2017-2018学年高一数学下学期模块综合评价检测31.doc

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第四章 圆与方程
4.1 圆的方程
4.1.1 圆的标准方程

A级　基础巩固
一、选择题
1．已知点P(a，a＋1)在圆x2＋y2＝25内部，那么a的取值范围是(　　)
A．－4<a<3　　　 B．－5<a<4
C．－5<a<5 D．－6<a<4
解析：由a2＋(a＋1)2<25可得2a2＋2a－24<0，
解得－4<a<3.
答案：A
2．圆x2＋y2＝1的圆心到直线3x＋4y－25＝0的距离是(　　)
A．5　　　　 B．3 　　　　C．4　　　 　D．2
解析：圆x2＋y2＝1的圆心为(0，0)，
所以d＝＝5.
答案：A
3．若圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2过原点，则(　　)
A．a2＋b2＝0 B．a2＋b2＝r2
C．a2＋b2＋r2＝0 D．a＝0，b＝0
解析：由题意得(0－a)2＋(0－b)2＝r2.
即a2＋b2＝r2.
答案：B
4．圆(x－1)2＋(y－1)2＝1上的点到直线x－y＝2的距离的最大值是(　　)
A．2 B．1＋
C．2＋ D．1＋2
解析：圆(x－1)2＋(y－1)2＝1的圆心为(1，1)，圆心到直线x－y＝2的距离为＝，圆心到直线的距离加上半径就是圆上的点到直线的最大距离，即最大距离为1＋.
答案：B
5．已知圆C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝1，圆C2与圆C1关于直线x－y－1＝0对称，则圆C2的方程为(　　)
A．(x＋2)2＋(y－2)2＝1
B．(x－2)2＋(y－2)2＝1
C．(x＋2)2＋(y＋2)2＝1
D．(x－2)2＋(y＋2)2＝1
解析：设点(x，y)与圆C1的圆心(－1，1)，关于直线x－y－1＝0对称，则
解得故圆C2的圆心为(2，－2)，又知其半径为1，故圆C2的方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝1.
答案：D
二、填空题
6．已知两圆C1：(x－5)2＋(y－3)2＝9和C2：(x－2)2＋(y＋1)2＝5，则两圆圆心间的距离为__________．
解析：C1(5，3)，C2(2，－1)，根据两点间距离公式得|C1C2|＝＝5.
答案：5
7．圆心为直线x－y＋2＝0与直线2x＋y－8＝0的交点，且过原点的圆的标准方程是____________．
解析：由可得x＝2，y＝4，即圆心为(2，4)从而r＝＝2，
故圆的标准方程为(x－2)2＋(y－4)2＝20.
答案：(x－2)2＋(y－4)2＝20.
8．点(5＋1，)在圆(x－1)2＋y2＝26的内部，则a的取值范围是____________．
解析：由于点在圆的内部，所以(5＋1－1)2＋()2<26，即26a<26，又a≥0，解得0≤a<1.
答案：0≤a<1
三、解答题
9．求经过A(－1，4)，B(3，2)两点且圆心在y轴上的圆的方程．
解：法一　设圆心坐标为(a，b)．
因为圆心在y轴上，所以a＝0.
设圆的标准方程为x2＋(y－b)2＝r2.
因为该圆过A，B两点，
所以解得
所以所求圆的方程为x2＋(y－1)2＝10.
法二　因为线段AB的中点坐标为(1，3)，kAB＝＝－，
所以弦AB的垂直平分线方程为y－3＝2(x－1)，
即y＝2x＋1.
由解得
所以点(0，1)为圆的圆心．
由两点间的距离公式，得圆的半径r＝，
所以所求圆的方程为x2＋(y－1)2＝10.
10．求圆＋(y＋1)2＝关于直线x－y＋1＝0对称的圆的方程．
解：圆＋(y＋1)2＝的圆心为M，
半径r＝.设所求圆的圆心为(m，n)，
因为它与关于直线x－y＋1＝0对称，
因为解得
所以所求圆的圆心坐标为，半径r＝.
所以对称圆的方程是(x＋2)2＋＝.
B级　能力提升
1．过点P(1，1)的直线将圆形区域{(x，y)|x2＋y2≤4}分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为(　　)
A．x＋y－2＝0 B．y－1＝0
C．x－y＝0 D．x＋3y－4＝0
解析：两部分面积之差最大，即弦长最短，此时直线垂直于过该点的直径．
因为过点P(1，1)的直径所在直线的斜率为1，所以所求直线的斜率为－1，方程x＋y－2＝0.
答案：A
2．已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为________．
解析：两圆的圆心均在第一象限，先求|PC1|＋|PC2|的最小值．
作点C1关于x轴的对称点C′1(2，－3)，
则(|PC1|＋|PC2|)min＝|C′1C′2|＝5，
所以(|PM|＋|PN|)min＝5－(1＋3)＝5－4.
答案：5－4.
3．已知圆C的圆心坐标为C(x0，x0)，且过定点P(4，2)．
(1)求圆C的方程(用含x0的方程表示)；
(2)当x0为何值时，圆C的面积最小？并求出此时圆C的标准方程．
解：(1)由题意，设圆C的标准方程为(x－x0)2＋(y－x0)2＝r2(r≠0)．
因为圆C过定点P(4，2)，所以(4－x0)2＋(2－x0)＝r2(r≠0)，
所以r2＝2x－12x0＋20.
所以圆C的标准方程为(x－x0)2＋(y－x0)2＝2x－12x0＋20.
(2)因为(x－x0)2＋(y－x0)2＝2x＋20＝2(x0－3)2＋2，
所以当x0＝3时，圆C的半径长最小，即面积最小，
此时圆C的标准方程为(x－3)2＋(y－3)2＝2.

沁园春·雪 <毛泽东>
北国风光，千里冰封，万里雪飘。
望长城内外，惟余莽莽；
大河上下，顿失滔滔。
山舞银蛇，原驰蜡象，
欲与天公试比高。
须晴日，看红装素裹，分外妖娆。
江山如此多娇，引无数英雄竞折腰。
惜秦皇汉武，略输文采；
唐宗宋祖，稍逊风骚。
一代天骄，成吉思汗，
只识弯弓射大雕。
俱往矣，数风流人物，还看今朝。
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