高中数学必修一至必修五知识点.doc

高中数学必修一至必修五知识点精选
必修一
1.函数奇偶性：
（1）偶函数：对于函数f(x)定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)．图象关于y轴对称．
（2）奇函数：对于函数f(x)定义域内任意一个x，都有f(－x)＝-f(x)．图象关于原点对称．
奇函数和偶函数的性质：
（1）若函数为奇函数，且在处有定义，则．
（2）奇函数在轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在轴两侧相对称的区间增减性相反．
2.分数指数幂的运算性质
① ②
③
3.对数式与指数式的互化：．
4.几个重要的对数恒等式
，，．
5.常用对数：，即 自然对数：，即（其中…）．
6.对数的运算性质
（1） （2)
（3） （4）
（5） （6)
7.指数函数
（1）定义：形如的函数，叫指数函数。
（2）指数函数的图象和性质

a＞1
0＜a＜1
图象

性质

定义域
R
值域
(0，＋∞)
过定点
(0，1)，即当x＝0时，y＝1
单调性
在R上是增函数
在R上是减函数
奇偶性
非奇非偶函数

8.对数函数
（1）定义：形如的函数，叫对数函数
（2）对数函数的图象和性质

a＞1
0＜a＜1
图
象

性质

定义域
(0，＋∞)
值域
R
过定点
(1，0)，即当x＝1时，y＝0
单调性
在(0，＋∞)上是增函数
在(0，＋∞)上是减函数
奇偶性
非奇非偶函数
9.幂函数
（1）定义：一般地，函数叫做幂函数，其中x是自变量，是常数．
（2）幂函数的性质:
(1)恒过点(1，1)，且不过第四象限．
(2)当＞0时，幂函数在(0，＋∞)上都是增函数；当＜0时，幂函数在(0，＋∞)上都是减函数．
(3)在第一象限内，直线x＝1的右侧，图象由上到下，相应的指数由大变小．
(4)当为偶数时，是偶函数；当为奇数时，是奇函数.
10.二次函数
（1）二次函数的图象是一条抛物线，对称轴方程为顶点坐标是．
（2）当时，抛物线开口向上，函数在上递减，在上递增，当时，；当时，抛物线开口向下，函数在上递增，在上递减，当时，．
（3）二次函数当时，图象与轴有两个交点．
11.函数的零点
对于函数，把使成立的实数叫做函数的零点.
12.函数零点与方程根的关系
函数的零点就是方程实数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标。即：方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点．
必修2
1.空间几何体的表面积公式
圆柱的表面积 ： 圆锥的表面积：
球的表面积：
2．空间几何体的体积公式
柱体的体积 ： 锥体的体积 ：
球体的体积：
3.直线、平面之间的位置关系的判定
（1）线面平行的判定定理：如果平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。
（2）面面平行的判定定理：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面，这两个平面平行。
（3）线面垂直的判定定理：如果一直线和平面内的两相交直线垂直，这条直线就垂直于这个平面。
（4）面面垂直的判定定理：一个平面经过另一个平面的垂线，这两个平面互相垂直。
4.两条异面直线所成的角
已知a、b是两条异面直线，经过空间任意一点O，分别引直线a′∥a,b′∥b,则a′和b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a和b所成的角.
异面直线所成的角的求法：通过直线的平移，把异面直线所成的角转化为平面内相交直线所成的角。异面直线所成角的范围：；
5.直线与平面所成的角
一条直线与平面相交于A，在直线取一点P（异于A点），过P作平面的垂线，垂足为O，则线段AO叫做直线l在平面内的射影，直线l与射影AO所成角就叫做直线l与平面所成的角。直线与平面所成角的范围：
6．直线的斜率
把一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率．斜率常用小写字母k表示，即k＝tan.
7.直线的斜率公式
已知直线过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则其斜率k＝(x1≠x2).
8.直线方程的几种形式
（1）点斜式：直线经过点，且斜率为，则直线方程为
（2）斜截式：直线的斜率为，且与轴的交点为 ，则直线方程为
（3）一般式：（当时，斜率为）
9.两条直线的位置关系
已知直线l1：y＝k1x＋b1与直线l2：y＝k2x＋b2.
(1) l1∥l2⇔k1＝k2且b1≠b2. (2) l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.
10.两点间的距离公式
已知平面上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2),则它们的距离|P1P2|＝.
11.点到直线的距离公式
点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝.
12.两条平行直线间的距离公式
两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0之间的距离d＝.
13.圆的方程
(1)圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2 其中圆心为C(a，b)，，半径为r(r>0).
(2)圆的一般方程:x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0（其中 D2＋E2－4F>0）.圆心为(－，－)，半径为.
14.点与圆的位置关系
已知点与圆心的距离为d，圆的半径为r，则
（1）d>r，点在圆外； （2）d＝r，点在圆上； （3）d<r，点在圆内．
15.直线与圆的位置关系的判定方法
设圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，则
①直线与圆相交⇔d<r； ②直线与圆相切⇔d＝r； ③直线与圆相离⇔d>r.
16.圆与圆位置关系的判断
设两圆的半径分别为r1、r2，两圆的圆心距为，则
（1）当时，圆与圆相离； （2）当时，圆与圆外切；
（3)当时，圆与圆相交；（4）当时，圆与圆内切；
（5）当时，圆与圆内含；
17.空间两点间的距离公式： 已知空间中两点,，则
必修3
1.古典概型的概率公式
P(A)＝.
2.几何概型的概率公式
P(A)＝
必修4
1.象限角的定义
在直角坐标系内，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，则终边在第几象限就是第几象限角.
2.终边相同的角
所有与角α终边相同的角可表示成β＝α＋k·360°，k∈Z.
3.角的弧度数的计算
如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么，角α的弧度数的绝对值是|α|＝.
4.一些特殊角与弧度数的对应关系.
度
30°
45°
60°
90°
120°
135°
150°
180°
270°
360°
弧
度

π

2π
5.扇形的弧长及面积公式
设扇形的半径为R，弧长为l，α为其圆心角的弧度数，则
(1)扇形的弧长l＝αR (2)扇形的面积S＝lR＝αR2
6.同角三角函数基本关系式
（1）平方关系：sin2 α＋cos2 α＝1. （2）商数关系：＝tanα(α≠kπ＋，k∈Z)．
7.诱导公式
(1)sin(π＋α)＝sinα; cos(π＋α)＝cosα； tan(π＋α)＝tanα.

(2)sin(π＋α)＝－sinα; cos(π＋α)＝－cosα； tan(π＋α)＝tanα.
(3)sin(－α)＝－sinα； cos(－α)＝cosα； tan(－α)＝－tanα.
(4)sin(π－α)＝sinα； cos(π－α)＝－cosα； tan(π－α)＝－tanα.
(5)sin(－α)＝cosα; cos(－α)＝sinα.
(6)sin(＋α)＝cosα; cos(＋α)＝－sinα.
8.三角函数的定义

在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)那么：
(1)y叫做α的正弦，记作sinα，即sin α＝y；
(2)x叫做α的余弦，记作cosα，即cos α＝x；
(3)叫做α的正切，记作tanα，即tan α＝(x≠0)．

9.已知的终边上任意一点的坐标是，它与原点的距离是，则，，．

10.三角函数在各象限的符号

口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．
11.正弦函数和余弦函数的图像与性质

y＝sin x
y＝cos x
定义域
R
值域
[－1,1]
周期性
最小正周期为2π
图象

奇偶性
奇函数
偶函数
单调性
在[2kπ－，2kπ＋](k∈Z)上是增函数；
在[2kπ＋，2kπ＋π](k∈Z)上是减函数
在[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上是增函数；
在[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上是减函数
对称轴
x＝kπ＋(k∈Z)
x＝kπ(k∈Z)
对称中心
(kπ，0)，(k∈Z)
(kπ＋，0)(k∈Z)
最值
x＝2kπ＋(k∈Z)时，ymax＝1；
x＝2kπ－(k∈Z)时，ymin＝－1
x＝2kπ时，ymax＝1；x＝2kπ＋π时，ymin＝－1

12．正切函数y＝tan x的图象与性质
解析式
y＝tan x
图象

定义域
{x|x∈R，且x≠＋kπ，k∈Z}
值域
R
周期
π
奇偶性
奇

13.函数y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Atan(ωx＋φ)的周期
（1）y＝Asin(ωx＋φ)的最小正周期为T=;（2）y＝Atan(ωx＋φ)的最小正周期为T=.

14.平面向量的夹角：已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ叫做向量a与b的夹角．

15.向量的坐标运算
已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则
（1）a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)； （2）a－b＝(x1－x2，y1－y2)； （3）λa＝(λx1，λy1).
16.向量平行和垂直的判定
已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则
（1）a//bx1y2－x2y1＝0 （2）a⊥bx1x2+y1y2
17.平面向量的数量积
已知两非零向量a与b，它们的夹角为θ，则把数量|a||b|cos θ叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ.
常用结论：
(1) a⊥b⇔a·b＝0； (2)a·a＝|a|2； (3)cos θ＝； (4)|a·b|≤|a||b|.
18.平面向量数量积的坐标表示
设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ， 则
(1)a·b＝x1x2＋y1y2 （2）|a|＝.
(3)cos θ＝＝.
19.两角和与差的正弦、余弦和正切公式：
（1）cos(α＋β)＝cosαcos β - sinαsin β； (2)cos(α－β)＝cosαcos β＋sinαsin β.
（3）sin(α＋β)＝sinαcos β＋cosαsin β； (4)sin(α－β)＝sinαcos β＋cosαsin β .
（5）tan(α＋β)＝ ； (6)tan(α－β)＝.
20.二倍角正弦、余弦和正切公式：
（1）sin 2α＝2sin αcos α ; （2）cos 2α＝cos2α－sin2α=2cos2α-1=1－2sin2α
（3）tan 2α＝
必修5
1.正弦定理：在中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，，则有(R为的外接圆的半径)
2.余弦定理：在中，有;；.
推论:;;.
3.三角形面积公式：
4．等差数列与等比数列
(一)等差数列
（1）定义：－=d（n≥2，n∈N）
（2）通项公式：，
（3）前n项和公式：.
(4)等差数列的性质：
（1）若，则；特别地，若m+n=2p，则.
（2）数列为等差数列,每隔k(k)项取出一项仍为等差数列，例如：仍为等差数列。
(二)等比数列
（1）定义：
（2）通项公式：
（3）前n项和公式：.
(4)等比数列的性质：
(1)数列为等比数列,每隔k(k)项取出一项仍为等比数列，例如：仍为等比数列
(2)，则；特别地，若m+n=2p，则.
5.均值定理： 如果，那么（当且仅时，取“＝” 号）

10