全国通用高中数学第三章函数的概念与性质(二).docx

全国通用高中数学第三章函数的概念与性质(二)

1

单选题
1、下列各组函数表示同一函数的是（    ）
A．fx=x，gx=3x3B．fx=1，gx=x0
C．fx=x+1，gx=x2−1x−1D．fx=x2，gx=x2
答案：A
分析：根据相同函数的定义，分别判断各个选项函数的定义域和对应关系是否都相同，即可得出答案.
解：对于A，两个函数的定义域都是R，
gx=3x3=x，对应关系完全一致，
所以两函数是相同函数，故A符合题意；
对于B，函数fx=1的定义域为R，
函数gx=x0的定义域为xx≠0，
故两函数不是相同函数，故B不符题意；
对于C，函数fx=x+1的定义域为R，
函数gx=x2−1x−1的定义域为xx≠1，
故两函数不是相同函数，故C不符题意；
对于D，函数fx=x2的定义域为R，
函数gx=x2的定义域为0,+∞，
故两函数不是相同函数，故D不符题意.
故选：A.
2、已知函数fx+2=x2+6x+8，则函数fx的解析式为（    ）
A．fx=x2+2xB．fx=x2+6x+8
C．fx=x2+4xD．fx=x2+8x+6
答案：A
分析：利用配凑法（换元法）计算可得.
解：方法一（配凑法）∵fx+2=x2+6x+8=x+22+2x+2，
∴f(x)=x2+2x.
方法二（换元法）令t=x+2，则x=t−2，∴ft=t−22+6t−2+8=t2+2t，
∴f(x)=x2+2x.
故选：A
3、函数fx为奇函数，gx为偶函数，在公共定义域内，下列结论一定正确的是（    ）
A．fx+gx为奇函数B．fx+gx为偶函数
C．fxgx为奇函数D．fxgx为偶函数
答案：C
分析：依次构造函数，结合函数的奇偶性的定义判断求解即可.
令F1(x)=f(x)+g(x)，则F1(−x)=f(−x)+g(−x)=−f(x)+g(x)≠−F1(x),且F1−x≠F1x，
∴F1(x)既不是奇函数，也不是偶函数，故A、B错误；
令F2(x)=f(x)g(x)，则F2(−x)=f(−x)g(−x)=−f(x)g(x)=−F2(x),且F2−x≠F2x，
∴F2(x)是奇函数，不是偶函数，故C正确、D错误；
故选：C
4、设函数fx的定义域为R，fx+1为奇函数，fx+2为偶函数，当x∈1,2时，f(x)=ax2+b．若f0+f3=6，则f92=（    ）
A．−94B．−32C．74D．52
答案：D
分析：通过fx+1是奇函数和fx+2是偶函数条件，可以确定出函数解析式fx=−2x2+2，进而利用定义或周期性结论，即可得到答案．
[方法一]：
因为fx+1是奇函数，所以f−x+1=−fx+1①；
因为fx+2是偶函数，所以fx+2=f−x+2②．
令x=1，由①得：f0=−f2=−4a+b，由②得：f3=f1=a+b，
因为f0+f3=6，所以−4a+b+a+b=6⇒a=−2，
令x=0，由①得：f1=−f1⇒f1=0⇒b=2，所以fx=−2x2+2．
思路一：从定义入手．
f92=f52+2=f−52+2=f−12
f−12=f−32+1=−f32+1=−f52
−f52=−f12+2=−f−12+2=−f32
所以f92=−f32=52．
[方法二]：
因为fx+1是奇函数，所以f−x+1=−fx+1①；
因为fx+2是偶函数，所以fx+2=f−x+2②．
令x=1，由①得：f0=−f2=−4a+b，由②得：f3=f1=a+b，
因为f0+f3=6，所以−4a+b+a+b=6⇒a=−2，
令x=0，由①得：f1=−f1⇒f1=0⇒b=2，所以fx=−2x2+2．
思路二：从周期性入手
由两个对称性可知，函数fx的周期T=4．
所以f92=f12=−f32=52．
故选：D．
小提示：在解决函数性质类问题的时候，我们通常可以借助一些二级结论，求出其周期性进而达到简便计算的效果．
5、设a为实数，定义在R上的偶函数fx满足：①fx在0,+∞上为增函数；②f2a<fa+1，则实数a的取值范围为（    ）
A．−∞,1B．−13,1
C．−1,13D．−∞,−13∪1,+∞
答案：B
分析：利用函数的奇偶性及单调性可得2a<a+1，进而即得.
因为fx为定义在R上的偶函数，在0,+∞上为增函数，
由f2a<fa+1可得f2a<fa+1，
∴2a<a+1，
解得−13<a<1.
故选：B.
6、已知函数fx是定义在R上的偶函数，fx在0,+∞上单调递减，且f3=0，则不等式2x−5fx−1<0的解集为（    ）
A．−2,52∪4,+∞B．4,+∞C．−∞,−2∪52,4D．−∞,−2
答案：A
分析：根据偶函数的性质及区间单调性可得(−∞,0)上f(x)单调递增且f(−3)=f(3)=0，进而确定f(x)的区间符号，讨论2x−5>0f(x−1)<0、2x−5<0f(x−1)>0求解集即可.
由题设，(−∞,0)上f(x)单调递增且f(−3)=f(3)=0，
所以(−∞,−3)、(3,+∞)上f(x)<0，(−3,3)上f(x)>0，
对于(2x−5)f(x−1)<0，
当2x−5>0f(x−1)<0，即x>52x−1<−3或x>52x−1>3，可得x>4；
当2x−5<0f(x−1)>0，即x<52−3<x−1<3，可得−2<x<52；
综上，解集为(−2,52)∪(4,+∞).
故选：A
7、已知对fx定义域内的任意实数x1，x2，且x1≠x2，fx1−fx2x1−x2>0恒成立，设a=f−13，b=f3，c=f5，则（    ）
A．b<a<cB．c<b<aC．b<c<aD．a<b<c
答案：D
分析：由增函数的定义知，fx在R上是增函数，即可得出a,b,c的大小.
由fx1−fx2x1−x2>0可得函数fx在R上是增函数，
所以f−13<f3<f5.
故选：D.
8、幂函数y=xa，y=xb，y=xc，y=xd在第一象限的图像如图所示，则a，b，c，d的大小关系是 （    ）

A．a>b>c>dB．d>b>c>aC．d>c>b>aD．b>c>d>a
答案：D
分析：根据幂函数的性质，在第一象限内，x=1的右侧部分的图像，图像由下至上，幂指数增大，即可判断；
根据幂函数的性质，
在第一象限内，x=1的右侧部分的图像，图像由下至上，幂指数增大，
所以由图像得：b>c>d>a，
故选：D
9、已知函数fx的定义域为R，f1−x=fx，且fx在12,+∞上单调递减，则关于x的不等式fx+1>f2−3x的解集为（    ）
A．−∞,−1∪−14,+∞B．14,1
C．−∞,14∪1,+∞D．−1,−14
答案：C
分析：由f1−x=fx可得函数fx的图象关于直线x=12对称，进而得到fx在−∞,12上单调递增，数形结合将fx+1>f2−3x转化为x+1−12<2−3x−12，解不等式即可.
因为f1−x=fx，f1−x+12=fx+12=f12−x，所以函数fx的图象关于直线x=12对称，
又fx在12,+∞上单调递减，所以fx在−∞,12上单调递增，

结合草图可知：要使fx+1>f2−3x，则x+1到12的距离小于2−3x到12的距离，故不等式fx+1>f2−3x
等价于x+1−12<2−3x−12，两边同时平方后整理得4x2−5x+1>0，解得x>1或x<14.
故选：C．
10、下列函数既是偶函数又在0,+∞上单调递减的是（    ）
A．y=x+1xB．y=−x3C．y=2−xD．y=−1x2 
答案：C
分析：逐项判断函数奇偶性和单调性，得出答案.
解析：A项y=x+1x，B项y=−x3均为定义域上的奇函数，排除；
D项y=−1x2为定义域上的偶函数，在(0,+∞)单调递增，排除；
C项y=2−x为定义域上的偶函数，且在(0,+∞)上单调递减.
故选：C.
11、函数的y=−x2−6x−5值域为（    ）
A．0,+∞B．0,2
C．2,+∞D．2,+∞
答案：B
分析：令u=−x2−6x−5，则u≥0，再根据二次函数的性质求出u的最大值，进而可得u的范围，再计算y=u的范围即可求解.
令u=−x2−6x−5，则u≥0且y=u
又因为u=−x2−6x−5=−x+32+4≤4，
所以0≤u≤4，所以y=u∈0,2，
即函数的y=−x2−6x−5值域为0,2，
故选：B.
12、已知幂函数y=xa与y=xb的部分图像如图所示，直线x=m2，x=m0<m<1与y=xa，y=xb的图像分别交于A，B，C，D四点，且AB=CD，则ma+mb=（    ）

A．12B．1C．2D．2
答案：B
分析：表示出AB,CD，由幂函数的图象可得b>1>a>0，从而得m2a>m2b，ma>mb，再由AB=CD，代入化简计算，即可求解出答案.
由题意，AB=m2a−m2b，CD=ma−mb，根据图象可知b>1>a>0，当0<m<1时，m2a>m2b，ma>mb，因为AB=CD，所以m2a−m2b=ma+mbma−mb=ma−mb，因为ma−mb>0，可得ma+mb=1.
故选：B
多选题
13、下列各组函数是同一个函数的是（    ）
A．fx=x2−2x−1与gs=s2−2s−1
B．fx=−x3与gx=x−x
C．fx=xx与gx=1x0
D．fx=x与gx=x2
答案：AC
分析：分别求出四个选项中，每个选项两个函数的定义域和对应关系是否相同即可求解.
对于选项A：fx=x2−2x−1的定义域为R，gs=s2−2s−1的定义域为R，定义域相同，对应关系也相同，是同一个函数；
对于选项B：fx=−x3=−x−x的定义域为x|x≤0，gx=x−x的定义域为x|x≤0，定义域相同对应关系不同，不是同一个函数；
对于选项C：fx=xx=1的定义域为x|x≠0，gx=1x0=1的定义域x|x≠0，定义域相同，对应关系也相同，是同一个函数；
对于选项D：fx=x的定义域为R，gx=x2=x的定义域为R，对应关系不同，不是同一个函数.
故选：AC
14、已知函数fx=x2,x≤0,−x2,x>0,则下列结论中正确的是（    ）
A．f2=2B．若fm=9，则m≠±3
C．fx是奇函数D．在fx上R单调递减
答案：CD
分析：A.由分段函数求解判断；B.分 m≤0， m>0，由fm=9求解判断；不成立；C.利用奇偶性的定义判断； D.画出函数fx的图象判断.
因为fx=x2,x≤0,−x2,x>0,
A. f2=−22=−2，故错误；
B. 当m≤0时，fm=m2=9，解得m=−3或m=3（舍去），当m>0时，fm=−m2=9，不成立；故错误；
C. 当x<0时，fx=x2，则 −x>0，f−x=−−x2=−x2，又f0=0，所以f−x=−fx；
当x>0时，fx=−x2，则 −x<0，f−x=−x2=x2，又f0=0，所以f−x=−fx，所以fx是奇函数，故正确；
 D.函数fx的图象如图所示： 
，
由图象知fx在上R单调递减，故正确.
故选：CD
15、下列各组函数中，两个函数是同一函数的有（    ）
A．fx=x与gx=3x3B．fx=x+1与gx=x2−1x−1
C．fx=xx与gx=1,x>0−1,x<0D．ft=t−1与gx=x−1
答案：ACD
分析：根据两个函数为同一函数的定义，对四个选项逐个分析可得答案.
对于A，f(x)=x，g(x)=3x3=x，两个函数的对应关系和定义域都相同，所以两个函数为同一函数，故A正确；
对于B，f(x)=x+1，g(x)=x+1(x≠1)，两个函数的定义域不同，所以两个函数不为同一函数，故B不正确；
对于C，f(x)=1,x>0−1,x<0，gx=1,x>0−1,x<0，两个函数的对应关系和定义域都相同，所以两个函数为同一函数，故C正确；
对于D，ft=t−1与gx=x−1的对应关系和定义域都相同，所以两个函数为同一函数，故D正确.
故选：ACD
16、已知函数f(x)=−x2−2x,x≤mx−4,x>m，如果函数f(x)恰有两个零点，那么实数m的取值范围可以是（    ）
A．m<−2B．−2≤m<0C．0≤m<4D．m≥4.
答案：BD
解析：在同一平面直角坐标系中，作出函数y=−x2−2x,y=x−4的图象，观察函数图象即可得出答案.
在同一平面直角坐标系中，作出函数y=−x2−2x,y=x−4的图象，如图，

由图象可知，当−2≤m<0时，函数f (x)有两个零点−2和4，当m≥4时，函数f (x）有两个零点−2和0.
故选：BD 
17、已知函数，关于函数fx=x+2,x≤1−x2+3,x>1，f(x)的结论正确的是(    )
A．f(x)的最大值为3B．f(0)＝2
C．若f(x)＝－1，则x＝2D．f(x)在定义域上是减函数
答案：AB
分析：根据分段函数的表达式分别进行判断即可．
A：分别求x≤1和x＞1时f(x)的范围即可；
B：代入f(x)＝x＋2计算即可；
C：分类讨论f(x)＝－1时x取值即可；
D：分别判断x≤1和x＞1时单调性即可.
当x⩽1时，f(x)=x+2是增函数，则此时f(x)⩽f(1)=3，
当x>1，f(x)=−x2+3为减函数，则此时f(x)<−1+3=2，综上f(x)的最大值为3，故A正确；
f(0)=0+2=2，故B正确；
当x⩽1时，由f(x)=−1时，得，此时x=−3≤1，成立，故C错误；
当x⩽1时，f(x)=x+2是增函数，故D错误，
故选：AB．
18、已知f(x)=1+x21−x2，则f(x)满足的关系是（    ）
A．f(−x)=f(x)B．f1x=f(x)
C．f1x=−f(x)D．f−1x=−f(x)
答案：ACD
分析：根据f(x)=1+x21−x2，将f(−x)，f1x，f−1x化简即可得出答案.
解：由f(x)=1+x21−x2，得：
f(−x)=1+−x21−−x2=1+x21−x2=fx，故A正确，B错误；
f1x=1+1x21−1x2=1+x2−1+x2=−f(x)，故C正确；
f−1x=1+−1x21−−1x2=1+x2−1+x2=−f(x)，故D正确.
故选：ACD.
19、对任意两个实数a,b，定义mina，b=a,a≤b,b,a>b,若fx=2−x2，gx=x2，下列关于函数Fx=minfx,gx的说法正确的是（    ）
A．函数Fx是偶函数
B．方程Fx=0有三个解
C．函数Fx在区间[−1,1]上单调递增
D．函数Fx有4个单调区间
答案：ABD
分析：结合题意作出函数Fx=minfx,gx的图象，进而数形结合求解即可.
解：根据函数fx=2−x2与gx=x2，，画出函数Fx=minfx,gx的图象，如图．
由图象可知，函数Fx=minfx,gx关于y轴对称，所以A项正确；
函数Fx的图象与x轴有三个交点，所以方程Fx=0有三个解，所以B项正确；
函数Fx在(−∞,−1]上单调递增，在[−1,0]上单调递减，在上单调递增，在[1,+∞)上单调递减，所以C项错误，D项正确．
故选：ABD

20、如图所示是函数y=f(x)的图象，图中x正半轴曲线与虚线无限接近但是永不相交，则以下描述正确的是（   ）

A．函数f(x)的定义域为−4,4
B．函数f(x)的值域为0,+∞
C．此函数在定义域内是增函数
D．对于任意的y∈5,+∞，都有唯一的自变量x与之对应
答案：BD
分析：利用函数的图象判断.
由图象知：
A.函数f(x)的定义域为[−4,0]∪[1,4)，故错误；
B.函数f(x)的值域为0,+∞，故正确；
C. 函数f(x)在[−4,0]，[1,4)上递增，但在定义域内不单调，故错误；
D.对于任意的y∈5,+∞，都有唯一的自变量x与之对应，故正确；
故选：BD
21、(多选)下列函数，值域为0,+∞的是（    ）
A．y=x+1x>−1B．y=x2
C．y=1xx>0D．y=1x+1
答案：AC
分析：对每个选项进行值域判断即可.
解：A选项，函数y=x+1x>−1的值域为0,+∞，正确；
B选项，函数y=x2的值域为0,+∞，错误；
C选项，函数y=1xx>0的值域为0,+∞，正确；
D选项，函数y=1x+1的值域为−∞,0∪0,+∞，错误.
故选：AC.
22、已知函数fx是定义在−4,0∪0,4上的奇函数，当x∈0,4时，fx的图象如图所示，那么满足不等式f(x)−3x+1−33≥0的x的可能取值是（    ）

A．－4B．－1C．12D．2
答案：AC
分析：把“求f(x)−3x+1−33≥0的解集”转化为“求fx≥3x−1的解集”，进而转化为观察两个函数图象的特征，即可求出不等式的解集．
因为函数fx是定义在−4,0∪0,4上的奇函数，由题意，画出函数fx在−4,0∪0,4上的图象（如图），在同一坐标系内画出y=3x−1的图象，因为f2=89，所以f−2=−f2=−89=3−2−1，又f1=2=31−1，所以fx的图象与y=3x−1的图象交于−2,−89和1,2两点，fx−3x+1−33≥0即为fx≥3x−1，由图象可得，只需−4≤x≤−2或0<x≤1，故A，C可能取到

故选：AC．
解答题
23、将下列集合用区间表示出来．
(1){x|x<3}；
(2){x|x≥0}；
(3){x|−2≤x<3}；
(4){x|x<1，或2≤x≤4}．
答案：(1)−∞，3；
(2)0，+∞；
(3)−2，3；
(4)−∞，1∪2，4.
分析：利用区间的定义解答即可.
（1）
解：{x|x<3}用区间表示为−∞，3；
（2）
解：{x|x≥0}用区间表示为0，+∞；
（3）
解：{x|−2≤x<3}用区间表示为−2，3；
（4）
解：{x|x<1，或2≤x≤4}用区间表示为−∞，1∪2，4.
24、已知幂函数fx=m2−2m+2x5k−2k2（k∈Z）是偶函数，且在0,+∞上单调递增．
（1）求函数fx的解析式；
（2）若f2x−1<f2−x，求x的取值范围；
（3）若实数a，b（a，b∈R+）满足2a+3b=7m，求3a+1+2b+1的最小值．
答案：（1）fx=x2；（2）−1,1；（3）2．
分析：（1）根据幂函数的定义求得m，由单调性和偶函数求得k得解析式；
（2）由偶函数定义变形不等式，再由单调性去掉函数符号“f”，然后求解；
（3）由基本不等式求得最小值．
解析：（1）．∵m2−2m+2=1，
∴m=1
∵5k−2k2>0，
∴0<k<52（k∈Z）
即k=1或2
∵fx在0，+∞上单调递增，fx为偶函数
∴k=2即fx=x2
（2）∵f2x−1<f2−x⇒f2x−1<f2−x
∴2x−1<2−x，(2x−1)2<(2−x)2，x2<1，
∴x∈−1,1
（3）由题可知∵2a+3b=7，
∴2a+1+3b+1=12⇒a+16+b+14=1
∴3a+1+2b+1=a+16+b+14⋅3a+1+2b+1=1+34⋅b+1a+1+a+13b+1≥1+214=2，
当且仅当34⋅b+1a+1=a+13b+1⇒2a=3b+1，即a=2，b=1时等号成立．
所以3a+1+2b+1的最小值是2．
25、已知函数fx=2x−ax，且f2=92.
(1)求实数a的值并判断该函数的奇偶性；
(2)判断函数f(x)在（1，+∞）上的单调性并证明.
答案：(1)a=−1，函数f(x)=2x+1x为奇函数
(2)fx在1,+∞上是增函数，证明见解析
分析：（1）根据f2=92，代入函数解析即可求解；
（2）利用函数单调性的定义证明即可.
（1）∵f(x)=2x−ax，且f(2)=92,∴4−a2=92，
∴a=−1；
所以f(x)=2x+1x，定义域为x|x≠0关于原点对称，
∵f(−x)=2(−x)+1−x=−2x−1x=−(2x+1x)=−f(x)，
∴函数f(x)=2x+1x为奇函数.
（2）函数fx在1,+∞上是增函数，
证明：任取x1,x2∈1,+∞，设x1<x2，则
f(x2)−f(x1)=2x2+1x2−(2x1+1x1)=2(x2−x1)+(1x2−1x1)=2(x2−x1)+(x1−x2x1x2)
=(x2−x1)(2−1x1x2)=(x2−x1)(2x1x2−1)x1x2
∵x1,x2∈1,+∞，且x1<x2，
∴x2−x1>0，2x1x2−1>0,x1x2>0
∴fx2−fx1>0，即fx2>fx1，
∴fx在1,+∞上是增函数.
26、为了抗击新型冠状病毒肺炎，某医药公司研究出一种消毒剂，据实验表明，该药物释放量ft(单位：mg/m3)与时间t(单位：h）的函数关系为ft=kt,0<t<121kt,t≥12，当消毒12h后，测量得药物释放量等于1mg/m3；而实验表明，当药物释放量小于34mg/m3对人体无害．
（1）求k的值；
（2）若使用该消毒剂对房间进行消毒，求对人体有害的时间有多长？
答案：（1）k=2；（2）724h．
分析：（1）把t=12代入即可求得k的值；
（2）根据ft≥34，通过分段讨论列出不等式组，从而求解.
（1）由题意可知f12=112k=1，故k=2；
（2）因为k=2，所以ft=2t,0<t<1212t,t≥12，
又因为ft≥34时，药物释放量对人体有害，
所以0<t<122t≥34或t≥1212t≥34，解得38≤t<12或12≤t≤23，所以38≤t≤23，
由23−38=724，故对人体有害的时间为724h．
27、第24届冬季奥林匹克运动会，又称2022年北京冬季奥运会，是由中国举办的国际性奥林匹克赛事，于2022年2月4日开幕，2月20日闭幕.本届奥运会共设7个大项，15个分项，109个小项.北京赛区承办所有的冰上项目和自由式滑雪大跳台，延庆赛区承办雪车､雪橇及高山滑雪项目，张家口赛区承办除雪车､雪橇､高山滑雪和自由式滑雪大跳台之外的所有雪上项目，冬奥会的举办可以带动了我国3亿人次的冰雪产业，这为冰雪设备生产企业带来了新的发展机遇，某冰雪装备器材生产企业，生产某种产品的年固定成本为2000万元，每生产x千件，需另投入成本C(x)（万元）.经计算若年产量x千件低于100千件，则这x千件产品成本C(x)=12x2+10x+1100；若年产量x千件不低于100千件时，则这x千件产品成本C(x)=120x+4500x−90−5400.每千件产品售价为100万元，为了简化运算我们假设该企业生产的产品能全部售完.
(1)写出年利润L（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式；
(2)当年产量为多少千件时，企业所获得利润最大？最大利润是多少？
答案：(1)L=−12x2+90x−3100,0<x<100−20x−4500x−90+3400,x≥100
(2)当该企业年产量为105千件时，所获得利润最大，最大利润是1000万元
分析：（1）年利润L为销售收入减去生产成本，分情况讨论计算即可；（2）当0<x<100时，根据二次函数单调性求L最大值；当x≥100时，根据基本不等式求最大值，继而求出L最大值.
（1）当0<x<100时，L=100x−12x2−10x−1100−2000=−12x2+90x−3100；
当x≥100时，L=100x−120x+4500x−90−5400−2000=−20x−4500x−90+3400.
所以L=−12x2+90x−3100,0<x<100−20x−4500x−90+3400,x≥100
（2）当0<x<100时，L=−12x2+90x−3100=−12(x−90)2+950.
当x=90时，L取得最大值，且最大值为950.
当x≥100时，L=−20x−4500x−90+3400=−20x−90+225x−90+1600≤−202225+1600=1000当且仅当x=105时，等号成立.
因为1000>950，所以当该企业年产量为105千件时，所获得利润最大，最大利润是1000万元.

23