三角函数高考题及练习题(含答案).doc

　三角函数高考题及练习题（含答案）
1. 掌握正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质；会用“五点法”作出正弦函数及余弦函数的图象；掌握函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及性质．
2. 高考试题中，三角函数题相对比较传统，位置靠前，通常是以简单题形式出现，因此在本讲复习中要注重三角知识的基础性，特别是要熟练掌握三角函数的定义、三角函数图象的识别及其简单的性质(周期、单调性、奇偶、最值、对称、图象平移及变换等)．
3. 三角函数是每年高考的必考内容，多数为基础题，难度属中档偏易．这几年的高考加强了对三角函数定义、图象和性质的考查．在这一讲复习中要重视解三角函数题的一些特殊方法，如函数法、待定系数法、数形结合法等．
1. 函数y＝2sin2－1是最小正周期为________的________(填“奇”或“偶”)函数．
答案：π　奇
解析：y＝－cos＝－sin2x.
2. 函数f(x)＝lgx－sinx的零点个数为________．
答案：3
解析：在(0，＋∞)内作出函数y＝lgx、y＝sinx的图象，即可得到答案．
3. 函数y＝2sin(3x＋φ)，的一条对称轴为x＝，则φ＝________．
答案：
解析：由已知可得3×＋φ＝kπ＋，k∈Z，即φ＝kπ＋，k∈Z.因为|φ|<，所以φ＝.
4. 若f(x)＝2sinωx(0<ω<1)在区间上的最大值是，则ω＝________．
答案：
解析：由0≤x≤，得0≤ωx≤<，则f(x)在上单调递增，且在这个区间上的最大值是，所以2sin＝，且0<<，所以＝，解得ω＝.
题型二 三角函数定义及应用问题
例1 设函数f(θ)＝sinθ＋cosθ，其中角θ的顶点与坐标原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边经过点P(x，y)，且0≤θ≤π.
(1) 若点P的坐标是，求f(θ)的值；
(2) 若点P(x，y)为平面区域上的一个动点，试确定角θ的取值范围，并求函数f(θ)的最小值和最大值．
解：(1) 根据三角函数定义得sinθ＝，cosθ＝，∴ f(θ)＝2.(本题也可以根据定义及角的范围得角θ＝，从而求出 f(θ)＝2)．
(2) 在直角坐标系中画出可行域知0≤θ≤，又f(θ)＝sinθ＋cosθ＝2sin，∴ 当θ＝0，f(θ)min＝1；当θ＝，f(θ)max＝2.
(注： 注意条件，使用三角函数的定义， 一般情况下，研究三角函数的周期、最值、单调性及有关计算等问题时，常可以先将函数化简变形为y＝Asin(ωx＋φ)的形式)
如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α、β，它们的终边分别与单位圆相交于A、B两点，已知A、B的横坐标分别为、.求：
(1) tan(α＋β)的值；
(2) α＋2β的值．
解：由题意得cos α＝，cos β＝，α、β∈，所以sin α＝＝，sin β＝＝，
因此tan α＝7，tan β＝.
(1) tan(α＋β)＝＝＝－3.
(2) tan(α＋2β)＝tan[(α＋β)＋β]＝＝－1.
又α＋2β∈，所以α＋2β＝.
题型二 三角函数的图象与解析式问题
例2 函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A、ω、φ是常数，A>0，ω>0)的部分图象如图所示．
(1) 求f(0)的值；
(2) 若0<φ<π，求函数f(x)在区间上的取值范围．
解：(1)由题图可知A＝，
∵ ＝－＝，∴ ω＝2.又2×＋φ＝2kπ＋，
∴ φ＝2kπ＋(k∈Z)，
∴ f(0)＝sin＝.
(2) φ＝，f(x)＝sin.因为0≤x≤，所以≤2x＋≤π，所以0≤sin≤1，即f(x)的取值范围为[0，]．
(注：本题主要考查正弦、余弦、正切函数及y＝Asin(ωx＋φ)的图象与性质以及诱导公式，运用数形结合思想，属于中档题)
已知函数f(x)＝Asin ωx＋Bcos ωx(A、B、ω是常数，ω＞0)的最小正周期为2，并且当x＝时，f(x)max＝2.
(1) 求f(x)的解析式；
(2) 在闭区间上是否存在f(x)的对称轴？如果存在，求出其对称轴方程；如果不存在，请说明理由．
解：(1) 因为f(x)＝sin(ωx＋φ)，由它的最小正周期为2，知＝2，ω＝π.又当x＝时，f(x)max＝2，知π＋φ＝2kπ＋(k∈Z)，即φ＝2kπ＋(k∈Z)，所以f(x)＝2sin＝2sin(k∈Z)．
故f(x)的解析式为f(x)＝2sin.
(2) 当垂直于x轴的直线过正弦曲线的最高点或最低点时，该直线就是正弦曲线的对称轴，令πx＋＝kπ＋(k∈Z)，解得x＝k＋(k∈Z)，由≤k＋≤，解得≤k≤.又k∈Z，知k＝5，由此可知在闭区间上存在f(x)的对称轴，其方程为x＝.
题型三 三角函数的性质与图象的移动问题
例3 把函数f(x)＝sin2x－2sinxcosx＋3cos2x的图象沿x轴向左平移m个单位(m>0)，所得函数的图象关于直线x＝对称．
(1) 求m的最小值；
(2) 证明：当x∈时，经过函数f(x)图象上任意两点的直线的斜率恒为负数；
(3) 设x1，x2∈(0，π)，x1≠x2，且f(x1)＝f(x2)＝1，求x1＋x2的值．
(1) 解：f(x)＝sin2x－2sinxcosx＋3cos2x＝－sin2x＋3·＝cos2x－sin2x＋2＝cos＋2.
因为将f(x)的图象沿x轴向左平移m个单位(m>0)，得到g(x)＝＋2的图象，又g(x)的图象关于直线x＝对称，
所以2＋＝kπ，即m＝π(k∈Z)．
因为m>0，所以m的最小值为.
(2) 证明：因为x∈，所以－4π<2x＋<－，所以f(x)在上是减函数．所以当x1、x2∈，且x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，从而经过任意两点(x1，f(x1))和(x2，f(x2))的直线的斜率k＝<0.
(3) 解：令f(x)＝1，所以cos＝－.
因为x∈(0，π)，所以2x＋∈.
所以2x＋＝或2x＋＝，即x＝或x＝.
因为x1、x2∈(0，π)，x1≠x2，且f(x1)＝f(x2)＝1，所以x1＋x2＝＋＝
已知函数f(x)＝2sinωx，其中常数ω>0.
(1) 若y＝f(x)在上单调递增，求ω的取值范围；
(2) 令ω＝2，将函数y＝f(x)的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数y＝g(x)的图象，区间[a，b](a，b∈R且a<b)满足：y＝g(x)在[a，b]上至少含有30个零点，在所有满足上述条件的[a，b]中，求b－a的最小值．
解：(1) 因为ω>0，根据题意有
0<ω≤.
(2) f(x)＝2sin2x，g(x)＝2sin2＋1＝2sin＋1，g(x)＝0sin＝－x＝kπ－或x＝kπ－π，k∈Z, 即g(x)的零点相邻间隔依次为和，故若y＝g(x)在[a，b]上至少含有30个零点，则b－a的最小值为14×＋15×＝.
已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)－cos(ωx＋φ)(0<φ<π，ω>0)为偶函数，且函数y＝f(x)图象的两相邻对称轴间的距离为.
(1) 求f的值；
(2) 将函数y＝f(x)的图象向右平移个单位后，得到函数y＝g(x)的图象，求函数g(x)的单调递减区间．
解：(1) f(x)＝sin(ωx＋φ)－cos(ωx＋φ)＝2＝2sin.因为f(x)为偶函数，所以对x∈R，f(－x)＝f(x)恒成立，
因此sin＝sin，
即－sinωxcos＋cosωxsin＝sinωxcos(φ－)＋cosωxsin，
整理得sinωxcos＝0.因为ω＞0，且x∈R，
所以cos＝0.又0＜φ＜π，故φ－＝.
所以f(x)＝2sin＝2cosωx.由题意得＝2×，所以ω＝2，故f(x)＝2cos2x，因此f＝2cos＝.
(2) 将f(x)的图象向右平移个单位后，得到f的图象，所以g(x)＝f＝2cos＝2cos.当2kπ≤2x－≤2kπ＋π(k∈Z)，即kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)时，g(x)单调递减，因此g(x)的单调递减区间为(k∈Z)．
题型四 三角函数图象及性质、三角公式综合运用
例4 已知函数f(x)＝2sin2－cos2x－1，x∈R.
(1) 求f(x)的最小正周期；
(2) 若h(x)＝f(x＋t)的图象关于点对称，且t∈(0，π)，求t的值；
(3) 当x∈时，不等式|f(x)－m|<3恒成立，求实数m的取值范围．
解：(1)因为f(x)＝－cos－cos2x＝2sin，故f(x)的最小正周期为π.
(2) h(x)＝2sin.令2×＋2t－＝kπ(k∈Z)，又t∈(0，π)，故t＝或.
(3) 当x∈时，2x－∈，
∴ f(x)∈[1，2]．又|f(x)－m|＜3，即f(x)－3＜m＜f(x)＋3，
∴ 2－3＜m＜1＋3，即－1＜m＜4.
已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π)，在同一周期内，当x＝时，f(x)取得最大值3；当x＝π时，f(x)取得最小值－3.
(1) 求函数f(x)的解析式；
(2) 求函数f(x)的单调递减区间；
(3) 若x∈时，函数h(x)＝2f(x)＋1－m有两个零点，求实数m的取值范围．
解：(1) 由题意，A＝3，T＝2＝π，ω＝＝2.
由2×＋φ＝＋2kπ得φ＝＋2kπ，k∈Z.
又 －π<φ<π，∴ φ＝，∴ f(x)＝3sin.
(2) 由＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，得＋2kπ≤2x≤＋2kπ，即＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.
∴ 函数f(x)的单调递减区间为，k∈Z.
(3) 由题意知，方程sin＝在上有两个根．
∵ x∈，∴ 2x＋∈.
∴ ∈，∴ m∈[1－3，7)．
1. (2013·江西卷)设f(x)＝sin3x＋cos3x，若对任意实数x都有|f(x)|≤a，则实数a的取值范围是________．
答案：a≥2
解析：f(x)＝sin3x＋cos3x＝2sin，|f(x)|≤2，所以a≥2.
2. (2013·天津卷)函数f(x)＝sin在区间上的最小值是________．
答案：－
3. (2013·全国卷)函数y＝cos(2x＋φ)(－π≤φ<π)的图象向右平移个单位后，与函数y＝sin的图象重合，则|φ|＝________．
答案：
4. (2014·北京卷)设函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A、ω、φ是常数，A>0，ω>0)．若f(x)在区间上具有单调性，且f＝f＝－f，则f(x)的最小正周期为________．
答案：π
解析：由f(x)在区间上具有单调性，f＝－f知，函数f(x)的对称中心为，函数f(x)的对称轴为直线x＝＝，设函数f(x)的最小正周期为T，所以T≥－，即T≥，所以－＝，解得T＝π.
5. (2014·福建卷)已知函数f(x)＝cosx(sinx＋cosx)－.
(1) 若0<α<，且sinα＝，求f(α)的值；
(2) 求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间．
解：(解法1)(1) 因为0<α<，sinα＝，所以cosα＝.
所以f(α)＝－＝.
(2) 因为f(x)＝sinxcosx＋cos2x－＝sin2x＋－＝sin2x＋cos2x＝sin，所以T＝＝π.由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.所以f(x)的单调递增区间为，k∈Z.
(解法2)f(x)＝sinxcosx＋cos2x－＝sin2x＋－＝sin2x＋cos2x＝sin.
(1) 因为0<α<，sinα＝，所以α＝.
从而f(α)＝sin＝sin＝.
(2) T＝＝π.
由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.所以f(x)的单调递增区间为，k∈Z.
6. (2013·北京卷)已知函数f(x)＝(2cos2x－1)sin2x＋cos4x.
(1) 求f(x)的最小正周期及最大值；
(2) 若α∈，且f(α)＝，求α的值．
解：(1) 因为f(x)＝(2cos2x－1)sin2x＋cos4x＝cos2xsin2x＋cos4x＝(sin4x＋cos4x)＝sin，所以f(x)的最小正周期为，最大值为.
(2) 因为f(α)＝，所以sin＝1.
因为α∈，所以4α＋∈，
所以4α＋＝，故α＝.
(本题模拟高考评分标准，满分14分)
设a>0，函数f(x)＝asinxcosx－sinx－cosx，x∈的最大值为G(A)．
(1) 设t＝sinx＋cosx，x∈，求t的取值范围，并把f(x)表示为t的函数m(t)；
(2) 求G(A)．
解：(1) t＝sinx＋cosx＝sin.
∵ x∈，∴ x＋∈，
∴ ≤sin≤1，
∴ 1≤t≤，即t的取值范围为[1，]．(3分)
(另解：∵ x∈，∴ t＝sinx＋cosx＝.由2x∈[0，π]得0≤sin2x≤1，∴ 1≤t≤)
∵ t＝sinx＋cosx，∴ sinxcosx＝，(5分)
∴ m(t)＝a·－t＝at2－t－a，t∈[1，]，a>0.(7分)
(2) 由二次函数的图象与性质得：
① 当<，即a>2(－1)时，G(A)＝m()＝a－； (10分)
② 当≥，即0<a≤2(－1)时，G(A)＝m(1)＝－.(13分)
∴ G(A)＝(14分)
1. 若＜x＜，则函数y＝tan2xtan3x的最大值为________．
答案：－8
解析：令tanx＝t∈(1，＋∞)，y＝，y′(t)＝，得t＝时y取最大值－8.
2. 已知函数f(x)＝2cos2x＋sin2x，求：
(1) f的值；
(2) f(x)的最大值和最小值．
解：(1) f＝2cos＋sin2＝－1＋＝－.
(2) f(x)＝2(2cos2x－1)＋(1－cos2x)＝3cos2x－1，x∈R.因为cosx∈[－1，1]，所以当cosx＝±1时，f(x)取最大值2；当cosx＝0时，f(x)取最小值－1.
3. 已知A为△ABC的内角，求y＝cos2A＋cos2的取值范围．
解： y＝cos2A＋cos2＝＋
＝1＋＋
＝1＋＝1＋cos.
∵ A为三角形内角，
∴ 0＜A＜π，∴ －1≤cos≤1，
∴ y＝cos2A＋cos2的取值范围是[，]．
4. 设函数f(x)＝－cos2x－4tsincos＋4t3＋t2－3t＋4，x∈R，其中|t|≤1，将f(x)的最小值记为g(t)．
(1) 求g(t)的表达式；
(2) 讨论g(t)在区间(－1，1)内的单调性并求极值．
解：(1) f(x)＝－cos2x－4tsincos＋4t3＋t2－3t＋4
＝sin2x－2tsinx＋4t3＋t2－3t＋3
＝(sinx－t)2＋4t3－3t＋3.
由于(sinx－t)2≥0，|t|≤1，故当sinx＝t时，f(x)达到其最小值g(t)，即g(t)＝4t3－3t＋3.
(2) g′(t)＝12t2－3＝3(2t＋1)(2t－1)，－1＜t＜1.
列表如下：
t

－

g′(t)
＋
0
－
0
＋
g(t)

极大值

极小值

由此可见，g(t)在区间和上单调增，在区间上单调减，极小值为g＝2，极大值为g＝4.