2017年浙江中考数学真题分类汇编三角形(解析版).doc

2017年浙江中考真题分类汇编（数学） 三角形
一、单选题（共4题；共8分）
1、（2017·金华）下列各组数中，不可能成为一个三角形三边长的是（      )
A、2，3，4
B、5，7，7
C、5，6，12
D、6，8，10
2、（2017·台州）如图，已知△ABC，AB=AC，若以点B为圆心，BC长为半径画弧，交腰AC于点E，则下列结论一定正确的是（    ）

A、AE=EC
B、AE=BE
C、∠EBC=∠BAC
D、∠EBC=∠ABE
3、（2017•杭州）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE//BC，若BD=2AD，则（   ）

A、
B、
C、
D、
4、（2017•杭州）如图，在△ABC中，AB=AC，BC=12，E为AC边的中点，线段BE的垂直平分线交边BC于点D．设BD=x，tan∠ACB=y，则（   ）

A、x﹣y2=3
B、2x﹣y2=9
C、3x﹣y2=15
D、4x﹣y2=21
二、填空题（共4题；共5分）
5、（2017·衢州）如图，正△ABO的边长为2，O为坐标原点，A在 轴上，B在第二象限。△ABO沿 轴正方向作无滑动的翻滚，经第一次翻滚后得△A1B1O，则翻滚3次后点B的对应点的坐标是________；翻滚2017次后AB中点M经过的路径长为________.

6、（2017•绍兴）如图，∠AOB=45°，点M，N在边OA上，OM=x，ON=x+4，点P是边OB上的点.若使点P，M，N构成等腰三角形的点P恰好有三个，则x的值是________.

7、一副含 和 角的三角板 和 叠合在一起，边 与 重合， （如图1），点 为边 的中点，边 与 相交于点 ．现将三角板 绕点 按顺时针方向旋转（如图2），在 从 到 的变化过程中，点 相应移动的路径长为________．（结果保留根号）

8、（2017•杭州）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=15，AC=20，点D在边AC上，AD=5，DE⊥BC于点E，连结AE，则△ABE的面积等于________．

三、解答题（共5题；共53分）
9、（2017·衢州）问题背景
如图1，在正方形ABCD的内部，作∠DAE=∠ABF=∠BCG=∠CDH，根据三角形全等的条件，易得△DAE≌△ABF≌△BCG≌△CDH，从而得到四边形EFGH是正方形。
类比研究
如图2，在正△ABC的内部，作∠BAD=∠CBE=∠ACF，AD，BE，CF两两相交于D，E，F三点（D，E，F三点不重合）。

(1)△ABD，△BCE，△CAF是否全等？如果是，请选择其中一对进行证明；
(2)△DEF是否为正三角形？请说明理由；
(3)进一步探究发现，△ABD的三边存在一定的等量关系，设 ， ， ，请探索 ， ， 满足的等量关系。
10、（2017•绍兴）已知△ABC，AB=AC，D为直线BC上一点，E为直线AC上一点，AD=AE，设∠BAD=α，∠CDE=β.

(1)如图，若点D在线段BC上，点E在线段AC上.
①如果∠ABC=60°，∠ADE=70°，那么α=________°，β=________°.②求α，β之间的关系式.________
(2)是否存在不同于以上②中的α，β之间的关系式？若存在，请求出这个关系式（求出一个即可）；若不存在，说明理由.
11、（2017·台州）如图，已知等腰直角△ABC，点P是斜边BC上一点（不与B，C重合），PE是△ABP的外接圆⊙O的直径

(1)求证：△APE是等腰直角三角形；
(2)若⊙O的直径为2，求 的值
12、（2017•杭州）如图，在锐角三角形ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F，∠EAF=∠GAC．

(1)求证：△ADE∽△ABC；
(2)若AD=3，AB=5，求 的值．
13、（2017•温州）如图，在五边形ABCDE中，∠BCD=∠EDC=90°，BC=ED，AC=AD．

(1)求证：△ABC≌△AED；
(2)当∠B=140°时，求∠BAE的度数．

答案解析部分
一、单选题
1、【答案】C
【考点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：A.2+3＞4，故能组成三角形；
                    B.5+7＞7，故能组成三角形；
                    C.5+6＜12，故不能组成三角形；
                    D.6+8＞10，故能组成三角形；
 故答案为C。
【分析】根据三角形的三边关系：三角形任意两边的和大于第三边，对各个选项进行逐一分析判断，即可得出答案。
2、【答案】C
【考点】三角形的外角性质，等腰三角形的性质
【解析】【解答】解： ∵AB=AC,
∴∠ABC=∠C,
又∵BE=BC,
∴∠BEC=∠C,
∴∠ABC=∠BEC,
又∵∠BEC=∠A+∠ABE,∠ABC=∠ABE+∠EBC,
∴∠A=∠EBC,
故答案选C.
【分析】根据AB=AC,BE=BC，可以得出∠ABC=∠C,∠BEC=∠C,从而得出∠ABC=∠BEC,∠A=∠EBC,可得出正确答案。
3、【答案】B
【考点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵DE//BC，
∴△ADE∽△ABC，
∵BD=2AD，
∴ = = = ，
则 = ，
∴A，C，D选项错误，B选项正确，
故选：B．
【分析】根据题意得出△ADE∽△ABC，进而利用已知得出对应边的比值．
4、【答案】B
【考点】线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：

过A作AQ⊥BC于Q，过E作EM⊥BC于M，连接DE，
∵BE的垂直平分线交BC于D，BD=x，
∴BD=DE=x，
∵AB=AC，BC=12，tan∠ACB=y，
∴ = =y，BQ=CQ=6，
∴AQ=6y，
∵AQ⊥BC，EM⊥BC，
∴AQ∥EM，
∵E为AC中点，
∴CM=QM= CQ=3，
∴EM=3y，
∴DM=12﹣3﹣x=9﹣x，
在Rt△EDM中，由勾股定理得：x2=（3y）2+（9﹣x）2 ，
即2x﹣y2=9，
故选B．
【分析】过A作AQ⊥BC于Q，过E作EM⊥BC于M，连接DE，根据线段垂直平分线求出DE=BD=x，根据等腰三角形求出BD=DC=6，求出CM=DM=3，解直角三角形求出EM=3y，AQ=6y，在Rt△DEM中，根据勾股定理求出即可．
二、填空题
5、【答案】（5， ）；π
【考点】弧长的计算，图形的旋转
【解析】【解答】解：（1）∵正△ABO的边长为2，第一次翻滚之后为△OA1B1,第二次翻滚之后为△B1O1A2,第三次翻滚之后为△A2B2O2,
作BD⊥x轴，
∴D为A2O2中点，
∴OD=2+2+1=5，B2D=，
∴B2（5， ）；
（2）∵M为AB中点
∴M经过的路径是第一次翻滚是以O为圆心，OM长为半径，圆心角为120°的扇形;第二次翻滚是以B1为圆心，B1M1长为半径，圆心角为120°的扇形;
第三次翻滚是以A2为圆心，A2M2长为半径，圆心角为120°的扇形;这样三个一循环的出现。
∵2017里面有672个3余1，
∴M经过的路径为：672×+=
【分析】（1）由题可得：第一次翻滚之后为△OA1B1,第二次翻滚之后为△B1O1A2,第三次翻滚之后为△A2B2O2,作BD⊥x轴，正△ABO的边长为2，从而得出B2坐标.
（2）题可得：中点M经过的路径是第一次翻滚是以O为圆心，OM长为半径，圆心角为120°的扇形;第二次翻滚是以B1为圆心，B1M1长为半径，圆心角为120°的扇形;第三次翻滚是以A2为圆心，A2M2长为半径，圆心角为120°的扇形;这样三个一循环的出现。由于2017里面有672个3余1，
∴M经过的路径为：672×+=
6、【答案】x=0或x= 或4≤x<4
【考点】相交两圆的性质
【解析】【解答】解：以MN为底边时，可作MN的垂直平分线，与OB必有一个交点P1 ， 且MN=4，以M为圆心MN为半径画圆，以N为圆心MN为半径画圆，
①如下图，当M与点O重合时，即x=0时，
除了P1 ， 当MN=MP，即为P3；当NP=MN时，即为P2；
只有3个点P；

②当0<x<4时，如下图，圆N与OB相切时，NP2=MN=4，且NP2⊥OB，此时MP3=4，
则OM=ON-MN= NP2-4= .

③因为MN=4，所以当x>0时，MN<ON，则MN=NP不存在，
除了P1外，当MP=MN=4时，
过点M作MD⊥OB于D，当OM=MP=4时，圆M与OB刚好交OB两点P2和P3；

当MD=MN=4时，圆M与OB只有一个交点，此时OM= MD=4 ，

故4≤x<4 .
与OB有两个交点P2和P3 ，
故答案为x=0或x= 或4≤x<4 .
【分析】以M，N，P三点为等腰三角形的三顶点，则可得有MP=MN=4，NP=MN=4，PM=PN这三种情况，而PM=PN这一种情况始终存在；当MP=MN时可作以M为圆心MN为半径的圆，查看与OB的交点的个数；以N为圆心MN为半径的圆，查看与OB的交点的个数；则可分为当x=0时，符合条件；当0<x<4时，圆M与OB只有一个交点，则当圆N与OB相切时，圆N与OB只有一个交点，符合，求出此时的x值即可；当4≤x时，圆N与OB没有交点，当x的值变大时，圆M会与OB相切，此时只有一个相点，求出此时x的值，则x在这个范围内圆M与OB有两个交点；综上即可求答案.
7、【答案】12 -18 cm
【考点】旋转的性质
【解析】【解答】如图2和图3，在 ∠ C G F 从 0 ° 到 60 ° 的变化过程中，点H先向AB方向移，在往BA方向移，直到H与F重合（下面证明此时∠CGF=60度），此时BH的值最大，
如图3，当F与H重合时，连接CF，因为BG=CG=GF，
所以∠BFC=90度，
∵∠B=30度，
∴∠BFC=60度，
由CG=GF可得∠CGF=60度.
∵BC=12cm，所以BF=BC=6
如图2，当GH⊥DF时，GH有最小值，则BH有最小值，且GF//AB，连接DG，交AB于点K，则DG⊥AB，
∵DG=FG，
∴∠DGH=45度，
则KG=KH=GH=×（×6）=3
BK=KG=3
则BH=BK+KH=3+3
则点Ｈ运动的总路程为6-（3+3）+[12（-1）-（3+3）]=12-18（cm）
故答案为：12-18cm.

【分析】当GH⊥DF时，BH的值最小，即点H先从BH=12( - 1 )cm，开始向AB方向移动到最小的BH的值，再往BA方向移动到与F重合，求出BH的最大值，则点H运动的总路程为：BH的最大值-BH的最小值+[12( - 1 )-BH的最小值].
8、【答案】78
【考点】三角形的面积，勾股定理，相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=15，AC=20，
∴BC= =25，
∴△ABC的面积= AB•AC= ×15×20=150，
∵AD=5，
∴CD=AC﹣AD=15，
∵DE⊥BC，
∴∠DEC=∠BAC=90°，
又∵∠C=∠C，
∴△CDE∽△CBA，
∴ ，即 ，
解得：CE=12，
∴BE=BC﹣CE=13，
∵△ABE的面积：△ABC的面积=BE：BC=13：25，
∴△ABE的面积= ×150=78；
故答案为：78．
【分析】由勾股定理求出BC= =25，求出△ABC的面积=150，证明△CDE∽△CBA，得出 ，求出CE=12，得出BE=BC﹣CE=13，再由三角形的面积关系即可得出答案．
三、解答题
9、【答案】（1）△ABD≌△BCE≌△CAF.
证明： ∵正△ABC中,
∴∠CAB=∠ABC=∠BCA=60°,AB=BC,
∵∠ABD=∠ABC-∠2,∠BCE=∠ACB-∠3,又∠2=∠3
∴∠ABD=∠BCE,
又∵∠1=∠2，
∴△ABD≌△BCE（ASA）.

（2）△DEF是正三角形.
证明：∵△ABD≌△BCE≌△CAF，
∴∠ADB=∠BEC=∠CFA,
∴∠FDE=∠DEF=∠EFD,
∴△DEF是正三角形.
（3）解：作AG⊥BD，交BD延长线于点G.
由△DEF是正三角形得到∠ADG=60°（或者∠ADG=∠1+∠ABD=∠2+∠ABD=60°.）
∴在Rt△ADG中，DG=b,AG=b.
∴在Rt△ABG中，c2=+,
∴c2=a2+ab+b2

【考点】全等三角形的判定，等边三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形，勾股定理
【解析】【分析】（1）由正△AB得出∠CAB=∠ABC=∠BCA=60°,AB=BC,再通过等量代换得出∠1=∠2，从而得出△ABD≌△BCE（ASA）.
（2）由（1）中△ABD≌△BCE≌△CAF，得出∠ADB=∠BEC=∠CFA,∠FDE=∠DEF=∠EFD,从而得出△DEF是正三角形.
（3）作AG⊥BD，交BD延长线于点G.由△DEF是正三角形得到∠ADG=60°（或者∠ADG=∠1+∠ABD=∠2+∠ABD=60°.）从而在Rt△ADG中，
DG=b,AG=b；在Rt△ABG中，c2=+,最后得出c2=a2+ab+b2
10、【答案】（1）20；10；α=2β
（2）解：如图，点E在CA延长线上，点D在线段BC上，
设∠ABC=x，∠ADE=y，则∠ACB=x，∠AED=y，
在△ABD中，x+α=β-y，
在△DEC中，x+y+β=180°,
所以α=2β-180°.
注：求出其它关系式，相应给分，如点E在CA的延长线上，点D在CB的延长线上，可得α=180°-2β.

【考点】三角形的外角性质
【解析】【解答】解：（1）①因为AD=AE，
所以∠AED=∠ADE=70°，∠DAE=40°，
又因为AB=AC，∠ABC=60°，
所以∠BAC=∠C=∠ABC=60°，
所以α=∠BAC-∠DAE=60°-40°=20°，
β=∠AED-∠C=70°-60°=10°；
②解：如图，设∠ABC=x,∠ADE=y,
则∠ACB=x，∠AED=y，
在△DEC中，y=β+x，
在△ABD中，α+x=y+β,
所以α=2β.

【分析】（1）①在△ADE中，由AD=AE，∠ADE=70°，不难求出∠AED和∠DAE；由AB=AC，∠ABC=60°，可得∠BAC=∠C=∠ABC=60°，则α=∠BAC-∠DAE，再根据三角形外角的性质可得β=∠AED-∠C；②求解时可借助设未知数的方法，然后再把未知数消去的方法，可设∠ABC=x,∠ADE=y；（2）有很多种不同的情况，做法与（1）中的②类似，可求这种情况：点E在CA延长线上，点D在线段BC上.
11、【答案】（1）证明：∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠C=∠ABC=45°,
∴∠PEA=∠ABC=45°
又∵PE是⊙O的直径，
∴∠PAE=90°,
∴∠PEA=∠APE=45°,
∴ △APE是等腰直角三角形.
（2）解：∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AC=AB,
同理AP=AE,
又∵∠CAB=∠PAE=90°,
∴∠CAP=∠BAE,
∴△CPA≌△BAE,
∴CP=BE,
在Rt△BPE中，∠PBE=90°,PE=2,
∴PB2+BE2=PE2,
∴CP2+PB2=PE2=4.
【考点】全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，圆心角、弧、弦的关系，等腰直角三角形
【解析】【分析】（1）根据等腰直角三角形性质得出∠C=∠ABC=∠PEA=45°，再由PE是⊙O的直径，得出∠PAE=90°,∠PEA=∠APE=45°,从而得证.
（2）根据题意可知，AC=AB,AP=AE,再证△CPA≌△BAE,得出CP=BE,依勾股定理即可得证.
12、【答案】（1）证明：∵AG⊥BC，AF⊥DE，
∴∠AFE=∠AGC=90°，
∵∠EAF=∠GAC，
∴∠AED=∠ACB，
∵∠EAD=∠BAC，
∴△ADE∽△ABC
（2）解：由（1）可知：△ADE∽△ABC，
∴ =
由（1）可知：∠AFE=∠AGC=90°，
∴∠EAF=∠GAC，
∴△EAF∽△CAG，
∴ ，
∴ =
【考点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）由于AG⊥BC，AF⊥DE，所以∠AFE=∠AGC=90°，从而可证明∠AED=∠ACB，进而可证明△ADE∽△ABC；
（2）△ADE∽△ABC， ，又易证△EAF∽△CAG，所以 ，从而可知 ．
13、【答案】（1）证明：∵AC=AD，
∴∠ACD=∠ADC，
又∵∠BCD=∠EDC=90°，
∴∠ACB=∠ADE，
在△ABC和△AED中，
，
∴△ABC≌△AED（SAS）；
（2）解：当∠B=140°时，∠E=140°，
又∵∠BCD=∠EDC=90°，
∴五边形ABCDE中，∠BAE=540°﹣140°×2﹣90°×2=80°．
【考点】全等三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据∠ACD=∠ADC，∠BCD=∠EDC=90°，可得∠ACB=∠ADE，进而运用SAS即可判定全等三角形；（2）根据全等三角形对应角相等，运用五边形内角和，即可得到∠BAE的度数．