具有耐烦服务员和N-策略的M_G_1可中断休假排队系统.pdf

应用数学MATHEMATICA APPLICATA2024,37(2):563-578具有耐烦服务员和N-策略的M/G/1可中断休假排队系统吴湿沛1,兰绍军1,唐应辉2(1.四川轻化工大学数学与统计学院,四川 自贡 643000;2.四川师范大学数学科学学院,四川 成都 610068)摘要：考虑具有耐烦服务员和N-策略的M/G/1休假排队系统,其中服务员的假期可中断.运用全概率分解技术、更新理论和拉普拉斯变换工具,分析了系统的瞬态队长分布和稳态队长分布,获得了瞬态队长分布的拉普拉斯变换表达式和稳态队长分布的递推表达式,并进一步证明了稳态队长的随机分解性质.最后,通过建立费用结构模型,结合数值实例,讨论了使系统在长期单位时间内的期望费用最小的最优控制策略N.关键词：耐烦服务员;N-策略;休假排队系统;队长分布;最优控制策略中图分类号：O226AMS(2010)主题分类：60K25;90B22文献标识码：A文章编号：1001-9847(2024)02-0563-161.引言在排队论的研究中,最受关注的问题是排队系统的最优设计和最优控制,其研究的主要目的是通过了解客观实际需求和系统的运行规律,实现对系统的合理设计和精确控制,进而使系统创造出更好的经济效益和社会效益.在有关排队系统的最优设计和最优控制的研究中,排队论学者们通常会引入各种策略,比如常见的控制(阈值)策略、休假策略等.经典的控制策略包括控制服务的N-策略1、D-策略2和T-策略3以及控制到达的F-策略4.其中,N-策略是指一旦系统变空,则立即关闭系统,直到系统中的顾客数累计达到事先设定的整数N(N 1)时,系统马上开启并为顾客提供服务.N-策略是研究得最为广泛和深入的控制策略59.另外,Levy和Yechiali10于1975年首次从有效利用随机服务系统闲期的角度出发,将“休假”这一术语引入到排队论中,研究了具有休假策略的M/G/1连续时间排队系统,这一理论创新为排队系统的最优设计和最优控制提供了重要的指导价值.带有休假策略的排队是经典排队的进一步延伸和推广,休假泛指服务员暂时不接待顾客而服务中断的那段时间.服务中断可以是服务台因故障而需要维修、可以是有更急需的任务要执行(优先权问题)、可以是机器或服务员需要补充能量、也可以是从事一些辅助性工作等等.经典的休假策略有Levy和Yechiali10提出的单重休假和多重休假,以及田乃硕11提出的多级适应性休假.由于带有休假策略的排队系统更接近于现实中的排队情形并且其应用范围非常广泛,所以大量的排队论学者对其进行了深入的研究.一些有关休假排队的优秀综述和著作可参见文12-19.收稿日期：2023-05-22基金项目：国家自然科学基金(71571127);桥梁无损检测与工程计算四川省高校重点实验室开放课题基金(2023QYJ04);四川省自然科学基金(2023NSFSC1021)通讯作者：兰绍军,男,汉族,四川人,讲师,研究方向：排队论及其应用.564应用数学2024上述文献基本上都是单一地考虑控制策略或者休假策略,虽然能够有效地控制服务员在忙期和闲期之间的转换频率,进而减少因系统频繁转换而产生的费用,但是也有一定的不足之处.例如,对于N-策略来说,当顾客的到达率相对于N来说比较小的时候,先到达的顾客需要等待很长的时间才能接受服务,这无疑会增加顾客的等待时间和系统的容纳成本,还有可能因顾客的不耐烦而造成顾客的流失,从而降低系统的收益以及顾客的满意度.再比如,对于休假策略来说,有可能会出现服务员假期内到达的顾客数过多的情形,此时容易造成系统拥塞甚至因负载而崩溃,也有可能会因为休假时间过长而造成顾客流失,从而影响系统的收益.鉴于单个的控制策略并不能很好地实现系统的最优控制,一些学者又研究了由两个或者多个策略共同构成的联合控制策略.Alfa和Li20分析了具有N-策略和T-策略联合控制的M/G/1排队系统,并通过构建费用结构函数讨论了最优控制问题.唐应辉等2122将N-策略和休假策略相结合,分别考虑了基于单重休假和多重休假的Min(N,V)-策略M/G/1 排队系统.这里的Min(N,V)-策略指的是:每当系统变空时,服务员马上进行休假.在服务员的休假期间,如果系统中到达的顾客数达到了N个,则服务员马上结束休假并立即开始为顾客服务,直到系统再次变空;如果在服务员的休假期间,系统中到达的顾客数没有达到N个,则服务员等到此次休假结束后才回到系统.文23-24将Min(N,V)-策略引入到离散时间排队系统中,研究了基于单重休假和多重休假的Min(N,V)-策略Geo/G/1排队系统,并分析了最优设计和最优控制问题.另外,文25-26研究了具有三维联合控制策略的排队系统.以上文献中所涉及到的休假策略存在着一定的局限性.对于单重休假来说,如果服务员休假结束回来发现系统中没有顾客,则会一直留在系统中等待顾客的到达,可能会等待很长一段时间才有新顾客到达,而服务员不能有效利用这段时间去从事一些辅助性工作,这也会影响系统的收益.对于多重休假来说,当服务员在一次休假结束后,一旦发现系统中没有顾客则会立即开始一次新的休假,如果在新的休假刚开始时到达一位顾客,那么这位顾客只能等到服务员休假结束后才能接受服务.特别是当服务员休假时间较长且假期中到达的顾客过多时,不仅会延长顾客的等待时间,还可能会造成系统拥挤甚至崩溃,这会进一步降低顾客的满意度以及减少系统的收益.考虑到经典休假策略的不足,Boxma等27运用嵌入马尔科夫链分析法和概率母函数技术研究了具有耐烦服务员的M/G/1休假排队系统.每当忙期结束(即系统变空)时,服务员马上进行一次休假,如果休假结束回来发现系统中有顾客,则马上为顾客提供服务.如果休假结束回来发现系统仍然是空的,他不会立即进行一次新的休假(不同于多重休假),也不会在空的系统中一直等待顾客的到达(不同于单重休假),而是在系统中等待一段随机长度的时间(称这段时间为服务员的耐烦期).若在服务员的耐烦期间有顾客到达,则立即开始一个新的忙期;若在服务员的耐烦期间没有顾客到达,则在耐烦期结束后立即开始一次新的休假.文28进一步考虑了具有耐烦服务员和成批到达的MX/G/1休假排队系统.文29运用全概率分解技术再次分析了27中的模型,得到了系统的瞬态和稳态结果,并讨论了最优设计问题.文27-29的研究表明:具有耐烦服务员的休假排队系统是经典休假排队系统的推广.值得注意的是,文27-29中的服务员耐烦行为不同于文30-33 中的服务员延迟休假行为.服务员的耐烦行为是在每次休假结束后系统中没有顾客时发生的行为,而服务员的延迟休假行为是在每次休假前发生的行为.再有,考虑到系统经过一段繁忙期(尤其是时间比较长)后,服务员(人或者是机器)需要休息或维护,因此忙期结束就进行一次休假显得更为合理.基于以上原因与背景,本文提出了具有耐烦服务员和N-策略的M/G/1休假排队模型.该模型可运用到日常生活中的很多场景,例如生产与制造系统.在此种系统中,管理者为了克服由于频繁关闭和启动系统而引起的成本,往往会等原材料累计到一定的数量后才开始启动设备进行生产(N-策略).当没有原材料时,工作人员(生产设备)会停止工作(运行),进行一些额外的操作任务(可视为一次休假),比如工作人员对机器进行检修或去做其他辅助性的工作等.另第 2 期吴湿沛等：具有耐烦服务员和N-策略的M/G/1可中断休假排队系统565外,当一次休假结束后,若仍没有原材料等待处理,则工作人员不会马上离开系统去执行其他任务,而是会在岗位上待一段时间(耐烦期),以便及时处理新到达的原材料(特别是有重要或紧急任务时).若在耐烦期间没有原材料到达,则开始另一次新的休假.因此,本文提出的模型为系统的运行控制提供了更大的灵活性和适应性,有较强的实际应用背景.本文运用全概率分解技术和拉普拉斯变换工具,从任意初始状态出发,讨论了系统的瞬态队长分布,并进一步推导出系统的稳态队长分布的递推表达式.同时,证明了稳态队长满足随机分解性质.最后,建立了系统在长期单位时间内的期望费用模型,并结合数值实例寻求最优控制策略N.本文研究的系统模型描述如下:1)顾客的相继到达间隔时间i,i=1,2,相互独立且服从同一负指数分布F(t)=1 et,t 0.2)系统中只有一个服务台,且容量无限大,顾客按先到先服务(FCFS)的顺序接受服务.顾客的服务时间i,i=1,2,相互独立且服从相同的一般分布G(t)=P i t,t 0,设平均服务时间1=0tdG(t),(0 0)的Poisson过程,因此 j的分布为F(t)=P j t=1 et,t 0,j=1,2,.定义2.2服务员闲期:是指从系统刚变空的时刻起,直到其后服务员开始为顾客提供服务为止的这一段时间,其中包含服务员的休假时间和耐烦时间.定义2.334服务员忙期:是指从服务员开始为顾客服务的时刻起,直到系统再次变空为止的这一段时间.令b表示该系统从一个顾客开始的“服务员忙期”长度,其分布记为B(t)=P b t,b(s)=0estdB(t)为B(t)的拉普拉斯-斯蒂尔切斯变换(简称LS变换).引理2.134对(s)0,则b(s)是方程z=g(s+z)在|z|1,E(b)=(1),1,1,其中,(s)表示复变量s的实部,=表示交通强度,(0 1)是方程z=g(z)在(0,1)内的根.G(k)(t)表示G(t)的k重卷积,k=1,2,且G(0)(t)=1,t 0,g(s)=0estdG(t)表示G(t)的LS变换.令b表示由i个顾客开始的服务员忙期长度,由于到达过程为泊松过程,所以Pb t=B(i)(t),t 0,i=1,2,.再令N(t)表示系统在t时刻的队长,即t时刻系统中的顾客数,Qj(t)=P b t 0,N(t)=j表示在服务员忙期b中队长为j(j=1,2,)的瞬态概率,且在t=0时系统中只有一个顾客,服务员忙期b才刚开始,即Q1(0)=1,Qj(0)=0,j=2,3,.引理2.234令qj(s)=0estQj(t)dt为Qj(t)的拉普拉斯变换(简称L变换),对(s)0,有q1(s)=b(s)1 g(s+)(s+)g(s+),qj(s)=b(s)g(s+)01 G(t)(t)j1(j 1)!e(s+)tdt+1g(s+)j1k=1qjk(s)bk(s)b(s)ki=00e(s+)tb(s)tii!dG(t),j=2,3,其中当求和的上标小于下标时,有j1k=1qjk(s)bk(s)b(s)ki=00e(s+)tb(s)tii!dG(t)=0.下面讨论系统队长的瞬态分布.令Pij(t)=P N(t)=j|N(0)=i表示系统从初始状态N(0)=i出发,在任意时刻t队长N(t)=j的概率,其L变换为pij(s)=0estPij(t)dt,i,j=0,1,2,.定理2.1对(s)0和i=1,2,有p00(s)=1 f(s)s1+f(s)b(s)1 v(s+)t(s+)s,(2.1)pi0(s)=1 f(s)sbi(s)1 v(s+)t(s+)s,(2.2)其中,f(s)=0estdF(t),v(s)=0estdV(t),t(s)=0estdT(t),V(t)=1 V(t),(s)=1v(s+)t(s+)f(s)b(s)v(s+)1 t(s+)bN(s)0estV(t)dF(N)(t)N1m=10e(s+)t(b(s)t)mm!dV(t).证令sk=ki=1(Vi+Ti),lk=ki=1i,k=1,2,且s0=l0=0,F(t)=1 F(t),T(u)=1 T(u).因为在时刻t系统的队长为0的充要条件是在时刻t 处于系统闲期,所以运用全概率分解技术,有P00(t)=P 0 t 1+P 1+b1 t 1+b1+2+P 1+b1+2 t,N(t)=0=P 0 t 1+P 1+b1 t 1+b+2+k=1P 1+b1+2 t,sk1+Vk 2 sk,N(t)=0+k=1P 1+b1+2 t,sk1 2 sk1+Vk,N(t)=0第 2 期吴湿沛等：具有耐烦服务员和N-策略的M/G/1可中断休假排队系统567=F(t)+t0F(t x)dF(x)B(x)+k=1P 1+b1+2 t,sk1+Vk 2 sk,N(t)=0+k=1P 1+b1+2+lN1 t,sk1 2 sk1+Vk,2+lN1 sk1+Vk,N(t)=0+k=1N1m=1P 1+b1+sk1+Vk t,sk1 2 sk1+Vk,2+lm1 sk1+Vk 2+lm,N(t)=0.(2.3)(2.3)式中第三项为k=1t0P 2 t x,sk1+Vk 2 sk,N(t x)=0dF(x)B(x)=k=1t0tx0P 2 t x y,0 2 Tk,N(t x y)=0eydV(k)(y)T(k1)(y)dF(x)B(x)=k=1t0tx0txy0P10(t x y u)T(u)eydF(u)dV(k)(y)T(k1)(y)dF(x)B(x).(2.4)其中,2是在 2 sk1的条件下的剩余到达时间.(2.3)式中第四项为k=1t0P 2+lN1 t x,sk1 2 sk1+Vk,2+lN1 sk1+Vk,N(t x)=0dF(x)B(x)=k=1t0tx0P 2+lN1 t x y,0 2 Vk,2+lN1 Vk,N(t x y)=0eydV(k1)(y)T(k1)(y)dF(x)B(x)=k=1t0tx0txy0PN0(t x y u)V(u)eydF(N)(u)dV(k1)(y)T(k1)(y)dF(x)B(x).(2.5)(2.3)式第五项为k=1N1m=1t0P sk1+Vk t x,sk1 2 sk1+Vk,2+lm1 sk1+Vk 2+lm,N(t x)=0dF(x)B(x)=k=1N1m=1t0tx0P Vk t x y,0 2 Vk,2+lm1 Vk 2+lm,N(t x y)=0eydV(k1)(y)T(k1)(y)dF(x)B(x)568应用数学2024=k=1N1m=1t0tx0txy0P0 2 u,2+lm1 u 0和i=1,2,有1)当j=0,1,N 1时,有p0j(s)=f(s)j(s)s+f(s)qj1+f(s)b(s)v(s+)1 t(s+)s,(2.12)pij(s)=ik=1qji+k(s)bk1(s)+bi1(s)j(s)+b(s)v(s+)1 t(s+)f(s)qjs;(2.13)2)当j=N,N+1,N+2,时,有p0j(s)=f(s)j(s)s+f(s)qj1+f(s)b(s)v(s+)1 t(s+)s,(2.14)pij(s)=ik=1qji+k(s)bk1(s)+bi1(s)j(s)+b(s)v(s+)1 t(s+)f(s)qjs,(2.15)其中,j(s)=b(s)0e(s+)tV(t)(t)jj!dt+j(s),j(s)=Nk=1qjN+k(s)bk(s)0estV(t)dF(N)(t)+N1m=1mk=1qjm+k(s)bk(s)0e(s+)t(t)mm!dV(t).证1)当j=1,2,N 1时,在t时刻系统的队长为j等价于时刻t处于服务员忙期且队长为j,或者处于服务员假期且队长为j.从而P0j(t)=P 1 t 1+b1,N(t)=j+P 1+b1 t,N(t)=j=P 1 t 1+b1,N(t)=j+k=1P 1+b1+2 t 1+b1+sk1+Vk,sk1 2 sk1+Vk,1+b1+2+lj1 t 1+b1+2+lj+k=1P 1+b1+2 t,sk1+Vk 2 sk,N(t)=j+k=1P 1+b1+2+lN1 t,sk1 2 sk1+Vk,2+lN1 sk1+Vk,N(t)=j+k=1N1m=1P 1+b1+sk1+Vk t,sk1 2 sk1+Vk,570应用数学2024 2+lm1 sk1+Vk 2+lm,N(t)=j=t0Qj(t x)dF(x)+k=1t0tx0V(t x y)(t x y)jj!e(tx)dV(k1)(y)T(k1)(y)dF(x)B(x)+k=1t0tx0txy0T(u)P1j(t x y u)eydF(u)dV(k)(y)T(k1)(y)dF(x)B(x)+k=1t0tx0txy0V(u)PNj(t x y u)eydF(N)(u)dV(k1)(y)T(k1)(y)dF(x)B(x)+k=1N1m=1t0tx0txy0Pmj(t x y u)(u)mm!e(u+y)dV(u)dV(k1)(y)T(k1)(y)dF(x)B(x).(2.16)对i=1,2,有Pij(t)=ik=1Qji+k(t)B(k1)(t)+k=1t0tx0V(t x y)(t x y)jj!e(tx)dV(k1)(y)T(k1)(y)dB(i)(x)+k=1t0tx0txy0T(u)P1j(t x y u)eydF(u)dV(k)(y)T(k1)(y)dB(i)(x)+k=1t0tx0txy0V(u)PNj(t x y u)eydF(N)(u)dV(k1)(y)T(k1)(y)dB(i)(x)+k=1N1m=1t0tx0txy0Pmj(t x y u)(u)mm!e(u+y)dV(u)dV(k1)(y)T(k1)(y)dB(i)(x).(2.17)分别对(2.16)式、(2.17)式作L变换得p0j(s)=f(s)qj(s)+f(s)b(s)1 v(s+)t(s+)0e(s+)tV(t)(t)jj!dt+f(s)b(s)1 v(s+)t(s+)p1j(s)f(s)v(s+)1 t(s+)+pNj(s)0estV(t)dF(N)(t)+N1m=1pmj(s)0e(s+)t(t)mm!dV(t),(2.18)pij(s)=ik=1qji+k(s)bk1(s)+bi(s)1 v(s+)t(s+)0e(s+)tV(t)(t)jj!dt第 2 期吴湿沛等：具有耐烦服务员和N-策略的M/G/1可中断休假排队系统571+bi(s)1 v(s+)t(s+)p1j(s)f(s)v(s+)1 t(s+)+pNj(s)0estV(t)dF(N)(t)+N1m=1pmj(s)0e(s+)t(t)mm!dV(t).(2.19)由(2.18)式和(2.19)式可得p0j(s)和pij(s)的关系如下:pij(s)=ik=1qji+k(s)bk1(s)+bi1(s)f(s)p0j(s)f(s)qj(s),i=1,2,.(2.20)将(2.20)式代入(2.18)式,整理可得(2.12)式,再把(2.12)式代入(2.20)式可解得(2.13)式.2)当j=N,N+1,N+2,时,时刻t队长为j的充要条件为在时刻t处于服务员忙期且队长为j,同理可得P0j(t)=P 1 t 1+b1,N(t)=j+k=1P 1+b1+2 t,sk1+Vk 2 sk,N(t)=j+k=1P 1+b1+2+lN1 t,sk1 2 sk1+Vk,2+lN1 sk1+Vk,N(t)=j+k=1N1m=1P 1+b1+sk1+Vk t,sk1 2 sk1+Vk,2+lm1 sk1+Vk 2+lm,N(t)=j=t0Qj(t x)dF(x)+k=1t0tx0txy0T(u)P1j(t x y u)eydF(u)dV(k)(y)T(k1)(y)dF(x)B(x)+k=1t0tx0txy0V(u)PNj(t x y u)eydF(N)(u)dV(k1)(y)T(k1)(y)dF(x)B(x)+k=1N1m=1t0tx0txy0Pmj(t x y u)(u)mm!e(u+y)dV(u)dV(k1)(y)T(k1)(y)dF(x)B(x).(2.21)当i=1,2,时,有Pij(t)=ik=1Qji+k(t)B(k1)(t)+k=1t0tx0txy0T(u)P1j(t x y u)eydF(u)dV(k)(y)T(k1)(y)dB(i)(x)+k=1t0tx0txy0V(u)PNj(t x y u)eydF(N)(u)dV(k1)(y)T(k1)(y)dB(i)(x)+k=1N1m=1t0tx0txy0Pmj(t x y u)(u)mm!e(u+y)dV(u)572应用数学2024dV(k1)(y)T(k1)(y)dB(i)(x).(2.22)分别对(2.21)式和(2.22)式作L变换得p0j(s)=f(s)qj(s)+f(s)b(s)1 v(s+)t(s+)p1j(s)f(s)v(s+)1 t(s+)+pNj(s)0estV(t)dF(N)(t)+N1m=1pmj(s)0e(s+)t(t)mm!dV(t),(2.23)pij(s)=ik=1qji+k(s)bk1(s)+bi(s)1 v(s+)t(s+)p1j(s)f(s)v(s+)1 t(s+)+pNj(s)0estV(t)dF(N)(t)+N1m=1pmj(s)0e(s+)t(t)mm!dV(t).(2.24)由(2.23)式和(2.24)式可得p0j(s)和pij(s)的关系如下:pij(s)=ik=1qji+k(s)bk1(s)+bi1(s)f(s)p0j(s)f(s)qj(s),i=1,2,.(2.25)把(2.25)式代入(2.23)式,经整理可得(2.14)式,再把(2.14)式代入(2.25)式可得(2.15)式.3.系统的稳态队长分布与分解结构定理3.1令pj=limtP N(t)=j,j=0,1,2,则1)当=1时,pj=0,从而pj=j=0,1,2,不构成概率分布;2)当=1时,队长的稳态分布有如下表达式:p0=(1 )1 v()t()v()1 t()+N,(3.1)pj=(1 )j+qjv()1 t()v()1 t()+N,j=1,2,N 1,(3.2)pj=(1 )j+qjv()1 t()v()1 t()+N,j=N,N+1,N+2,.(3.3)且此时pj,j=0,1,2,构成概率分布,其中v()=0etdV(t),t()=0etdT(t),N=Nm=10F(m)(t)dV(t),F(m)(t)=1 m1i=0(t)ii!et,m=1,2,j=j+0et(t)jj!V(t)dt,j=Nk=1qjN+k0F(N)(t)dV(t)+N1m=1mk=1qjm+k0(t)mm!dV(t),qj=1g()0G(t)(t)j1(j 1)!etdt+1g()j1k=1qjk1 ki=00(t)ii!etdG(t),j=1,2,.证由pj=limtPij(t)=lims0+spij(s),结合引理2.1、定理2.1和定理2.2,并使用洛必达法可得证.定理3.2令P(z)表示系统稳态队长分布pj,j=0,1,的概率母函数,则当 1,|z|1时,有P(z)=(1 )(1 z)g(1 z)g(1 z)z第 2 期吴湿沛等：具有耐烦服务员和N-策略的M/G/1可中断休假排队系统573v()1 t()(1 z)+1 v()(1 zN)+N1k=1(zN zk)0(t)kk!etdV(t)v()1 t()+N(1 z),(3.4)且平均队长为E(L)=+2E(2)2(1 )+N(N 1)0F(N)(t)dV(t)+N1k=20(t)k(k2)!etdV(t)2v()1 t()+N.(3.5)证由P(z)=j=0zjpj,结合定理3.1得P(z)=1 v()t()(1 )v()1 t()+N+(1 )v()1 t()+Nj=1zjj+v()1 t()j=1zjqj+N1j=1zj0V(t)(t)jj!etdt(3.6)其中j=1zjqj=z 1 g(1 z)g(1 z)z,(3.7)j=1zjj=j=1zjqj1 zN1 z0F(N)(t)dV(t)+N1m=11 zm1 z0(t)mm!etdV(t),(3.8)N1j=1zj0V(t)(t)jj!etdt=z zN1 z1 v()N1k=10(zk zN)1 z(t)kk!etdV(t).(3.9)将(3.7)-(3.9)式代入(3.6)式中,即可得(3.4)式.再由E(L)=ddzP(z)?z=1,使用洛必达法则即可得(3.5)式.定理3.3对于具有耐烦服务员和N-策略的M/G/1可中断休假排队系统,稳态队长可分解为独立的两部分之和:一部分是经典的M/G/1排队系统的稳态队长,另一部分是由耐烦服务员休假策略和N-策略引起的附加队长Ld,且Ld分布如下:P Ld=0=1 v()t()v()1 t()+N,(3.10)P Ld=j=0F(j+1)(t)dV(t)v()1 t()+N,j=1,2,N 1.(3.11)证由(3.4)式可知本文研究的系统的稳态队长可分解成独立的两部分之和.下面求附加队长Ld的分布律.令Pd(z)=v()1 t()(1 z)+1 v()(1 zN)+N1k=1(zN zk)0(t)kk!etdV(t)v()1 t()+N(1 z)=1v()1 t()+NH(z)I(z),其中,H(z)=v()1 t()(1 z)+1 v()(1 zN)+N1k=1(zN zk)0(t)kk!etdV(t),I(z)=11z.574应用数学2024利用P Ld=j=1j!djdzjPd(z)?z=0与H(z)I(z)n=k=0CknHk(z)Ink(z)即可证明.下面,结合本文所获得的结果,直接导出一些特殊排队模型的相应结果.推论3.1当P(T=0)=1时,本文研究的系统等价于具有多重休假和Min(N,V)-策略控制的M/G/1排队系统.在上面所得结果中,令P(T=0)=1,即可得到与文22完全一致的结果.推论3.2当P(T=0)=1,P(V=0)=1时,此时本文研究的系统等价于经典的M/G/1排队系统.在上面所得结果中,令P(T=0)=1,(V=0)=1,即可得到与文34完全一致的结果.推论3.3当P(T=0)=1,P(V=)=1时,此时本文研究的系统等价于具有N-策略的M/G/1排队系统.在上面所得结果中,令P(T=0)=1,P(V=)=1,可得到与文8完全一致的结果.推论3.4当P(T=)=1,此时本文研究的排队系统等价于具有单重休假和Min(N,V)-策略控制的M/G/1排队系统,在上面所得结果中,令P(T=)=1,即可得到与文21完全一致的结果.推论3.5当服务时间为参数的负指数分布G(t)=1 et,服务员耐烦时间为参数的负指数分布T(t)=1 et,休假时间服从参数为的负指数分布V(t)=1 et时,本文所研究的模型退化为具有耐烦服务员和N-策略的M/M/1可中断休假排队系统.当=1时,可得稳态队长分布的表达式为pj=(1 )jk=0(+)kjk(+)+j2+(+)(+)1(+)N,j=0,1,2,N 1,pj=(1 )N1k=0(+)kjk(+)+j2+(+)(+)1(+)N,j=N,N+1,N+2,.平均队长为E(L)=1 +(+)(+)1(+)N N(+)N3+(+)(+)1(+)N.4.最优控制策略分析为了讨论本文所研究模型的最优控制策略问题,建立如下费用结构模型:1)系统在一个更新周期内的固定费用为R;2)每位顾客在系统内逗留单位时间的成本费用为h.记Y(N)为本系统长期运行下单位时间内的期望费用,其中N为策略参数.由更新报酬理论35可知,Y(N)=hE(L)+RE(Lb).其中Lb为一个更新周期长度(一个服务员忙期与相邻的服务员闲期之和).再令I为服务员闲期长度,B为服务员的忙期长度,C为忙期开始时系统内的顾客数.根据模型假设,可得第 2 期吴湿沛等：具有耐烦服务员和N-策略的M/G/1可中断休假排队系统575 当忙期结束后,第一个顾客的到达发生在服务员的第k次耐烦期间Tk,P1=k=1P sk1+Vk sk=v()1 t()1 v()t().当忙期结束后,第一个顾客的到达发生在服务员的第k次休假期间Vk,且在Vk内到达了N个顾客,此时P2=n=Nk=1P sk1 sk1+Vk,+ln1 sk1+Vk +ln=11 v()t()n=N0(t)nn!etdV(t).当忙期结束后,第一个顾客的到达发生在服务员的第k次休假期间Vk,且在Vk内到达了n(1 n N)个顾客,P3(n)=k=1P sk1 sk1+Vk,+ln1 sk1+Vk +ln=11 v()t()0(t)nn!etdV(t),n=1,2,N 1.综上所述,得忙期开始时系统的平均顾客数为E(C)=11 v()t()v()1 t()+N.平均服务员忙期长度为E(B)=E(b)E(C)=(1 )E(C).平均服务员闲期长度为E(I)=1E(C).故系统的一个平均更新周期长度为E(Lb)=E(I)+E(B)=1(1 )E(C).从而系统在长期运行下单位时间内所产生的期望费用为Y(N)=hE(L)+RE(Lb)=hE(L)+R(1 )E(C)=h+2E(2)2(1 )+N(N 1)0F(N)(t)dV(t)+N1k=20(t)k(k2)!etdV(t)2v()1 t()+N+R(1 )1 v()t()v()1 t()+N.(4.1)可以看到,Y(N)是关于策略N的高度非线性函数,想求出最优解的解析表达式是非常困难的.因此,下面结合具体的数值实例来讨论最优控制策略N.例4.1假定服务时间为参数的负指数分布G(t)=1 et,服务员耐烦等待时间为参数的负指数分布T(t)=1 et,且休假时间也服从参数为的负指数分布V(t)=1 et,576应用数学2024结合推论3.5以及(4.1)式,可得Y(N)=h1 +(+)(+)1(+)N N(+)N3+(+)(+)1(+)N+R(1 )2+2+(+)(+)1(+)N.各参数取值分别为:=0.5,=2,=0.3,=0.2,R=60,h=10.运用Matlab软件编程运行后得到Y(N)随策略N的变化情况,结果见表4.1和图4.1(保留小数点后4位).从表4.1和图4.1可以看出,当N=2时,系统在单位时间内产生的平均费用最小,即Y(N)=Y(2)=21.2879.表4.1策略N取不同值时Y(N)的取值情况NY(N)NY(N)NY(N)NY(N)NY(N)125.8333727.93341332.68921933.87862534.1160221.2879829.15951433.03022033.94982634.1290321.7096930.18471533.29652134.00392734.1387423.20181031.02691633.50322234.04472834.1459524.89261131.70921733.66262334.07552934.1513626.50231232.25571833.78502434.09873034.1553051015202530202224262830323436图4.1Y(N)随策略N的变化情况5.结束语本文研究了具有耐烦服务员和N-策略的M/G/1可中断休假排队系统.通过引入N-策略和可中断休假策略,不仅能有效地控制服务员在忙期和闲期之间的转换频率,进而减少因系统频繁转换而产生的费用,还能控制忙期开始时系统中的顾客数,避免系统拥塞甚至因负载而崩溃.运用全概率分解技术和拉普拉斯变换工具,分析了系统的瞬态队长分布和系统的稳态队长的递推表达式,同时也获得了一些其它的重要性能指标,比如平均队长,服务员平均忙期、平均闲期等等.最后,应用更新报酬理论,通过数值实例确定了最优控制策略N,以此来使系统的运营成本达到最小.本文所考虑的模型更贴近于实际生活,可以广泛地应用于生产制造系统、医疗服务系统、库存管理系统和物流运输系统等,具有一定的实际应用价值.参考文献：1 YADIN M,NAOR P.Queueing systems with a removable service stationJ.Operational ResearchQuarterly,1963,14(4):393-405.第 2 期吴湿沛等：具有耐烦服务员和N-策略的M/G/1可中断休假排队系统5772 BALACHANDRAN K R.Control policies for a single server systemJ.Management Science,1973,19(9):1013-1018.3 HEYMAN D P.T-policy for the M/G/1 queueJ.Management Science,1977,23(7):775-778.4 GUPTA S M.Interrelationship between controlling arrival and service in queueing systemsJ.Com-puters&Operations Research,1995,22(10):1005-1014.5 LEE H W,LEE S S,CHAE K C.Operating characteristics of MX/G/1 queue with N-policyJ.Queueing Systems,1994,15:387-399.6 KE J C,WANG K H.A recursive method for the N-policy G/M/1 queueing system with finitecapacityJ.European Journal of Operational Research,2002,142(3):577-594.7 CHOUDHURY G,PAUL M.A batch arrival queue with a second optional service channel underN-policyJ.Stochastic Analysis and Applications,2006,24(1):1-21.8 唐应辉,刘燕.N-策略M/G/1/排队系统的队长分布表达式J.运筹与管理,2006,15(3):40-46.9 BARBHUIYA F P,KUMAR N,GUPTA U C.Analysis of the GI/M/c queue with N-thresholdpolicyJ.Quality Technology&Quantitative Management,2022,19(4):490-510.10 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