高中数学必修一第一章集合与常用逻辑用语考点专题训练.docx

(每日一练)高中数学必修一第一章集合与常用逻辑用语考点专题训练

1

单选题
1、下列各式中关系符号运用正确的是（    ）
A．1⊆0,1,2B．∅⊄0,1,2
C．∅⊆2,0,1D．1∈0,1,2
答案：C
分析：根据元素和集合的关系，集合与集合的关系，空集的性质判断即可.
根据元素和集合的关系是属于和不属于，所以选项A错误；
根据集合与集合的关系是包含或不包含，所以选项D错误；
根据空集是任何集合的子集，所以选项B错误，故选项C正确.
故选：C.
2、已知集合M=xx=m-56,m∈Z，N=xx=n2-13,n∈Z，P=xx=p2+16,p∈Z，则集合M，N，P的关系为（    ）
A．M=N=PB．M⊆N=P
C．M⊆N⊈PD．M⊆N，N∩P=∅
答案：B
分析：对集合M,N,P中的元素通项进行通分，注意3n-2与3p+1都是表示同一类数，6m-5表示的数的集合是前者表示的数的集合的子集，即可得到结果.
对于集合M=xx=m-56,m∈Z，x=m-56=6m-56=6m-1+16，
对于集合N=xx=n2-13,n∈Z，x=n2-13=3n-26=3n-1+16，
对于集合P=xx=p2+16,p∈Z，x=p2+16=3p+16，
由于集合M,N,P中元素的分母一样，只需要比较其分子即可，且m,n,p∈Z，
注意到3n-1+1与3p+1表示的数都是3的倍数加1，6m-1+1表示的数是6的倍数加1，
所以6m-1+1表示的数的集合是前者表示的数的集合的子集，
所以M⊆N=P.
故选：B.
3、已知集合A={x|-1<x≤2}，B=-2,-1,0,2,4，则∁RA∩B=（    ）
A．∅B．-1,2C．-2,4D．-2,-1,4
答案：D
分析：利用补集定义求出∁RA，利用交集定义能求出∁RA∩B．
解：集合A={x|-1<x≤2}，B=-2,-1,0,2,4，
则∁RA={x|x≤-1或x>2}，
∴∁RA∩B=-2,-1,4．
故选：D
4、设集合A=-1,0,1,2，B=1,2，C=xx=ab,a∈A,b∈B，则集合C中元素的个数为（    ）
A．5B．6C．7D．8
答案：B
分析：分别在集合A,B中取a,b，由此可求得x所有可能的取值，进而得到结果.
当a=-1，b=1时，ab=-1；当a=-1，b=2时，ab=-2；
当a=0，b=1或2时，ab=0；当a=1，b=1时，ab=1；
当a=1，b=2或a=2，b=1时，ab=2；当a=2，b=2时，ab=4；
∴C=-2,-1,0,1,2,4，故C中元素的个数为6个.
故选：B.
5、已知集合A=-1,0,1,2，B={x|x2≤1}，则A∩B=（    ）
A．-1,0,1B．0,1C．-1,1D．0,1,2
答案：A
分析：先计算集合B里的不等式，将B所代表的区间计算出来，再根据交集的定义计算即可.
不等式x2≤1 ，即-1≤x≤1 ，B=-1,1 ，
A=-1,0,1,2，B=x-1≤x≤1，所以A∩B=-1,0,1；
故选：A．
6、设集合A=2,a2-a+2,1-a，若4∈A，则a的值为（    ）．
A．-1，2B．-3C．-1，-3，2D．-3，2
答案：D
分析：由集合中元素确定性得到：a=-1，a=2或a=-3，通过检验，排除掉a=-1.
由集合中元素的确定性知a2-a+2=4或1-a=4．
当a2-a+2=4时，a=-1或a=2；当1-a=4时，a=-3．
当a=-1时，A=2,4,2不满足集合中元素的互异性，故a=-1舍去；
当a=2时，A=2,4,-1满足集合中元素的互异性，故a=2满足要求；
当a=-3时，A=2,14,4满足集合中元素的互异性，故a=-3满足要求．
综上，a=2或a=-3．
故选：D．
7、已知集合M=xx=2k+1,k∈Z，集合N=yy=4k+3,k∈Z，则M∪N=（    ）
A．xx=6k+2,k∈ZB．xx=4k+2,k∈Z
C．xx=2k+1,k∈ZD．∅
答案：C
分析：通过对集合N的化简即可判定出集合关系，得到结果.
因为集合M={x|x=2k+1,k∈Z}，
集合N={y|y=4k+3,k∈Z}={y|y=2(2k+1)+1,k∈Z}，
因为x∈N时，x∈M成立，
所以M∪N={x|x=2k+1,k∈Z}.
故选：C.
8、已知p：x-1>2，q：m-x<0，若p是q的充分不必要条件，则m的取值范围是（    ）
A．m<3B．m>3C．m<5D．m>5
答案：C
分析：先求得命题p、q中x的范围，根据p是q的充分不必要条件，即可得答案.
命题p：因为x-1>2，所以x-1>4，解得x>5，
命题q：x>m，
因为p是q的充分不必要条件，
所以m<5.
故选：C
9、已知集合P=xx=2k-1,k∈N*和集合M={x|x=a⊕b，a∈P，b∈P}，若M⊆P，则M中的运算“⊕”是（    ）
A．加法B．除法C．乘法D．减法
答案：C
分析：用特殊值，根据四则运算检验．
若a=3,b=1，则a+b=4 ∉P，a-b=2∉P，ba=13∉P，因此排除ABD．
故选：C．
10、等比数列an的公比为q，前n项和为Sn，设甲：q>0，乙：Sn是递增数列，则（    ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
答案：B
分析：当q>0时，通过举反例说明甲不是乙的充分条件；当Sn是递增数列时，必有an>0成立即可说明q>0成立，则甲是乙的必要条件，即可选出答案．
由题，当数列为-2,-4,-8,⋯时，满足q>0，
但是Sn不是递增数列，所以甲不是乙的充分条件．
若Sn是递增数列，则必有an>0成立，若q>0不成立，则会出现一正一负的情况，是矛盾的，则q>0成立，所以甲是乙的必要条件．
故选：B．
小提示：在不成立的情况下，我们可以通过举反例说明，但是在成立的情况下，我们必须要给予其证明过程．
多选题
11、已知集合A={x|x2-x-6=0},B={x|mx-1=0}, A∩B=B，则实数m取值为（    ）
A．13B．-12C．-13D．0
答案：ABD
解析：先求集合A，由A∩B=B得B⊆A，然后分B=∅和B≠∅两种情况求解即可
解：由x2-x-6=0，得x=-2或x=3，
所以A={-2,3}，
因为A∩B=B，所以B⊆A，
当B=∅时，方程mx-1=0无解，则m=0，
当B≠∅时，即m≠0，方程mx-1=0的解为x=1m，
因为B⊆A，所以1m=-2或1m=3，解得m=-12或m=13，
综上m=0，或m=-12，或m=13，
故选：ABD
小提示：此题考查集合的交集的性质，考查由集合间的包含关系求参数的值，属于基础题
12、下列四个命题中正确的是（    ）
A．∅=0
B．由实数x，－x，x，x2，-3x3所组成的集合最多含2个元素
C．集合xx2-2x+1=0中只有一个元素
D．集合x∈N5x∈N是有限集
答案：BCD
分析：根据集合的定义和性质逐项判断可得答案.
对于A，空集不含任何元素，集合0有一个元素0，所以∅=0不正确；
对于B，由于x2=x，-3x3=-x，且在x，－x，x中，当x>0时，x=x，当x<0时，x=-x，当x=0时，x=x=-x=0，三者中至少有两个相等，所以由集合中元素的互异性可知，该集合中最多含2个元素，故B正确；
对于C，xx2-2x+1=0=1，故该集合中只有一个元素，故C正确；
对于D，集合x∈N5x∈N=1,5是有限集，故D正确．
故选：BCD．
13、下列说法正确的是（    ）
A．我校爱好足球的同学组成一个集合
B．{1,2,3}是不大于3的正整数组成的集合
C．集合{1,2,3,4,5}和{5,4,3,2,1}表示同一集合
D．数1，0，5，12，32，64，14组成的集合有7个元素
答案：BC
分析：根据集合的元素的特征逐一判断即可.
我校爱好足球的同学不能组成一个集合；
{1,2,3}是不大于3的正整数组成的集合；
集合{1,2,3,4,5}和{5,4,3,2,1}表示同一集合；
由于32=64,12=14，所以数1，0，5，12，32，64，14组成的集合有5个元素；
故选：BC
14、对任意A，B⊆R，记A⊕B＝{x|x∈A∪B，x∉A∩B}，并称A⊕B为集合A，B的对称差.例如，若A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4}，则A⊕B＝{1，4}，下列命题中，为真命题的是（    ）
A．若A，B⊆R且A⊕B＝B，则A＝∅
B．若A，B⊆R且A⊕B＝∅，则A＝B
C．若A，B⊆R且A⊕B⊆A，则A⊆B
D．存在A，B⊆R，使得A⊕B＝∁RA⊕∁RB
E．存在A，B⊆R，使得A⊕B ≠B⊕A
答案：ABD
解析：根据新定义判断．
根据定义A⊕B=[(∁RA)∩B]∪[A∩(∁RB)]，
A.若A⊕B=B，则∁RA∩B=B，A∩∁RB=∅，∁RA∩B=B ⇒B⊆∁RA，A∩∁RB=∅ ⇒A⊆B，∴A=∅，A正确；
B.若A⊕B=∅，则∁RA∩B=∅，A∩∁RB=∅，A∩B=A=B，B正确；
C. 若A⊕B⊆A，则∁RA∩B=∅，A∩∁RB⊆A，则B⊆A，C错；
D.A=B时，A⊕B=∅，(∁RA)⊕(∁RB)=∅=A⊕B，D正确；
E.由定义，A⊕B=[(∁RA)∩B]∪[A∩(∁RB)] =B⊕A，E错．
故选：ABD．
小提示：本题考查新定义，解题关键是新定义的理解，把新定义转化为集合的交并补运算．
15、（多选）下列命题的否定中，是全称量词命题且为真命题的是（    ）
A．∃x∈R，x2-x+14<0B．所有的正方形都是矩形
C．∃x∈R，x2+2x+2=0D．至少有一个实数x，使x3+1=0
答案：AC
分析：AC.原命题的否定是全称量词命题,原命题的否定为真命题，所以该选项符合题意；B. 原命题为全称量词命题，其否定为存在量词命题. 所以该选项不符合题意；D. 原命题的否定不是真命题，所以该选项不符合题意.
A.原命题的否定为：∀x∈R，x2-x+14≥0，是全称量词命题；因为x2-x+14=x-122≥0，所以原命题的否定为真命题，所以该选项符合题意；
B. 原命题为全称量词命题，其否定为存在量词命题. 所以该选项不符合题意；
C. 原命题为存在量词命题，所以其否定为全称量词命题，对于方程x2+2x+2=0，Δ=22-8=-4<0，所以x2+2x+2>0，所以原命题为假命题，即其否定为真命题，所以该选项符合题意；.
D. 原命题的否定为：对于任意实数x，都有x3+1≠0，如x=-1时，x3+1=0，所以原命题的否定不是真命题，所以该选项不符合题意.
故选：AC
16、已知关于x的方程x2+m-3x+m=0，下列结论正确的是（    ）
A．方程x2+m-3x+m=0有实数根的充要条件是m∈{m|m<1或m>9}
B．方程x2+(m-3)x+m=0有一正一负根的充要条件是m∈{m∣0<m≤1}
C．方程x2+(m-3)x+m=0有两正实数根的充要条件是m∈{m∣0<m≤1}
D．方程x2+(m-3)x+m=0无实数根的必要条件是m∈{m|m>1}
答案：CD
解析：根据充分条件和必要条件的定义对选项逐一判断即可.
在A中，二次方程有实数根，等价于判别式Δ=m-32-4m≥0，解得m≤1或m≥9，即二次方程有实数根的充要条件是m∈{m|m≤1或m≥9}，故A错误；
在B中，二次方程有一正一负根，等价于m-32-4m>0m<0，解得m<0，
方程有一正一负根的充要条件是m∈mm<0，故B错误；
在C中，方程有两正实数根，等价于Δ=m-32-4m≥03-m>0,m>0,解得0<m≤1，故方程有两正实数根的充要条件是m∈{m∣0<m≤1}，故C正确；
在D中，方程无实数根，等价于Δ=m-32-4m<0得1<m<9，
而m1<m<9⊆mm>1，故m∈{m|m>1}是方程无实数根的必要条件，故D正确；
故选：CD．
小提示：名师点评关于充分条件和必要条件的判断，一般可根据如下规则判断：
（1）若p是q的充分条件，则p可推出q，即p对应集合是q对应集合的子集；
（2）若p是q的必要条件，则q可推出p，即q对应集合是p对应集合的子集；
（3）若p是q的充要条件，则p，q可互推，即p对应集合与q对应集合相等.
17、下列四个条件中可以作为方程ax2-x+1=0有实根的充分不必要条件是（    ）
A．a=0B．a≤14C．a=-1D．a≠0
答案：AC
分析：先化简方程ax2-x+1=0有实根得到a≤14，再利用集合的关系判断得解.
当a=0时，方程ax2-x+1=0有实根x=1；
当a≠0时，方程ax2-x+1=0有实根即Δ=1-4a≥0,∴a≤14.
所以a≤14且a≠0.
综合得a≤14.
设选项对应的集合为A, 集合B=(-∞,14],
由题得集合A是集合B的真子集，
所以只能选AC.
所以答案是：AC
小提示：方法点睛：充分条件必要条件的判定，常用的方法有：（1）定义法；（2）集合法；（3）转化法. 要根据已知条件灵活选择方法求解.
18、已知集合A={x|ax=1}，B={0，1，2}，若A⊆B，则实数a可以为（    ）
A．12B．1
C．0D．以上选项都不对
答案：ABC
解析：由子集定义得A=∅或A={1}或A={2}，从而1a不存在，1a=1，1a=2，由此能求出实数a．
解：∵集合A={x|ax=1}，B={0，1，2}，A⊆B，
∴A=∅或A={1}或A={2}，
∴ 1a不存在，1a=1，1a=2，
解得a=1，或a=1，或a=12．
故选：ABC．
小提示：本题主要考查集合的包含关系，属于基础题．
19、已知全集为U，A，B是U的非空子集且A⊆∁UB，则下列关系一定正确的是（    ）
A．∃x∈U，x∉A且x∈BB．∀x∈A，x∉B
C．∀x∈U，x∈A或x∈BD．∃x∈U，x∈A且x∈B
答案：AB
分析：根据给定条件画出韦恩图，再借助韦恩图逐一分析各选项判断作答.
全集为U，A，B是U的非空子集且A⊆∁UB，则A，B，U的关系用韦恩图表示如图，

观察图形知，∃x∈U，x∉A且x∈B，A正确；
因A∩B=∅，必有∀x∈A，x∉B，B正确；
若A∁UB，则(∁UA)∩(∁UB)≠∅，此时∃x∈U，x∈[(∁UA)∩(∁UB)]，即x∉A且x∉B，C不正确；
因A∩B=∅，则不存在x∈U满足x∈A且x∈B，D不正确.
故选：AB
20、下列各题中，p是q的充要条件的有（    ）
A．p：四边形是正方形；q：四边形的对角线互相垂直且平分
B．p：两个三角形相似；q：两个三角形三边成比例
C．p：xy>0；q：x>0，y>0
D．p：x=1是一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根；q：a+b+c=0（a≠0）
答案：BD
分析：根据充要条件的定义对各选项逐一进行分析讨论并判定作答.
对于A，四边形是正方形则四边形的对角线互相垂直且平分成立，但四边形的对角线互相垂直且平分四边形可能是菱形，即p不是q的充要条件，A不是；
对于B，两个三角形相似与两个三角形三边成比例能互相推出，即p是q的充要条件，B是； 
对于C，xy>0不能推出x>0，y>0，可能x<0，y<0，即p不是q的充要条件，C不是；
对于D，x=1是一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根，可得a+b+c=0，
反之，当a+b+c=0时，把c=-a-b代入方程ax2+bx+c=0得ax2+bx-a-b=0，即(ax+a+b)(x-1)=0，显然x=1是方程的一个根，即p是q的充要条件，D是.
故选：BD
填空题
21、用符号“∈”或“∉”填空：
（1）设集合B是小于11的所有实数的集合，则23______B，1+2______B；
（2）设集合D是由满足方程y=x2的有序实数对x,y组成的集合，则－1______D，-1,1______D．
答案：     ∉     ∈     ∉     ∈
分析：（1）先判断23，1+2与11的大小关系，再根据元素与集合的关系求解，
（2）集合D是点集，可知-1不在此集合中，再将-1,1代入函数解析式中验证即可.
（1）∵23=12>11，∴23∉B．
∵1+2<3<11，∴1+2∈B．
（2）∵集合D中的元素是有序实数对x,y，而－1不是有序实数对，∴-1∉D．
∵-12=1，∴-1,1是满足方程y=x2的有序实数对，
∴-1,1∈D．
所以答案是：∉，∈，∉，∈.
22、设集合A=-1,1,3，B=a+2,a2+4，A∩B=3.则实数a=_______.
答案：1
分析：由A∩B=3可得3∈A,3∈B，从而得到a+2=3，即可得到答案.
因为A∩B=3，所以3∈A,3∈B，
显然a2+4≠3，所以a+2=3，解得：a=1.
所以答案是：1.
小提示：本题考查利用集合的基本运算求参数值，考查逻辑推理能力和运算求解能力，属于基础题.
23、已知集合A={x|-2≤x≤7}，B={x|m+1≤x≤2m-1}，若B⊆A，则实数m的取值范围是____________．
答案：(-∞,4]
分析：分情况讨论：当B=∅或B≠∅，根据集合的包含关系即可求解.
当B=∅时，有m+1≥2m-1，则m≤2；
当B≠∅时，若B⊆A，如图，

则m+1≥-2,2m-1≤7,m+1<2m-1,解得2<m≤4．
综上，m的取值范围为(-∞,4]．
所以答案是：(-∞,4]

14