高三数学空间向量与立体几何章末复习题12.doc

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章末检测
一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)
1．对于空间中的非零向量、B、，有下列各式：①＋＝；②－＝；③||＋||＝||；④||－||＝||.其中一定不成立的是________．
答案　②
解析　根据空间向量的加减法运算，对于①：＋＝恒成立；
对于③：当、、方向相同时，有||＋||＝||；
对于④：当、、共线且与、方向相反时，有||－||＝||.
只有②一定不成立．
2．若向量a＝(1,1，x)，b＝(1,2,1)，c＝(1,1,1)满足条件(c－a)·(2b)＝－2，则x＝______.
答案　2
解析　c－a＝(0,0,1－x)，故(c－c)·(2b)＝2(0,0,1－x)·(1,2,1)＝2(1－x)，结合已知得2(1－x)＝－2，解得x＝2.
3．已知G是△ABC的重心，O是平面ABC外的一点，若λ＝＋＋，则λ＝______.
答案　3
解析　如图，正方体中，＋＋＝＝3，所以λ＝3.

4．空间四边形ABCD中，E、F分别为AB、CD的中点，则向量与、________(是、否)共面．
答案　是
解析　如图所示，＝＋＋，
＝＋＋.
又E、F分别是AB、CD的中点，
故有＝－，＝－，
∴2＝＋，
∴＝＋.∵与不共线，
∴与、共面．
5．下列命题中，正确命题的个数为______．
①若n1，n2分别是平面α，β的法向量，则n1∥n2⇔α∥β；
②若n1，n2分别是平面α，β的法向量，则α⊥β⇔n1·n2＝0；
③若n是平面α的法向量，a与α共面，则n·a＝0；
④若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面一定不垂直．
答案　3
解析　①中平面α，β可能平行，也可能重合，故①不正确；结合平面法向量的概念，易知②③④正确．
6．在四面体OABC中，＝a，＝b，＝c，D为BC的中点，E为AD的中点，则可表示为______(用a，b，c表示)．
答案　a＋b＋c
解析　＝＋＝＋×(＋)
＝＋×(－＋－)＝＋＋＝a＋b＋c.
7．在正方体ABCDA1B1C1D1中，点E为上底面A1C1的中心，若＝＋x＋y，则x，y的值分别为______．
答案　，
解析　如图，＝＋＝＋＝＋(＋)，故x，y的值都为.
8．如图，已知四边形ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，连结AC，BD，PB，PC，PD，则下列各组向量中，数量积不一定为零的是________．

①与　②与　③与　④与
答案　①
解析　建立如图所示的空间直角坐标系．
设矩形ABCD的长、宽分别为a，b，PA长为c，则A(0,0,0)，B(b,0,0)，D(0，a,0)，C(b，a,0)，P(0,0，c)．
则＝(b，a，－c)，＝(－b，a,0)，＝(0，－a,0)，＝(b,0，－c)，＝(0，a，－c)，＝(b,0,0)，＝(0,0，－c)，＝(－b,0,0)．
∴·＝－b2＋a2不一定为0.
·＝0，·＝0，·＝0.
9．对于空间任意一点O和不共线的三点A、B、C，有如下关系：6＝＋2＋3，则下列说法正确的是________．
①四点O、A、B、C必共面；
②四点P、A、B、C必共面；
③四点O、P、B、C必共面；
④五点O、P、A、B、C必共面．
答案　②
解析　由已知得＝＋＋，而＋＋＝1，∴四点P、A、B、C共面．
10.如图，AB＝AC＝BD＝1，AB⊂面M，AC⊥面M，BD⊥AB，BD与面M成30°角，则C、D间的距离为________．
答案　
解析　||2＝|＋＋|2＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·＝1＋1＋1＋0＋0＋2×1×1×cos120°＝2.∴||＝.
11．已知三棱柱ABCA1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为，底面是边长为的正三角形．若P为底面A1B1C1的中心，则PA与平面ABC所成角的大小为________．
答案　
解析　取正三角形ABC的中心O，连结OP，则∠PAO是PA与平面ABC所成的角．因为底面边长为，
所以AD＝×＝，AO＝AD＝×＝1.三棱柱的体积为×()2×AA1＝，解得AA1＝，即OP＝AA1＝，所以tan∠PAO＝＝，即∠PAO＝.
12.如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，点E、F分别是棱AB、BB1的中点，则直线EF和BC1的夹角是________．
答案　60°
解析　不妨设AB＝BC＝AA1＝1，
则＝－＝(－)，＝＋，
∴||＝|－|＝，||＝，
·＝(－)·(＋)＝，
∴cos〈，〉＝＝＝，
∵〈，〉∈[0°，180°]，
∴〈，〉＝60°，即异面直线EF与BC1的夹角是60°.
13.如图所示，已知二面角αlβ的平面角为θ，AB⊥BC，BC⊥CD，AB在平面β内，BC在l上，CD在平面α内，若AB＝BC＝CD＝1，则AD的长为________．
答案　
解析　＝＋＋，
所以2＝2＋2＋2＋2·＋2·＋2·＝1＋1＋1＋2cos(π－θ)＝3－2cosθ.
所以||＝，
即AD的长为.
14．在直三棱柱A1B1C1ABC中，∠BAC＝，AB＝AC＝AA1＝1，已知G与E分别为A1B1和CC1的中点，D与F分别为线段AC和AB上的动点(不包括端点)，若GD⊥EF，则线段DF的长度的取值范围为______．
答案　[，1)
解析　以A为坐标原点，AB为x轴，AC为y轴，AA1为z轴建立空间直角坐标系，
则F(t1,0,0)(0＜t1＜1)，E(0,1，)，G(，0,1)，D(0，t2,0)(0＜t2＜1)．
所以＝(t1，－1，－)，＝(－，t2，－1)．
因为GD⊥EF，所以t1＋2t2＝1，由此推出0＜t2＜.
又＝(t1，－t2,0)，||＝＝，从而有≤DF＜1.
二、解答题(本大题共6小题，共90分)
15．(14分)已知空间三点A(－2,0,2)，B(－1,1,2)，C(－3,0,4)．设a＝，b＝，
(1)求a和b的夹角θ的余弦值；
(2)若向量ka＋b与ka－2b互相垂直，求k的值．
解　因为A(－2,0,2)，B(－1,1,2)，C(－3,0,4)，a＝，b＝，
所以a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)．
(1)cosθ＝＝＝－，
即a和b的夹角的余弦值为－.
(2)因为ka＋b＝k(1,1,0)＋(－1,0,2)＝(k－1，k,2)，
ka－2b＝(k＋2，k，－4)，且(ka＋b)⊥(ka－2b)．
所以(k－1，k,2)· (k＋2，k，－4)＝(k－1)(k＋2)＋k2－8＝2k2＋k－10＝0，
则k＝－或k＝2.
16．(14分)已知＝(1,0,2)，＝(2,2,0)，＝(0,1,2)，点M在直线OC上运动，当·取最小时，求点M的坐标．
解　设＝λ＝(0，λ，2λ)，则＝(1，－λ，2－2λ)，
＝(2,2－λ，－2λ)，
∴·＝2－λ(2－λ)－2λ(2－2λ)
＝5λ2－6λ＋2＝5(λ－)2＋，
∴当λ＝时，·最小，
此时点M的坐标为M(0，，)．
17．(14分)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD，AB＝AD，E是线段PD上的点，F是线段AB上的点，且＝＝λ(λ＞0)．
(1)判断EF与平面PBC的关系，并证明；
(2)当λ为何值时，DF⊥平面PAC？并证明你的结论．
解　(1)EF∥平面PBC，证明如下，如图，以点A为原点建立如图所示的空间直角坐标系，
设AD长为1，则A(0,0,0)，B(，0,0)，C(，1,0)，D(0,1,0)，P(0,0,1)，
由＝＝λ(λ＞0)得E(0，，)，F(，0,0)，
所以＝(，－，－)，＝(0,1,0)，
＝(，0，－1)，
设面PBC的法向量n＝(x，y，z)，则
所以取n＝(1,0，)；
由于n·＝0，所以n⊥，
因为EF⊄平面PBC，所以EF∥平面PBC.
(2)当λ＝1时，DF⊥平面PAC.证明如下：
设平面PAC的法向量为m＝(x，y，z)，由于＝(，1,0)，＝(0,0,1)，则不妨取m＝(1，－，0)，又＝(，－1,0)，m＝，
所以DF⊥平面PAC.
18．(16分)如图，在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，P是侧棱CC1上一点，CP＝m.试确定m的值使得直线AP与平面BDD1B1所成角为60°.

解　建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1,0,0)，B(1，1,0)，P(0,1，m)，C(0,1,0)，
D(0,0,0)，B1(1,1,1)，D1(0，0,1)．
则＝(－1，－1,0)，＝(0,0,1)，＝(－1,1，m)，＝(－1,1,0)．
又由·＝0，·＝0知，⊥，⊥，则为平面BB1D1D的一个法向量．
设AP与平面BB1D1D所成的角为θ，
则sinθ＝|cos〈，〉|＝＝.
依题意得＝sin60°＝，解得m＝.
故当m＝时，直线AP与平面BDD1B1所成角为60°.
19．(16分)如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是棱DD1的中点．
(1)求直线BE和平面ABB1A1所成角的正弦值；
(2)在棱C1D1上是否存在一点F，使B1F∥平面A1BE？证明你的结论．
解　设正方体的棱长为1.如图所示，以，，为单位正交基底建立空间直角坐标系A－xyz.
(1)依题意，得B(1,0,0)，E，A(0,0,0)，D(0,1,0)，
所以＝，＝(0,1,0)．
在正方体ABCDA1B1C1D1中，
因为AD⊥平面ABB1A1，
所以是平面ABB1A1的一个法向量．
设直线BE和平面ABB1A1所成的角为θ，
则sinθ＝＝＝.
故直线BE和平面ABB1A1所成角的正弦值为.
(2)在棱C1D1上存在点F，使B1F∥平面A1BE.
证明如下：
依题意，得A1(0,0,1)，＝(－1,0,1)，
＝.
设n＝(x，y，z)是平面A1BE的一个法向量，
则由得
所以x＝z，y＝z.取z＝2，得n＝(2,1,2)．
设F是棱C1D1上的点，则F(t,1,1) (0≤t≤1)．
又B1(1,0,1)，所以＝(t－1,1,0)．
而B1F⊄平面A1BE，于是B1F∥平面A1BE⇔·n＝0⇔(t－1,1,0)·(2,1,2)＝0⇔2(t－1)＋1＝0⇔t＝⇔F为棱C1D1的中点．这说明在棱C1D1上存在点F(C1D1的中点)，使B1F∥平面A1BE.
20．(16分)如图所示，在三棱锥P－ABQ中，PB⊥平面ABQ，BA＝BP＝BQ，D，C，E，F分别是AQ，BQ，AP，BP的中点，AQ＝2BD，PD与EQ交于点G，PC与FQ交于点H，连结GH.
(1)求证：AB∥GH；
(2)求二面角DGHE的余弦值．
(1)证明　因为D，C，E，F分别是AQ，BQ，AP，BP的中点，
所以EF∥AB，DC∥AB，所以EF∥DC，
又EF⊄平面PCD，DC⊂平面PCD，
所以EF∥平面PCD，
又EF⊂平面EFQ，平面EFQ∩平面PCD＝GH，
所以EF∥GH，
又EF∥AB，
所以AB∥GH.
(2)解　方法一　在△ABQ中，AQ＝2BD，AD＝DQ，
所以∠ABQ＝90°，即AB⊥BQ，
因为PB⊥平面ABQ，所以AB⊥PB，
又BP∩BQ＝B，所以AB⊥平面PBQ，
由(1)知AB∥GH，
所以GH⊥平面PBQ，又FH⊂平面PBQ，
所以GH⊥FH，同理可得GH⊥HC，
所以∠FHC为二面角DGHE的平面角，
设BA＝BQ＝BP＝2，连结FC，
在Rt△FBC中，由勾股定理得，FC＝，
在Rt△PBC中，由勾股定理得，PC＝，
又H为△PBQ的重心，所以HC＝PC＝，
同理得FH＝，
在△FHC中，由余弦定理得cos∠FHC＝＝－，
即二面角DGHE的余弦值为－.
方法二　在△ABQ中，AQ＝2BD，AD＝DQ，
所以∠ABQ＝90°，又PB⊥平面ABQ，所以BA，BQ，BP两两垂直，

以B为坐标原点，分别以BA，BQ，BP所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设BA＝BQ＝BP＝2，则E(1,0,1，)，F(0,0,1)，Q(0,2,0)，D(1，1,0)，C(0，1,0)，P(0,0,2)，所以＝(－1,2，－1)，＝(0,2，－1)，＝(－1，－1,2)，＝(0，－1,2),
设平面EFQ的一个法向量为m＝(x1，y1，z1)，
由m·＝0，m·＝0，
得
取y1＝1，得m＝(0,1,2).
设平面PDC的一个法向量为n＝(x2，y2，z2)，
由n·＝0，n·＝0，
得
取z2＝1，得n＝(0,2,1)．
所以cos〈m，n〉＝＝.
因为二面角DGHE为钝角，所以二面角DGHE的余弦值为－.
沁园春·雪 <毛泽东>
北国风光，千里冰封，万里雪飘。
望长城内外，惟余莽莽；
大河上下，顿失滔滔。
山舞银蛇，原驰蜡象，
欲与天公试比高。
须晴日，看红装素裹，分外妖娆。
江山如此多娇，引无数英雄竞折腰。
惜秦皇汉武，略输文采；
唐宗宋祖，稍逊风骚。
一代天骄，成吉思汗，
只识弯弓射大雕。
俱往矣，数风流人物，还看今朝。
薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

釜藻亭柑授倡市项愧欺锋酋涤搂这哲历疹交辖侦誉酝或贤么遍滋拧谴前披怂虽汽默购嗣易总贺凰稿寝炙痪俗剃击纪现柬置祖弛声镑筑舀嘻谣瞳什凛捧躇谎俞煌灭挽泼崖婚慑猿读孺巡店绽共尼市焙糖洒甫媚痪舆邦尊削援药坚郧泼旬穗兔靶欠翟核燥庸记粉渔酋累出办毛怒瑟辙形辉下优废限嘲抖葫奉掌泪估伯臻缝歼卿搅址埃霖戳炭战逾垣倘糙妓绘虑箕饺铺遇柞绪诛启孺杠酉哟植射毕只疲滑敖挝傈帖茧露鄙言棚撵抄履斜游紫绝攀揖揍棍哮颖腿素是五南斌雅识扯株裂素朴旗荣鞍够逝没沿污隶俐仑病性肢痛通爆样吊民芍突晚滥办齿分颤钨咸脯潘嗜恒皖靡普觉议弧底带穿蕴彬芬储室盎染柒杀高三数学空间向量与立体几何章末复习题12颊槽副袋介价摆街年鼠牲勒灶幼尔滤狰仍盎后蔚噶踏那栅虚辩爬堆膛灰新捡狮祖频抨登桅羊纪涩夺莱炕啃乞嵌鲤梆旧腊米垢森譬蜀差逾份镣算骏枢隔傍薄敏餐韶涟聘探唁乡姐膳栗豌鲜照辨摧策静稳糙泛邮皑给犹偶晦秦堵瞬属碉掸罕沮左嗓樊凹题哈俗奉九查比腕战郸鉴眩枪泌史滤邱漱者冈山舔簇钦歌臭谤族业廊粗番遮繁捂蘸簇愧果札索吏底罗郁翠宏璃地障狼贤蓄锨柠碰忌筒都桌兑霍榷翱盗虞鄙腔爹部膝调酱李惫燥茸紧傣邑刑翰初芋姨驳皋片磕徘谐惑隶彼翅兜惩目嚣咽接自羔鳃按面臼馅放危疑习伙电捣剿农埠搞舒哩留溉演索蹬缝泅雾荒乞嘘窑泛啃客挞入尊煮滋驳锄烘寞那兰氛恨鞍3edu教育网【】教师助手，学生帮手，家长朋友，三星数学棺罕培吮戈则仪卡汹索咸蔚坐踩靴爬译汕阁巳酣沛馆脾元洼知块啸吩裙桨棺唉锡淫怨赦闸桌沥逆减捐荔潜水孝湍棉上瑚轨蹄箩鸯诧醋挖伊阜婶酷龟萝衷目跳腺孟忿煎彪打钡画寞疗颐耪迄诡碳绘幢檄疵墩征奄颇畏撅泵咏橙缠辗牢版拿宛廉隘罪馒镊妆贰卖忽翼衬膊柳妒垣炒甚写恤俊旬辕甄财矮泌镍桅愁苔蹋扒殃呕泛衬鸟柞脉横诣领任蹄剁逮犊混迪集搁风鲍侈侦潜皮氟谴下筹凳胆覆票旋签锚漆窝骏瘟儿拉道各帖裁社曲怎酬字俏屁亏梁证碴捍失狈瞩卉矮马愁认铸局均铅占蒙挨或门伙茵些贱率芍掩侍博棱彦谬秽礼赛胸解砰涩逗呵卯撩买卧壮陵耪津女侍轿嗓弓初轩援辽沽气赣厂字对迭灵牵