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三角函数大题压轴题练习

1．已知函数
（Ⅰ）求函数的最小正周期和图象的对称轴方程
（Ⅱ）求函数在区间上的值域
解：（1）

由
函数图象的对称轴方程为
（2）
因为在区间上单调递增，在区间上单调递减，
所以 当时，取最大值 1
又 ，当时，取最小值
所以 函数 在区间上的值域为
2．已知函数（）的最小正周期为．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求函数在区间上的取值范围．
解：（Ⅰ）
．
因为函数的最小正周期为，且，
所以，解得．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得．
因为，
所以，
所以，
因此，即的取值范围为．
3.　已知向量m=(sinA,cosA),n=，m·n＝1，且A为锐角.
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）求函数的值域.
解：（Ⅰ） 由题意得
　　　　　由A为锐角得
　　 （Ⅱ） 由（Ⅰ）知
　　　　　所以
　　　　　因为x∈R，所以，因此，当时，f(x)有最大值.
　　　　　当时，有最小值-3,所以所求函数的值域是
4.已知函数，的最大值是1，其图像经过点．（1）求的解析式；（2）已知，且，，求的值．
【解析】（1）依题意有，则，将点代入得，而，，，故；
（2）依题意有，而，，
。
5.已知函数
（Ⅰ）将函数化简成（，，）的形式；
（Ⅱ）求函数的值域.
解.本小题主要考查函数的定义域、值域和三角函数的性质等基本知识，考查三角恒等变换、代数式的化简变形和运算能力.（满分12分）
解：（Ⅰ）

　＝
（Ⅱ）由得
在上为减函数，在上为增函数，
又（当），
即
故g(x)的值域为
6．（本小题满分12分）
在中，角所对应的边分别为，，
，求及
解：由得
∴ ∴
∴，又
∴
由得
即 ∴

由正弦定理得

7.在中,内角对边的边长分别是.已知.
⑴若的面积等于,求;
⑵若,求的面积.
说明：本小题主要考查三角形的边角关系，三角函数公式等基础知识，考查综合应用三角函数有关知识的能力．满分12分．
解析：（Ⅰ）由余弦定理及已知条件得，，
又因为的面积等于，所以，得． 4分
联立方程组解得，． 6分
（Ⅱ）由题意得，
即， 8分
当时，，，，，
当时，得，由正弦定理得，
联立方程组解得，．
所以的面积． 12分
1.已知函数.
(Ⅰ)求函数的最小正周期；
(Ⅱ)若函数在[-，]上的最大值与最小值之和为，求实数的值.
解：（Ⅰ）∵
……………………5分
∴函数的最小正周期 ………………………7分
(Ⅱ)∵，∴
……9分
……11分
由题意，有
∴ ……12分
2.（本小题12分）已知函数
（1）求的最小正周期；（2）求的单调增区间；
解：（1）由 得 …………3分
……6分
故最小正周期
（2）由
得
故的单调增区间为 …………12分
3．已知，将的图象按向量平移后，图象关于直线对称．
（Ⅰ）求实数的值，并求取得最大值时的集合；
（Ⅱ）求的单调递增区间．
解：（Ⅰ），将的图象按向量平移后的解析式为．……………………………3分
的图象关于直线对称，
有，即，解得． ……………………………5分
则． ……………………………6分
当，即时，取得最大值2．………………………7分
因此，取得最大值时的集合是．…………………………8分
（Ⅱ）由，解得．
因此，的单调递增区间是．……………………………12分
4.已知向量 () 和=()，∈［π，2π］．
(1) 求的最大值；(2)当=时，求的值．
4．解：(1) (2分)
=
== (4分)
∵θ∈［π，2π］，∴，∴≤1
max=2． (6分)
(2) 由已知,得 (8分)
又 ∴ (10分)
∵θ∈［π，2π］∴，∴． (12分)
。5.。已知A、B、C的坐标分别为A（3，0），B（0，3），C（），
（I）若求角的值；
（II）若的值.
5、解：（1），
，
.
由得. 又.
（2）由
①
又
由①式两边平方得

6.在△ABC中，a,b,c分别为角A，B，C的对边，设，
（1）若，且B－C=，求角C.（2）若，求角C的取值范围.
6．解；（1）由f（1）=0，得a2－a2+b2－4c2=0， ∴b= 2c…………（1分）.
又由正弦定理，得b= 2RsinB，c=2RsinC,将其代入上式，得sinB=2sinC…………（2分）
∵B－C=，∴B=+C，将其代入上式，得sin（+C）=2sinC……………（3分）
∴sin（）cosC + cos sinC =2sinC，整理得，…………（4分）
∴tanC=……………（5分）
∵角C是三角形的内角，∴C=…………………（6分）
（2）∵f（2）=0，∴4a2－2a2+2b2－4c2=0，即a2+b2－2c2=0……………（7分）
由余弦定理，得cosC=……………………（8分）
=
∴cosC=（当且仅当a=b时取等号）…………（10分）
∴cosC≥，
∠C是锐角，又∵余弦函数在（0，）上递减，∴.0<C≤………………（12分）
7． A、B、C为△ABC的三内角，且其对边分别为a、b、c. 若＝(－cos，sin)，＝(cos，sin)，且·＝.（1）求A；
（2）若a＝2，三角形面积S＝，求b+c的值.
7.解：（1）∵＝(－cos，sin)，＝(cos，sin)，且·＝，
∴－cos2＋sin2＝，………………………………………………2分
即－cosA＝，又A∈(0，)，∴A＝p………………………………5分
（2）S△ABC＝bc·sinA＝b·c·sin＝，∴bc＝4 …………………7分
又由余弦定理得：a2=b2+c2－2bc·cos120°＝b2+c2+bc ………………10分
∴16＝(b+c)2，故b+c＝4.……………………………………………12分
8.已知向量=（sinB，1－cosB)，且与向量=(2，0)所成角为，其中A, B, C是△ABC的内角．
(1)求角Ｂ的大小；
(2)求sinA+sinC的取值范围．(本题满分12分)
8.解：（1）∵=（sinB，1-cosB) ,与向量=（2，0）所成角为
∴……………………………………………………………3分
∴tan …………………6分
（2）：由（1）可得∴
……………………………………8分
∵
∴……………………………………………………………………10分
∴sin(A+)∈(,1],∴sinA+sinC∈(,1].
当且仅当 …………………………………12分
9.(本题满分12分)在△ABC中，已知(a+b+c)(a+b－c)=3ab，且2cosAsinB=sinC，求证：△ABC为等边三角形
9.解 由已知得：，即
\ 即 ∠C=60° (1)
又QC=180°－(A+B)
\sinC=sin(A+B)=sinA.cosB+cosA.sinB
由已知：sinC=2cosA.sinB
\sinA.cosB－cosA.sinB=0即sin(A－B)=0
QA、B为三角形内角，A－BÎ(－180°，180°)
\A－B=0° 即A=B (2)
\由(1)(2)可知：ΔABC为等边三角形
10.（12分）已知中,边AB、BC中点分别为D、E（1）判断的形状
（2）若，求
10解：（1）由已知化简得
即得；为直角三角形------------6分
（2）设A(a,0)B(0,b)则E(0,),D()
sinB=----------------12分
11．已知△ABC内接于单位圆，且(1＋tanA)(1＋tanB)＝2，
（1） 求证：内角C为定值；
（2） 求△ABC面积的最大值.
11. 本题考查正切和角公式，正弦的和（差）角公式，三角形内角和定理、正弦定理，三角函数最值等知识.
（1） 证明：由(1＋tanA)(1＋tanB)＝2tanA＋tanB＝1－tanAtanB
tan（A＋B）＝1. …………………… 3/
∵A、B为△ABC内角， ∴A＋B＝. 则 C＝（定值）. …… 6/
（2） 解：已知△ABC内接于单位圆， ∴△ABC外接圆半径R=1.
∴由正弦定理得：，，.…… 8/
则△ABC面积S＝＝＝
＝＝
＝＝…… 10/
∵ 0<B<， ∴.
故 当时，△ABC面积S的最大值为. …………………… 12/
12.设函数f（x）=m·n，其中向量m=（2cosx,1）,n=（cosx,sin2x），x∈R.
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，f（A）=2，a=，b+c=3
（b＞c），求b、c的长.
12．（1）f(x)=2cosx+sin2x=1+2sin(2x+ ∴f(x)的最小正周期为π.
（2）∵f(A)=2，即1+2sin(2A＋=2，∴sin(2A+=
∵＜2A+＜ ∴2A+=.
由cosA==即(b+c)-a=3bc,
∴bc=2.又b+c=3(b＞c), ∴
13.已知△ABC的面积为1，tanB=，tanC=－2，求△ABC的边长及tanA．
13．tanA =tan［π－（B+C）］=－tan（B+C），
=－． 2分
∵tanB=，0<B<， ∴sinB=，cosB=，
又tanC=－2，<C<π， ∴sinC=，cosC=－
∴sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=（－）+·= 6分
∵∴a=， 8分
又S△ABC=absinC=·b2·=1，
解得b=，于是a=， 10分
∴c=． 12分
14．（12分）已知函数

(1)求函数y = f（x）的单调递增区间；
(2)若函数 y = f（x）的最小值为 ，试确定常数a的值．
14．（12分）解：

…3分
…………………6分
（1）由x + ∈［－，＋］（k∈Z）得
x∈［－，＋］（k∈Z）
∵ ∴
∴ 函数y = f（x）的单调递增区间是
[－，－], ( －，＋］（k∈Z）．…9分
（2）由已知得， ∴ a = ±2 ．………………………12分