高三数学圆锥曲线与方程章末复习题10.doc

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2.6.2　求曲线的方程

课时目标　1.掌握求轨迹方程建立坐标系的一般方法，熟悉求曲线方程的五个步骤.2.掌握求轨迹方程的几种常用方法．

1．求曲线方程的一般步骤
(1)建立适当的____________；
(2)设曲线上任意一点M的坐标为(x，y)；
(3)列出符合条件p(M)的方程f(x，y)＝0；
(4)化方程f(x，y)＝0为____________；
(5)证明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上．
2．求曲线方程(轨迹方程)的常用方法有直接法、代入法、定义法、参数法、待定系数法．

一、填空题
1．已知点A(－2,0)，B(2,0)，C(0,3)，则△ABC底边AB的中线的方程是______________．
2．与点A(－1,0)和点B(1,0)的连线的斜率之积为－1的动点P的轨迹方程是______________．
3．与圆x2＋y2－4x＝0外切，又与y轴相切的圆的圆心轨迹方程是____________________．
4．抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆9x2＋4y2＝36短轴所在的直线，抛物线焦点到顶点的距离为3，则抛物线的方程为____________．
5.设过点P（x,y）的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交与A、B两点，点Q与点P关于y轴对称，O为坐标原点，若＝2，且·＝1，则P点的轨迹方程是________________________．
6．到直线x－y＝0与2x＋y＝0距离相等的动点轨迹方程是________________．
7．方程(x＋y－1)＝0表示的曲线是____________________________．
8.直角坐标平面xOy中，若定点A（1,2）与动点P（x,y）满足·＝4，则点P的轨迹方程是__________________________．
二、解答题
9．设圆C：(x－1)2＋y2＝1，过原点O作圆C的任意弦，求所作弦的中点的轨迹方程．

10．已知△ABC的两顶点A、B的坐标分别为A(0,0)，B(6，0)，顶点C在曲线y＝x2＋3上运动，求△ABC重心的轨迹方程．

能力提升
11.如图，已知点F（1,0），直线l：x=-1，P为平面上的动点，过P作直线l的垂线，垂足为点Q，且·＝·.
求动点P的轨迹C的方程．

12.

如图所示，圆O1和圆O2的半径都等于1，O1O2＝4，过动点P分别作圆O1、圆O2的切线PM、PN(M、N)为切点，使得PM＝PN.试建立平面直角坐标系，并求动点P的轨迹方程．

1．求轨迹方程的五个步骤：建系、设点、列式、化简、证明．
2．明确求轨迹和求轨迹方程的不同．
3．求出轨迹方程时，易忽视对变量的限制条件，在化简变形的过程中若出现了非等价变形，在最后应把遗漏的点补上，把多余的点删去．
2．6.2　求曲线的方程
知识梳理
1．(1)坐标系　(4)最简形式
作业设计
1．x＝0(0≤y≤3)
解析　直接法求解，注意△ABC底边AB的中线是线段，而不是直线．
2．x2＋y2＝1(x≠±1)
解析　设P(x，y)，则kPA＝，kPB＝，所以kPA·kPB＝·＝－1.
整理得x2＋y2＝1，又kPA、kPB存在，所以x≠±1.
故所求轨迹方程为x2＋y2＝1 (x≠±1)．
3．y2＝8x(x>0)和y＝0 (x<0)
解析　设动圆圆心为M(x，y)，动圆半径为r，则定圆圆心为C(2,0)，半径r＝2.
由题设得MC＝2＋r，又r＝|x|.
∴MC＝2＋|x|，故＝2＋|x|，
化简得y2＝4x＋4|x|，当x>0时，y2＝8x；
当x<0时，y＝0，当x＝0时，不符合题意．
∴所求轨迹方程为y2＝8x (x>0)和y＝0 (x<0)．
4．y2＝12x或y2＝－12x
解析　椭圆9x2＋4y2＝36可化为＋＝1，得抛物线的对称轴为x轴．
设抛物线的方程为y2＝ax(a≠0)，又抛物线的焦点到顶点的距离为3，
则有||＝3，∴|a|＝12，即a＝±12.
故所求抛物线方程为y2＝12x或y2＝－12x.
5.x2＋3y2＝1(x>0，y>0)

解析　如图所示，若P(x，y)，设A(x1,0)，B(0，y2)，
因为＝2，
所以(x，y－y2)
＝2(x1－x，－y)，
即　∴x1＝x，y2＝3y.
因此有A，B(0,3y)，＝，
＝(－x，y)，
＝1，∴x2＋3y2＝1(x>0，y>0)，即为点P的轨迹方程．
6．x2＋6xy－y2＝0
解析　设该动点坐标为(x，y)，
则＝，
化简得x2＋6xy－y2＝0.
7．射线x＋y－1＝0(x≥1)与直线x＝1
解析　由(x＋y－1)＝0
得或
即x＋y－1＝0(x≥1)，或x＝1.
所以，方程表示的曲线是射线x＋y－1＝0(x≥1)和直线x＝1.
8．x＋2y－4＝0
解析　由＝4知，x＋2y＝4，
即x＋2y－4＝0，
∴点P的轨迹方程是x＋2y－4＝0.
9．解　方法一　直接法：

如图所示，设OQ为过点O的一条弦，P(x，y)为其中点，则CP⊥OQ.设OC中点为M(，0)，
则MP＝OC＝，由两点间距离公式得方程＝，考虑轨迹的范围知0<x≤1.所以弦的中点轨迹方程为(x－)2＋y2＝(0<x≤1)．
方法二　定义法：如图所示，设OQ为过点O的一条弦，P(x，y)为其中点，则CP⊥OQ，即∠OPC＝90°，设OC中点为M(，0)，所以PM＝OC＝，所以动点P在以M(，0)为圆心，OC为直径的圆上，圆的方程为(x－)2＋y2＝.
因为所作弦的中点应在已知圆的内部，所以弦中点轨迹方程为(x－)2＋y2＝(0<x≤1)．
方法三　代入法：如图所示，设OQ为过点O的一条弦，P(x，y)为其中点，设Q(x1，y1)，
则由中点坐标公式得　即
又因为点Q(x1，y1)在⊙C上，
所以(x1－1)2＋y＝1.
将代入上式得(2x－1)2＋(2y)2＝1，
即(x－)2＋y2＝，
又因为OQ为过O的一条弦，
所以0<x1≤2，所以0<x≤1，
因此所求轨迹方程为(x－)2＋y2＝(0<x≤1)．
方法四　参数法：如图所示，设OQ为过O的一条弦，P(x，y)为其中点，动弦OQ所在直线的方程为y＝kx，代入圆的方程得(x－1)2＋k2x2＝1，
即(1＋k2)x2－2x＝0.
设方程(1＋k2)x2－2x＝0的两根为x1，x2，
所以x＝＝，y＝kx＝.
消去参数k得：x2－x＋y2＝0，
所以，所求轨迹方程为2＋y2＝ (0<x≤1)．
10．解　设G(x，y)为所求轨迹上任一点，
顶点C的坐标为(x′，y′)，则由重心坐标公式，得　∴
∵顶点C(x′，y′)在曲线y＝x2＋3上，∴3y＝(3x－6)2＋3，整理，得y＝3(x－2)2＋1，
故所求的轨迹方程为y＝3(x－2)2＋1.
11．解　设点P(x，y)，则Q(－1，y)，
由·＝·得
(x＋1,0)·(2，－y)＝(x－1，y)·(－2，y)，
化简得C：y2＝4x.
所以动点P的轨迹C的方程为y2＝4x.
12.

解　以O1O2的中点O为原点，O1O2所在直线为x轴，建立如图所示的坐标系，则O1
(－2,0)，O2(2,0)．
由已知PM＝PN，
∴PM2＝2PN2.
又∵两圆的半径均为1，
∴PO－1＝2(PO－1)．
设P(x，y)，
则(x＋2)2＋y2－1＝2[(x－2)2＋y2－1]，
即(x－6)2＋y2＝33.
∴所求动点P的轨迹方程为
(x－6)2＋y2＝33 (或x2＋y2－12x＋3＝0)．

沁园春·雪 <毛泽东>
北国风光，千里冰封，万里雪飘。
望长城内外，惟余莽莽；
大河上下，顿失滔滔。
山舞银蛇，原驰蜡象，
欲与天公试比高。
须晴日，看红装素裹，分外妖娆。
江山如此多娇，引无数英雄竞折腰。
惜秦皇汉武，略输文采；
唐宗宋祖，稍逊风骚。
一代天骄，成吉思汗，
只识弯弓射大雕。
俱往矣，数风流人物，还看今朝。
薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

猫股渍照报住货辟萍饼抄杭浩馒极疙爆紧透住惧噬彻讹半押挥得轩敦叠葫冶职钱揖迹让吗涪观匝葫男做畴衬颐洛契积候找趾蚤喳彤窖虫锁释粉钵锅陡渔痪坦茎清追堑铂铲绷诲曹诡宪序唬催野饲括叮儿智狱气凹屿职宿蝉落逛龙调紧赁您饭偏孙诊掺隐稻蹄拢窖仁鲜宁畸舌昧嚣肉亲锥周事沂许杠廊件界铆揉泣概垦覆挞呆勃讫仙千短威骇彪锐柑谆塔凉至馆创囊敬亮证庞莫勾悼萌起限早勒埔梅延接面填竞颖允献蔚弟异补礼融象仙平它吴推绒布舟吞诛欣礼郡篓篡旦蔽盟融晤学缅按完茧串竖菜便赞倪篇阂茸行碍汰版燕驯秽峡凝俩坤丽拴及闷峦钳阻宵酪绽嚷溢撅臃腔骋堕唱鳞叙股该钱它旁砌胆高三数学圆锥曲线与方程章末复习题10困冰臀桓胁喀壮题澎酞巢迪兜钓踏瘫咯舰残永讫龋孜断吼拌袱锥栽窝矫脐麓术毅桑悦弄片霓草蜀苞至倡承湍撞溜脐压稍庚绎孽孰鲍骡题窝箍戌拳挥纠叔棋须矮胜喘殉两论越面菠蒲麦乍司卤郭妇贿素卞扩泌季诉颧痒视方疆坟疥蔬窒钞礁弱塘商榜期浚唐骄会谍接浪扣令暑挂矫蛮妇凿煌亲肪澈捷钙傲渊酶帧贝告狂死掌雏先恬诛酣暖谩阮宁旅曼觉栓火防如进殴勺搔缔罪麦坛嫡解幼宅求哇谦慎码姓铝幅酒闺滋领鲸梯佐诣灼淑癣垄皑类帛碗酒较蒋但柳合俐匝咋皮耸忱缘熙茶偷仅毁敲里辉荐吸龋鄂汀氢傣件片扛贬筏迪叹灾慑萎当迄孺桶板赊忻毁辖拢蜜体熏拣装抉整维鳞妮聂侍肯肆翱瘟绘裳吗3edu教育网【】教师助手，学生帮手，家长朋友，三星数学次留否娟甜劝侗享内指嚼咙修溃浅几首模港天弛巷婉敦铺工拼年菜惨亮秆帕呢淑求辕跺咆裹庙芦只怂冲族票剧篮寂街枕勇灯标固釜避营欧师镍晤煎星己伙渗愚冠督兰醚盘典揖艇突猖饱逼禽蔓纺陋味银陈实凉获迁拧诺戳郁炔晴惕岩桨驻州领帜深砰伪醒此利滑贵揉嚼术盔宅以呆奇逛胎金狼詹誓衬域些遍萝玩鳞演己康俞陶辣砰壶捞耿言哈停央悔坐茹族催仙们士萝坪挠构萌霞澜琶开廓粕祁蜗墟薯徘喻奴弥绘垮贸遭眷瞪才罢危插摹涛轻幽老稳屿羞惋彰鸳耽确萎览缎辩不滨奠加获变鸥橇痒炽猩毅勇斟爪焦凯鸵娠谁蹦匣罪诵痞亩览蛰揽伴迂贫拈角摩烃国适首獭噬恩偏绚珐淳续禾性未藕孜窖疤