的A0点出发，沿着射线A0O方向运动到⊙O上的点A1处，再向左沿着与射线A1O夹角为60°的方向运动到⊙O上的点A2处；接着又从A2点出发，沿着射线A2O方向运动到⊙O上的点A3处，再向右沿着与射线A3O夹角为60°的方向运动到⊙O上的点A4处；…按此规律运动到点A2017处，则点A2017与点A0间的距离是（　　）

A．4 B．2 C．2 D．0

二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分，不需要写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上．
9．（3分）分式有意义的x的取值范围为　 　．
10．（3分）计算（a﹣2）（a+2）=　 　．
11．（3分）截至今年4月底，连云港市中哈物流合作基地累计完成货物进、出场量6800000吨，数据6800000用科学记数法可表示为　 　．
12．（3分）已知关于x的方程x2﹣2x+m=0有两个相等的实数根，则m的值是　 　．
13．（3分）如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F．若∠EAF=56°，则∠B=　 　°．

14．（3分）如图，线段AB与⊙O相切于点B，线段AO与⊙O相交于点C，AB=12，AC=8，则⊙O的半径长为　 　．

15．（3分）设函数y=与y=﹣2x﹣6的图象的交点坐标为（a，b），则+的值是　 　．
16．（3分）如图，已知等边三角形OAB与反比例函数y=（k＞0，x＞0）的图象交于A、B两点，将△OAB沿直线OB翻折，得到△OCB，点A的对应点为点C，线段CB交x轴于点D，则的值为　 　．（已知sin15°=）

三、解答题：本大题共11小题，共102分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（6分）计算：﹣（﹣1）﹣+（π﹣3.14）0．
18．（6分）化简：•．
19．（6分）解不等式组：．
20．（8分）某校举行了“文明在我身边”摄影比赛．已知每幅参赛作品成绩记为x分（60≤x≤100）．校方从600幅参赛作品中随机抽取了部分参赛作品，统计了它们的成绩，并绘制了如下不完整的统计图表．
“文明在我身边”摄影比赛成绩统计表
分数段
频数
频率
60≤x＜70
18
0.36
70≤x＜80
17
c
80≤x＜90
a
0.24
90≤x≤100
b
0.06
合计

1
根据以上信息解答下列问题：
（1）统计表中c的值为　 　；样本成绩的中位数落在分数段　 　中；
（2）补全频数分布直方图；
（3）若80分以上（含80分）的作品将被组织展评，试估计全校被展评作品数量是多少？

21．（10分）为落实“垃圾分类”，环卫部门要求垃圾要按A，B，C三类分别装袋、投放，其中A类指废电池，过期药品等有毒垃圾，B类指剩余食品等厨余垃圾，C类指塑料、废纸等可回收垃圾．甲投放了一袋垃圾，乙投放了两袋垃圾，这两袋垃圾不同类．
（1）直接写出甲投放的垃圾恰好是A类的概率；
（2）求乙投放的垃圾恰有一袋与甲投放的垃圾是同类的概率．
22．（10分）如图，已知等腰三角形ABC中，AB=AC，点D、E分别在边AB、AC上，且AD=AE，连接BE、CD，交于点F．
（1）判断∠ABE与∠ACD的数量关系，并说明理由；
（2）求证：过点A、F的直线垂直平分线段BC．

23．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，过点A（﹣2，0）的直线交y轴正半轴于点B，将直线AB绕着点O顺时针旋转90°后，分别与x轴、y轴交于点D、C．
（1）若OB=4，求直线AB的函数关系式；
（2）连接BD，若△ABD的面积是5，求点B的运动路径长．

24．（10分）某蓝莓种植生产基地产销两旺，采摘的蓝莓部分加工销售，部分直接销售，且当天都能销售完，直接销售是40元/斤，加工销售是130元/斤（不计损耗）．已知基地雇佣20名工人，每名工人只能参与采摘和加工中的一项工作，每人每天可以采摘70斤或加工35斤．设安排x名工人采摘蓝莓，剩下的工人加工蓝莓．
（1）若基地一天的总销售收入为y元，求y与x的函数关系式；
（2）试求如何分配工人，才能使一天的销售收入最大？并求出最大值．
25．（10分）如图，湿地景区岸边有三个观景台A、B、C．已知AB=1400米，AC=1000米，B点位于A点的南偏西60.7°方向，C点位于A点的南偏东66.1°方向．
（1）求△ABC的面积；
（2）景区规划在线段BC的中点D处修建一个湖心亭，并修建观景栈道AD．试求A、D间的距离．（结果精确到0.1米）
（参考数据：sin53.2°≈0.80，cos53.2°≈0.60，sin60.7°≈0.87，cos60.7°≈0.49，sin66.1°≈0.91，cos66.1°≈0.41，≈1.414）．

26．（12分）如图，已知二次函数y=ax2+bx+3（a≠0）的图象经过点A（3，0），B（4，1），且与y轴交于点C，连接AB、AC、BC．
（1）求此二次函数的关系式；
（2）判断△ABC的形状；若△ABC的外接圆记为⊙M，请直接写出圆心M的坐标；
（3）若将抛物线沿射线BA方向平移，平移后点A、B、C的对应点分别记为点A1、B1、C1，△A1B1C1的外接圆记为⊙M1，是否存在某个位置，使⊙M1经过原点？若存在，求出此时抛物线的关系式；若不存在，请说明理由．

27．（14分）问题呈现：
如图1，点E、F、G、H分别在矩形ABCD的边AB、BC、CD、DA上，AE=DG，求证：2S四边形EFGH=S矩形ABCD．（S表示面积）
实验探究：
某数学实验小组发现：若图1中AH≠BF，点G在CD上移动时，上述结论会发生变化，分别过点E、G作BC边的平行线，再分别过点F、H作AB边的平行线，四条平行线分别相交于点A1、B1、C1、D1，得到矩形A1B1C1D1．
如图2，当AH＞BF时，若将点G向点C靠近（DG＞AE），经过探索，发现：2S四边形EFGH=S矩形ABCD+S．
如图3，当AH＞BF时，若将点G向点D靠近（DG＜AE），请探索S四边形EFGH、S矩形ABCD与S之间的数量关系，并说明理由．
迁移应用：
请直接应用“实验探究”中发现的结论解答下列问题：
（1）如图4，点E、F、G、H分别是面积为25的正方形ABCD各边上的点，已知AH＞BF，AE＞DG，S四边形EFGH=11，HF=，求EG的长．
（2）如图5，在矩形ABCD中，AB=3，AD=5，点E、H分别在边AB、AD上，BE=1，DH=2，点F、G分别是边BC、CD上的动点，且FG=，连接EF、HG，请直接写出四边形EFGH面积的最大值．

2017年江苏省连云港市中考数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上．
1．（3分）2的绝对值是（　　）
A．﹣2 B．2 C．﹣ D．
【分析】计算绝对值要根据绝对值的定义求解．第一步列出绝对值的表达式；第二步根据绝对值定义去掉这个绝对值的符号．
【解答】解：2的绝对值是2．
故选：B．

【点评】此题考查了绝对值的性质，属于基础题，解答本题的关键是掌握正数的绝对值是它本身．

2．（3分）计算a•a2的结果是（　　）
A．a B．a2 C．2a2 D．a3
【分析】根据同底数幂的乘法，可得答案．
【解答】解：a•a2=a3，
故选：D．
【点评】本题考查了同底数幂的乘法，熟记法则并根据法则计算是解题关键．

3．（3分）小广、小娇分别统计了自己近5次数学测试成绩，下列统计量中能用来比较两人成绩稳定性的是（　　）
A．方差 B．平均数 C．众数 D．中位数
【分析】根据方差的意义：体现数据的稳定性，集中程度，波动性大小；方差越小，数据越稳定．要比较两位同学在五次数学测验中谁的成绩比较稳定，应选用的统计量是方差．
【解答】解：由于方差反映数据的波动情况，应知道数据的方差．
故选：A．
【点评】此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义．反映数据集中程度的统计量有平均数、中位数、众数方差等，各有局限性，因此要对统计量进行合理的选择和恰当的运用．

4．（3分）如图，已知△ABC∽△DEF，AB：DE=1：2，则下列等式一定成立的是（　　）

A．= B．=
C．= D．=
【分析】根据相似三角形的性质判断即可．
【解答】解：∵△ABC∽△DEF，
∴=，A不一定成立；
=1，B不成立；
=，C不成立；
=，D成立，
故选：D．
【点评】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的对应角相等，对应边的比相等、相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比、相似三角形的面积的比等于相似比的平方是解题的关键．

5．（3分）由6个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，比较它的正视图、左视图和俯视图的面积，则（　　）

A．三个视图的面积一样大 B．主视图的面积最小
C．左视图的面积最小 D．俯视图的面积最小
【分析】首先根据立体图形可得俯视图、主视图、左视图所看到的小正方形的个数，再根据所看到的小正方形的个数可得答案．
【解答】解：主视图有5个小正方形，左视图有3个小正方形，俯视图有4个小正方形，
因此左视图的面积最小．
故选：C．
【点评】此题主要考查了组合体的三视图，关键是注意所有的看到的棱都应表现在三视图中．

6．（3分）关于的叙述正确的是（　　）
A．在数轴上不存在表示的点 B．=+
C．=±2 D．与最接近的整数是3
【分析】根据数轴上的点与实数是一一对应的关系，实数的加法法则，算术平方根的计算法则计算即可求解．
【解答】解：A、在数轴上存在表示的点，故选项错误；
B、≠+，故选项错误；
C、=2，故选项错误；
D、与最接近的整数是3，故选项正确．
故选：D．
【点评】考查了实数与数轴，实数的加法，算术平方根，关键是熟练掌握计算法则计算即可求解．

7．（3分）已知抛物线y=ax2（a＞0）过A（﹣2，y1）、B（1，y2）两点，则下列关系式一定正确的是（　　）
A．y1＞0＞y2 B．y2＞0＞y1 C．y1＞y2＞0 D．y2＞y1＞0
【分析】依据抛物线的对称性可知：（2，y1）在抛物线上，然后依据二次函数的性质解答即可．
【解答】解：∵抛物线y=ax2（a＞0），
∴A（﹣2，y1）关于y轴对称点的坐标为（2，y1）．
又∵a＞0，0＜1＜2，
∴y2＜y1．
故选：C．
【点评】本题主要考查的是二次函数的性质，熟练掌握二次函数的对称性和增减性是解题的关键．

8．（3分）如图所示，一动点从半径为2的⊙O上的A0点出发，沿着射线A0O方向运动到⊙O上的点A1处，再向左沿着与射线A1O夹角为60°的方向运动到⊙O上的点A2处；接着又从A2点出发，沿着射线A2O方向运动到⊙O上的点A3处，再向右沿着与射线A3O夹角为60°的方向运动到⊙O上的点A4处；…按此规律运动到点A2017处，则点A2017与点A0间的距离是（　　）

A．4 B．2 C．2 D．0
【分析】根据题意求得A0A1=4，A0A2=2，A0A3=2，A0A4=2，A0A5=2，A0A6=0，A0A7=4，…于是得到A2017与A1重合，即可得到结论．
【解答】解：如图，∵⊙O的半径=2，
由题意得，A0A1=4，A0A2=2，A0A3=2，A0A4=2，A0A5=2，A0A6=0，A0A7=4，…
∵2017÷6=336…1，
∴按此规律运动到点A2017处，A2017与A1重合，
∴A0A2017=2R=4．
故选A．

【点评】本题考查了图形的变化类，等边三角形的性质，解直角三角形，正确的作出图形是解题的关键．

二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分，不需要写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上．
9．（3分）分式有意义的x的取值范围为　x≠1　．
【分析】分式有意义时，分母不等于零．
【解答】解：当分母x﹣1≠0，即x≠1时，分式有意义．
故答案是：x≠1．
【点评】本题考查了分式有意义的条件．从以下三个方面透彻理解分式的概念：
（1）分式无意义⇔分母为零；
（2）分式有意义⇔分母不为零；
（3）分式值为零⇔分子为零且分母不为零．

10．（3分）计算（a﹣2）（a+2）=　a2﹣4　．
【分析】根据平方差公式求出即可．
【解答】解：（a﹣2）（a+2）=a2﹣4，
故答案为：a2﹣4．
【点评】本题考查了平方差公式，能熟记平方差公式的内容是解此题的关键．

11．（3分）截至今年4月底，连云港市中哈物流合作基地累计完成货物进、出场量6800000吨，数据6800000用科学记数法可表示为　6.8×106　．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将6800000用科学记数法表示为：6.8×106．
故答案为：6.8×106．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

12．（3分）已知关于x的方程x2﹣2x+m=0有两个相等的实数根，则m的值是　1　．
【分析】根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△=4﹣4m=0，解之即可得出结论．
【解答】解：∵关于x的方程x2﹣2x+m=0有两个相等的实数根，
∴△=（﹣2）2﹣4m=4﹣4m=0，
解得：m=1．
故答案为：1．
【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当△=0时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键．

13．（3分）如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F．若∠EAF=56°，则∠B=　56　°．

【分析】根据四边形的内角和等于360°求出∠C，再根据平行四边形的邻角互补列式计算即可得解．
【解答】解：∵AE⊥BC，AF⊥CD，
∴∠AEC=∠AFC=90°，
在四边形AECF中，∠C=360°﹣∠EAF﹣∠AEC﹣∠AFC=360°﹣56°﹣90°﹣90°=124°，
在▱ABCD中，∠B=180°﹣∠C=180°﹣124°=56°．
故答案为：56．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，四边形的内角和，熟记平行四边形的邻角互补是解题的关键．

14．（3分）如图，线段AB与⊙O相切于点B，线段AO与⊙O相交于点C，AB=12，AC=8，则⊙O的半径长为　5　．

【分析】连接OB，根据切线的性质求出∠ABO=90°，在△ABO中，由勾股定理即可求出⊙O的半径长．
【解答】解：连接OB，
∵AB切⊙O于B，
∴OB⊥AB，
∴∠ABO=90°，
设⊙O的半径长为r，
由勾股定理得：
r2+122=（8+r）2，
解得r=5．
故答案为：5．

【点评】本题考查了切线的性质和勾股定理的应用，关键是得出直角三角形ABO，主要培养了学生运用性质进行推理的能力．

15．（3分）设函数y=与y=﹣2x﹣6的图象的交点坐标为（a，b），则+的值是　﹣2　．
【分析】由两函数的交点坐标为（a，b），将x=a，y=b代入反比例解析式，求出ab的值，代入一次函数解析式，得出2a+b的值，将所求式子通分并利用同分母分式的加法法则计算后，把ab及2a+b的值代入即可求出值．
【解答】解：∵函数y=与y=﹣2x﹣6的图象的交点坐标是（a，b），
∴将x=a，y=b代入反比例解析式得：b=，即ab=3，
代入一次函数解析式得：b=﹣2a﹣6，即2a+b=﹣6，
则+===﹣2，
故答案为：﹣2．
【点评】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，其中将x=a，y=b代入两函数解析式得出关于a与b的关系式是解本题的关键．

16．（3分）如图，已知等边三角形OAB与反比例函数y=（k＞0，x＞0）的图象交于A、B两点，将△OAB沿直线OB翻折，得到△OCB，点A的对应点为点C，线段CB交x轴于点D，则的值为　　．（已知sin15°=）

【分析】作辅助线，构建直角三角形，根据反比例函数的对称性可知：直线OM：y=x，求出∠BOF=15°，根据15°的正弦列式可以表示BF的长，证明△BDF∽△CDN，可得结论．
【解答】解：如图，过O作OM⊥AB于M，
∵△AOB是等边三角形，
∴AM=BM，∠AOM=∠BOM=30°，
∴A、B关于直线OM对称，
∵A、B两点在反比例函数y=（k＞0，x＞0）的图象上，且反比例函数关于直线y=x对称，
∴直线OM的解析式为：y=x，
∴∠BOD=45°﹣30°=15°，
过B作BF⊥x轴于F，过C作CN⊥x轴于N，
sin∠BOD=sin15°==，
∵∠BOC=60°，∠BOD=15°，
∴∠CON=45°，
∴△CNO是等腰直角三角形，
∴CN=ON，
设CN=x，则OC=x，
∴OB=x，
∴=，
∴BF=，
∵BF⊥x轴，CN⊥x轴，
∴BF∥CN，
∴△BDF∽△CDN，
∴==，
故答案为：．

【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质和判定、三角函数、三角形相似的性质和判定、翻折的性质，明确反比例函数关于直线y=x对称是关键，在数学题中常设等腰直角三角形的直角边为未知数x，根据等腰直角三角形斜边是直角边的倍表示斜边的长，从而解决问题．

三、解答题：本大题共11小题，共102分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（6分）计算：﹣（﹣1）﹣+（π﹣3.14）0．
【分析】先去括号、开方、零指数幂，然后计算加减法．
【解答】解：原式=1﹣2+1=0．
【点评】本题考查了实数的运算，零指数幂，属于基础题，熟记实数运算法则即可解题．

18．（6分）化简：•．
【分析】根据分式的乘法，可得答案．
【解答】解：原式=•=．
【点评】本题考查了分式的乘法，利用分式的乘法是解题关键．

19．（6分）解不等式组：．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式﹣3x+1＜4，得：x＞﹣1，
解不等式3x﹣2（x﹣1）≤6，得：x≤4，
∴不等式组的解集为﹣1＜x≤4．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．

20．（8分）某校举行了“文明在我身边”摄影比赛．已知每幅参赛作品成绩记为x分（60≤x≤100）．校方从600幅参赛作品中随机抽取了部分参赛作品，统计了它们的成绩，并绘制了如下不完整的统计图表．
“文明在我身边”摄影比赛成绩统计表
分数段
频数
频率
60≤x＜70
18
0.36
70≤x＜80
17
c
80≤x＜90
a
0.24
90≤x≤100
b
0.06
合计

1
根据以上信息解答下列问题：
（1）统计表中c的值为　0.34　；样本成绩的中位数落在分数段　70≤x＜80　中；
（2）补全频数分布直方图；
（3）若80分以上（含80分）的作品将被组织展评，试估计全校被展评作品数量是多少？

【分析】（1）由60≤x＜70频数和频率求得总数，根据频率=频数÷总数求得a、b、c的值，由中位数定义求解可得；
（2）根据（1）中所求数据补全图形即可得；
（3）总数乘以80分以上的频率即可．
【解答】解：（1）本次调查的作品总数为18÷0.36=50（幅），
则c=17÷50=0.34，a=50×0.24=12，b=50×0.06=3，
其中位数为第25、26个数的平均数，
∴中位数落在70≤x＜80中，
故答案为：0.34，70≤x＜80；

（2）补全图形如下：

（3）600×（0.24+0.06）=180（幅），
答：估计全校被展评作品数量是180幅．
【点评】本题考查读频数（率）分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力，以及条形统计图；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．

21．（10分）为落实“垃圾分类”，环卫部门要求垃圾要按A，B，C三类分别装袋、投放，其中A类指废电池，过期药品等有毒垃圾，B类指剩余食品等厨余垃圾，C类指塑料、废纸等可回收垃圾．甲投放了一袋垃圾，乙投放了两袋垃圾，这两袋垃圾不同类．
（1）直接写出甲投放的垃圾恰好是A类的概率；
（2）求乙投放的垃圾恰有一袋与甲投放的垃圾是同类的概率．
【分析】（1）直接利用概率公式求出甲投放的垃圾恰好是A类的概率；
（2）首先利用树状图法列举出所有可能，进而利用概率公式求出答案．
【解答】解：（1）∵垃圾要按A，B，C三类分别装袋，甲投放了一袋垃圾，
∴甲投放的垃圾恰好是A类的概率为：；

（2）如图所示：
，
由图可知，共有18种可能结果，其中乙投放的垃圾恰有一袋与甲投放的垃圾是同类的结果有12种，
所以，P（乙投放的垃圾恰有一袋与甲投放的垃圾是同类）==；
即，乙投放的垃圾恰有一袋与甲投放的垃圾是同一类的概率是：．
【点评】此题主要考查了树状图法求概率，正确利用列举出所有可能是解题关键．

22．（10分）如图，已知等腰三角形ABC中，AB=AC，点D、E分别在边AB、AC上，且AD=AE，连接BE、CD，交于点F．
（1）判断∠ABE与∠ACD的数量关系，并说明理由；
（2）求证：过点A、F的直线垂直平分线段BC．

【分析】（1）证得△ABE≌△ACD后利用全等三角形的对应角相等即可证得结论；
（2）利用垂直平分线段的性质即可证得结论．
【解答】解：（1）∠ABE=∠ACD；
在△ABE和△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD，
∴∠ABE=∠ACD；

（2）连接AF．
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
由（1）可知∠ABE=∠ACD，
∴∠FBC=∠FCB，
∴FB=FC，
∵AB=AC，
∴点A、F均在线段BC的垂直平分线上，
即直线AF垂直平分线段BC．

【点评】本题考查了等腰三角形的性质及垂直平分线段的性质的知识，解题的关键是能够从题目中整理出全等三角形，难度不大．

23．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，过点A（﹣2，0）的直线交y轴正半轴于点B，将直线AB绕着点O顺时针旋转90°后，分别与x轴、y轴交于点D、C．
（1）若OB=4，求直线AB的函数关系式；
（2）连接BD，若△ABD的面积是5，求点B的运动路径长．

【分析】（1）依题意求出点B坐标，然后用待定系数法求解析式；
（2）设OB=m，则AD=m+2，根据三角形面积公式得到关于m的方程，解方程求得m的值，然后根据弧长公式即可求得．
【解答】解：（1）∵OB=4，
∴B（0，4）
∵A（﹣2，0），
设直线AB的解析式为y=kx+b，
则，解得，
∴直线AB的解析式为y=2x+4；

（2）设OB=m，则AD=m+2，
∵△ABD的面积是5，
∴AD•OB=5，
∴（m+2）•m=5，即m2+2m﹣10=0，
解得m=﹣1+或m=﹣1﹣（舍去），
∵∠BOD=90°，
∴点B的运动路径长为：×2π×（﹣1+）=π．
【点评】本题考查的是待定系数法求一次函数的解析式以及三角形面积公式和弧长计算，难度一般．

24．（10分）某蓝莓种植生产基地产销两旺，采摘的蓝莓部分加工销售，部分直接销售，且当天都能销售完，直接销售是40元/斤，加工销售是130元/斤（不计损耗）．已知基地雇佣20名工人，每名工人只能参与采摘和加工中的一项工作，每人每天可以采摘70斤或加工35斤．设安排x名工人采摘蓝莓，剩下的工人加工蓝莓．
（1）若基地一天的总销售收入为y元，求y与x的函数关系式；
（2）试求如何分配工人，才能使一天的销售收入最大？并求出最大值．
【分析】（1）根据总销售收入=直接销售蓝莓的收入+加工销售的收入，即可得出y关于x的函数关系式；
（2）由采摘量不小于加工量，可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出x的取值范围，再根据一次函数的性质，即可解决最值问题．
【解答】解：（1）根据题意得：y=[70x﹣（20﹣x）×35]×40+（20﹣x）×35×130=﹣350x+63000．
答：y与x的函数关系式为y=﹣350x+63000．

（2）∵70x≥35（20﹣x），
∴x≥．
∵x为正整数，且x≤20，
∴7≤x≤20．
∵y=﹣350x+63000中k=﹣350＜0，
∴y的值随x的值增大而减小，
∴当x=7时，y取最大值，最大值为﹣350×7+63000=60550．
答：安排7名工人进行采摘，13名工人进行加工，才能使一天的收入最大，最大收入为60550元．
【点评】本题考查了一次函数的应用、一次函数的性质以及解一元一次不等式，解题的关键是：（1）根据数量关系，找出y与x的函数关系式；（2）根据一次函数的性质，解决最值问题．

25．（10分）如图，湿地景区岸边有三个观景台A、B、C．已知AB=1400米，AC=1000米，B点位于A点的南偏西60.7°方向，C点位于A点的南偏东66.1°方向．
（1）求△ABC的面积；
（2）景区规划在线段BC的中点D处修建一个湖心亭，并修建观景栈道AD．试求A、D间的距离．（结果精确到0.1米）
（参考数据：sin53.2°≈0.80，cos53.2°≈0.60，sin60.7°≈0.87，cos60.7°≈0.49，sin66.1°≈0.91，cos66.1°≈0.41，≈1.414）．

【分析】（1）作CE⊥BA于E．在Rt△ACE中，求出CE即可解决问题；
（2）接AD，作DF⊥AB于F．，则DF∥CE．首先求出DF、AF，再在Rt△ADF中求出AD即可；
【解答】解：（1）作CE⊥BA于E．
在Rt△AEC中，∠CAE=180°﹣60.7°﹣66.1°=53.2°，
∴CE=AC•sin53.2°≈1000×0.8=800米．
∴S△ABC=•AB•CE=×1400×800=560000平方米．

（2）连接AD，作DF⊥AB于F．，则DF∥CE．
∵BD=CD，DF∥CE，
∴BF=EF，
∴DF=CE=400米，
∵AE=AC•cos53.2°≈600米，
∴BE=AB+AE=2000米，
∴AF=EB﹣AE=400米，
在Rt△ADF中，AD==400=565.6米．

【点评】本题考查解直角三角形﹣方向角问题，勾股定理、三角形的中位线定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线．构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．

26．（12分）如图，已知二次函数y=ax2+bx+3（a≠0）的图象经过点A（3，0），B（4，1），且与y轴交于点C，连接AB、AC、BC．
（1）求此二次函数的关系式；
（2）判断△ABC的形状；若△ABC的外接圆记为⊙M，请直接写出圆心M的坐标；
（3）若将抛物线沿射线BA方向平移，平移后点A、B、C的对应点分别记为点A1、B1、C1，△A1B1C1的外接圆记为⊙M1，是否存在某个位置，使⊙M1经过原点？若存在，求出此时抛物线的关系式；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）直接利用待定系数法求出a，b的值进而得出答案；
（2）首先得出∠OAC=45°，进而得出AD=BD，求出∠DAB=45°，即可得出答案；
（3）首先利用已知得出圆M平移的长度为：2﹣或2+，进而得出抛物线的平移规律，即可得出答案．
【解答】解：（1）把点A（3，0），B（4，1）代入y=ax2+bx+3中，
，
解得：，
所以所求函数关系式为：y=x2﹣x+3；

（2）△ABC是直角三角形，
过点B作BD⊥x轴于点D，
易知点C坐标为：（0，3），所以OA=OC，
所以∠OAC=45°，
又∵点B坐标为：（4，1），
∴AD=BD，
∴∠DAB=45°，
∴∠BAC=180°﹣45°﹣45°=90°，
∴△ABC是直角三角形，
圆心M的坐标为：（2，2）；

（3）存在
取BC的中点M，过点M作ME⊥y轴于点E，
∵M的坐标为：（2，2），
∴MC==，OM=2，
∴∠MOA=45°，
又∵∠BAD=45°，
∴OM∥AB，
∴要使抛物线沿射线BA方向平移，且使⊙M1经过原点，
则平移的长度为：2﹣或2+；
∵∠BAD=45°，
∴抛物线的顶点向左、向下均分别平移=个单位长度
或=个单位长度，
∵y=x2﹣x+3=（x﹣）2﹣，
∴平移后抛物线的关系式为：y=（x﹣+）2﹣﹣，
即y=（x﹣）2﹣，
或y=（x﹣+）2﹣﹣，
即y=（x﹣）2﹣．
综上所述，存在一个位置，使⊙M1经过原点，此时抛物线的关系式为：
y=（x﹣）2﹣或y=（x﹣）2﹣．

【点评】此题主要考查了二次函数综合以及二次函数的平移、等腰直角三角形的性质等知识，正确得出圆M的平移距离是解题关键．

27．（14分）问题呈现：
如图1，点E、F、G、H分别在矩形ABCD的边AB、BC、CD、DA上，AE=DG，求证：2S四边形EFGH=S矩形ABCD．（S表示面积）
实验探究：
某数学实验小组发现：若图1中AH≠BF，点G在CD上移动时，上述结论会发生变化，分别过点E、G作BC边的平行线，再分别过点F、H作AB边的平行线，四条平行线分别相交于点A1、B1、C1、D1，得到矩形A1B1C1D1．
如图2，当AH＞BF时，若将点G向点C靠近（DG＞AE），经过探索，发现：2S四边形EFGH=S矩形ABCD+S．
如图3，当AH＞BF时，若将点G向点D靠近（DG＜AE），请探索S四边形EFGH、S矩形ABCD与S之间的数量关系，并说明理由．
迁移应用：
请直接应用“实验探究”中发现的结论解答下列问题：
（1）如图4，点E、F、G、H分别是面积为25的正方形ABCD各边上的点，已知AH＞BF，AE＞DG，S四边形EFGH=11，HF=，求EG的长．
（2）如图5，在矩形ABCD中，AB=3，AD=5，点E、H分别在边AB、AD上，BE=1，DH=2，点F、G分别是边BC、CD上的动点，且FG=，连接EF、HG，请直接写出四边形EFGH面积的最大值．

【分析】问题呈现：只要证明S△HGE=S矩形AEGD，同理S△EGF=S矩形BEGC，由此可得S四边形EFGH=S△HGE+S△EFG=S矩形BEGC；
实验探究：结论：2S四边形EFGH=S矩形ABCD﹣．根据=，=，=，=，即可证明；
迁移应用：（1）利用探究的结论即可解决问题．
（2）分两种情形探究即可解决问题．
【解答】问题呈现：证明：如图1中，

∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，∠A=90°，
∵AE=DG，
∴四边形AEGD是矩形，
∴S△HGE=S矩形AEGD，
同理S△EGF=S矩形BEGC，
∴S四边形EFGH=S△HGE+S△EFG=S矩形BEGC．

实验探究：结论：2S四边形EFGH=S矩形ABCD﹣．

理由：∵=，=，=，=，
∴S四边形EFGH=+++﹣，
∴2S四边形EFGH=2+2+2+2﹣2，
∴2S四边形EFGH=S矩形ABCD﹣．

迁移应用：解：（1）如图4中，

∵2S四边形EFGH=S矩形ABCD﹣．
∴=25﹣2×11=3=A1B1•A1D1，
∵正方形的面积为25，∴边长为5，
∵A1D12=HF2﹣52=29﹣25=4，
∴A1D1=2，A1B1=，
∴EG2=A1B12+52=，
∴EG=．

（2）∵2S四边形EFGH=S矩形ABCD+．
∴四边形A1B1C1D1面积最大时，矩形EFGH的面积最大．
①如图5﹣1中，当G与C重合时，四边形A1B1C1D1面积最大时，矩形EFGH的面积最大．
此时矩形A1B1C1D1面积=1•（﹣2）=

②如图5﹣2中，当G与D重合时，四边形A1B1C1D1面积最大时，四边形EFGH的面积最大．
此时矩形A1B1C1D1面积=2•1=2，

∵2＞﹣2，
∴矩形EFGH的面积最大值=．
【点评】本题考查四边形综合题、矩形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用分割法添加辅助线，学会利用特殊位置解决问题，属于中考压轴题．

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