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全国通用高中数学必修二第八章立体几何初步(三十六)1单选题1、已知正四棱锥的底面边长为6，侧棱长为5，则此棱锥的侧面积为（）A6B12C24D48答案：D分析：首先由勾股定理求出斜高，即可求出侧面积；解：正四棱锥的底面边长为6，侧棱长为5，则其斜高h=52-622=4，所以正四棱锥的侧面积S=12464=48故选：D2、已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，点P在棱AD上，过点P作该正方体的截面，当截面平行于平面B1D1C且面积为3时，线段AP的长为（）A2B1C3D32答案：A分析：过点P作DB，A1D的平行线，分别交棱AB，AA1于点Q，R，连接QR，BD，即可得到PQR为截面，且为等边三角形，再根据截面面积求出PQ的长度，即可求出AP；解：如图，过点P作DB，A1D的平行线，分别交棱AB，AA1于点Q，R，连接QR，BD，因为BD/B1D1，所以PQ/B1D1，B1D1面B1D1C，PQ面B1D1C，所以PQ/面B1D1C因为A1D/B1C，所以PR/B1C，B1C面B1D1C，PR面B1D1C，所以PR/面B1D1C又PQPR=P，PQ,PR面PQR，所以面PQR/面B1D1C，则PQR为截面，易知PQR是等边三角形，则12PQ232=3，解得PQ=2，AP=22PQ=2.故选：A.3、如图，某圆锥的轴截面ABC是等边三角形，点D是线段AB的中点，点E在底面圆的圆周上，且BE的长度等于CE的长度，则异面直线DE与BC所成角的余弦值是（）A24B64C104D144答案：A分析：过点A作AOBC于点O，过点A作DGBC于点G，取AO的中点F，连接GE、OE、EF，则有DEF（或其补角）就是异面直线DE与BC所成的角，设圆锥的底面半径为2，解三角形可求得答案.解：过点A作AOBC于点O，过点A作DGBC于点G，取AO的中点F，连接GE、OE、EF，则DF/BC，且DF=12BC，所以DEF（或其补角）就是异面直线DE与BC所成的角，设圆锥的底面半径为2，则DF=1，OE=2，AO=23，所以DG=OF=3，在RtGOE中，GO=1，OE=2，所以GE=GO2+OE2=5，在RtGDE中，GE=5，DG=3，所以DE=GD2+GE2=22，在RtFOE中，FO=3，OE=2，FE=FO2+OE2=7，所以在DFE中，满足DF2+FE2=DE2，所以DFE=90，所以cosDEF=DFDE=122=24，故选：A.4、已知一个圆锥的体积为3，其侧面积是底面积的2倍，则其底面半径为（）A23B3C3D33答案：C分析：根据圆锥的侧面展开图和圆锥体积公式以及侧面积公式，即可求出结果.设底面半径为r，高为h，母线为l，如图所示：则圆锥的体积V=13r2h=3，所以r2h=9，即h=9r2，S侧=122rl=2r2，则l=2r，又h=l2-r2=3r，所以3r3=9，故r=3故选：C5、下列条件中，能得出直线m与平面平行的是（）A直线m与平面内的所有直线平行B直线m与平面内的无数条直线平行C直线m与平面没有公共点D直线m与平面内的一条直线平行答案：C分析：根据线面平行的判定，线面平行的性质逐个辨析即可.对A，直线m与平面内的所有直线平行不可能，故A错误；对B，当直线m在平面内时，满足直线m与平面内的无数条直线平行，但m与不平行；对C，能推出m与平行；对D，当直线m在平面内时，m与不平行.故选：C.6、若一个正方体的体对角线长为a，则这个正方体的全面积为（）A2a2B22a2C23a2D32a2答案：A分析：设正方体的棱长为x，求出正方体的棱长即得解.解：设正方体的棱长为x，则3x=a，即x2=13a2，所以正方体的全面积为6x2=613a2=2a2故选：A7、下列说法正确的有（）两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；经过球面上不同的两点只能作一个大圆；各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体；圆锥的轴截面是等腰三角形.A1个B2个C3个D4个答案：A解析：根据棱台、球、正方体、圆锥的几何性质，分析判断，即可得答案.中若两个底面平行且相似，其余各面都是梯形，并不能保证侧棱延长线会交于一点，所以不正确；中若球面上不同的两点恰为球的某条直径的两个端点，则过此两点的大圆有无数个，所以不正确；中底面不一定是正方形，所以不正确；中圆锥的母线长相等，所以轴截面是等腰三角形，所以是正确的.故选：A8、中国古代建筑使用榫卯结构将木部件连接起来，构件中突出的部分叫榫头，凹进去的部分叫卯眼，图中摆放的部件是榫头，现要在一个木头部件中制作出卯眼，最终完成一个直角转弯结构的部件，那么卯眼的俯视图可以是（）ABCD答案：B分析：根据榫头的俯视图结合结果图，可判断卯眼的俯视图.解：根据榫头的俯视图及结果图的俯视图可判断卯眼的俯视图为B项中的图形.故选：B.多选题9、（多选）四棱锥P-ABCD的所有棱长都相等，M、N分别为PA、CD的中点，下列说法正确的是（）AMN与PD是异面直线BMN/平面PBCCMN/ACDMNPB答案：ABD分析：画出图形，利用直线与平面平行的判定及性质判逐项判断即可由题意可知四棱锥P-ABCD所有棱长都相等，M，N分别为PA，CD的中点，MN与PD是异面直线，正确；取PB的中点为H，连接MH，HC，可得MN/HC，所以MN/平面PBC，正确；MN/AC，不正确；因为HCPB，所以MNPB正确；故选：ABD10、如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是A1D,BD1的中点，则（）A四点A，M，N，C共面BMNCDCA1D平面BCD1D若MN=1，则正方体ABCD-A1B1C1D1外接球的表面积为12答案：BD分析：连接AD1和BC1，由此可知点A，M，N在平面ABC1D1中，而点C不在平面ABC1D1中，即可判断选项A；由已知得MN为ABD1的中位线，利用中位线的性质即可判断选项B；由已知得点B,C,D1都在平面A1BCD1,A1D与平面A1BCD1相交，即可判断选项C；由MN=1即可求得正方体的棱长为2，则可以求出正方体ABCD-A1B1C1D1外接球的半径，即可判断选项D.对于选项A，连接AD1和BC1，由此可知点A，M，N在平面ABC1D1中，点C平面ABC1D1，则四点A，M，N，C不共面，即选项A不正确；对于选项B，由正方体的性质结合条件可知M，N分别是AD1,BD1的中点，所以MNAB,又因为CDAB,所以MNCD，即选项B正确；对于选项C，点B,C,D1都在平面A1BCD1,所以A1D与平面BCD1相交，即选项C不正确；对于选项D，因为MN为ABD1的中位线，且MN=1，所以正方体的棱长为2，设正方体ABCD-A1B1C1D1外接球的半径为R,则2R=D1A12+AA12+AB2=23,即R=3，则外接球的表面积为S=4R2=12,即选项D正确；故选：BD.11、如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P是棱CC1上一动点(与C.C1不重合)，点E为点C在平面AB1C1D上的正投影，点P在平面AB1C1D上的正投影为点Q，点Q在直线CD上的正投影为点F，下列结论中正确的是（）ABC平面PQFBCE与BD所成角为30C线段PE长度的取值范围是12,22D存在点P使得PF/平面AB1C1D答案：ACD解析：对于A，易知平面PQF即为平面CC1D1D判断；对于B，由CEA1B，则A1BD为所求判断；对于C，由PECC1时，线段PE最短，点P与CC1重合最长判断；对于D，C1P=x，由比例DFDC=DQC1D=C1PC1C求解判断.如图所示：对于A，由题意，点E为C1D的中点，过点P作直线垂直于C1D，则垂足为Q，过Q作直线垂直于CD，则垂足为F，故平面PQF即平面CC1D1D，又BC平面CC1D1D，即BC平面PQF.故正确.对于B，CEA1B，A1BD为所求，又A1BD为等边三角形，故CE与BD所成角为60，故错误.对于C，当PECC1时，线段PE最短为12CD=12；当点P与CC1重合时，PE为22，又点P与CC1不重合，故线段PE长度的取值范围是12,22，故正确.对于D，若PF/平面AB1C1D，又平面AB1C1D平面CC1D1D=C1D，PF平面CC1D1D，则PFC1D，设C1P=x，PQCE，Q在线段C1D上.，C1QC1E=C1PC1C=x1，C1QC1D=C1Q2C1E=x2，DQC1D=C1D-C1QC1D=1-x2，又QFCC1，DFDC=DQC1D=C1PC1C，1-x2=x1，x=23，点P为棱CC1上靠近C的三等分点，故正确.故选：ACD12、用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，得到上、下两部分空间图形且上、下两部分的高之比为1:2，则关于上、下两空间图形的说法正确的是（）A侧面积之比为1:4B侧面积之比为1:8C体积之比为1:27D体积之比为1:26答案：BD分析：计算出小棱锥与原棱锥的相似比，结合两个棱锥侧面积之积为相似比的平方、体积之比为相似比的立方可求得结果.依题意知，上部分为小棱锥，下部分为棱台，所以小棱锥与原棱锥的底面边长之比为1:3，高之比为1:3，所以小棱锥与原棱锥的侧面积之比为1:9，体积之比为1:27，即小棱锥与棱台的侧面积之比为1:8，体积之比为1:26.故选：BD.解答题13、（1）一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：ABEF；MC/AB；EF与MN是异面直线；MN/CD；以上四个结论中，正确结论的序号是哪些？（无需说明理由，只要写出正确结论的序号即可）（2）如图，四面体ABCD中，AB=CD，且直线AB与CD成60角，点M、N分别是BC、AD的中点，求异面直线AB和MN所成角的大小.答案：（1）；（2）3或6.分析：（1）将展开图还原成立体图，由立体图结合正方体性质可直观作出判断；（2）可结合中位线性质，作AC的中点P，连接PM、PN，则将异面直线AB与CD转化为共面，再分类讨论MPN大小结合三角形性质即可求解（1）我们以正方形ACFN为底面，将展开面还原为正方体ACFN-DEMB，如图，易见正确；（2）如图-3所示，取AC的中点P，连接PM、PN，则PM/AB，且PM=12AB，PN/CD，且PN=12CD，所以MPN为异面直线AB与CD所成角（或其补角），由题设，则MPN=3，或MPN=23；若MPN=3，PM/AB，所以PMN是AB与MN所成角（或其补角），又AB=CD，所以PM=PN，则PMN是等边三角形，所以PMN=3，即AB与MN所成角为3；若MPN=23，则易知PMN是等腰三角形，所以PMN=6，即AB与MN所成角为6；综上所述，AB与MN所成角为3或6小提示：本题考查由展开图到立体图的还原，线线关系的判断，异面直线夹角的求法，属于中档题14、用斜二测画法画出如图所示的五边形的直观图.(不写作法，保留作图痕迹)答案：答案见解析分析：根据斜二测画法作图即可.如图(1)，将A点和原点O重合，AB和x轴重合，AE与y轴重合.通过C分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为H、I，通过D分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为F、G；如图(2)，作坐标系xOy，x轴和y轴夹角为45，在x轴上取点，使得：A与O重合，AF=AF，AB=AB，AH=AH；如图(2)，在y轴上取点，使得：AI=12AI，AE=12AE，AG=12AG；如图(2)，过H作y轴平行线，过I作x轴平行线，两平行线交于C；过F作y轴平行线，过G作x轴平行线，两平行线交于D；如图(2)，依次连接B、C、D、E即可完成作图15、如图，长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=1，AA1=2，点P为DD1的中点.(1)求证：直线BD1/平面PAC；(2)求异面直线BD1与AP所成角的大小.答案：(1)证明见解析(2)30分析：（1）设AC和BD交于点O，可得POBD1，根据线面平行的判定定理即可得证（2）由PO/BD1，得APO即为异面直线BD1与AP所成的角求得各个边长，根据三角函数的定义，即可得答案.（1）设AC和BD交于点O，则O为BD的中点，连接PO，P是DD1的中点，PO/BD1，又PO平面PAC，BD1平面PAC，直线BD1/平面PAC；（2）由(1)知，PO/BD1，APO即为异面直线BD1与AP所成的角，PA=PC=CD2+PD2=2，AO=12AC=22，且POAO，sinAPO=AOAP=222=12又APO(0，90，APO=30故异面直线BD1与AP所成角的大小为3015