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初中升高中数学教材变化分析初高中数学衔接教材1.乘法公式我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：（1）平方差公式 ；（2）完全平方公式 我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：（1）立方和公式 ；（2）立方差公式 ；（3）三数和平方公式 ；（4）两数和立方公式 ；（5）两数差立方公式 对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明例1 计算：解法一：原式= = =解法二：原式= = =例2 已知，求的值解： 练 习1填空： （1）（ ）； （2） ； (3 ) 2选择题：（1）若是一个完全平方式，则等于 （ ）（A） （B） （C） （D）（2）不论，为何实数，的值 （ ） （A）总是正数 （B）总是负数 （C）可以是零 （D）可以是正数也可以是负数 2因式分解因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法1十字相乘法例1 分解因式： （1）x23x2； （2）x24x12； （3）； （4） 解：（1）如图111，将二次项x2分解成图中的两个x的积，再将常数项2分解成1与2的乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为3x，就是x23x2中的一次项，所以，有x23x2(x1)(x2)aybyxx图1142611图1131211图11212xx图111 说明：今后在分解与本例类似的二次三项式时，可以直接将图111中的两个x用1来表示（如图112所示）（2）由图113，得x24x12(x2)(x6)（3）由图114，得11xy图115 （4）xy(xy)1(x1) (y+1) （如图115所示）课堂练习一、填空题：1、把下列各式分解因式：（1）_。（2）_。（3）_。（4）_。（5）_。（6）_。（7）_。（8）_。（9）_。（10）_。2、3、若则，。二、选择题：（每小题四个答案中只有一个是正确的）1、在多项式（1）（2）（3）（4） （5）中，有相同因式的是（ ）A、只有（1）（2） B、只有（3）（4） C、只有（3）（5） D、（1）和（2）；（3）和（4）；（3）和（5）2、分解因式得（ ）A、 B、 C、 D、3、分解因式得（ ）A、 B、C、 D、4、若多项式可分解为，则、的值是（ ）A、， B、， C、， D、，5、若其中、为整数，则的值为（ ）A、或 B、 C、 D、或三、把下列各式分解因式1、 2、3、 4、2提取公因式法例2 分解因式： （1）（2） 解： （1）=（2）= = 或 课堂练习：一、填空题：1、多项式中各项的公因式是_。2、_。3、_。4、_。5、_。6、分解因式得_。7计算= 二、判断题：（正确的打上“”，错误的打上“” ）1、（ ）2、（ ）3、（ ）4、（ ）3：公式法例3 分解因式：（1） （2）解：(1)=(2) =课堂练习一、，的公因式是_。二、判断题：（正确的打上“”，错误的打上“” ）1、（ ）2、 （ ）3、 （ ）4、（ ）5、（ ）五、把下列各式分解1、 2、3、 4、4分组分解法例4 （1） （2） （2）= =或 = = =课堂练习：用分组分解法分解多项式（1）（2）5关于x的二次三项式ax2+bx+c(a0)的因式分解若关于x的方程的两个实数根是、，则二次三项式就可分解为.例5把下列关于x的二次多项式分解因式：（1）； （2）解： （1）令=0，则解得， = =（2）令=0，则解得， =练 习1选择题：多项式的一个因式为 （ ）（A） （B） （C） （D）2分解因式：（1）x26x8； （2）8a3b3；（3）x22x1； （4）习题121分解因式：（1） ； （2）； （3）； （4）2在实数范围内因式分解：（1） ； （2）； （3）； （4）3三边，满足，试判定的形状4分解因式：x2x(a2a)5. （尝试题）已知abc=1，a+b+c=2，a+b+c=，求+的值.3.一元二次不等式的解法1、一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系2、一元二次不等式的解法步骤一元二次不等式的解集：设相应的一元二次方程的两根为，则不等式的解的各种情况如下表： 二次函数（）的图象一元二次方程有两相异实根有两相等实根 无实根 R 例1 解不等式： （1）x22x30； （2）xx260； （3）4x24x10； （4）x26x90； （5）4xx20 例2 解关于x的不等式解：原不等式可以化为：若即则或若即则 若即则或例3 已知不等式的解是求不等式的解解：由不等式的解为，可知，且方程的两根分别为2和3，即 由于，所以不等式可变为 ，即 整理，得 所以，不等式的解是 x1，或x说明：本例利用了方程与不等式之间的相互关系来解决问题练 习1解下列不等式：（1）3x2x40； （2）x2x120；（3）x23x40； （4）168xx20 2.解关于x的不等式x22x1a20（a为常数）作业：1.若0a1,则不等式(xa)(x)0的解是 ( )A.axB. x或xaD.xa2.如果方程ax2bxb0中，a0，它的两根x1，x2满足x1x2，那么不等式ax2bxb0的解是_.3解下列不等式： （1）3x22x10； （2）3x240； （3）2xx21； （4）4x20(5)4+3x2x20; (6)9x212x4;4解关于x的不等式x2(1a)xa0（a为常数）5关于x的不等式的解为求关于x的不等式的解4.三角形的“四心”1.“四心”的概念及性质内心： 性质： 外心： 性质： 重心： 性质： 垂心： 2.典型例题例1 求证：三角形的三条中线交于一点，且被该交点分成的两段长度之比为2：1.已知 D、E、F分别为ABC三边BC、CA、AB的中点，求证 AD、BE、CF交于一点，且都被该点分成2：1.图3.2-3证明 连结DE，设AD、BE交于点G，D、E分别为BC、AE的中点，则DE/AB，且，且相似比为1：2，.设AD、CF交于点，同理可得，图3.2-4则与重合， AD、BE、CF交于一点，且都被该点分成.图3.2-5例2 已知的三边长分别为，I为的内心，且I在的边上的射影分别为，求证：.证明 作的内切圆，则分别为内切圆在三边上的切点，为圆的从同一点作的两条切线，同理，BD=BF，CD=CE.图3.2-6即.例3 若三角形的内心与重心为同一点，求证：这个三角形为正三角形.已知 O为三角形ABC的重心和内心.求证 三角形ABC为等边三角形.证明 如图，连AO并延长交BC于D.O为三角形的内心，故AD平分，（角平分线性质定理）O为三角形的重心，D为BC的中点，即BD=DC.，即.图3.2-7同理可得，AB=BC.为等边三角形.图3.2-8例4 求证：三角形的三条高交于一点.已知 中，AD与BE交于H点.求证 .证明 以CH为直径作圆，在以CH为直径的圆上，.同理，E、D在以AB为直径的圆上，可得.图3.2-9，又与有公共角，8