高中数学竞赛讲义(7)解三角形.doc

高中数学竞赛讲义（七）解三角形一、基础知识在本章中约定用A，B，C分别表示ABC的三个内角，a, b, c分别表示它们所对的各边长，为半周长。1正弦定理：=2R（R为ABC外接圆半径）。推论1：ABC的面积为SABC=推论2：在ABC中，有bcosC+ccosB=a.推论3：在ABC中，A+B=，解a满足，则a=A.正弦定理可以在外接圆中由定义证明得到，这里不再给出，下证推论。先证推论1，由正弦函数定义，BC边上的高为bsinC，所以SABC=；再证推论2，因为B+C=-A，所以sin(B+C)=sinA，即sinBcosC+cosBsinC=sinA，两边同乘以2R得bcosC+ccosB=a；再证推论3，由正弦定理，所以，即sinasin(-A)=sin(-a)sinA，等价于cos(-A+a)-cos(-A-a)= cos(-a+A)-cos(-a-A)，等价于cos(-A+a)=cos(-a+A)，因为0-A+a，-a+A. 所以只有-A+a=-a+A，所以a=A，得证。2余弦定理：a2=b2+c2-2bccosA，下面用余弦定理证明几个常用的结论。（1）斯特瓦特定理：在ABC中，D是BC边上任意一点，BD=p，DC=q，则AD2= （1）【证明】 因为c2=AB2=AD2+BD2-2ADBDcos，所以c2=AD2+p2-2ADpcos 同理b2=AD2+q2-2ADqcos， 因为ADB+ADC=，所以cosADB+cosADC=0，所以q+p得qc2+pb2=(p+q)AD2+pq(p+q)，即AD2=注：在（1）式中，若p=q，则为中线长公式（2）海伦公式：因为b2c2sin2A=b2c2 (1-cos2A)= b2c2 (b+c)-a2a2-(b-c) 2=p(p-a)(p-b)(p-c).这里所以SABC=二、方法与例题1面积法。例1 （共线关系的张角公式）如图所示，从O点发出的三条射线满足，另外OP，OQ，OR的长分别为u, w, v，这里，+(0, )，则P，Q，R的共线的充要条件是【证明】P，Q，R共线(+)=uwsin+vwsin，得证。2正弦定理的应用。例2 如图所示，ABC内有一点P，使得BPC-BAC=CPA-CBA=APB-ACB。求证：APBC=BPCA=CPAB。【证明】 过点P作PDBC，PEAC，PFAB，垂足分别为D，E，F，则P，D，C，E；P，E，A，F；P，D，B，F三组四点共圆，所以EDF=PDE+PDF=PCA+PBA=BPC-BAC。由题设及BPC+CPA+APB=3600可得BAC+CBA+ACB=1800。所以BPC-BAC=CPA-CBA=APB-ACB=600。所以EDF=600，同理DEF=600，所以DEF是正三角形。所以DE=EF=DF，由正弦定理，CDsinACB=APsinBAC=BPsinABC，两边同时乘以ABC的外接圆直径2R，得CPBA=APBC=BPAC，得证：例3 如图所示，ABC的各边分别与两圆O1，O2相切，直线GF与DE交于P，求证：PABC。【证明】 延长PA交GD于M，因为O1GBC，O2DBC，所以只需证由正弦定理，所以另一方面，所以，所以，所以PA/O1G，即PABC，得证。3一个常用的代换：在ABC中，记点A，B，C到内切圆的切线长分别为x, y, z，则a=y+z, b=z+x, c=x+y.例4 在ABC中，求证：a2(b+c-a)+b2(c+a-b)+c2(a+b-c) 3abc.【证明】 令a=y+z, b=z+x, c=x+y，则abc=(x+y)(y+z)(z+x)=8xyz=(b+c-a)(a+c-b)(a+b-c)=a2(b+c-a)+b2(c+a-b)+c2(a+b-c)-2abc.所以a2(b+c-a)+b2(c+a-b)+c2(a+b-c) 3abc.4三角换元。例5 设a, b, cR+，且abc+a+c=b，试求的最大值。【解】 由题设，令a=tan, c=tan, b=tan,则tan=tan(+), P=2sinsin(2+)+3cos2，当且仅当+=，sin=，即a=时，Pmax=例6 在ABC中，若a+b+c=1，求证: a2+b2+c2+4abc【证明】 设a=sin2cos2, b=cos2cos2, c=sin2, .因为a, b, c为三边长，所以c|a-b|，从而，所以sin2|cos2cos2|.因为1=(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ca),所以a2+b2+c2+4abc=1-2(ab+bc+ca-2abc).又ab+bc+ca-2abc=c(a+b)+ab(1-2c)=sin2cos2+sin2cos2cos4cos2=1-cos22+(1-cos22)cos4cos2=+cos2(cos4-cos22cos4-cos2)+cos2(cos4-sin4-cos2)=.所以a2+b2+c2+4abcb”是“sinAsinB”的_条件.6在ABC中，sinA+cosA0, tanA-sinA1，则ABC为_角三角形.11三角形有一个角是600，夹这个角的两边之比是8：5，内切圆的面积是12，求这个三角形的面积。12已知锐角ABC的外心为D，过A，B，D三点作圆，分别与AC，BC相交于M，N两点。求证：MNC的外接圆半径等于ABD的外接圆半径。13已知ABC中，sinC=，试判断其形状。四、高考水平训练题1在ABC中，若tanA=, tanB=，且最长边长为1，则最短边长为_.2已知nN+，则以3，5，n为三边长的钝角三角形有_个.3已知p, qR+, p+q=1，比较大小：psin2A+qsin2B_pqsin2C.4在ABC中，若sin2A+sin2B+sin2C=4sinAsinBsinC，则ABC 为_角三角形.5若A为ABC 的内角，比较大小：_3.6若ABC满足acosA=bcosB，则ABC的形状为_.7满足A=600，a=, b=4的三角形有_个.8设为三角形最小内角，且acos2+sin2-cos2-asin2=a+1，则a的取值范围是_.9A，B，C是一段笔直公路上的三点，分别在塔D的西南方向，正西方向，西偏北300方向，且AB=BC=1km，求塔与公路AC段的最近距离。10求方程的实数解。11求证：五、联赛一试水平训练题1在ABC中，b2=ac，则sinB+cosB的取值范围是_.2在ABC中，若，则ABC 的形状为_.3对任意的ABC，-(cotA+cotB+cotC)，则T的最大值为_.4在ABC中，的最大值为_.5平面上有四个点A，B，C，D，其中A，B为定点，|AB|=，C，D为动点，且|AD|=|DC|=|BC|=1。记SABD=S，SBCD=T，则S2+T2的取值范围是_.6在ABC中，AC=BC，O为ABC的一点，ABO=300，则ACO=_.7在ABC中，ABC，则乘积的最大值为_，最小值为_.8在ABC中，若c-a等于AC边上的高h，则=_.9如图所示，M，N分别是ABC外接圆的弧，AC中点，P为BC上的动点，PM交AB于Q，PN交AC于R，ABC的内心为I，求证：Q，I，R三点共线。10如图所示，P，Q，R分别是ABC的边BC，CA，AB上一点，且AQ+AR=BR+BP=CQ+CP。求证：AB+BC+CA2（PQ+QR+RP）。11在ABC外作三个等腰三角形BFC，ADC，AEB，使BF=FC，CD=DA，AE=EB，ADC=2BAC，AEB=2ABC，BFC=2ACB，并且AF，BD，CE交于一点，试判断ABC的形状。六、联赛二试水平训练题1已知等腰ABC，AB=AC，一半圆以BC的中点为圆心，且与两腰AB和AC分别相切于点D和G，EF与半圆相切，交AB于点E，交AC于点F，过E作AB的垂线，过F作AC的垂线，两垂线相交于P，作PQBC，Q为垂足。求证：，此处=B。2设四边形ABCD的对角线交于点O，点M和N分别是AD和BC的中点，点H1，H2（不重合）分别是AOB与COD的垂心，求证：H1H2MN。3已知ABC，其中BC上有一点M，且ABM与ACM的内切圆大小相等，求证：，此处(a+b+c), a, b, c分别为ABC对应三边之长。4已知凸五边形ABCDE，其中ABC=AED=900，BAC=EAD，BD与CE交于点O，求证：AOBE。5已知等腰梯形ABCD，G是对角线BD与AC的交点，过点G作EF与上、下底平行，点E和F分别在AB和CD上，求证：AFB=900的充要条件是AD+BC=CD。6AP，AQ，AR，AS是同一个圆中的四条弦，已知PAQ=QAR=RAS，求证：AR（AP+AR）=AQ（AQ+AS）。7已知一凸四边形的边长依次为a, b, c, d，外接圆半径为R，如果a2+b2+c2+d2=8R2，试问对此四边形有何要求？8设四边形ABCD内接于圆，BA和CD延长后交于点R，AD和BC延长后交于点P，A，B，C指的都是ABC的内角，求证：若AC与BD交于点Q，则9设P是ABC内一点，点P至BC，CA，AB的垂线分别为PD，PE，PF（D，E，F是垂足），求证：PAPBPC(PD+PE)(PE+PF)(PF+PD)，并讨论等号成立之条件。8