广东省部分中学2023高中数学必修二第七章复数易混淆知识点.docx

广东省部分中学2023高中数学必修二第七章复数易混淆知识点

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单选题
1、在复平面内，复数z=a2-2a+a2-a-2ia∈R是纯虚数，则（    ）
A．a=0或a=2B．a=0
C．a≠1且a≠2D．a≠1或a≠2
答案：B
分析：利用复数是纯虚数的条件，即：实部为零且虚部不为零求解参数的值.
复数z=a2-2a+a2-a-2ia∈R是纯虚数,
所以a2-2a=0a2-a-2≠0，解得：a=0，
故选：B.
2、已知复数z1=21+i与z2在复平面内对应的点关于直线y=x对称，则z1z2=（    ）
A．-4iB．-2iC．2iD．4i
答案：C
分析：利用复数的除法运算法则化简复数z1，求出其在复平面内对应的点，再求出该点关于直线y=x对称的点，得到复数z2，最后利用复数的乘法运算法则即可求得z1z2．
因为z1=21+i=21-i1+i1-i=1-i，所以复数z1在复平面内对应的点为1,-1，
其关于直线y=x对称的点为-1,1，所以z2=-1+i，
所以z1z2=1-i-1+i=2i，
故选：C．
3、设2z+z+3z-z=4+6i，则z=（    ）
A．1-2iB．1+2iC．1+iD．1-i
答案：C
分析：设z=a+bi，利用共轭复数的定义以及复数的加减法可得出关于a、b的等式，解出这两个未知数的值，即可得出复数z.
设z=a+bi，则z=a-bi，则2z+z+3z-z=4a+6bi=4+6i，
所以，4a=46b=6，解得a=b=1，因此，z=1+i.
故选：C.
4、若复数z=21+i，其中i为虚数单位，则z=（  ）
A．1+iB．1-iC．-1+iD．-1-i
答案：B
分析：复数的除法运算，分子分母同时乘以分母的共轭复数，化简即可.
z=21+i=2(1-i)(1+i)(1-i)=1-i
故选：B.
5、若复数z=(1+i)23+4i，则z=（    ）
A．45B．35C．25D．25
答案：C
解析：先求出z=8-6i25，再求出|z|得解.
由题得z=1+i23+4i=2i3+4i=2i(3-4i)(3+4i)(3-4i)=8+6i25，
所以|z|=(825)2+(625)2=1025=25.
故选：C
6、若复数z满足z(1-2i)=5，则（    ）
A．z=1-2i
B．z+1是纯虚数
C．复数z在复平面内对应的点在第二象限
D．若复数z在复平面内对应的点在角α的终边上，则cosα=55
答案：D
分析：利用复数的除法求复数z及对应点坐标，并确定所在的象限，结合各选项描述判断正误.
由题设，z=51-2i=1+2i且对应点在第一象限，A、C错误；
z+1=2+2i不是纯虚数，B错误；
由z在复平面内对应的点为(1,2)，所以cosα=55，D正确.
故选：D
7、已知a∈R，若a–1+(a–2)i(i为虚数单位)是实数，则a=（    ）
A．1B．–1C．2D．–2
答案：C
分析：根据复数为实数列式求解即可.
因为(a-1)+(a-2)i为实数，所以a-2=0，∴a=2，
故选：C
小提示：本题考查复数概念，考查基本分析求解能力，属基础题.
8、复平面中的下列哪个向量对应的复数是纯虚数（    ）
A．OA=(1，2)B．OB=(-3，0)
C．OC=0，23D．OD=(-1，-2)
答案：C
分析：结合纯虚数概念判断即可
向量OC=0，23对应的复数为23i，是纯虚数.
故选：C
9、在复平面内，复数z=1+i2-i（i是虚数单位），则复数z的共轭复数所对应的点位于（    ）
A．第四象限B．第三象限C．第二象限D．第一象限
答案：A
分析：根据复数除法运算化简z，再根据共轭复数的概念和复数的几何意义可得解.
因为z=1+i2-i=1+i2+i2-i2+i=2+3i+i24-i2=1+3i5=15+35i，
∴z=15-35i，对应点为15,-35，在第四象限，
故选：A．
10、若z=1+i．则|iz+3z|=（    ）
A．45B．42C．25D．22
答案：D
分析：根据复数代数形式的运算法则，共轭复数的概念以及复数模的计算公式即可求出．
因为z=1+i，所以iz+3z=i1+i+31-i=2-2i，所以iz+3z=4+4=22．
故选：D.
填空题
11、已知复数z=1+i1+2i，其中i是虚数单位，则z的虚部为___________.
答案：3.
分析：利用复数的乘法运算以及复数的概念即可求解.
z=1+i1+2i=1+2i+i-2=-1+3i，
所以复数z的虚部为3.
所以答案是：3.
12、若i是虚数单位，复数z满足z1+i=2i，则z=___________.
答案：2
分析：根据复数的四则运算法则和复数的模的计算公式，即可化简得到答案.
由题意，复数满足(1+i)z=2i，则z=2i1+i=2i⋅1-i1+i1-i=2i+22=1+i,
所以z=12+12=2.
所以答案是：2.
小提示：本题主要考查了复数的运算与化简和复数模的求解，其中熟记复数的四则运算和复数模的计算公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.
13、设z1=2cosπ3+isinπ3，z2=22sinπ6+icosπ6，则z1⋅z2的三角形式为___________.
答案：2cos2π3+isin2π3
分析：先将z1,z2化简，然后计算z1⋅z2，再转化为三角形式即可
因为z1=2cosπ3+isinπ3=1+3i，
z2=22sinπ6+icosπ6=2212+32i=24+64i，
所以z1⋅z2=(1+3i)24+64i
=24+64i+64i+324i2
=-22+62i
=2-12+32i
=2cos2π3+isin2π3，
所以答案是：2cos2π3+isin2π3
解答题
14、已知A1,1，Bm,2，C-2,3，D-1,n是复平面上的四个点，其中m，n∈R，且向量BC，AD对应的复数分别为z1，z2．
（1）若z1-z2=1-i，求z1，z2；
（2）若z1+z2=2z1=2，z2对应的点在复平面内的第二象限，求z2-3iz1-1．
答案：（1）z1=-1+i，z2=-2+2i；（2）-1+2i．
分析：（1）向量BC=-2-m,1，AD=-2,n-1对应的复数分别为z1=-2-m+i，z2=-2+n-1i.利用z1-z2=-m+2-ni=1-i即可得出m,n得出结果.
（2）z1+z2=2z1=2， z2对应的点在第二象限，计算可得m=-3，n=3，
进而计算即可得出结果.
解：（1）由题意可知BC=-2,3-m,2=-2-m,1，所以z1=-2-m+i．
AD=-1,n-1,1=-2,n-1，所以z2=-2+n-1i．
又z1-z2=-m+2-ni=1-i，
所以-m=1,2-n=-1,所以m=-1,n=3,
所以z1=-1+i，z2=-2+2i．
（2）由已知可得，z1+z2=-m-4+ni，z1+z2=2，所以-m-42+n2=4，
又2z1=2，所以-2-m2+1=2，
解得m=-3或m=-1（舍），又z2对应的点在第二象限，所以n=3，
可得z2=-2+3-1i，z2-3i=-2-i，z1=1+i，
可得z2-3izi-1=-2-ii=-1+2i．
15、复数z=2m2-5m+2+m2-m-2i，当m取何实数时：
(1)z为实数；
(2)z为纯虚数；
(3)z对应的点在复平面上实轴的上半部分．
答案：(1)m=2或m=-1
(2)m=12
(3)m<-1或m>2
分析：（1）由虚部为0可得；
（2）由实部为0，虚部不为0可得；
（3）由虚部大于0可得．
(1)
因为z为实数，所以m2-m-2=0，解得m=2或m=-1
(2)
由z为纯虚数，则2m2-5m+2=0,m2-m-2≠0,解得m=12
(3)
由z对应的点在复平面上实轴的上半部分，则m2-m-2>0，解得m<-1或m>2

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