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信息与通信逻辑代数基础.pptx
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1、1.1 基本概念、公式和定理基本概念、公式和定理一、基本和常用的逻辑运算一、基本和常用的逻辑运算三种基本运算是:与、或、非(反)三种基本运算是:与、或、非(反)1.与运算与运算ABY0101BLA0011输输 入入0001输出输出 与逻辑真值表与逻辑真值表与逻辑与逻辑只有当决定一件事情的条件全部具只有当决定一件事情的条件全部具备之后,这件事情才会发生。备之后,这件事情才会发生。2或运算或运算0101BLA0011输输 入入0111输出输出 或逻辑真值表或逻辑真值表或逻辑或逻辑当决定一件事情的几个条件中,只要有一个或一当决定一件事情的几个条件中,只要有一个或一个以上条件具备,这件事情就发生。个以
2、上条件具备,这件事情就发生。3非运算非运算LA0110非逻辑真值表非逻辑真值表非逻辑非逻辑某事情发生与否,仅取决于一个条件,而且是对某事情发生与否,仅取决于一个条件,而且是对该条件的否定。即条件具备时事情不发生;条件不具备时事该条件的否定。即条件具备时事情不发生;条件不具备时事情才发生。情才发生。二、其他常用逻辑运算二、其他常用逻辑运算1与非与非 由与运算由与运算 和非运算组合而成。和非运算组合而成。0101BLA0011输输 入入1110输出输出“与与非非”真值真值表表2或非或非 由或运算和非运算组合而成。由或运算和非运算组合而成。0101BLA0011输输 入入1000输出输出“或或非非”
3、真值真值表表3、与或非逻辑与或非逻辑Y=AB+CD&ABCDY4异或异或异或是一种异或是一种二变量二变量逻辑运算,当两个变量取值相同时,逻辑运算,当两个变量取值相同时,逻辑函数值为逻辑函数值为0;当两个变量取值不同时,逻辑函数值;当两个变量取值不同时,逻辑函数值为为1。异或的逻辑表达式为异或的逻辑表达式为0101BLA0011输输 入入0110输出输出“异或异或”真值真值表表5同或同或异或运算的反叫做同或异或运算的反叫做同或同或的逻辑表达式为同或的逻辑表达式为0101BLA0011输输 入入1001输出输出“同或同或”真值真值表表三、公式和定理三、公式和定理吸收律吸收律反演律反演律分配律分配律
4、结合律结合律交换律交换律重叠律重叠律互补律互补律公公 式式 101律律对合律对合律名名 称称 公公 式式 2公式的证明方法:公式的证明方法:(1)用简单的公式证明略为复杂的公式)用简单的公式证明略为复杂的公式 证明吸收律证明吸收律(2)用真值表证明)用真值表证明即检验等式两边函数的真值表是否一致即检验等式两边函数的真值表是否一致 用真值表证明反演律用真值表证明反演律A B0 00 11 01 1 1 1 1 0 1 1 1 0四、逻辑代数的基本规则逻辑代数的基本规则 对于任何一个逻辑等式,以某个逻辑变量或逻辑函数同对于任何一个逻辑等式,以某个逻辑变量或逻辑函数同时取代等式两端任何一个逻辑变量后
5、,等式依然成立。时取代等式两端任何一个逻辑变量后,等式依然成立。例如,在反演律中用例如,在反演律中用BC去代替等式中的去代替等式中的B,则新的等式仍成,则新的等式仍成立:立:1.代入规则代入规则 将一个逻辑函数将一个逻辑函数L进行下列变换:进行下列变换:,0 1,1 0所得新函数表达式叫做所得新函数表达式叫做L的的对偶式对偶式,用,用 表示。表示。如果两个逻辑函数表达式相等,那么它们的对偶式也一定如果两个逻辑函数表达式相等,那么它们的对偶式也一定相等。相等。2.对偶规则对偶规则3.反演规则反演规则将一个逻辑函数将一个逻辑函数L进行下列变换:进行下列变换:,;0 1,1 0;原变量原变量 反变量
6、,反变量,反变量反变量 原变量。原变量。所得新函数表达式叫做所得新函数表达式叫做L的反函数,用的反函数,用 表示。表示。利用反演规则,可以非常方便地求得一个函数的反函数利用反演规则,可以非常方便地求得一个函数的反函数例例 求函数求函数 的反函数:的反函数:解:解:例例 求函数求函数 的反函数:的反函数:解:解:(2)变换中,几个变量(一个以上)的公)变换中,几个变量(一个以上)的公共非号保持不变。共非号保持不变。注意在应用反演规则求反函数时要注意以下两点:在应用反演规则求反函数时要注意以下两点:(1)保持运算的优先顺序不变,必要时加括)保持运算的优先顺序不变,必要时加括号表明号表明五、关于异或
7、运算的公式五、关于异或运算的公式1、交换律:、交换律:2、结合律:、结合律:3、分配律:、分配律:证明:证明:4、常量和变量的异或运算、常量和变量的异或运算5、因果互换律、因果互换律如果如果则有则有证明:证明:同理同理1.2 逻辑函数的代数化简法逻辑函数的代数化简法公式法公式法 图形法图形法一、逻辑函数的标准与或式和最简式一、逻辑函数的标准与或式和最简式1.标准与或式标准与或式最小项的定义最小项的定义一般地说,对于一般地说,对于n个变量,如果个变量,如果p是一个含有是一个含有n个个因子的乘积项,而且每一个变量都以原变量或者因子的乘积项,而且每一个变量都以原变量或者反变量的形式,作为一个因子在反
8、变量的形式,作为一个因子在p中出现且仅出现中出现且仅出现一次,那么就称一次,那么就称p是这是这n个变量的一个最小项。个变量的一个最小项。n个变量的逻辑函数中,包含全部变量的乘积项个变量的逻辑函数中,包含全部变量的乘积项称为最小项称为最小项n变量逻辑函数的全部最小项共有变量逻辑函数的全部最小项共有2n个个任何一个逻辑函数表达式都可以转换为一组任何一个逻辑函数表达式都可以转换为一组最小项之和,称为最小项表达式最小项之和,称为最小项表达式例例1:将:将 逻辑函数转换成最小项表达式:逻辑函数转换成最小项表达式:2 逻辑函数的最简式逻辑函数的最简式逻辑函数式的常见形式逻辑函数式的常见形式其中,与其中,与
9、或表达式是逻辑函数的最基本表达或表达式是逻辑函数的最基本表达形式。形式。逻辑函数的最简逻辑函数的最简“与与或表达式或表达式”的标准的标准(1)与项最少与项最少 即表达式中即表达式中“+”号最少号最少(2)每个与项中的变量数最少)每个与项中的变量数最少 即表达式中即表达式中“”号最少号最少二、逻辑函数的公式法化简二、逻辑函数的公式法化简并项法:并项法:运用公式运用公式 将两项合并为一项,消去一个变量。将两项合并为一项,消去一个变量。例:例:吸收法:吸收法:运用吸收律运用吸收律 A+AB=A,消去多余的与项,消去多余的与项例:例:消去法:运用吸收律运用吸收律 消去多余因子。消去多余因子。例:例:配
10、项法:配项法:先先通通过过乘乘以以 或或加加上上 ,增增加加必必要要的的乘乘积积项项,再用以上方法化简。再用以上方法化简。例:例:在化简逻辑函数时,要灵活运用上述方法,才能将逻辑函在化简逻辑函数时,要灵活运用上述方法,才能将逻辑函数化为最简数化为最简例例 化简逻辑函数:化简逻辑函数:解:解:(利用(利用 )利用利用A+AB=A)(利用(利用 )例例 化简逻辑函数:化简逻辑函数:(利用(利用 )(配项法)(配项法)(利用(利用 )解:解:(利用反演律(利用反演律)(利用(利用A+AB=A)(利用(利用A+AB=A)例例 证明证明 证明:证明:在一个与或表达式中,如果两个乘积项中,一项包含了在一个
11、与或表达式中,如果两个乘积项中,一项包含了原变量原变量A,另一项包含了反变量,另一项包含了反变量A,而这两项其余的因子,而这两项其余的因子都是第三个乘积项的因子,则第三个乘积项是多余的。都是第三个乘积项的因子,则第三个乘积项是多余的。例例 化简逻辑函数:化简逻辑函数:(增加多余项(增加多余项 )解法1:由此可知,有些逻辑函数的化简结果不是唯一的。由此可知,有些逻辑函数的化简结果不是唯一的。(消去一个多余项(消去一个多余项 )(再消去一个多余项(再消去一个多余项 )解法2:(增加多余项(增加多余项 )(消去一个多余项(消去一个多余项 )(再消去一个多余项(再消去一个多余项 )不易判定化简结果是否
12、最简。不易判定化简结果是否最简。总结总结公式化简法的优点:公式化简法的优点:不受变量数目的限制不受变量数目的限制缺点:缺点:没有固定的步骤可循;没有固定的步骤可循;需要熟练运用各种公式和定理;需要熟练运用各种公式和定理;需要一定的技巧和经验;需要一定的技巧和经验;三、逻辑函数的图形法化简1相邻最小项相邻最小项如果两个最小项中只有一个变量互为反变量,其余变量均如果两个最小项中只有一个变量互为反变量,其余变量均相同,则称这两个最小项为逻辑相邻,简称相同,则称这两个最小项为逻辑相邻,简称相邻项相邻项如最小项如最小项ABC 和和 就是相邻最小项。就是相邻最小项。如果两个相邻最小项出现在同一个逻辑函数中
13、,可以合并为如果两个相邻最小项出现在同一个逻辑函数中,可以合并为一项,同时消去互为反变量的那个量一项,同时消去互为反变量的那个量如:如:2.2.卡诺图卡诺图一个小方格代表一个最小项,然后将这些最小项按照一个小方格代表一个最小项,然后将这些最小项按照相邻性排列起来。即用小方格几何位置上的相邻性来相邻性排列起来。即用小方格几何位置上的相邻性来表示最小项逻辑上的相邻性表示最小项逻辑上的相邻性3卡诺图的结构卡诺图的结构(1 1)二变量卡诺图)二变量卡诺图(2)三变量卡诺图)三变量卡诺图 变量取值顺序按循环码排列变量取值顺序按循环码排列注意注意循环码可以由二进制码导出循环码可以由二进制码导出如果如果B是
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