实对称区间矩阵特征值确界的交错定理及其应用.pdf
《实对称区间矩阵特征值确界的交错定理及其应用.pdf》由会员分享,可在线阅读,更多相关《实对称区间矩阵特征值确界的交错定理及其应用.pdf(11页珍藏版)》请在咨信网上搜索。
1、应用数学MATHEMATICA APPLICATA2024,37(1):52-62实对称区间矩阵特征值确界的交错定理及其应用成龙1,李耀堂2(1.重庆对外经贸学院数学与计算机学院,重庆 401520;2.云南大学数学与统计学院,云南 昆明 650091)摘要:本文将实对称矩阵特征值的交错定理推广到实对称区间矩阵,给出了实对称区间矩阵特征值确界的交错定理,并应用该定理构造了估计实对称三对角区间矩阵特征值界的算法.文中数值例子表明,本文所给算法与一些现有算法相比在使用范围、计算精度和计算量等方面都具有一定的优越性.关键词:实对称矩阵;实对称区间矩阵;实对称三对角区间矩阵;特征值;特征值区间;交错定
2、理中图分类号:O241AMS(2010)主题分类:15A18;65Y99文献标识码:A文章编号:1001-9847(2024)01-0052-111.引言在许多科学和工程问题中,由于测量误差、计算误差和数据变化等因素都会导致描述该问题的数学系统中的参数难以精确确定.如何解决不确定参数对系统特性的影响就显得尤为重要.此时,区间分析就发挥了其强大的作用.12区间分析是考虑在各种因素影响的条件下,给出一个包含真实结果的区间.1966年,MOORE在文1中奠定了区间分析的理论基础.随后,区间分析被广泛应用于化学与结构工程、控制电路设计、计算机图形学和行为生态学等领域.13在许多实际应用中,由于面对系统
3、的各种不确定因素,系统的雅可比矩阵的元素往往取值于某个实区间中,即系统的雅可比矩阵为区间矩阵,且系统的特性由该区间矩阵的特征值决定.因此区间矩阵特征值界的估计问题吸引了众多学者的关注和研究.421例如:1982年,DEIF在文11中利用特征值不等式和非线性规划理论,在特征向量分量符号不变的条件下,得到了一类特殊的区间矩阵实对称区间矩阵特征值的算法;2010年,HLADIK等学者在文15中给出了实区间矩阵特征值界的估计;2017年,HLADIK在文16中进一步给出了计算特征向量分量符号不变的实对称三对角区间矩阵各特征值确界的算法.但是,在应用中特征向量分量符号不变的条件往往很难满足,因此这些算法
4、难以应用.另一方面,文17中证明了精确计算实对称区间矩阵各特征值的确界是NP-难问题.因此,寻找实对称区间矩阵各特征值界的估计算法具有重要意义.本文将在建立实对称区间矩阵特征值确界的交错定理的基础上,给出实对称三对角区间矩阵各特征值界的估计算法.收稿日期:2022-11-19基金项目:国家自然科学基金(11861077);重庆对外经贸学院研究项目(KYZK202311)作者简介:成龙,男,汉族,四川人,研究方向:数值代数.通讯作者:李耀堂.第 1 期成龙等:实对称区间矩阵特征值确界的交错定理及其应用532.预备知识为了叙述方便,本节给出实对称区间矩阵的相关概念和符号,以及与实对称矩阵特征值相关
5、的预备知识.定义2.122设A=(aij)Rmn,B=(bij)Rmn,对任意的 i=1,2,m;j=1,2,n,若aij 0,则记A 0;若aij 0,则记A 0;若aij bij 0,则记A B;若aij bij 0,则记A B.1966年,MOORE首次提出区间矩阵的概念,即元素为闭区间的矩阵,其定义如下.定义2.21设对任意的 i=1,2,m;j=1,2,n,有aij,aij R且aij aij,称矩阵集合AI=A Rmn|A A A为m n阶区间矩阵,其中A=a11a12a1na21a22a2n.am1am2amn,A=a11a12a1na21a22a2n.am1am2amn.记AI
6、=A,A=(aij,aij)mn=a11,a11a12,a12a1n,a1na21,a21a22,a22a2n,a2n.am1,am1am2,am2amn,amn,Ac=12(A+A),A=12(AA),则AI还可表示为AcA,Ac+A,其中A和A分别称为AI的下界矩阵和上界矩阵,Ac和A分别称为AI的中点矩阵和半径矩阵.若m=n,则称AI为n阶区间矩阵.定义2.311设AI=(aij,aij)nn且对任意的 i,j=1,2,n,有aij,aij=aji,aji.记AS=A AI|A=AT,称AS为n阶实对称区间矩阵,简称为实对称区间矩阵.本文只研究n阶实对称区间矩阵,在不引起混淆的情况下,也
7、记AS=(aij,aij)nn=Ac A,Ac+A,其中Ac,A为实对称矩阵.定义2.4设A=(aij)nn;AI=(aij,aij)nn,Qk,n表示集合N=1,2,n中所有k个数组成的严格升序列的全体(1 k n),即Qk,n=(i1,i2,ik)|1 i1 i2 ik n.若1=(i1,i2,ik)Qk,n,2=(j1,j2,jk)Qk,n,则称位于(s,t)的元素为aisjt的矩阵为A的k阶子矩阵;称位于(s,t)的元素为区间aisjt,aisjt的区间矩阵为AI的k阶子区间矩阵,其中s=1,k;t=1,k.记A1|2=(aisjt)kk;AI1|2=(aisjt,aisjt)kk.若
8、1=2=,记Ak=A=A|;AIk=AI=AI|,称Ak为A的k阶主子矩阵;称AIk为AI的k阶主子区间矩阵.定义2.5设AS是实对称区间矩阵,定义AS的k阶主子区间矩阵为ASk=Ak AIk|Ak=(Ak)T.54应用数学2024定义2.611设AI是n阶区间矩阵,称AI中所有矩阵的特征值组成的集合为区间矩阵AI的特征值,记为(AI),即(AI)=(A)|A AI.一般来讲,n阶区间矩阵AI的特征值(AI)是复数域上的一个集合.但对于实对称区间矩阵AS,因为AS中的矩阵都是实对称矩阵,再由实对称矩阵的特征值都是实数知(AS)为实数域上的集合.下面讨论(AS)在实轴上的分布情况.在下文中,实对
9、称矩阵A=(aij)nn的特征值都按升序排列,即1(A)2(A)n(A).引理2.111若记i(AS)=i(A)|A AS,则i(AS)为闭区间,即i(AS)=i(AS),i(AS).注2.1称i(AS)为实对称区间矩阵AS的第 i个特征值区间,简称为AS的第 i个特征值;称i(AS),i(AS)分别为AS的第 i个特征值的上确界和下确界.注2.2由引理2.1知实对称区间矩阵AS的特征值由n个闭区间的并集组成,即(AS)=ni=1i(AS)=ni=1i(AS),i(AS).由于实对称区间矩阵AS的第 i个特征值i(AS)和第 j个特征值j(AS)(i=j)都为实数轴上的区间,故可能重合,并且精
10、确计算AS各特征值的确界是NP-难问题.17本文研究AS各特征值的确界,以便给出AS各特征值界的估计.为讨论方便,下面先回忆实对称矩阵特征值的交错定理和Weyl 定理.引理2.222(实对称矩阵特征值的交错定理)设A Rnn为对称矩阵,Sn1(A)表示A的所有n 1阶主子矩阵构成的集合,则对任意An1 Sn1(A),有1(A)1(An1)2(A)2(An1)n1(A)n1(An1)n(A).由引理2.2可直接得到如下推论.推论2.122设对称矩阵A Rnn,Sk(A)表示A的所有k阶主子矩阵构成的集合,则对任意Ak Sk(A),有k(A)k(Ak),k N.推论2.1说明实对称矩阵A的所有k阶
11、主子矩阵的最大特征值中的最小者是矩阵A的第k个特征值的上界.引理2.322(实对称矩阵特征值的Weyl定理)设A,B Rnn为对称矩阵,则对任意的i N,有i(A+B)i+j(A)+nj(B),j=0,n i;i(A+B)ij+1(A)+j(B),j=1,i.3.实对称区间矩阵特征值确界的交错定理引理2.2给出了实对称矩阵特征值的交错定理,那么实对称区间矩阵的特征值是否具有类似的结论呢?下面讨论该问题.定理3.1(实对称区间矩阵特征值上确界的交错定理)设AS是实对称区间矩阵,记Sn1(AS)表示AS的所有n 1阶主子区间矩阵构成的集合,则对任意的ASn1 Sn1(AS),有1(AS)1(ASn
12、1)2(AS)2(ASn1)n1(AS)n1(ASn1)n(AS).(3.1)证为证明(3.1)式,首先证明n1(AS)n1(ASn1).由引理2.1知,AS的第n 1个特征值是闭区间n1(AS),n1(AS),且存在实对称矩阵A AS,使得n1(A)=n1(AS).(3.2)第 1 期成龙等:实对称区间矩阵特征值确界的交错定理及其应用55设ASn1为AS划去其第 m行和第 m列元素后产生的n1阶主子区间矩阵,将A划去其第 m行和第 m列元素后产生的主子矩阵记为An1,则An1 ASn1,故有n1(An1)n1(ASn1).(3.3)对An1和A应用引理2.2,有n1(A)n1(An1).(3
13、.4)由(3.2)式、(3.3)式和(3.4)式得n1(AS)=n1(A)n1(An1)n1(ASn1).(3.5)同理可证k=1,2,n 2时,有k(AS)=k(eA)k(eAn1)k(ASn1),(3.6)其中eA是AS中满足k(AS)=k(eA)的矩阵,eAn1是eA划去第 m行和第 m列元素后的主子矩阵.再证明(3.1)式中的n1(ASn1)n(AS).由引理2.1 知,ASn1的第n 1个特征值是闭区间n1(ASn1),n1(ASn1),且存在实对称矩阵An1 ASn1,使得n1(An1)=n1(ASn1).(3.7)由ASn1的定义知,存在A AS,使得An1为A删去第m行和第m列
14、元素后所成的n 1阶主子矩阵.对An1和A应用引理2.2,有n1(An1)n(A).(3.8)又A AS,则n(A)n(AS).(3.9)由(3.7)式、(3.8)式和(3.9)式得n1(ASn1)=n1(An1)n(A)n(AS).(3.10)同理可证k=1,2,n 2时,有k(ASn1)=k(eAn1)k+1(eA)k+1(AS),(3.11)其中eAn1是ASn1中满足k(ASn1)=k(eAn1)的矩阵;eA是eAn1添上第 m行和第 m列元素后所成的n阶矩阵且满足eA AS.综上(3.5)式、(3.6)式、(3.10)式和(3.11)式即得(3.1)式.由定理3.1可得如下推论.推论
15、3.1设AS是实对称区间矩阵,记Sk(AS)表示AS的所有k阶主子区间矩阵构成的集合,则对任意的ASk Sk(AS),有k(AS)k(ASk),k N.(3.12)证当k=1,2,n 1时,由定理3.1可得k(AS)k(ASn1),(3.13)由(3.13)式知,对任意的ASk Sk(AS),有k(ASk)k(ASk+1),(3.14)其中ASk+1 Sk+1(AS),且ASk是ASk+1的k阶主子区间矩阵.同理可得,对任意的ASk+1 Sk+1(AS),有k(ASk+1)k(ASk+2),(3.15)其中ASk+2 Sk+2(AS),且ASk+1是ASk+2的k+1阶主子区间矩阵.如此递推,
16、可得如下不等式:k(ASk)k(ASk+1)k(ASk+2)k(ASn1)k(ASn).(3.16)56应用数学2024当k=n时,AS的n阶主子区间矩阵就是AS,故n(AS)=n(ASn).综上即得(3.12)式.推论3.1表明实对称区间矩阵AS的所有k阶主子区间矩阵的最大特征值的上确界中的最小者是AS的第k个特征值的一个上界.记该上界为uk(AS),即uk(AS)=mink(ASk)|ASk Sk(AS),则k(AS)uk(AS).定理3.1说明实对称区间矩阵各特征值的上确界具有交错性质.同样的,实对称区间矩阵各特征值的下确界也具有交错性质,即有如下定理3.2,其证明过程类似于定理3.1的
17、证明,略去.定理3.2(实对称区间矩阵特征值下确界的交错定理)设AS是实对称区间矩阵,记Sn1(AS)表示AS的所有n 1阶主子区间矩阵构成的集合,则对任意的ASn1 Sn1(AS),有1(AS)1(ASn1)2(AS)2(ASn1)n1(AS)n1(ASn1)n(AS).由定理3.2可直接得如下推论.其证明过程类似于推论3.1的证明,略去.推论3.2设AS是实对称区间矩阵,Sk(AS)表示AS的所有k阶主子区间矩阵构成的集合,则对任意的ASk Sk(AS),有k(AS)1(ASn+1k),k=1,2,n.推论3.2说明实对称区间矩阵AS的所有n+1k阶主子区间矩阵的最小特征值的下确界中的最大
18、者是AS的第k个特征值的一个下界.记该下界为lk(AS),即lk(AS)=max1(ASn+1k)|ASn+1k Sn+1k(AS),则k(AS)lk(AS).4.实对称三对角区间矩阵特征值界的估计实对称三对角区间矩阵是一类特殊的实对称区间矩阵,通常由微分方程的有限元和有限差分离散化产生,例如:离散多质点弹簧系统的刚度矩阵等.在文14中,YUAN证明了实对称三对角区间矩阵的最大和最小特征值的上、下确界等价求4个实对称三对角矩阵的极值特征值.在文16中,HLADIK在区间矩阵的特征向量分量符号不变的条件下,给出了计算实对称三对角区间矩阵特征值确界的算法.但实对称三对角区间矩阵的特征向量的分量符号
19、不变这个条件太强,往往难以满足,参见下文中的例5.2.这就要求我们进一步研究,探讨可以估计任意实对称三对角区间矩阵各特征值界的方法,即给出计算实对称三对角区间矩阵各特征值的外近似区间(即包含特征值的闭区间)的新算法.本节应用上节所获实对称区间矩阵特征值确界的交错定理构造实对称三对角区间矩阵TS各特征值上界和下界的估计式,最后给出计算TS各特征值外近似区间的算法.定义4.114设区间矩阵TI=a1,a1b2,b2b2,b2a2,a2b3,b3b3,b3a3,a3.bn1,bn1bn1,bn1an1,an1bn,bnbn,bnan,an.记TS=T TI|T=TT=Tc T,Tc+T,(4.1)第
20、 1 期成龙等:实对称区间矩阵特征值确界的交错定理及其应用57称TS为实对称三对角区间矩阵,其中Tc,T分别为TS的中点矩阵和半径矩阵.显然,对于任意的T TS,T具有以下形式:T=a1b2b2a2b3b3a3.bn1bn1an1bnbnan,其中ai ai,ai,bj bj,bj,i N,j=2,3,n.在文14中,YUAN证明了实对称三对角区间矩阵TS的最大特征值的上确界n(TS)等于TS中的如下矩阵U的最大特征值,即有如下引理4.1.引理4.114设TS是形如(4.1)式的实对称三对角区间矩阵,令U=a1u2u2a2u3u3a3.un1un1an1ununan,uj=bj,|bj|bj|
21、,bj,|bj|bj|,j=2,3,n,则n(TS)=n(U).引理4.215设AS为n阶实对称区间矩阵,则对任意的k N,存在满足aii=aii的矩阵A=(aij)nn AS,使得k(A)=k(AS).注4.1引理4.2表明求实对称区间矩阵AS各特征值的上确界(上界)等价求AS的子集合AD=A=(aij)AS|aii=aii,i N各特征值的上确界(上界).定理4.1设TS是形如(4.1)式的实对称三对角区间矩阵,记TS=T|T TS,则TS也是实对称三对角区间矩阵,且TS和TS的特征值的确界满足:i(TS)=n+1i(TS);i(TS)=n+1i(TS),i N.(4.2)证首先证明TS是
22、实对称三对角区间矩阵.因为TS是实区间矩阵,由区间矩阵的定义知,TS也是实区间矩阵;设T是TS中任意的对称三对角矩阵,则T TS,又T也是实对称三对角矩阵,所以TS是实对称三对角区间矩阵.现在证明TS和TS的特征值的确界满足(4.2)式,即需证明i(TS),i(TS)=n+1i(TS),n+1i(TS),i N.(4.3)设实对称三对角矩阵T和T的特征值分别为:1(T)2(T)n(T);1(T)2(T)n(T).由矩阵特征值的定义知,T和T的特征值满足i(T)=n+1i(T),i N.(4.4)由引理2.1知,对任意的 i N,存在T TS,满足i(T)=i(TS).又由(4.4)式知i(T)
23、=n+1i(T).58应用数学2024同理可得:对任意的 i N,存在eT TS,满足i(eT)=i(TS),i(eT)=n+1i(eT).又T,eT TS,故n+1i(TS)i(eT),i(T)=i(TS),i(TS)=i(TS).(4.5)又TS=T|T TS,由对称性知,对任意的 i N有n+1i(TS)i(TS),i(TS)=i(TS).(4.6)由(4.5)式和(4.6)式即得(4.3)式.注4.2定理4.1说明TS的第 i个特征值的下确界(下界)可以通过求TS的第n+1 i个特征值的上确界(上界)的相反数给出,所以本文只给出计算TS各特征值上界的估计式.由引理4.1和推论3.1可以
24、给出估计实对称三对角区间矩阵各特征值上界的方法,即有如下定理4.2.定理4.2设TS是形如(4.1)式的实对称三对角区间矩阵,则对任意的k N,mink(Uk)|Uk Sk(U)是TS的第k个特征值k(TS)的一个上界,且uk(TS)=mink(Uk)|Uk Sk(U),其中矩阵U为引理4.1中的矩阵U,Sk(U)表示矩阵U的所有k阶主子矩阵构成的集合.证由推论3.1知uk(TS)=mink(TSk)|TSk Sk(TS)是TS的第 k个特征值的一个上界.由引理4.1得k(TSk)=k(Uk),其中TSk是TS的k阶主子区间矩阵,Uk是TSk应用引理4.1得到的矩阵.所以对任意的k N有uk(
25、TS)=mink(TSk)|TSk Sk(TS)=mink(Uk)|Uk Sk(U).定理4.3设TS是形如(4.1)式的实对称三对角区间矩阵,则对任意的k N,有uk(TS)=min0jnkk+j(Tc)+minnj(T)nj)|(T)nj Snj(T),(4.7)其中Tc,T分别为TS的中点矩阵和半径矩阵,j=0,1,n k,Snj(T)表示矩阵T的所有n j阶主子矩阵构成的集合.证由实对称三对角区间矩阵TS可表示为TS=Tc T,Tc+T知,任意的T TS可表示为T=Tc+T,其中T T,T为实对称矩阵.由引理2.3知,对任意的k N有k(T)=k(Tc+T)k+j(Tc)+nj(T)k
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 对称 区间 矩阵 特征值 交错 定理 及其 应用
1、咨信平台为文档C2C交易模式,即用户上传的文档直接被用户下载,收益归上传人(含作者)所有;本站仅是提供信息存储空间和展示预览,仅对用户上传内容的表现方式做保护处理,对上载内容不做任何修改或编辑。所展示的作品文档包括内容和图片全部来源于网络用户和作者上传投稿,我们不确定上传用户享有完全著作权,根据《信息网络传播权保护条例》,如果侵犯了您的版权、权益或隐私,请联系我们,核实后会尽快下架及时删除,并可随时和客服了解处理情况,尊重保护知识产权我们共同努力。
2、文档的总页数、文档格式和文档大小以系统显示为准(内容中显示的页数不一定正确),网站客服只以系统显示的页数、文件格式、文档大小作为仲裁依据,平台无法对文档的真实性、完整性、权威性、准确性、专业性及其观点立场做任何保证或承诺,下载前须认真查看,确认无误后再购买,务必慎重购买;若有违法违纪将进行移交司法处理,若涉侵权平台将进行基本处罚并下架。
3、本站所有内容均由用户上传,付费前请自行鉴别,如您付费,意味着您已接受本站规则且自行承担风险,本站不进行额外附加服务,虚拟产品一经售出概不退款(未进行购买下载可退充值款),文档一经付费(服务费)、不意味着购买了该文档的版权,仅供个人/单位学习、研究之用,不得用于商业用途,未经授权,严禁复制、发行、汇编、翻译或者网络传播等,侵权必究。
4、如你看到网页展示的文档有www.zixin.com.cn水印,是因预览和防盗链等技术需要对页面进行转换压缩成图而已,我们并不对上传的文档进行任何编辑或修改,文档下载后都不会有水印标识(原文档上传前个别存留的除外),下载后原文更清晰;试题试卷类文档,如果标题没有明确说明有答案则都视为没有答案,请知晓;PPT和DOC文档可被视为“模板”,允许上传人保留章节、目录结构的情况下删减部份的内容;PDF文档不管是原文档转换或图片扫描而得,本站不作要求视为允许,下载前自行私信或留言给上传者【自信****多点】。
5、本文档所展示的图片、画像、字体、音乐的版权可能需版权方额外授权,请谨慎使用;网站提供的党政主题相关内容(国旗、国徽、党徽--等)目的在于配合国家政策宣传,仅限个人学习分享使用,禁止用于任何广告和商用目的。
6、文档遇到问题,请及时私信或留言给本站上传会员【自信****多点】,需本站解决可联系【 微信客服】、【 QQ客服】,若有其他问题请点击或扫码反馈【 服务填表】;文档侵犯商业秘密、侵犯著作权、侵犯人身权等,请点击“【 版权申诉】”(推荐),意见反馈和侵权处理邮箱:1219186828@qq.com;也可以拔打客服电话:4008-655-100;投诉/维权电话:4009-655-100。