纵向多分类数据的广义估计方程分析.pdf

应用数学MATHEMATICA APPLICATA2024,37(1):251-257纵向多分类数据的广义估计方程分析尹长明,代文昊,尹露阳(广西大学数学与信息科学学院,广西 南宁 530004)摘要：广义估计方程(GEE)是分析纵向数据的常用方法.如果响应变量的维数是一,XIE和YANG(2003)及WANG(2011)分别研究了协变量维数是固定的和协变量维数趋于无穷时,GEE 估计的渐近性质.本文研究纵向多分类数据(multicategorical data)的GEE建模和GEE 估计的渐近性质.当数据的分类数大于二时,响应变量的维数大于一,所以推广了文献的相关结果.关键词：属性数据;纵向数据;广义估计方程;高维协变量中图分类号：O212.1AMS(2010)主题分类：62F12;62J12文献标识码：A文章编号：1001-9847(2024)01-0251-071.引言设响应变量Y 是分成k类的属性数据(categorical data),协变量X是 p 1维向量.Y 属于第r类记为Y=r,其概率记为(r):=P(Y=r|X),r=1,k.显然,kr=1(r)=1,所以只需对(r),r=1,q(=k 1)进行建模.如果数据分成的k类没有大小顺序,比如分析人们出行对交通工具(可以是汽车,火车或飞机)选择得到的数据,可以用下面多项(multinomial)logit模型1:(r)=exp(r0+XTr)/1+ql=1exp(l0+XTl),r=1,q,(1.1)其中r0,r分别是截距和回归参数向量,T表示向量或矩阵的转置.如果数据分成的k类有大小顺序,比如分析某种疾病的变化(分为变好,不变或变坏)得到的数据,可以用下面累积(cumulative)logit模型1:(r)=F(r+XT)F(r1+XT),(1.2)其中F(x)=exp(x)/(1+exp(x),是回归参数向量,=0 1 q q+1=是门限(threshold)值.有时,响应变量的取值分成t大类,不同大类之间的性质不一样,同一大类内的不同小类之间性质类似.这时建模可分两步(two step),第一步对大类之间建一个模型,第二步分别对每一大类的不同小类之间建一个模型.例如Morawitz&Tutz2分析的商业调查数据,分为“知道”和“不知道”两大类；“知道”又分为“增加”和“减少”两小类.Fahrmeir&Tuts1分析的风湿疾病的数据分为“大有好转”,“好转”,“无变化”,“恶化”,“大有恶化”五小类,显然“大有好转”和“好转”是一大类,“无变化”是第二大类,“恶化”和“大有恶化”是第三大类(t=3).第一步对三大类建个模型,第二步对“大有好转”和“好转”建一个模型,对“恶化”和“大有恶化”再建一个模型.收稿日期：2023-02-05基金项目：国家自然科学基金(11061002);广西自然科学基金(2015GXNSFAA139006)作者简介：尹长明,男,汉族,湖北人,博士,教授,研究方向：纵向数据.252应用数学2024不失一般性,第j大类数据记为Sj=sj1+1,sj,其中s0=0,st=k.第一步,对不同大类之间若用累积Logit模型建模,就得P(Y Sj|X)=F(j+XT)F(j1+XT),j=1,t,(1.3)其中=0 1 t1 t=.第二步,第j(j=1,t)大类若用多项logit模型建模,就得P(Y=r|Y Sj,X)=exp(r0+XTr)/1+sj1l=sj1+1exp(l0+XTl),r Sj,(1.4)其中参数(向量)sj,0=0,sj=0,如果si=sj1+1,定义sj1l=sj1+1=0.由(1.3)式和(1.4)式决定的两步模型称为累积多项logit模型1.下面我们将累积多项logit模型写成广义线性模型的形式.记:=(1,t1,T),(10,T1,s11,0,Ts11),(st1+1,0,Tst1+1,st1,0,Tst1)T,ZT(X):=diag(Z0,Z1,Zt),其中diag(a1,a2,an)表示对角线元素为a1,a2,an,其余元素为0 的分块对角矩阵,Z0:=(It1,1 1 1t1 XT),Zj=Isjsj11(1,XT),j=1,t,Ia是a阶单位阵,1 1 1a是每个元素都是1的a 1向量,是Kronecker乘积,即对矩阵A=(aij)和B,A B=(aijB).假设的维数是p=pn(可随样本容量的增加而增加),定义:=(1),(q)T:=ZT(X).则对r=1,k.当j=1,t 1,有(r)=F(j)F(j1)exp(tj+r)/(1+sj1l=sj1+1exp(tj+l),当sj sj1 2,sj1+1 r sj;F(j)F(j1)/(1+sj1l=sj1+1exp(tj+l),当sj sj1 2,r=sj;F(j)F(j1),当sj sj1=1,r=sj,(1.5)其中F(0)=0.当j=t时,有(r)=1 F(t1)exp(r)/(1+st1l=st1+1exp(l),当st st1 2,st1+1 r st;1 F(t1)/(1+st1l=st1+1exp(l),当st st1 2,r=st;1 F(t1),当st st1=1,r=st.(1.6)对r=1,k=q+1,当Y=r时,定义y(r):=1,当Y=r时,定义y(r):=0.记y:=y(Y)=(y(1),y(q)T,():=E(y)=(1),(q)T,则显然y服从多项分布,q+1i=1(i)y(i),其中(q+1)=1 qi=1(i),y(q+1)=1 qi=1y(i).方差():=Var(y)=(1)(1 (1),(q)(1 (q)T,协方差矩阵():=Cov(y)=diag()()T().定义():=T/.当S1=1,2,S2=3,即k=3,t=2,就得到Morawitz和Tutz2分析商业调查数据所用的两步Logit模型.这时P(Y=1)=P(y(1)=1)=(1)=1+exp(1)11+exp(2)1,P(Y=2)=P(y(2)=1)=(2)=1+exp(1)11+exp(2)1,P(Y=3)=1 P(Y=1)Y(Y=2),第 1 期尹长明等：纵向多分类数据的广义估计方程分析253其中(1),(2)T=ZT,ZT=diag(1,XT),(1,XT),T=(1,T,10,T1).当S1=1,2,S2=3,S3=4,5,即k=5,t=3,就得到文1中分析类风湿疾病数据所用的模型.这时P(Y=1)=P(y(1)=1)=(1)=1+exp(1)11+exp(3)1,P(Y=2)=P(y(2)=1)=(2)=1+exp(1)11+exp(3)1,P(Y=3)=P(y(3)=1)=(3)=1+exp(2)1 1+exp(1)1,P(Y=4)=P(y(4)=1)=(4)=1+exp(2)11+exp(4)1,P(Y=5)=1 4i=1P(Y=i),其中(1),(2),(3),(4)T=ZT,ZT=diag(I2,1 1 12 XT),(1,XT),(1,XT),T=(1,2,T,10,T1,40,T4),1 0,an,bn Rpn,有supnn0pn/n,an=1,bn=1|aTnDn(n)Dn(n)bn|CnRnRn,其中Dn(n)=TnSn(n),Dn(n)=TnSn(n),而Sn(n)=ni=1Zi i(n)A1/2i(n)R1nA1/2i(n)(Yi i(n).引理3.4若条件(C1)-(C4)成立,则supnn0pn/n,an=1,bn=1|aTnDn(n)Hn(n0)bn|=Op(npnZ2n).引理3.5若条件(C1)-(C5)成立,则对任意n=1,有nM1/2n(n0)Sn(n0)dN(0,1).引理3.6若条件(C1)-(C5)成立,则supnn0pn/nLnn(n)nLTn=op(n1),(3.1)其中Ln是满足LnLTn=Il的l pn阶矩阵,Il是l阶单位阵.定理2.1的证明由向量值函数中值定理9知,Sn(n)Sn(n0)=Dn(n)(n n0),(3.2)其中Dn(n)=10Dnn0+t(n n0)dt.由条件(C1,(C3)和(C4)知supin,nn0pn/nA1/2i(n)C,(3.3)infin,nn0pn/nmin i(n)Ti(n)C 0.(3.4)由条件(C3),(3.3),(3.4),(C2)知对所有i 1和n 1有C1I i(n0)A1/2i(n0)R1nA1/2i(n0)Ti(n0)C2I,(3.5)C1I i(n0)A1/2i(n0)R1nRiR1nA1/2i(n0)Ti(n0)C2I,(3.6)minHn(n0)Cn,(3.7)且minMn(n0)Cn.(3.8)由引理3.3,引理3.4,假设(C3)(ii)和(C4),可得supnn0pn/n,an=1,bn=1|aTnDn(n)Hn(n0)bn|=op(n).(3.9)由假设(3.7),(3.9),知supnn0=pn/n(n n0)TDn(n)(n n0)infnn0=pn/n(n n0)THn(n0)(n n0)256应用数学2024+supnn0=pn/n|(n n0)THn(n0)Dn(n)(n n0)|2pn+2pnop(1).(3.10)由(3.2),(3.10)可得supnn0=pn/n(n n0)TSn(n)Sn(n0)2pn+2pnop(1).(3.11)由(3.11),引理3.2可得,当充分大时,supnn0=pn/n(n n0)TSn(n)=supnn0=pn/n(n n0)TSn(n)Sn(n0)+Sn(n0)Sn(n0)+Sn(n0)+op(1)+op(1)+Op(1)pn 0.(3.12)由(3.12),引理3.1,可知(2.1)成立.对任意单位向量an,由引理3.3,引理3.4,假设(C5),可得，TnM1/2n(n0)Hn(n0)Dn(n)(n n0)=op(1).(3.13)由(3.2)和(2.1),知Sn(n)=0,且Sn(n0)=Dn(n)(n n0).(3.14)由(3.14),(3.13),(3.8),引理3.2,引理3.5,知TnM1/2n(n0)H(n0)(n n0)=TnM1/2n(n0)Hn(n0)Dn(n)(n n0)+nM1/2n(n0)Sn(n0)Sn(n0)+nM1/2n(n0)Sn(n0)dN(0,1),因而定理2.1得证.定理2.2的证明对任意单位向量l,由al(LnnLTn)1/2LnH1(n0)M1/2n(n0)=1和定理2.1知al(LnnLTn)1/2Ln(n n0)=al(LnnLTn)1/2LnH1(n0)M1/2n(n0)M1/2n(n0)H(n0)(n n0)dN(0,1),所以定理2.2成立.定理2.3的证明由文10的59页知,存在可逆矩阵n和满足条件LnLTn=Il的l pn矩阵Ln使得Ln=nLn.(3.15)由(3.5),(3.6)和假设(C2)知,C1Il nLnH1n(n0)Mn(n0)H1n(n0)LTn C2Il.(3.16)由定理2.1,引理3.6和(3.16),得nLnn(n)LTn1 nLnn(n0)LTn1=op(1).(3.17)由(3.16)和定理2.2得n1/2Ln(n n0)=Op(1).(3.18)由(3.15),(3.17),(3.18)和定理2.2,得Wn=(n n0)TLTnTnnLnn(n)LTnTn1nLn(n n0)=(n n0)TLTnn1/2nLnn(n)LTn1 n1/2Ln(n n0)第 1 期尹长明等：纵向多分类数据的广义估计方程分析257=(n n0)TLTnn1/2(nLnnLTn)1+op(1)n1/2Ln(n n0)d2l,因而定理2.3得证.4.结语若再对响应变量加上大于二阶矩一致有界的假设,用类似的方法可证本文的结果对响应变量是多维的一般随机变量也成立.文5也研究了每个个体观测次数m=mn发散的情形,所以mn和协变量的维数pn都发散的纵向数据模型的渐近性质,值得进一步研究.参考文献：1 FAHRMEIR L,TUTS G.Multivariate Statistcal Modelling Based on Generalized Linear ModelsM.New York:Springer-Verlag,1994.2 MORAWITZ B,TUTZ G.Alternative parameterizations in business tendency surveysJ.Methodsand Models of Operations Research,1990,34:143-156.3 DIGGLE P,HEAGERTY P,LIANG K,et al.Analysis of Longitudinal DataM.2nd ed.Oxford:Oxford University Press,2002.4 LIANG K Y,ZEGER S L.Longitudinal data analysis using generalized linear modelsJ.Biometrika,1986,73:13-22.5 XIE M,YANG Y.Asymptotic for generalized estimating equations with large cluster sizesJ.Ann.Statist.,2003,31:310-347.6 WANG L.GEE analysis of clustered binary data with diverging number of covariatesJ.Ann.Statist.,2011,39:389-417.7 BILLINGSLEY P.Probability and MeasureM.2nd ed.New York:Wiley,1986.8 ORTEGA J M,RHEINBOLDT W C.Iterative Solution of Nonlinear Equations in Several Vari-ableM.San Diego:Academic Press,1970.9 HEUSER H.Lehrbuch der Analysis,Teil 2M.Stuttgart:Teubner,1981.10 张尧庭,方开泰.多元统计分析引论M.北京:科学出版社,1982.Generalized Estimating Equations Analysis of LongitudinalMulti-categorical DataYIN Changming,DAI Wenhao,YIN Luyang(School of Mathematics and Information Science,Guangxi University,Nanning 530004,China)Abstract:Generalized estimating equation is widely adopted in analyzing longitudinal categoricaldata,and the large sample properties of the corresponding unknown parameter estimator have beenestablished for the repeated univariate responses.Longitudinal multi-categorical responses commonlyarise in biomedical and social science studies,but the corresponding large sample properties have not beenestablished in literature,the aim of this paper is to fill in this gap.Key words:Categorical data;Longitudinal data;Generalized estimating equation;High-dimensionalcovariates