高中数学竞赛讲义(7)解三角形.doc

高中数学竞赛讲义（七）
──解三角形
一、基础知识
在本章中约定用A，B，C分别表示△ABC的三个内角，a, b, c分别表示它们所对的各边长，为半周长。
1．正弦定理：=2R（R为△ABC外接圆半径）。
推论1：△ABC的面积为S△ABC=
推论2：在△ABC中，有bcosC+ccosB=a.
推论3：在△ABC中，A+B=，解a满足，则a=A.
正弦定理可以在外接圆中由定义证明得到，这里不再给出，下证推论。先证推论1，由正弦函数定义，BC边上的高为bsinC，所以S△ABC=；再证推论2，因为B+C=-A，所以sin(B+C)=sinA，即sinBcosC+cosBsinC=sinA，两边同乘以2R得bcosC+ccosB=a；再证推论3，由正弦定理，所以，即sinasin(-A)=sin(-a)sinA，等价于[cos(-A+a)-cos(-A-a)]= [cos(-a+A)-cos(-a-A)]，等价于cos(-A+a)=cos(-a+A)，因为0<-A+a，-a+A<. 所以只有-A+a=-a+A，所以a=A，得证。
2．余弦定理：a2=b2+c2-2bccosA，下面用余弦定理证明几个常用的结论。
（1）斯特瓦特定理：在△ABC中，D是BC边上任意一点，BD=p，DC=q，则AD2=      （1）
【证明】  因为c2=AB2=AD2+BD2-2AD·BDcos，
所以c2=AD2+p2-2AD·pcos       ①
同理b2=AD2+q2-2AD·qcos，      ②
因为ADB+ADC=，
所以cosADB+cosADC=0，
所以q×①+p×②得
qc2+pb2=(p+q)AD2+pq(p+q)，即AD2=
注：在（1）式中，若p=q，则为中线长公式
（2）海伦公式：因为b2c2sin2A=b2c2 (1-cos2A)= b2c2 [(b+c)-a2][a2-(b-c) 2]=p(p-a)(p-b)(p-c).
这里
所以S△ABC=
二、方法与例题
1．面积法。
例1  （共线关系的张角公式）如图所示，从O点发出的三条射线满足，另外OP，OQ，OR的长分别为u, w, v，这里α，β，α+β∈(0, )，则P，Q，R的共线的充要条件是

【证明】P，Q，R共线
(α+β)=uwsinα+vwsinβ
，得证。
2．正弦定理的应用。
例2  如图所示，△ABC内有一点P，使得BPC-BAC=CPA-CBA=APB-ACB。
求证：AP·BC=BP·CA=CP·AB。
【证明】  过点P作PDBC，PEAC，PFAB，垂足分别为D，E，F，则P，D，C，E；P，E，A，F；P，D，B，F三组四点共圆，所以EDF=PDE+PDF=PCA+PBA=BPC-BAC。由题设及BPC+CPA+APB=3600可得BAC+CBA+ACB=1800。
所以BPC-BAC=CPA-CBA=APB-ACB=600。
所以EDF=600，同理DEF=600，所以△DEF是正三角形。
所以DE=EF=DF，由正弦定理，CDsinACB=APsinBAC=BPsinABC，两边同时乘以△ABC的外接圆直径2R，得CP·BA=AP·BC=BP·AC，得证：
例3  如图所示，△ABC的各边分别与两圆⊙O1，⊙O2相切，直线GF与DE交于P，求证：PABC。
【证明】  延长PA交GD于M，
因为O1GBC，O2DBC，所以只需证
由正弦定理，
所以
另一方面，，
所以，
所以，所以PA//O1G，
即PABC，得证。
3．一个常用的代换：在△ABC中，记点A，B，C到内切圆的切线长分别为x, y, z，则a=y+z, b=z+x, c=x+y.
例4  在△ABC中，求证：a2(b+c-a)+b2(c+a-b)+c2(a+b-c) ≤3abc.
【证明】  令a=y+z, b=z+x, c=x+y，则
abc=(x+y)(y+z)(z+x)

=8xyz=(b+c-a)(a+c-b)(a+b-c)
=a2(b+c-a)+b2(c+a-b)+c2(a+b-c)-2abc.
所以a2(b+c-a)+b2(c+a-b)+c2(a+b-c) ≤3abc.
4．三角换元。
例5  设a, b, c∈R+，且abc+a+c=b，试求的最大值。
【解】  由题设，令a=tanα, c=tanγ, b=tanβ,
则tanβ=tan(α+γ), P=2sinγsin(2α+γ)+3cos2γ≤，
当且仅当α+β=，sinγ=，即a=时，Pmax=
例6  在△ABC中，若a+b+c=1，求证: a2+b2+c2+4abc<
【证明】  设a=sin2αcos2β, b=cos2αcos2β, c=sin2β, β.
因为a, b, c为三边长，所以c<, c>|a-b|，
从而，所以sin2β>|cos2α·cos2β|.
因为1=(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ca),
所以a2+b2+c2+4abc=1-2(ab+bc+ca-2abc).
又ab+bc+ca-2abc=c(a+b)+ab(1-2c)
=sin2βcos2β+sin2αcos2α·cos4β·cos2β
=[1-cos22β+(1-cos22α)cos4βcos2β]
=+cos2β(cos4β-cos22αcos4β-cos2β)
>+cos2β(cos4β-sin4β-cos2β)=.
所以a2+b2+c2+4abc<
三、基础训练题
1．在△ABC中，边AB为最长边，且sinAsinB=，则cosAcosB的最大值为__________.
2．在△ABC中，若AB=1，BC=2，则的取值范围是__________.
3．在△ABC中，a=4, b+c=5, tanC+tanB+tanCtanB，则△ABC的面积为__________.
4．在△ABC中，3sinA+4cosB=6, 3cosA+4sinB=1，则=__________.
5．在△ABC中，“a>b”是“sinA>sinB”的__________条件.
6．在△ABC中，sinA+cosA>0, tanA-sinA<0，则角A的取值范围是__________.
7．在△ABC中，sinA=，cosB=，则cosC=__________.
8．在△ABC中，“三边a, b, c成等差数列”是“tan”的__________条件.
9．在△ABC中，若sinC=2cosAsinB，则三角形形状是__________.
10．在△ABC中，tanA·tanB>1，则△ABC为__________角三角形.
11．三角形有一个角是600，夹这个角的两边之比是8：5，内切圆的面积是12，求这个三角形的面积。
12．已知锐角△ABC的外心为D，过A，B，D三点作圆，分别与AC，BC相交于M，N两点。求证：△MNC的外接圆半径等于△ABD的外接圆半径。
13．已知△ABC中，sinC=，试判断其形状。
四、高考水平训练题
1．在△ABC中，若tanA=, tanB=，且最长边长为1，则最短边长为__________.
2．已知n∈N+，则以3，5，n为三边长的钝角三角形有________个.
3．已知p, q∈R+, p+q=1，比较大小：psin2A+qsin2B__________pqsin2C.
4．在△ABC中，若sin2A+sin2B+sin2C=4sinAsinBsinC，则△ABC 为__________角三角形.
5．若A为△ABC 的内角，比较大小：__________3.
6．若△ABC满足acosA=bcosB，则△ABC的形状为__________.
7．满足A=600，a=, b=4的三角形有__________个.
8．设为三角形最小内角，且acos2+sin2-cos2-asin2=a+1，则a的取值范围是__________.
9．A，B，C是一段笔直公路上的三点，分别在塔D的西南方向，正西方向，西偏北300方向，且AB=BC=1km，求塔与公路AC段的最近距离。
10．求方程的实数解。
11．求证：
五、联赛一试水平训练题
1．在△ABC中，b2=ac，则sinB+cosB的取值范围是____________.
2．在△ABC中，若，则△ABC 的形状为____________.
3．对任意的△ABC，-(cotA+cotB+cotC)，则T的最大值为____________.
4．在△ABC中，的最大值为____________.
5．平面上有四个点A，B，C，D，其中A，B为定点，|AB|=，C，D为动点，且|AD|=|DC|=|BC|=1。记S△ABD=S，S△BCD=T，则S2+T2的取值范围是____________.
6．在△ABC中，AC=BC，，O为△ABC的一点，，ABO=300，则ACO=____________.
7．在△ABC中，A≥B≥C≥，则乘积的最大值为____________，最小值为__________.
8．在△ABC中，若c-a等于AC边上的高h，则=____________.
9．如图所示，M，N分别是△ABC外接圆的弧，AC中点，P为BC上的动点，PM交AB于Q，PN交AC于R，△ABC的内心为I，求证：Q，I，R三点共线。
10．如图所示，P，Q，R分别是△ABC的边BC，CA，AB上一点，且AQ+AR=BR+BP=CQ+CP。求证：AB+BC+CA≤2（PQ+QR+RP）。
11．在△ABC外作三个等腰三角形△BFC，△ADC，△AEB，使BF=FC，CD=DA，AE=EB，ADC=2BAC，AEB=2ABC，BFC=2ACB，并且AF，BD，CE交于一点，试判断△ABC的形状。

六、联赛二试水平训练题
1．已知等腰△ABC，AB=AC，一半圆以BC的中点为圆心，且与两腰AB和AC分别相切于点D和G，EF与半圆相切，交AB于点E，交AC于点F，过E作AB的垂线，过F作AC的垂线，两垂线相交于P，作PQBC，Q为垂足。求证：，此处=B。
2．设四边形ABCD的对角线交于点O，点M和N分别是AD和BC的中点，点H1，H2（不重合）分别是△AOB与△COD的垂心，求证：H1H2MN。
3．已知△ABC，其中BC上有一点M，且△ABM与△ACM的内切圆大小相等，求证：，此处(a+b+c), a, b, c分别为△ABC对应三边之长。
4．已知凸五边形ABCDE，其中ABC=AED=900，BAC=EAD，BD与CE交于点O，求证：AOBE。
5．已知等腰梯形ABCD，G是对角线BD与AC的交点，过点G作EF与上、下底平行，点E和F分别在AB和CD上，求证：AFB=900的充要条件是AD+BC=CD。
6．AP，AQ，AR，AS是同一个圆中的四条弦，已知PAQ=QAR=RAS，求证：AR（AP+AR）=AQ（AQ+AS）。
7．已知一凸四边形的边长依次为a, b, c, d，外接圆半径为R，如果a2+b2+c2+d2=8R2，试问对此四边形有何要求？
8．设四边形ABCD内接于圆，BA和CD延长后交于点R，AD和BC延长后交于点P，A，B，C指的都是△ABC的内角，求证：若AC与BD交于点Q，则
9．设P是△ABC内一点，点P至BC，CA，AB的垂线分别为PD，PE，PF（D，E，F是垂足），求证：PA·PB·PC≥(PD+PE)·(PE+PF)·(PF+PD)，并讨论等号成立之条件。

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