一类高维齐次Moran集的Hausdorff维数与上盒维数.pdf

应用数学MATHEMATICA APPLICATA2024,37(2):456-465一类高维齐次Moran集的Hausdorff维数与上盒维数安成帅,李俊,李彦哲(广西大学数学与信息科学学院,广西 南宁 530004)摘要：本文构造一类特殊的高维齐次Moran集:mdk型齐次Moran集,并得到了满足一定条件的这类集合的Hausdorff维数与上盒维数的表达式.关键词：mdk型齐次Moran集;Hausdorff维数;上盒维数中图分类号：O189AMS(2010)主题分类：28A80;28A78文献标识码：A文章编号：1001-9847(2024)02-0456-101.引言Moran集在分形几何的研究中极为重要,其中关于一维齐次Moran集的分形维数问题的研究在近几十年得到了极大的进展.二十世纪末,FENG、WEN和WU1得到了一维齐次Moran集Hausdorff维数、packing维数和上盒维数的取值范围，并研究了其关于Hausdorff维数与packing维数的介值问题.2005年WEN和WU2研究了一类对间隔长度做出一定要求的一维齐次Moran集:齐次完全集,在一定条件下得到了其Hausdorff维数的表达式,紧接着WANG和WU3求出了齐次完全集在相同条件下的packing维数和上盒维数的表达式.2016年HU45通过由基本区间形成的连通分支和基本间隔定义了一类特殊的一维齐次Moran集:mk-拟齐次Cantor集,并得到了它的Hausdorff维数、packing维数和上盒维数表达式,并研究了关于该类集合分形维数的介值问题.进一步,QIAO、FU和LI6利用由基本区间形成的连通分支构造了mk-齐次Moran集,证明了该类集合的packing 维数和上盒维数在一定条件下为所有一维齐次Moran集对应维数的最小值.2021年ZHANG、LI和LOU7构造了mk-拟齐次完全集,并在一定条件下得到了其Hausdorff维数与上盒维数表达式.但是关于高维齐次Moran集分形维数问题的研究结果没有一维情况那么丰富.2002年YAN8研究了一类d-维齐次Moran 集的分形维数表达式与介值问题,2019年HU9在d-维齐次Moran集的基础上通过基本立方体在各边上的投影后形成的连通分支及间隔构造了mdk-拟齐次Cantor集,并在一定条件下得到了这一类分形集的Hausdorff维数表达式,还研究了关于该类集合Hausdorff维数的介值问题.本文利用由d-维齐次Moran集的基本立方体形成的连通分支构造出一类特殊的高维齐次Moran集:mdk型齐次Moran集,并在一定条件下得到了该类集合的Hausdorff维数与上盒维数的表达式,对文9的一个结果进行了进一步的拓展.本文在第二节将先介绍一些基本定义并构造出mdk型齐次Moran集,然后给出本文的主要定理,第三节将证明本文的主要定理.收稿日期：2023-04-10基金项目：国家自然科学基金(11901121);广西自然科学基金(2020GXNSFBA297040)通讯作者：李彦哲,男,汉族,广西人,副教授,研究方向:分形几何.第 2 期安成帅等：一类高维齐次Moran集的Hausdorff维数与上盒维数4572.预备知识与主要结果本文需要对任意正整数d 2构造一类特殊的高维齐次Moran集:mdk型齐次Moran集.所以本节首先介绍一维齐次Moran集,再给出一类特殊的高维齐次Moran集:d-维齐次Moran集(d 2)的定义,然后利用一维mk-齐次Moran集和d-维k-齐次Moran集的定义构造出mdk型齐次Moran集.设nkk1和ckk1分别为正整数序列和正实数序列,对任意的正整数k,有nk 2,nkck 0.定义 k(x)=maxDk1,0jmkj(x),k(x)=minDk1,0jmkj(x).为了方便讨论,给出一些本文需要用到的记号.设F Hd(J,Jcct,ndkk1,mdkk1,ckk1).同定义2.5一样,设x1,x2,xd为Rd的d个坐标轴,令=x1,xd.对x ,记Px(F)为F在坐标轴x上的正交投影.令Bxk=Icct(x):lk表示Px(F)的所有k 1阶基本区间包含的k阶连通分支构成的集族,其中lk=i1i2ik1jk:1 is ns,1 s k 1,1 jk mk.第 2 期安成帅等：一类高维齐次Moran集的Hausdorff维数与上盒维数459显然有#Bxk=n1nk1mk.令Ak=Jcct:k表示F的所有k 1阶基本元包含的k阶连通分支构成的集族,其中k=i1i2ik1jk:1 is nds,1 s k 1,1 jk mdk.显然有#Ak=(n1nk1mk)d.定义序列ak(x)k1,bk(x)k1,akk1,bkk1满足max|Icct(x)|Icct(x)|:,lk=ak(x)k,min|Icct(x)|:lk=bk(x)k.ak=maxxak(x),bk=minxbk(x),其中k满足k=c1c2ck.令l=liminfklog(n1n2nk1mk)log(c1c2cknk/mk),ld=liminfkdlog(n1n2nk1mk)log(c1c2cknk/mk);l=limsupklog(n1n2nk1mk)log(c1c2ck1/mk),ld=limsupkdlog(n1n2nk1mk)log(c1c2ck1/mk).注2.2对任意的正整数k,根据定义可以得到ak(x)ak,bk(x)bk对任意x 成立.本文的主要结果如下:定理2.1 设F Hd(J,Jcct,ndkk1,mdkk1,ckk1),且存在正常数M使得supakk1 M.如果还满足存在正常数,使得对任意的k N+,下面1),2),3)之一对所有的Px(F)(x )都成立:1)k(x)k且nkmk 0,正有限测度支撑在Borel集F Rd上,若存在正常数C和,使得对任意一个满足0 0:k=0Dk0jmk+1(,j(x)s.接下来,我们给出证明定理2.1需要的几个命题.命题3.1 设F Hd(J,Jcct,ndkk1,mdkk1,ckk1),若存在正常数M满足supakk1 M,则有dimHF ld.证若ld=d则结论显然成立,不失一般性我们假设ld d,取任意的ld l d,由于ld=liminfkdlog(n1n2nk1mk)log(c1c2cknk/mk),从而会有子列ktt1与正整数N,使得当t N时,有l dlog(n1n2nkt1mkt)log(ktnkt/mkt),所以有(n1n2nkt1mkt)d(ktnktmkt)l 1.(3.3)若连通分支Jcct Akt(Akt定义见定义2.6后面的“本文需要用到的记号”部分,#Akt=(n1n2nkt1mkt)d),则由引理3.1可得到?Jcct?(x(akt(x)+bkt(x)kt)2)1/2d(M+1)nktmktkt,(3.4)可以看出Akt是F的一个d(M+1)nktmktkt-覆盖,结合(3.3)和(3.4)可以得到Hld(M+1)nktmktkt(F)(#Akt)(d(M+1)ktnktmkt)l(d(M+1)l.(3.5)由于d(M+1)ktnktmktd(M+1)ktnktd(M+1)kt1.且当t 时,d(M+1)kt1 0,所以Hl(F)(d(M+1)l 0,对任意0 l l,由于l=liminfklog(n1n2nk1mk)log(c1c2cknk/mk),则存在K N+满足对所有的k K都有log(n1n2nk1mk)log(c1c2cknk/mk)l,即(n1nk1mk)(knkmk)l 1.(3.6)定义支撑为Px(F)的Borel概率测度,使得对Px(F)的任意k阶基本区间Ii(k N+,Dk1,1 i nk)都有(Ii)=1n1n2nk.我们接下来将对运用引理3.3(质量分布原理)来完成命题3.2的证明,将证明存在正常数C,使得对R上任意满足0|U|K=c1c2cK的集合U,都有(U)C|U|l.当0|U|K时,有唯一的k K满足(ak(x)+bk(x)k|U|(ak1(x)+bk1(x)k1.令g表示与U相交的Bxk(Bxk定义见定义2.6后面的“本文需要用到的记号”部分)中的元素个数,下面分情况估计(U):情形(a)(ak(x)+bk(x)k|U|k(x).显然有g 3,再根据引理3.1,有knkmk(ak(x)+bk(x)k|U|,利用引理3.1与(3.6)可得到(U)3(ak(x)+bk(x)n1nk3(M+1)nkmkn1nk 3(M+1)(knkmk)l 3(M+1)|U|l.(3.7)情形(b)max(ak(x)+bk(x)k,k(x)|U|(ak1(x)+bk1(x)k1.由g的定义可知(g 2)k(x)|U|以及g|U|bk(x)k+2,从而有g 3|U|k(x)以及g 3|U|bk(x)k.利用(ak(x)+bk(x)k|U|(ak1(x)+bk1(x)k1(M+1)bk1(x)k1可得U最多与(M+3)个Bxk1中的元素相交,从而g (M+3)(ak1(x)+bk1(x)mk.又因为(ak(x)+bk(x)k|U|,所以g|U|bk(x)k+2 (M+1)|U|(ak(x)+bk(x)k+2 (M+3)|U|(ak(x)+bk(x)k.下面我们分别在定理2.1中的条件1),2),3)下利用上面这些不等式进行讨论.条件1)k(x)k且nkmk 0,当0 l 1使得nkmk c.从而利用引理3.1,(3.6),(3.9)和(3.10)有(U)ak(x)+bk(x)n1nkg ak(x)+bk(x)n1nkmin(M+3)(ak1(x)+bk1(x)mk,3|U|bk(x)k462应用数学2024 3l(M+3)1l|U|l(M+1)nkmkmk(ak1(x)+bk1(x)1ln1nkmlk(bk(x)k)l 3(M+3)(M+1)2|U|l(nk1mk1)1ln1nk1(mkk)l=3(M+3)(M+1)2|U|l1n1nk2mk1(nk1k1mk1)l(mkkk1)l 3(M+3)(M+1)2(2+(M+1)c)|U|l,(3.11)其中第四个不等号成立是因为bk(x)1,0 l 1,所以有1bk(x)l 1.条件2)mkk(x)k1.利用引理3.1,(3.6)和(3.10)可得到(U)ak(x)+bk(x)n1nkg ak(x)+bk(x)n1nkmin(M+3)(ak1(x)+bk1(x)mk,3|U|k(x)3l(M+3)1l|U|l(M+1)nkmkmk(ak1(x)+bk1(x)1ln1nkmlklk(x)3(M+3)(M+1)2|U|l1n1nk1(nk1mk1)l1(mkk(x)l=3(M+3)(M+1)2|U|l1n1nk2mk1(nk1mk1)l(mkk(x)l 3(M+3)(M+1)2|U|l(k1(mkk(x)l 3(M+3)(M+1)2|U|l,(3.12)其中=max1,1.条件3)k(x)k(x).可以看出 1.由于k1(mk+1)k(x)+nkk(mk+1)k(x)+(ak(x)+bk(x)mkk(mk+1)k(x)+(ak(x)+bk(x)(mk+1)k 2(mk+1)max(ak(x)+bk(x)k,k(x),(3.13)从而利用引理3.1,(3.6)和(3.13)有(U)ak(x)+bk(x)n1nkgak(x)+bk(x)n1nkmin(ak1(x)+bk1(x)(M+3)mk,(M+3)|U|max(ak(x)+bk(x)k,k(x)(M+3)l|U|l(M+1)nkmkmk(ak1(x)+bk1(x)1ln1nkmlkmax(ak(x)+bk(x)k,k(x)l(M+1)2(M+3)|U|l1n1nk1(nk1mk1)l1(mkmax(ak(x)+bk(x)k,k(x)l=(M+1)2(M+3)|U|l1n1nk2mk1(nk1mk1)l(mkmax(ak(x)+bk(x)k,k(x)l(M+1)2(M+3)|U|l(k1mkmax(ak(x)+bk(x)k,k(x)l 4(M+1)2(M+3)|U|l,(3.14)其中最后一个不等号成立是因为1 m+1m 2对任意正整数m成立以及0 l 1.(3.7),(3.11),(3.12),(3.14)这4个式子结合引理3.3,可得dimHPx(F)l.注意到l的任意性,从而有dimHPx(F)l,利用引理3.2就有dimHF ld.第 2 期安成帅等：一类高维齐次Moran集的Hausdorff维数与上盒维数463命题3.3设F Hd(J,Jcct,ndkk1,mdkk1,ckk1),则有dimBF ld.证由引理3.2,如果对任意坐标轴x ,F在x上正交投影得到的一维mk-齐次Moran集Px(F)都满足dimBPx(F)l,则一定有dimBF ld.我们下面只需证明dimBPx(F)l对任意x 成立.若l=1则结论显然成立,不失一般性我们假设l l l,由于F Hd(J,Jcct,ndkk1,mdkk1,ckk1),所以对于k N都有mk+1i=0,i(x)=(1 ck+1nk+1)k对所有的 Dk(一共n1n2nk个)成立,利用Jensen不等式得到mk+1i=0(,i(x)l(mk+1+1)(mk+1i=0,i(x)mk+1+1)l=(mk+1+1)(1 ck+1nk+1)kmk+1+1)l 2mk+1(kmk+1)l.(3.15)注意到l=limsupklog(n1n2nk1mk)log(c1c2ck1/mk)以及1 l l,根据上极限的定义,存在 0和k1 0使得当k k1时,有l logn1n2nkmk+1logc1c2ckmk+1+,从而n1n2nkmk+1(c1c2ckmk+1)l=(kmk+1)l.(3.16)利用(3.15),(3.16)以及k 2k可得到k=k1Dk0jmk+1(,j(x)l 2k=k1n1n2nkmk+1(kmk+1)l 2k=k1(kmk+1)2k=k12k.利用引理3.4就可以得到dimBPx(F)l.根据l的任意性有dimBPx(F)l,再由引理3.2就有dimBF ld.命题3.4 设mdk型齐次Moran集F Hd(J,Jcct,ndkk1,mdkk1,ckk1)满足定理2.1的条件,则有dimBF ld.证定义r1=1m1,rk=c1c2ck1mk(k 2),固定充分大的正整数k,设Mk为直径为rk的球Bk交Ak(Ak定义见定义2.6后面的“本文需要用到的记号”部分)中的元素时,能够相交到的Ak中元素的最大个数.我们在定理2.1的条件1),2),3)下分别对log Nrk(E)log rk进行估计:条件1)k(x)k.利用注3.1以及bk 1可得,rk=k1mknkk+(mk+1)k(x)mknkk+(mk+1)kmknkkmk+2 k(M+1)bkk+2 k(M+1)bkk+2 bkk.从而有rkbkk M+1+2.(3.17)我们探讨边长为bkk的立方体(Ak中直径最小的集合)与Bk相交的情况.显然,存在边长为(rkbkk+1)bkk的立方体包含球Bk,而该立方体可看作是由(rkbkk+1)d个边长为bkk且内部互不相交的立方体构成的,从而Mk(rkbkk+1)d(rkbkk+1)d(M+2+2)d.(3.18)464应用数学2024于是有logNrk(F)logrklog1Mk(n1n2nk1mk)dlogrkdlogn1n2nk1mk dlog(M+2+2)logc1c2ck1mk.(3.19)条件2)mkk(x)k1.显然k(x)rk,即rkk(x)1.令Tk为Rd中任意边长为rk的立方体能够交到的Ak的元素的最大个数,tk(x)为该立方体在坐标轴x上的正交投影能够交到的Bxk(Bxk定义见定义2.6后面的“本文需要用到的记号”部分)的元素的最大个数,显然有(tk(x)2)bkk rk,(tk(x)2)k(x)rk.即tk(x)rkmaxbkk,k(x)+2.从而有Tk(tk(x)d(rkmaxbkk,k(x)+2)d.(3.20)不难看出,Bk一定被某个边长为rk的立方体包含,从而有Mk Tk(rkmaxbkk,k(x)+2)d(rkk(x)+2)d(1+2)d,(3.21)这样就有logNrk(F)logrklog1Mk(n1n2nk1mk)dlogrkdlogn1n2nk1mk dlog(1+2)logc1c2ck1mk.(3.22)条件3)k(x)k(x),根据注3.1,有nk(M+1)bkmk.可以得到k1 nkk+(mk+1)k(x)(M+1)bkmkk+(mk+1)k(x)2(M+1)(mk+1)maxbkk,k(x)4(M+1)mkmaxbkk,k(x).(3.23)从而有rkmaxbkk,k(x)4(M+1).做类似条件2)下的讨论,可推得Mk(4(M+1)+2)d.从而logNrk(F)logrklog1Mk(n1n2nk1mk)dlogrkdlogn1n2nk1mk dlog(4(M+1)+2)logc1c2ck1mk.(3.24)结合(3.19),(3.22),(3.24)以及当k 时有rk 0,可得dimBF=limsup0logN(E)log limsupklogNrk(F)logrk limsupkdlog(n1n2nk1mk)log(c1c2ck1/mk)=ld.定理2.1的证明命题3.1与命题3.2联立就有dimHF=ld,命题3.3与命题3.4联立就有dimBF=ld.定理2.1得证.注3.2 由命题3.3与命题3.4的证明过程知,条件1)不需要nkmk 也能得到dimBF=ld.第 2 期安成帅等：一类高维齐次Moran集的Hausdorff维数与上盒维数465参考文献：1 FENG D J,WEN Z Y,WU J.Some dimensional results for homogeneous Moran setsJ.Science inChina Series A:Mathematics,1997,40(5):475-482.2 WEN Z Y,WU J.Hausdorffdimension of homogeneous perfect setsJ.Acta Mathematica 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