加权Hilbert型空间中超齐次核离散算子的最佳搭配参数及范数计算.pdf
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1、应用数学MATHEMATICA APPLICATA2024,37(2):327-336加权Hilbert型空间中超齐次核离散算子的最佳搭配参数及范数计算张丽娟1,洪勇1,2(1.广州华商学院数据科学学院,广东 广州 511300;2.广东财经大学统计与数学学院,广东 广州 510320)摘要:引入超齐次核概念,利用权系数方法,讨论具有超齐次核离散算子在加权Hilbert型空间中的有界性及算子范数,得到该类算子最佳搭配参数的充分必要条件和算子范数的计算公式,统一了齐次核,广义齐次核及若干非齐次核情形的相关结果.关键词:超齐次核;Hilbert型离散不等式;离散算子;加权Hilbert空间;最佳搭
2、配参数中图分类号:O178AMS(2010)主题分类:26D15文献标识码:A文章编号:1001-9847(2024)02-0327-101.预备知识与超齐次核概念1908年,德国数学家D.Hilbert证明了一个著名的离散不等式1:若 a=am l2,b=bn l2,则有n=1m=1ambnm+n(m=1|am|2)12(n=1|bn|2)12=a2b2,(1)其中的常数因子是最佳值.1925年,Hardy将式(1)推广为一般对偶形式2:若1p+1q=1(p 1),a=am lp,b=bn lq,则有n=1m=1ambnm+nsin(p)(m=1|am|p)1p(n=1|bn|q)1q=si
3、n(p)apbq,(2)其中的常数因子sin(p)仍是最佳值.由于Hilbert不等式(2)与离散算子T(a)n=m=1amm+n(a=am lp)的不等式T(a)psin(p)ap等价,故由式(2)可知算子T是Hilbert型空间lp中的有界算子,且T的算子范数T=sin(p),由此可见Hilbert不等式的研究有重要意义.为了进一步的推广研究,人们首先对Hilbert型空间lp做了加权推广:设p 1,R,称lp=a=am:ap,=(m=1m|am|p)1p 1),R,a=am lp,b=bn lq,K(m,n)0,则称不等式n=1m=1K(m,n)ambn M ap,bq,(3)为Hilb
4、ert型离散不等式,其中K(m,n)称为不等式的核,常数M 0称为不等式的常数因子.引入搭配参数a,b,利用权系数方法,在一定条件下可以得到相应的Hilbert型离散不等式,其常数因子M不仅与a,b相关,同时与核K(m,n)及加权Hilbert型空间中的各参数也有关联,对任意选取的搭配参数a,b,一般地,常数因子M并不是最佳值,若搭配参数a,b使常数因子M最佳,则称a,b是最佳搭配参数.对于齐次核,广义齐次核及一些非齐次核的Hilbert型不等式,目前的研究已比较充分310,近年更是获得了最佳搭配参数的充分必要条件等重要成果1115,形成了比较完整的理论体系16.本文将从更广的角度引入超齐次核
5、概念,并以超齐次核统一之前的各类核,讨论具有超齐次核的Hilbert型离散不等式及相应离散算子的最佳搭配参数,更加系统性地解决最佳搭配参数的充分必要条件问题.定义1设K(m,n)满足:t 0,有K(tm,n)=t1K(m,t1n),K(m,tn)=t2K(t2m,n),则称K(m,n)是具有参数1,2,1,2的超齐次核.显然,若K1(m,n)是阶齐次核,则K1(m,n)是具有参数,1,1的超齐次核;若G(u,v)是阶齐次函数,则广义齐次核K2(m,n)=G(m1,n2)是具有参数1,2,12,21 的超齐次核;对于任意的实函数G(u),非齐次核K3(m,n)=G(m1n2)是具有参数0,0,1
6、2,21 的超齐次核.可见,超齐次核概念高度地统一了Hilbert型不等式及相应算子研究中的大多数核,能使我们站在更高更广的角度抽象地讨论问题,获得更具普遍性的结果.对于具有参数1,2,1,2的超齐次核K(m,n),由于K(tm,n)=t1K(m,t1n)=t1+12K(t12m,n),可见在一般情况下都有12=1,1+12=0,因此我们的讨论总是在12=1及1+12=0的假设下进行.为避免不必要的重,本文中总是记W1(s)=+0K(1,t)tsdt,W2(s)=+0K(t,1)tsdt,A(K,a,b)=n=1m=1K(m,n)ambn,其中 a=am,b=bn.2.预备引理引理1设K(m,
7、n)是具有参数1,2,1,2超齐次核,12=0,那么(i)若1b a=1 1 1,则W2(a)=1|1|W1(b);(ii)若2a b=2 2 1,则W1(b)=1|2|W2(a).(iii)若K(1,t)tb及K(t,1)ta都在(0,+)上递减,则 1(m,b)=n=1K(m,n)nb m1+1(b1)W1(b),2(n,a)=m=1K(m,n)ma n2+2(a1)W2(a).第 2 期张丽娟等:加权Hilbert型空间中超齐次核离散算子的最佳搭配参数及范数计算329证(i)因为1b a=1 1 1,故11(1 a+1)1=b,从而W2(a)=+0K(1,t1)t1adt=1|1|+0K
8、(1,u)u11(1a+1)1du=1|1|+0K(1,u)ubdu=1|1|W1(b).(ii)同理可证W1(b)=1|2|W2(a).(iii)因为K(1,t)tb在(0,+)上递减,故 1(m,b)=m1n=1K(1,m1n)nb=m1+1bn=1K(1,m1n)(m1n)b m1+1b+0K(1,m1u)(m1u)bdu=m1+1b1+0K(1,t)tbdt=m1+1(b1)W1(b).同理可证 2(n,a)n2+2(a1)W2(a).引理2当且仅当12=1,1+12=0时,有1ba=111与2ab=221等价.证1b a=1 1 1与2a b=2 2 1等价的充分必要条件是二元线性方
9、程组x1 1x2=1+1+1,2x1 x2=2 2 1的增广矩阵的秩为1,即1=Rank(111+1+1212 2 1)=Rank(111212)=Rank(1 1201+12212),这等价于12=1,1+12=0,故引理2成立.引理3设K(m,n)是具有参数1,2,1,2的超齐次核,12=1,1+12=0,且1ba=1 1 1,则W1p1(b)W1q2(a)=(1|1|)1qW1(b)=(1|2|)1pW2(a).(4)证根据引理2,可知1b a=1 1 1与2a b=2 2 1等价,从而1b a=1 1 1与2a b=2 2 1同时成立,根据引理1便可得式(4).3.超齐次核的Hilbe
10、rt型离散不等式的最佳搭配参数条件定理1设1p+1q=1(p 1),a,b R,12=0,K(m,n)是具有参数1,2,1,2的超齐次非负核,0 W1(b)+,0 W2(a)+,1b a (1 1 1)=c1,2a b(221)=c2,且K(1,t)tb,K(t,1)ta,K(1,t)tb+2c1q及K(t,1)ta+1c2p都在(0,+)上递减.(i)记=a(p 1)+1(b 1)+1,=b(q 1)+2(a 1)+2,则有Hilbert型离散不等式A(K,a,b)=n=1m=1K(m,n)ambnW1p1(b)W1q2(a)ap,bq,(5)330应用数学2024其中 a=am lp,b=
11、bn lq.当12=1,1+12=0,且1b a=1 1 1时,式(5)化为A(K,a,b)(1|1|)1qW1(b)ap,ap1bq,bq1=(1|2|)1pW2(a)ap,ap1bq,bq1,(6)(ii)若12=1,1+2=0,且1 0使M0 0及足够大的整数N 0,记N0=N21+1,取am=0,m=1,2,N0 1,map1p,m=N0,N0+1,bn=0,n=1,2,N 1,nbq+q,n=N,N+1,并注意1 0,则有M0 ap,ap1bq,bq1=M0(m=N0m1+1)1p(n=Nn1)1q M0(+1t1+1dt)1p(+1t1dt)1q=M0(1|1|)1p,利用K(1,
12、t)tb在(0,+)上递减,有A(K,a,b)=m=N0ma+1p(n=NK(m,n)nbq)=m=N0m1a+1p(n=NK(1,m1n)nbq)第 2 期张丽娟等:加权Hilbert型空间中超齐次核离散算子的最佳搭配参数及范数计算331=m=N0m1a+1p+1(b+q)(n=NK(1,m1n)(m1n)bq)m=N0m1a+1p+1b+1q(+NK(1,m1u)(m1u)bqdu)=m=N0m1a+1(b1)+1(+Nm1K(1,t)tbqdt).因为1 N21,从而m1 N2,于是A(K,a,b)m=N0m1a+1(b1)+1(+NN2K(1,t)tbqdt)=m=N0m1+1+N1K
13、(1,t)tbqdt+N0t1+1dt+N1K(1,t)tbqdt=1|1|N10+N1K(1,t)tbqdt.综上可得1|1|N10+N1K(1,t)tbqdt M0(1|1|)1p,从而(1|1|)1qN10+N1K(1,t)tbqdt M0.(7)可视为一个趋于0的正项数列k,根据著名的Fatou引理,有+N1K(1,t)tbdt=+N1liminfkK(1,t)tbkqdt liminfk+N1K(1,t)tbkqdt.于是在式(7)中令 0+,得(1|1|)1q+N1K(1,t)tbdt M0,再令N +,可得(1|1|)1qW1(b)M0,这与M0(1|1|)1qW1(b)矛盾,故
14、式(6)中的常数因子是最佳的,即式(5)的常数因子是最佳值.必要性:设式(5)中的常数因子W1p1(b)W1q2(a)是最佳值.因为12=1,1+12=0,可知12=0或1=2=0.若12=0,则1=12,2=21,且由1 0.此时1b a=1 1 1化为1b+2a=1+2+12,且由1ba(111)=c1,得到1b+2a(1+2+12)=c12,由2a b (2 2 1)=c2,得1b+2a (1+2+12)=c21.记1b+2a (1+2+12)=c,a=a c2p,b=b c1q,则经简单计算可得1b+2a=1+2+12,=ap 1,=bq 1.又因为W2(a)=+0K(t,1)tadt
15、=+0K(1,t12)t1adt=21+0K(1,u)ub+c1du=21W1(b+c1),332应用数学2024于是式(5)等价地化为A(K,a,b)(21)1qW1p1(b)W1q1(b+c1)ap,ap1bq,bq1,(8)由于式(5)的常数因子最佳,故与之等价的式(8)的最佳常数因子为(21)1qW1p1(b)W1q1(b+c1).又因为1b+2a=1+2+12,即1b a1=1 1 1,且K(1,t)tb=K(1,t)tb+c1q=K(1,t)tb2c11q=K(1,t)tb+2c1q,K(t,1)ta=K(t,1)ta+c2p=K(t,1)tb1c22p=K(t,1)ta+1c2p
16、都在(0,+)上递减,根据前面充分条件的证明,可知式(8)的最佳常数因子应为(1|1|)1qW1(b)=(21)1qW1(b+c1q),从而得到W1(b+c1q)=W1p1(b)W1q1(b+c1).(9)根据H older积分不等式,有W1(b+c1q)=+01 tc1qK(1,t)tbdt(+01p K(1,t)tbdt)1p(+0tc1K(1,t)tbdt)1q=W1p1(b)W1q1(b+c1).(10)由式(9)知式(10)取等号,根据H older积分不等式取等号的条件,有tc1=常数,故c=0,由此得1b+2a=1+2+12,即1b a=1 1 1.若1=2=0,则1b a=1
17、1 1化为1b a=1 1.因为12=1,1 0,2 0),于是1ba=11进一步化为1(b1)+2(a1)=0.记1(b 1)+2(a 1)=c,a=a c2p,b=b c1q,则计算可得1(b 1)+2(a 1)=0,=ap 1,=bq 1,且W2(a)=+0K(t,1)tadt=21W1(b+c1).于是式(5)化为等价不等式A(K,a,b)(21)1qW1p1(b)W1q1(b+c1)ap,ap1bq,bq1.(11)由于式(5)的常数因子最佳,故式(11)的最佳常数因子是(21)1qW1p1(b)W1q1(b+c1).由于1(b1)+2(a1)=0,即1ba=11,又由1ba(11)
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