一类具有垂直传染的传染病模型的稳定性.pdf

应用数学MATHEMATICA APPLICATA2024,37(1):31-41一类具有垂直传染的传染病模型的稳定性郝艳荣,赵春(天津师范大学数学科学学院,天津 300387)摘要：基于动力系统的理论,讨论了一类具有垂直传染的传染病模型的稳定性.采用下一代矩阵法获得了基本再生数R0.当R0 1时,地方病平衡点存在且唯一,借助Routh判据,得出了系统在地方病平衡点局部渐近稳定的条件,并通过构造Lyapunov函数,证明了系统在地方病平衡点全局渐近稳定.最后,用数值模拟验证了结论的合理性.关键词：垂直传染;基本再生数;平衡点;稳定性中图分类号：O175AMS(2010)主题分类：34K20文献标识码：A文章编号：1001-9847(2024)01-0031-111.引引引言言言传染病一旦出现以及蔓延会严重危及人类生命健康,尤其面对新型复杂的传染病类型,初期只能从宏观上对其进行预防和控制,很难科学地从根本上进行防控,因此及时发现并探究各类传染病的内在传播机制是极为重要的.通过建立传染病动力学模型可有效的描述疾病发展变化的过程和传播规律,预测疾病发展趋势,并能为预防控制疾病提供决策依据.为了使模型更加符合实际,许多关于传染病模型的文献考虑了不同的仓室并讨论了相应模型的稳定性1.文2以COVID-19为背景,研究了基于存在基础病史易感者的SEIR模型的稳定性.文3在假设总人口为常数的情况下研究了一类具有水平和垂直传播的传染病模型.文4基于LI等人的研究进一步讨论了一类含潜伏期,染病者有病死且具标准传染率的SEIR传染病模型.文5针对COVID-19的传播特性和新生儿患病案例的出现,提出了一类具有垂直传染风险及潜伏者感染性的SEIR传染病动力学模型.文6研究了一类具有垂直传播和饱和发病率的传染病模型.但是在具有基础病史易感者的基础上考虑垂直传染的研究还较少,本文在二者结合的基础上,增加了隔离治疗者仓室,建立了一类具有垂直传染的传染病模型.2.模模模型型型的的的建建建立立立本文模型共建立六个仓室,分别为无基础病史的易感者(S1),有基础病史的易感者(S2),具感染的潜伏者(L),染病者(I),隔离治疗者(Q)和移出者(R).假设母体为有基础病史的新生儿为无基础病史易感者;母体为具感染的潜伏者,染病者和隔离治疗者的新生儿具被垂直传染的可能;隔离治疗者不具备传染他人的可能以及该疾病无因病致死的可能.所以,根据传染病的收稿日期：2022-11-02基金项目：天津市高等学校创新团队培养计划资助项目(TD13-5078)作者简介：郝艳荣,女,汉族,河北人,研究方向：控制论及其应用.通讯作者：赵春.32应用数学2024动力学方法建立如下传染病模型:dS1(t)dt=bN(t)bp(L(t)+I(t)+Q(t)S1(t)1S1(t)L(t)2S1(t)I(t)S1(t),dS2(t)dt=S1(t)3S2(t)L(t)4S2(t)I(t)S2(t),dL(t)dt=1S1(t)L(t)+2S1(t)I(t)+3S2(t)L(t)+4S2(t)I(t)+bp(L(t)+I(t)+Q(t)(+)L(t),dI(t)dt=L(t)(+)I(t),dQ(t)dt=L(t)+I(t)(+)Q(t),dR(t)dt=Q(t)R(t),(2.1)其中N(t)=S1(t)+S2(t)+L(t)+I(t)+Q(t)+R(t),模型中的参数均为正常数.1是因具感染的潜伏者由S1转为L的传染率.2是因染病者由S1转为L的传染率.3是因潜伏感染由S2转为L的传染率.4是因染病者由S2转为L的传染率.b是自然出生率.p是垂直传染率.是自然死亡率.是由S1转为S2的转移率.是由L转为I的转移率.是由I转为Q的转移率.是由L转为Q的转移率.是由Q转为R的恢复率.初始条件N(0)=S1(0)+S2(0)+L(0)+I(0)+Q(0)+R(0),S1(0)0,S2(0)0,L(0)0,I(0)0,Q(0)0,R(0)0.由系统(2.1)知,dN(t)dt=bN(t)N(t),结合初始条件,解之得N(t)=N(0)e(b)t.当b 0,系统(2.2)所有满足初始条件的解(S1(t),S2(t),L(t),I(t),Q(t),R(t)均满足0 S1(t),S2(t),L(t),I(t),Q(t),R(t)b(S2(t)+R(t).(2.3)令t1=supt 0:S1(t)0,S2(t)0,L(t)0,I(t)0,Q(t)0,R(t)0 0,则当t (0,t1时,式(2.3)可写为dS1(t)et+t0(1L()+2I()ddt b(S2(t)+R(t)et+t0(1L()+2I()d,从而S1(t1)et1+t10(1L()+2I()d S1(0)t10b(S2(t)+R(t)et+t0(1L()+2I()ddt,即S1(t1)et1t10(1L()+2I()dS1(0)+t10b(S2(t)+R(t)et+t0(1L()+2I()ddt 0.再令t2=supt t1:S1(t)0,S2(t)0,L(t)0,I(t)0,Q(t)0,R(t)0 0,则当t (t1,t2时,有S1(t2)et2t20(1L()+2I()dS1(0)+t20b(S2(t)+R(t)et+t0(1L()+2I()ddt 0.依次向后延拓,可得对任意t 0,S1(t)0成立.同理对系统(2.2)还可证得对任意t 0,S2(t)0,L(t)0,I(t)0,Q(t)0,R(t)0均成立7.又N=S1(t)+S2(t)+L(t)+I(t)+Q(t)+R(t),所以对任意t 0,系统(2.2)所有满足初始条件的解(S1(t),S2(t),L(t),I(t),Q(t),R(t)均满足0 S1(t),S2(t),L(t),I(t),Q(t),R(t)N.因系统(2.2)中只有第6个方程含有R,故可以只考虑以下系统:dS1(t)dt=bN bp(L(t)+I(t)+Q(t)S1(t)1S1(t)L(t)2S1(t)I(t)S1(t),dS2(t)dt=S1(t)3S2(t)L(t)4S2(t)I(t)S2(t),dL(t)dt=1S1(t)L(t)+2S1(t)I(t)+3S2(t)L(t)+4S2(t)I(t)+bp(L(t)+I(t)+Q(t)(+)L(t),dI(t)dt=L(t)(+)I(t),dQ(t)dt=L(t)+I(t)(+)Q(t).(2.4)通过以上分析,可得系统(2.4)有正不变集D=(S1(t),S2(t),L(t),I(t),Q(t)R5|S1(t)+S2(t)+L(t)+I(t)+Q(t)0,S2(t)0,L(t)0,I(t)0,Q(t)0.3.平平平衡衡衡点点点和和和基基基本本本再再再生生生数数数对系统(2.4),考虑无病平衡点E0=(S01,S02,L0,I0,Q0).令f1(t)=bN bp(L(t)+I(t)+Q(t)S1(t)1S1(t)L(t)2S1(t)I(t)S1(t),f2(t)=S1(t)3S2(t)L(t)4S2(t)I(t)S2(t),f3(t)=1S1(t)L(t)+2S1(t)I(t)+3S2(t)L(t)+4S2(t)I(t)+bp(L(t)+I(t)+Q(t)(+)L(t),f4(t)=L(t)(+)I(t),f5(t)=L(t)+I(t)(+)Q(t).34应用数学2024由I0=0及fi(t)=0,i=1,2,5,可得L0=0,Q0=0,S01=bN+,S02=bN(+).因此,无病平衡点E0=(bN+,bN(+),0,0,0).令x=(L,I,Q,S1,S2)T,则系统(2.4)可改写为矩阵形式dxdt=F(x)V(x),其中F(x)=1S1L+2S1I+3S2L+4S2I+bp(L+I+Q)0000,V(x)=(+)L(+)I L(+)Q L Ibp(L+I+Q)bN+1S1L+2S1I+S1+S13S2L+4S2I+S2 S1.计算F(x)和V(x)的Jacobian矩阵,得：DF=bp+1S1+3S2bp+2S1+4S2bp1L+2I3L+4I00000000000000000000,DV=+0000+000+00bp+1S1bp+2S1bp+1L+2I03S24S20+3L+4I.从而,F(x)和V(x)在无病平衡点处的Jacobian矩阵分别为：DF|E0=bp+1bN+3bN(+)bp+2bN+4bN(+)bp0000000000000000000000,DV|E0=+0000+000+00bp+1bN+bp+2bN+bp+03bN(+)4bN(+)0.记F=bp+1bN+3bN(+)bp+2bN+4bN(+)bp000000,第 1 期郝艳荣等：一类具有垂直传染的传染病模型的稳定性35V=+00+0+,进而,借助下一代矩阵法8,得到系统(2.4)的基本再生数R0的表达式,即R0=(FV1)=bN(m1+m2)+(+)m3(+)(+)(+),(3.1)其中m1=1(+)+2,m2=3(+)+4,m3=bp(+)(+)+(+)+(+)(+),且显然m1,m2,m3均大于0.下面求系统(2.4)的地方病平衡点E=(S1,S2,L,I,Q).首先,由f1(t)=0,f2(t)=0,f4(t)=0和f5(t)=0得S1=bN m3Im1I+,S2=(bN m3I)(m1I+)(m2I+),L=+I,Q=(+)+(+)I.此时考虑系统(2.4)除无病平衡点以外的平衡点,即I=0.把S1,S2,L,Q代入f3(t)=0,可得m1(bN m3I)m1I+m2(bN m3I)(m1I+)(m2I+)+m3(+)(+)=0.记f(I)=m1(bN m3I)m1I+m2(bN m3I)(m1I+)(m2I+)+m3(+)(+),则f(0)=m1bN+m2bN(+)+m3(+)(+)=(+)(+)(R0 1).当b m3时,f(N)=m1(bN m3N)m1N+m2(bN m3N)(m1N+)(m2N+)+m3(+)(+)=N(b m3)m1N+(m1+m2+m2N)+m3(+)(+)N(b m3)m1N+(m1+N)+m3(+)(+)(+)(+)+0,且f(I)0,即R0 1时,方程f(I)=0在区间(0,N)上有唯一根.所以,当R0 1,b m3时,可知系统(2.2)存在唯一的地方病平衡点E.此外,将f(I)=0整理为一元二次方程形式,有a1I2+a2I+a3=0,(3.2)36应用数学2024其中a1=(1 )m3(+)(+)m1m2,a2=m1m2bN+m1m3(1)+m2m3(+)(+)(+)(+)m2+m1,a3=bN(m1+m2)+m3(+)(+)(+)(+)=(+)(+)(+)(R0 1).易知a1 1,b m3,则系统(2.4)的地方病平衡点E存在且唯一.4.平平平衡衡衡点点点的的的稳稳稳定定定性性性定理4.1若R0,则系统(2.4)在无病平衡点E0处局部渐近稳定;若R0 1,则系统(2.4)在无病平衡点E0处不稳定.证系统(2.4)的Jacobian矩阵为A=1L 2I0bp 1S1bp 2S1bp 3L 4I3S24S201L+2I3L+4I1S1+3S2+bp 2S1+4S2+bpbp00 000 .在无病平衡点E0处有A|E0=(+)0bp 1S01bp 2S01bp3S024S020001S01+3S02+bp (+)2S01+4S02+bpbp00(+)000(+),则A|E0对应的特征方程为(+)(+)(3+a42+a5+a6)=0,其中a4=1S01 3S02 bp+3,a5=(+)(+)(1 R0)+(+)(+)+bp+()+,a6=(+)(+)(+)(1 R0).由此得到两个具有负实部的特征根1=,2=,且其余特征根3,4,5满足g()=3+a42+a5+a6=0.(4.1)进而，可知当R0 +2 0,a6 0.同时,当 时,2,?a41a6a5?=a4a5 a6 0.第 1 期郝艳荣等：一类具有垂直传染的传染病模型的稳定性37根据Routh-Hurwitz判别法9,当R0 时,方程(4.1)的一切根具有负实部,进而证得系统(2.4)在无病平衡点E0处局部渐近稳定.当R0 1时,显然a6 0,故3,4,5中至少有一个正根,所以在无病平衡点E0处不稳定.定理4.2若R0 0.现对V1关于系统(2.4)求导,可得dV1dt=u1dLdt+u2dIdt+u3dQdt=u11S1L+2S1I+3S2L+4S2I+bp(L+I+Q)(+)L+u2L (+)I+u3L+I (+)Q.(4.2)由S01=bN+,S02=bN(+)及dS1dt=bN bp(L+I+Q)S1 1S1L 2S1I S1,dS2dt=S1 3S2L 4S2I S2,可证得S1 S01,S2 S02.从而,可将(4.2)式化为dV1dtu11S01L+2S01I+3S02L+4S02I+bp(L+I+Q)(+)L+u2L (+)I+u3L+I (+)Q=u11S01+u13S02+u1bp u1(+)+u2+u3L+u12S01+u14S02+u1bp u2(+)+u3I+u1bp u3(+)Q.(4.3)令u1=S01,u3=S01bp+,代入(4.3)式有dV1dtS011S01+S013S02+S01bp S01(+)+u2+S01bp+L+S012S01+S014S02+S01bp u2(+)+S01bp+I.(4.4)易知当R0 1时,等价于S01bp+S01(2S01+4S02)+S01bp(+)(+)S01(+)S01bp S01(1S01+3S02)S01bp(+).于是取u2满足S01bp+S01(2S01+4S02)+S01bp(+)(+)u2S01(+)S01bp S01(1S01+3S02)S01bp(+).此时,dV1dt 1,b m3,ai 0(i=7,11),b1 0,c1 0,d1 0时,系统(2.4)在地方病平衡点E处局部渐近稳定.综上可得如下结论:定理4.3若R0 1,b m3,ai 0(i=7,11),b1 0,c1 0,d1 0,则系统(2.4)的地方病平衡点E是局部渐近稳定的.定理4.4若R0 1,b m3,则系统(2.2)存在唯一的地方病平衡点且在其地方病平衡点处全局渐近稳定.证 由定理3.1 及dRdt=QR=0知,系统(2.2)存在唯一的地方病平衡点(S1,S2,L,I,Q,R),其中S1,S2,L,I,Q同前,且R=Q=(+)(+)I.构造Lyapunov函数V2=12(S1 S1)+(S2 S2)+(L L)+(I I)+(Q Q)+(R R)2,则V2关于系统(2.2)求导,可得dV2dt=(S1 S1)+(S2 S2)+(L L)+(I I)+(Q Q)+(R R)(dS1dt+dS2dt+dLdt+dIdt+dQdt+dRdt)=(S1 S1)+(S2 S2)+(L L)+(I I)+(Q Q)+(R R)bN bp(L+I+Q)S1 1S1L 2S1I S1+S1 3S2L 4S2I S2+1S1L+2S1I+3S2L+4S2I+bp(L+I+Q)(+)L+L (+)I+L+I (+)Q+Q R=(S1 S1)+(S2 S2)+(L L)+(I I)+(Q Q)+(R R)(bN S1 S2 L I Q R)=(S1 S1)+(S2 S2)+(L L)+(I I)+(Q Q)+(R R)bN(S1 S1)(S2 S2)(L L)(I I)(Q Q)(R R)(S1+S2+L+I+Q+R)=(S1 S1)+(S2 S2)+(L L)+(I I)+(Q Q)+(R R)(b )N(S1 S1)(S2 S2)(L L)(I I)(Q Q)(R R).(4.7)因系统(2.2)满足b=,可将(4.7)式化为dV2dt=(S1 S1)+(S2 S2)+(L L)+(I I)+(Q Q)+(R R)(S1 S1)(S2 S2)(L L)(I I)(Q Q)(R R)=(S1 S1)+(S2 S2)+(L L)+(I I)+(Q Q)+(R R)2.40应用数学2024当R0 1,b m3时,dV2dt 0,当且仅当S1=S1,S2=S2,L=L,I=I,Q=Q,R=R时,dV2dt=0,从而单点集S1,S2,L,I,Q,R是包含在(S1,S2,L,I,Q,R)|dV2dt=0内的最大不变集,根据LaSalle不变集原理12知,当R0 1,b m3时,系统(2.2)的地方病平衡点全局渐近稳定.5.数数数值值值模模模拟拟拟和和和讨讨讨论论论下面进行数值模拟,验证稳定性的主要结论.对系统(2.4),取初始值S1(0)=0.54,S2(0)=0.08,L(0)=0.1,I(0)=0.08,Q(0)=0.11,R(0)=0.09及参数1=0.3,2=0.35,3=0.4,4=0.55,=0.3,=0.8,=0.05,=0.45,=0.5,b=0.007,p=0.003,=0.007.经计算知,此时基本再生数R0=0.7226 1.此时,图5.2显示呈渐近稳定性态,说明系统(2.2)的地方病平衡点是全局渐近稳定的.0100200300400500Time00.10.20.30.40.50.60.70.80.9NumbersS1S2LIQR05010000.050.10.15图5.1无病平衡点的稳定性05001000150020002500Time00.10.20.30.40.50.60.70.80.9NumbersS1S2LIQR10001200140000.050.10.15图5.2地方病平衡点的稳定性参参参考考考文文文献献献：1 马知恩等.传染病动力学的数学建模与研究M.北京:科学出版社,2004.2 翟羿江,蔺小林,李建全,梁卫平.基于存在基础病史易感者的SEIR模型对COVID-19传播的研究J.应用数学和力学,2021,42(4):413-421.3 LI M Y,SMITH H L,WANG L C.Global dynamics of an SEIR epidemic model with verticaltransmissionJ.SIAM Journal on Applied Mathematics,2001,62(1):58-59.4 米晓丽.一类具有垂直传染的SEIR传染病模型的全局稳定性J.山西师范大学学报(自然科学版),2013,27(2):19-22.5 陈姗姗,黄勃,方志军.传染病垂直传染的传播动力学分析:以COVID-19为例J.武汉大学学报(理学版),2020,66(5):433-441.6 ADEPOJU O A,OLANIYI S.Stability and optimal control of a disease model with vertical trans-mission and saturated incidenceJ.Scientific African,2021,12:e00800.7 YOUSSEF H M,ALGHAMDI N,EZZAT M A,et al.A proposed modified SEIQR epidemic modelto analyze the COVID-19 spreading in Saudi ArabiaJ.Alexandria Engineering Journal,2022,61(3):2456-2470.8 侯琪.几类种群模型的基本再生数的研究D.烟台:鲁东大学,2020.第 1 期郝艳荣等：一类具有垂直传染的传染病模型的稳定性419 林支桂.数学生态学导引M.北京:科学出版社,2013:18-19.10 LYAPUNOV A M.The general problem of the stability of motionJ.International Journal of Control,1992,55(3):531-534.11 张庆灵,张雪峰,翟丁.控制理论基础M.北京:高等教育出版社,2008:201-206.12 廖晓昕.稳定性的理论、方法和应用M.武汉:华中理工大学出版社,1999:83-87.Stability of an Epidemic Model with Vertical TransmissionHAO Yanrong,ZHAO Chun(College of Mathematical Science,Tianjin Normal University,Tianjin 300387,China)Abstract:Based on dynamical system theory,the stability of the epidemic model with verticaltransmission is discussed.The basic reproduction number R0is obtained by using the next-generationmatrix method.When R0 1,the system exists aunique endemic equilibrium point.The conditions of the local asymptotic stability of the system at theendemic equilibrium point are obtained according to the Routh criterion,and by constructing Lyapunovfunction,it is proved that the system is globally asymptotically stable at the endemic equilibrium point.Finally,the rationality of the conclusion is verified by numerical simulation.Key words:Vertical transmission;Basic reproduction number;Equilibrium point;Stability