一类基于等级结构的n维食物链系统最优收获.pdf
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1、应用数学MATHEMATICA APPLICATA2024,37(1):133-147一类基于等级结构的n维食物链系统最优收获贺亚权,雒志学(兰州交通大学数理学院,甘肃 兰州 730070)摘要:考虑一类具年龄等级结构的n维食物链种群系统的最优收获问题,首先利用压缩映射定理,研究系统解的适定性;其次构造极值化序列和运用相关的紧性定理证明控制问题最优解的存在性;最后通过构造共轭系统和利用法锥的概念刻画,得出最优收获问题最优解的一阶必要条件.关键词:年龄等级;最优控制;食物链;共轭方程组中图分类号:O175AMS(2010)主题分类:49J20;92D25文献标识码:A文章编号:1001-9847
2、(2024)01-0133-151.引言近些年来,有关生物种群的最优收获控制问题一直被人们广泛研究112,14,其中所具有的实际意义无疑是重大的.因为研究生物种群的合理开发与科学管理,可以促进我们人类文明的发展进步.如今,人们也已把生物种群作为可再生资源进行开发,这样一来,种群内部的个体年龄分布就会对实际的经济收益造成直接影响.就以养殖业为例,一般年幼的和太老的都不太值钱;而对于处在适当年龄间段的生物,通常情况下,其食用和营养价值都很高,但这些成熟个体也都是由未成熟的个体花费较长时间长成的.而这种情形在控制理论的领域当中,就已经是一类有关初始分布的最优控制问题,其中的控制变量就是这一种群的初始
3、年龄分布.因此,我们可以通过适当地调整种群的初始状态,并且在培养一段时间后,就能成功获得最大收益.为此,我们就需要精细刻画生物种群的演化行为.而为了精细刻画生物种群的发展与演化,常常在建模的时候就要考虑个体间所存在的各种结构性差异抑或是种群间的一些复杂关系,比如在个体间,就会讨论研究年龄、尺度、空间位置等特征差异,再比如在生态环境中的某一生物群落系统里,就会考虑研究各种群间竞争、互惠、捕食等的复杂关系.此外,还有在每一个种群的内部存在以个体的年龄为基础的社会等级地位差异,这也不难理解,例如在狮群中就有类似的现象.现今在不断发展的情况下,种群内部的等级地位差异也已经被纳入到个体的生命参数里,就产
4、生了具有等级结构的生物种群模型.相关方面已经有的工作可参见文1-2,4-5.这些成果大多比较关注种群的动态演化与控制,比如文2中的等级结构模型就为两种群捕食系统模型建立了最优控制;又比如文10里的生物模型研究的是非线性种群年龄等级结构的最优收获问收稿日期:2022-12-12基金项目:国家自然科学基金(11561041);甘肃省自然科学基金(1506RJZA071)作者简介:贺亚权,男,汉族,山西人,研究方向:生物数学.134应用数学2024题;再比如文14研究了连续的单种群的年龄等级结构,并且讨论了系统的最优收获问题,确立了最优控制问题解的存在性,还得出了最优问题的一阶必要条件.本文将考虑如
5、下最优控制问题:(OH)Maxni=1T0a+0gi(a,t)ui(a,t)xi(a,t)dadt,QT=(0,a+)(0,T)(T,a+(0,+).容许控制集U:=u=(u1,u2,un)(L(QT)n;0 i1(a,t)ui(a,t)i2(a,t)a.e.in QT,其中 i1(a,t),i2(a,t)L(QT),i=1,2,n,并且 x=(x1,x2,xn)满足下列系统:x1t+x1a=1(a)+m1(E(x1)(a,t)+f1(E(x2)(a,t)x1(a,t)u1(a,t)x1(a,t),xjt+xja=j(a)+mj(E(xj)(a,t)+fj(E(xj+1)(a,t)rj(E(x
6、j1)(a,t)xj(a,t)uj(a,t)xj(a,t),j=2,3,n 1,xnt+xna=n(a)+mn(E(xn)(a,t)rn(E(xn1)(a,t)xn(a,t)un(a,t)xn(a,t)xi(0,t)=a+0i(a,E(xi)(a,t)xi(a,t)da,xi(a,0)=x0i(a);i=1,2,n;(a,t)QT,(1.1)在上述系统中,xi(a,t)表示t时刻年龄为a的第i个种群的种群密度,函数 mi,i和i分别表示种群i中个体的密度制约,平均死亡率和繁殖率;ri(E(xi1)(a,t),fi(E(xi+1)(a,t)分别表示在食物链当中食饵对捕食者的增长贡献率,捕食者对食
7、饵造成的额外死亡率.其中需要说明内部环境 E(xi),它的定义如下:E(xi)=a0 xi(r,t)dr+ia+axi(r,t)dr,0 i 0 a.e.a 0,a+);i(a)Lloc(0,a+),a+0i(a)da=+,i=1,2,n;0 fi(s)fi,0 ri(s)ri,0 mi(s)mi,ri(s),fi(s)单调增加,mi(s)同样单调增加;fi(s),mi(s),ri(s)满足Lipschitz条件(相应常数为L2);(A3)当种群密度函数取0时,相应函数参数,f,m,r均为0;(A4)x0i(a)为种群i的初始分布,非负有上界Xi 0,且x0i(a+)=0,i=1,2,n.定义
8、2.1系统(1.1)的解为:x(a,t)=(x1(a,t),x2(a,t),xn(a,t)L1(0,a+)(0,T)n,第 1 期贺亚权等:一类基于等级结构的n维食物链系统最优收获135它在几乎每条特征线a t=c(c为常数)上绝对连续且满足Dx1(a,t)+1(a)+m1(E(x1)(a,t)+f1(E(x2)(a,t)x1(a,t)+u1(a,t)x1(a,t)=0,Dxj(a,t)+j(a)+mj(E(xj)(a,t)+fj(E(xj+1)(a,t)rj(E(xj1)(a,t)xj(a,t)+uj(a,t)xj(a,t)=0,j=2,3,n 1,Dxn(a,t)+n(a)+mn(E(xn
9、)(a,t)rn(E(xn1)(a,t)xn(a,t)+un(a,t)xn(a,t)=0,lim0+xi(,t+)=a+0i(a,E(xi)(a,t)xi(a,t)da,lim0+xi(a+,)=x0i(a);i=1,2,n;(a,t)QT;其中Dxi(a,t)=lim0|xi(a+,t+)xi(a,t)|,i=1,2,n.下面,我们将利用压缩映射原理证明系统(1.1)解的适定性.将系统(1.1)中函数参数 i,mi,i,fi里xi固定为非负函数 qi,i=1,2,n.由此可得以下的线性系统:x1t+x1a=1(a)+m1(E(q1)(a,t)+f1(E(q2)(a,t)x1(a,t)u1(a
10、,t)x1(a,t),xjt+xja=j(a)+mj(E(qj)(a,t)+fj(E(qj+1)(a,t)rj(E(qj1)(a,t)xj(a,t)uj(a,t)xj(a,t),j=2,3,n 1,xnt+xna=n(a)+mn(E(qn)(a,t)rn(E(qn1)(a,t)xn(a,t)un(a,t)xn(a,t)xi(0,t)=a+0i(a,E(qi)(a,t)xi(a,t)da,xi(a,0)=x0i(a),E(qi)=a0qi(a,t)da+ia+aqi(a,t)da,0 i 1,i=1,2,n;(a,t)QT,(2.1)由文12的线性理论可知,上述系统(2.1)有解.并利用特征线方
11、法可得xi(a,t;qi)=x0i(a t)i(a,t,t;qi),a t,bi(t a;qi)i(a,t,a;qi),a a+情形,相反的情况可用类似的方法证明.从假设(A1)-(A4)可推得0 Ki(t,a;q)iexpa+(1fi+mi+2ri)=:Ki,a.e.(a,t)QT,i=1,2,n;0 Fi(t;q)a+iXiexpa+(1fi+mi+2ri)=:Fi,a.e.t (0,T),i=1,2,n;MT=TFiexpa+(1fi+mi+2ri)+TKi+a+Xiexpa+(1fi+mi+2ri),i=1,2,n.再定义如下集合:H=(v1,v2,v3)L1(0,a+)(0,T)3;
12、vj(a,t)0,a.e.(a,t)QT,vj(,t)L1(0,a+)MT,a.e.t (0,T),j=1,2,3,其中(v1,v2,v3)=v1+v2+v3.接下来我们引入两个引理.引理2.1存在常数 MkT 0,使得对任意 qk=(qki1,qki,qki+1)H,i=2,3,n1,且k=1,2,故有下列式子:?Fi(t;q1)Fi(t;q2)?M1T(?q1(,t)q2(,t)?L1(0,a+)3+t0?q1(,s)q2(,s)?L1(0,a+)3ds),i=2,3,n 1;(2.7)?bi(t;q1)bi(t;q2)?M2T(?q1(,t)q2(,t)?L1(0,a+)3+t0?q1(
13、,s)q2(,s)?L1(0,a+)3ds),i=2,3,n 1;(2.8)0 bi(t;qk)M2T,k=1,2;(2.9)在区间(0,T)上几乎处处成立.证对任意qk,k=1,2,由(2.5)可知:若 t (a+,T),则 Fi(t;qk)0,此刻(2.7)自然成立.若 t (0,a+),则由(2.5)可推出?Fi(t;q1)Fi(t;q2)?+0i(a,E(q1i)(a+t,t)x0i(a)i(a+t,t,t;q1)da+0i(a,E(q2i)(a+t,t)x0i(a)i(a+t,t,t;q2)da?+0i(a,E(q1i)(a+t,t)x0i(a)i(a+t,t,t;q1)da+0i(
14、a,E(q1i)(a+t,t)x0i(a)i(a+t,t,t;q2)da?+?+0i(a,E(q1i)(a+t,t)x0i(a)i(a+t,t,t;q2)da+0i(a,E(q2i)(a+t,t)x0i(a)i(a+t,t,t;q2)da?第 1 期贺亚权等:一类基于等级结构的n维食物链系统最优收获137+0?i(a,E(q1i)(a+t,t)i(a,E(q2i)(a+t,t)?x0i(a)i(a+t,t,t;q2)da+0i(a,E(q1i)(a+t,t)x0i(a)?i(a+t,t,t;q1)i(a+t,t,t;q2?daexpa+2riXia+L1(MT)?q1(,t)q2(,t)?L1
15、(0,a+)3+expa+2ri Xia+iL2(MT)t0?E(q1)(a+s,s)E(q2)(a+s,s)?ds,由内部环境E(xi)的定义,可有t0?E(q1i)(a+s,s)E(q2i)(a+s,s)?dst0a+s0?q1i(r,s)q2i(r,s)?ds+ia+a+s?q1i(r,s)q2i(r,s)?dst0a+0?q1i(r,s)q2i(r,s)?drdst0?q1i(,s)q2i(,s)?L1(0,a+)ds,因此,可有?Fi(t;q1)Fi(t;q2)?expa+2riXia+L1(MT)?q1(,t)q2(,t)?L1(0,a+)3+expa+2ri Xia+iL2(MT
16、)t0?q1(,s)q2(,s)?L1(0,a+)3dsexpa+2ri(Xia+L1(MT)+expa+2ri Xia+iL2(MT)(?q1(,t)q2(,t)?L1(0,a+)3+t0?q1(,s)q2(,s)?L1(0,a+)3ds),故当 i=2,3,n 1时,(2.7)成立,只要 M1T=expa+2riXia+L1(MT)+expa+2ri Xia+iL2(MT).?bi(t;q1)bi(t;q2)?Fi(t;q1)Fi(t;q2)?+t0?Ki(t,s;q1)Ki(t,s;q2)?bi(t s;q1)ds+t0Ki(t,s;q2)?bi(t s;q1)bi(t s;q2)?ds
17、 M1T(?q1(,t)q2(,t)?L1(0,a+)3+t0?q1(,s)q2(,s)?L1(0,a+)3ds)+bit0?i(s,E(q1i)i(s,E(q2i)?i(a,t,s;q1)ds+t0i(s,E(q2i)?i(a,t,s;q1)i(a,t,s;q2)?ds+Kit0?bi(t s;q1)bi(t s;q2)?dsM1T(?q1(,t)q2(,t)?L1(0,a+)3+t0?q1(,s)q2(,s)?L1(0,a+)3ds)+biexpa+2ri TL1(MT)?q1(,t)q2(,t)?L1(0,a+)3+TiL2(MT)t0?q1(,s)q2(,s)?L1(0,a+)3ds1
18、38应用数学2024+Kit0?bi(t s;q1)bi(t s;q2)?dsM3TQ(t)+Kit0?bi(s;q1)bi(s;q2)?ds,其中 M3T=M1T+expa+2ri bi(TL1(MT)+TiL2(MT),以及Q(t)=?q1(,t)q2(,t)?L1(0,a+)3+t0?q1(,s)q2(,s)?L1(0,a+)3ds,再利用上式以及Gronwall不等式可有?bi(t;q1)bi(t;q2)?M3TQ(t)+M3Tt0KiQ(s)exptsKidds M3TQ(t)+M3Tt0KiQ(s)expKiTds=M3TQ(t)+M3TKiexpKiT t0(?q1(,s)q2(
19、,s)?L1(0,a+)3+s0?q1(,)q2(,)?L1(0,a+)3d)ds M3TQ(t)+M3TKiexpKiT (1+T)t0?q1(,s)q2(,s)?L1(0,a+)3ds M3T(1+KiexpKiT (1+T)Q(t),当 i=2,3,n 1时,只要M2T=M3T(1+KiexpKiT (1+T),(2.8)成立.bi(t;qi)a+iXiexpTKi expa+2ri=bi M2T,i=2,3,n 1.即证毕.上述引理处理了 i=2,3,n 1的情形,但对于i=1,n的情况依然可用类似的方法证明出来,并且更简单.并在此基础上,定义如下映射:(Gq)(a,t)=x(a,t;
20、q)=(x1(a,t;q1),x2(a,t;q2),xn(a,t;qn),其中 q1=(0,q1,q2),q2=(q1,q2,q3),qn1=(qn2,qn1,qn),qn=(qn1,qn,0)(q0,qn+1=0).至于(x1(a,t;q1),x2(a,t;q2),xn(a,t;qn)则是系统(1.1)的解,其形如(2.2).再定义如下集合:P=(v1,v2,vn)L1(0,a+)(0,T)n;vj(a,t)0,a.e.(a,t)QT,vj(,t)L1(0,a+)MT,a.e.t (0,T),j=1,2,n,其中(v1,v2,vn)=v1+v2+vn.引理2.2存在常数 M4T 0,使得对任
21、意 qe=(q1e,q2e,qne)P,e=1,2,a.e.t(0,T),下列不等式成立:(Gq1)(,t)(Gq2)(,t)L1(0,a+)n M4Tt0q1(,s)q2(,s)L1(0,a+)nds.(2.10)证根据引理2.1,可得(Gq1)(,t)(Gq2)(,t)L1(0,a+)n=?x1(,t;q11)x2(,t;q21).xn(,t;qn1)x1(,t;q12)x2(,t;q22).xn(,t;qn2)?L1(0,a+)n第 1 期贺亚权等:一类基于等级结构的n维食物链系统最优收获139=?x1(,t;q11)x1(,t;q12)?L1(0,a+)+?x2(,t;q21)x2(,
22、t;q22)?L1(0,a+)+xn(,t;qn1)xn(,t;qn2)L1(0,a+)t0?b1(t a;q11)b1(t a;q12)?1(a,t,a;q11)da+t0b1(t a;q12)?1(a,t,a;q11)1(a,t,a;q12)?da+a+tx01(a t)?1(a,t,t;q11)1(a,t,t;q12)?da+t0?b2(t a;q21)b2(t a;q22)?2(a,t,a;q21)da+t0b2(t a;q22)?2(a,t,t;q21)2(a,t,a;q22)?da+a+tx02(a t)?2(a,t,t;q21)2(a,t,t;q22)?da.+t0|bn(t a
23、;qn1)bn(t a;qn2)|n(a,t,a;qn1)da+t0bn(t a;qn2)?n(a,t,t;qn1)n(a,t,a;qn2)?da+a+tx0n(a t)?n(a,t,t;qn1)n(a,t,t;qn2)?daM2Texpa+2r1 t0?q11(,t a)q12(,t a)?L1(0,a+)3+ta0?q11(,s)q12(,s)?L1(0,a+)3dsda+M2Texpa+2r1 L2(MT)t0a0?E(q11)(a ,t )E(q12)(a ,t )?dda+expT2r1 L2(MT)a+tx01(a t)t0?E(q11)(a ,t )E(q12)(a ,t )?d
24、da.M2T(1+T)(expa+2r1+expa+2rn)(t0?q11(,s)q12(,s)?L1(0,a+)3ds+t0qn1(,s)qn2(,s)L1(0,a+)3ds)+M2TT(expa+2r1+expa+2rn)L2(MT)(t0?q11(,s)q12(,s)?L1(0,a+)3ds+t0qn1(,s)qn2(,s)L1(0,a+)3ds)+L2(MT)a+(X1expT2r1+X2expT2r2+XnexpT2rn)(t0?q11(,s)q12(,s)?L1(0,a+)3ds+t0qn1(,s)qn2(,s)L1(0,a+)3ds),140应用数学2024其中M4T=M2T(1
25、+T)(expa+2r1+expa+2rn)+T(expa+2r1+expa+2rn)L2(MT)+L2(MT)a+(X1expT2r1+X2expT2r2+XnexpT2rn).这表明,t (0,a+),有(2.10)成立;t (a+,T)时,类似可证.定理2.1如果(A1)-(A4)成立,则系统(1.1)存在唯一解,且该解非负有界.证令 M4T,在q=(q1,q2,qn)L1(0,a+)(0,T)n空间内定义如下范数:q=esssupt(0,T)etq(,t)L1(0,a+)n,由引理2.2可推得(Gq1)(,t)(Gq2)(,t)=esssupt(0,T)et(Gq1)(,t)(Gq2)
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