混凝土多轴非线性本构模型的研究.pdf

2 0 1 1年 第 4 期 (总 第2 5 8 期 ) Nu mb e r4i n 2 01 1 ( To t a l No 2 5 8) 混 凝 土 Co n c r e t e 理论研究 THEOR ETI CAL R ES EARCH d o i ： 1 0 3 9 6 9 j i s s n 】 0 0 2 3 5 5 0 2 0 1 1 0 4 0 0 6 混凝土多轴非线性本构模型的研究 姚家伟 ， ( 1 大连民族 学院 土水建筑工程学院 ，辽宁 大连 1 1 6 6 0 0 ；2 孙士勇 ，陈浩然 大连理工大学 工业装备结 构分析 圈家重点 实验室 ，辽宁 大连 1 1 6 0 2 4 ) 摘要 ： 通过大帚试验 ，测得 了混凝 土在 轴应 力状态及在 5种不 同应力 比下 的双轴应力状态 的应 力一 应变关 系。论述 T J o n e s 。 Ne l _ o 一 M。 g a 模型的构成原理及其参数的确定方法 ， 首次将这个模型， 用于混凝土材料的本构关系分析， 结合混凝土的单轴试验结果， 建立 r混凝土的非线性本构模型 ， 该模型的特点是材料的力学性能 只为应变能的 函数 ， 使材料模 型可以方便地应用于复杂应 力状态。 利用广 义 虎克定律 ， 将模 型推广应用于混凝土舣轴应力状态的本构关 系分析 ， 获得 了与试验结果符合较好的理论模 型。 关键词 ： 混凝 土 ；多轴 ；非线性 ；本构模型 ；J o n e s Ne l s o n Mo r g a n模型 中图分类号 ： T U5 2 8 0 1 文献标志码 ： A 文章编号 ： 1 0 0 2 3 5 5 0 ( 2 0 1 1 ) 0 4 0 0 2 3 0 4 No n l i n e a r c o n s t i t u t i v e mo d e l r e s e a r c h o n c o n c r e t e( mu l t i a x i a 1 ) YAO a we i SUN S h i - y o n g CHEN Ha o- r a n ( 1 S c h o o l o fCi v i lE n g i n e e r i n g a n dAr c h i t e c t u r e， Da l i a nNa t i o n a l i t i e sUn i v e r s i ty， Da l i a n 1 1 6 6 0 0， Ch i n a； 2 S t a t eKe yL a b o r a t o r y o fS t ru c t u r a l An a l y s i sf o r I nd u s t r i a l Eq u i p me n t ， Da l i a nUni v e r s i t yo f Te c h n o l o g y Da l i a n 1 1 6 0 2 4， Ch i n a) A b s t r a c t ： T h e s t r e s s s t r a i n r e l a t i o n s h i p o f c o n c r e t e s u b j e c t e d u n i a x i a l s t r e s s a n d b i a a x i a l s t r e s s wi t h fi v e k i n d s o f d i ff e r e n t s t r e s s r a t i o r e s p e c t i v e l y wa s a b t a i n e d t h r o u g h l a r g e n u mb e r o f t e s t s i n t hi s pa p e r Th e c o n s t i tut i n g p r i n c i p l e a n d d e t e r mi n i n g m e t h o d for J o n e s 。 Ne l s o n M o r g a n mo d e l wa s s t a t e d I t wa s t h e fir s t t i me t o a p pl y t h e m o d e l t o t h e a na l y s i s o f c on s t i tut i v e mo d e l r e l a t i o ns hi p f o r c o n c r e t e ma t e r i a 1 Co mb i n i n g t h e u n i a x i a l t e s t r e s u l t s fo r c o nc r e t e ， t h e n o n l i n e a r c o n s t i t u t i v e mo d e l fo r c o n c r e t e wa s b u i l t T he c h a r a c t e r i s t i c o f t h e mo d e l i s t h a t t h e me c h a n i c s p r o p e r t y o fma t e r i a l i s o n l y t h e f u n c t i o n o f s t r a i n e n e r g y Du e t o t he me t h o d， t h e mo d e l c a n b e u s e d i n a n a l y s i s o f c o mp l e x s t r e s s s t a t e e a s i l y Us i n g g e n e r a l d e fi ne d Hu k e l a w ， t h e mo d e l c a n b e s p r e a d t o t h e c o n s t i t u t i v e m o d e l a n a l y s i s o f c o n c r e t e u n d e r b i a a xi a l s t r e s s s t a t e T h e t h e o ry mo d e l c o n f o rm S t o t e s t s r e s u l t s we l 1 Ke y w or ds ：c o n c r e t e ， mu l t i a x i a l ； c o n s t i t u t i v e m o d e l ； J o ne s Ne l s o n M o r g a n c o n s t i t u t i v e mo d e l 0 引言 实际的混凝土结构 中 ， 承受单一的单轴应力状态 的构件是 极少的 ， 大部分混凝土明显地处 于多轴应力状态。 混凝土材料 的 本构关系是描述其在时 、 空中的内部结 构的力 、 温度 、 变形等之 间的关系和运动规律的数学表达式 ， 在常温、 不考虑与时间有 关 的【大 I 素的短期静 力加载的情况下 ， 就是应力 与应 变的关系 。 目前关 于混凝土材料 本构关 系的研 究 ， 大多局 限于常温 、 静力及单 向应力状态f 】卅， 而对大体积混凝土结构及复杂结构的 非线性分析 中 ， 要 建立混凝土 多轴应力状 态的本构关 系 ， 但 由 于混凝土多轴试验的难度及混凝土本身离散性较大的特点， 混 凝土多轴试验数据不多， 导致对混凝土多轴本构关系的研究资 料很少。 随着混凝土结构的应用领域不断扩展 ， 各种结构的体形 和受力状况更加复杂 ， 混凝土结构的受 力性 能变化全过程 只有 通过非线性方法的逐步分析才能获得， 为此要求建立多种准确 、 合理的非线性本构关系， 包括混凝土的多轴应力一 应变关系。 目前 ， 混凝土本构关系可分为线 弹性 、 非线性弹性 、 塑性理 论 、 内蕴时间模 型 、 损伤力学模型等多种模型 。 但 由于各研究 者学术观点和研究方法的不同， 其计算结果也不相同， 许多模 型各有利弊和适用范围， 难以求得统一。 至今还没有一种公认 的理论或本构模 型， 可以广泛用于各种条件下 的混凝 土结 构分 析。 弹性模型简单但只适合单调加载； 经典塑性模型数学上较 严格但与混凝土材料破坏机理不协调 ， 塑性势函数难确定； 内时 模型摆脱 了屈服面的约束 ， 在 实际问题 的计 算中能用一个统一 的公式描述全过程 ， 但 由于表 达式 过多 ， 确定参数 又不容易 ， 所 以对其推广和应用仍需做许多工作； 损伤模型物理含义清晰， 但 损伤变量的定义与损伤演化方程的确定等都存在着问题， 故也 很难在实 际中应用 。绝大多数模 型包 含了太多的主观成分 。 J o n e s Ne l s o n Mo r g a n模型 7 8 】 ， 是复合材料物理非线性应 力一 应变关系的一种描述方法，它通过建立材料力学性能与应变 能密度的关系来建立纤维增强复合材料的物理非线性问题， 该模 型在石基颗粒增强复合材料 的陶瓷材料中得到 了很好的应用 ， 并 被成功应用于与脆性基混凝土材料相似的石墨材料 ， 建立 了增量 表达式和卸载模型 ， 取得 了很好的效果 。 J o n e s Ne l s o n Mo r g a n 模型的最大特点是材料 的应力一 应变关系用唯一 的参数 即应变 能密度来表征 ， 可实现用简单 的模型对复杂问题进行分析 。 收稿 日期 ：2 0 1 0 一 l 1 2 6 基金项 目： 国家 自然科学基金资助项 目( 5 0 4 7 9 0 5 9 ) ； 国家建设部科研基金项 目( 2 0 0 7 一 k 2 2 4 ) ； 辽宁省教育厅高等学校科学研 究项 目( 2 0 0 6 0 1 4 4 ) ； 大连 理工大学海岸和近海丁释国家重点 实验室 ( L P 1 0 0 2 ) ； 中央高校基本科研业务 专项 资金资助项 目( DC1 0 0 2 0 1 2 0 ) 23 学兔兔 w w w .x u e t u t u .c o m 通过大量试验 ， 结合已在陶瓷和石墨材料中成功应用的 J o n e s Ne l s o n Mo r g a n模 型 ， 建 了混凝土 的非 线性本构模 型 ， 同时适用于混凝土的单轴和多轴本构父系的分析： 该模 视混 凝土为各 向同性 的非线弹性材 料 ， f * iJ J l t 应 变能 数 ， 使混凝土 非线性力学性能 只为应变能 的函数 ， 根据 混凝土 的受 力特点 ， 采用增加 应力来实现模型 的计算程序 ， 建立一种简单实用 的模 型 ， 利 用广义虎克定律 ， 将模 型推广应用 于混 凝土双轴 蓝力状 态的本构关 系分析 ， 经过 试验数据和 汁箅 结果的对 比分 析 ， 验 证了模型 的可靠性 。 1试验 设 计 及 数 据 由于整个项目系统性试验的工作量很夫， 需要进行对比分 析 ， 所 以， 研究 中均采用尺寸为 1 0 0 mmx l 0 0 mmx 1 0 0 mm 的试 件 。 试验 中， 水泥采用大连水 泥厂生产的 P O 3 2 5 级水泥 ， 细骨 料为中砂 ， 粗骨料为碎石 ， 最大粒径 为2 0 mm， 试件标准养护 9 0 d ： 表 1 为混凝土每立方米的配合 比及性能指标j 表 1 每立方米混凝土的配合比及性能指标 混凝 土力学性能试验 足 大连理 大学 海岸和近海 T程 国家重点实验室的大型混凝土静 、 动i轴电液伺服试验机上完 成。 系统由电液伺服阀、 电予控制线路和向分别独立的加力架 、 加载板、 液压缸、 荷载传感器和位移传感器( L v DT ) 组成， 系统 可实现各种应力 比下的 三向拉 、 王 向 和 _ 二 向托压的静动态试 验 ， 见图 1 。 图 1 大型混凝土静、 动三轴 电液伺服试验 系统 进行单轴抗压试验时， 将试件安装在试验机的加载板间， 试件加载面与加载板之 间采取减摩措施 ， 减 摩材料采用塑 料薄 膜和甘油。 先将试件轴心物理对 中 ， 并进行反复预压， 冉按标准 静态加载速率( 2 0 MP a mi n ) 施加荷载 ， 直 至试件破坏。 试件承受 的压力， 位移和应变值均 由计算机动态采集 。 测得混凝土的应 力 及两个方 向的应变 。 试验得出的混凝土单轴压的应力一 应变 曲线 见罔 2 ， 泊松 比与应力 的关系见罔 3 。 应变 图 2 混凝土单轴应力一 应变关 系曲线 进行混凝土双轴压的试验研究。 先将试件轴心物理对巾， 并 进行双 向反 复预压 ， 再以设定 的 5种加载 比例 ， 按标准 静态 2 4 35 3 0 25 兰 2 0 喜1 5 1 0 5 0 泊 松 比 图 3 泊松比与应力 的关 系 加载速率 ( 2 0 MP a mi n) 在双 向同时施加荷载 ， 直至试件破坏 。 5种加载 比例分别 为 O = t y f ， = O ， 0 2 5 ， 0 5 ， 0 7 5 ， 1 0 。 每种应力 状 态 ， 至少试 验 5个试件 ， 当发 现离散较大 时 ， 增加试件 数 目， 以求数据的完整准确， 试件承受的两个方向的压力 ， 位移和应 变值均 由计算机动态采集。 4表示不 同加载 比例下混凝土 的 双轴压应力一 应变关 系曲线 ： 1 0 b 丑 0 5 O I 】 2 U U 2 U 4 U b 臆 变 1 0 图 4常态 下不 同应力比混凝土应 力一 应变曲线 由冈 2 、 4可见 ， 混凝 土在单轴压应力状态 与双轴压应力状 态下 的应力一 应变关系 曲线不 同， 应 力比不 同， 曲线的形状也 不 同。 双轴压 时， 峰值应力点明显上升和右移 ， 表明混凝土在双轴 时的抗 压强度高 于单轴压时 的强度 ， 峰值应力点 的应 变也 成 倍地增大 。 2 l o n e s Ne l s o n M o r g a n模 型 2 1 T o n e s Ne l s o n Mo r g a n模 型介 绍 J o n e s Ne l s o n Mo r g a n模型为多模量非线性模型 ， 已被许多 学者成功地应用于复合材料非线性本构关系的研究 ， 取得较好 的效果 。 J o n e s Ne l s o n Mo r g a n根据材料弹性性能 与应变能之间 一一 对应的关 系， 提出了以下模型 ： ， ， 刊 【 l B ( g U o ) 1 ( 1 ) 式 中： l ， ， 材料的非线性力学性能 ， 通常是弹性模量或割线模 量或泊松 比， 下标为力学性质的编号 ； u 应变能密度 ； A ， B ， c 应力一 应变曲线的初始斜率 ， 初始曲率和曲率 变化 ； 使( U U o ) 项 为无量纲的参数 。 o -j , e j 真实的应 力和应变分量( 在单向应力状态下 ) ， 相 应于某应变能密度下在 o -s 一 平 面上的坐标( 在多 轴应力状态下 ) 1 。 则应变能密度值可表达为 ： 6 o -j j 2 ( 2 ) I 该模型的优点是 ： 对材料 的非线性性状没有 附加任何 的人 为限制 ， 没有限定非线性力学性能的维数， 材料的每一个非线 抛 。 学兔兔 w w w .x u e t u t u .c o m 性力学性能都可 以由多轴应 力状态 所积 累的应 变能表示 ， 并 且 坐标系的变化无关 。 本 试验将其应用 于混凝土 材料 本构关 系 的研究 ， 通过 混凝 土单轴试 验 ， 建立一个 简单模 型， 经过扩充 和 简 单修改， 能应刚于 考虑多轴应力状态的混凝土本构关系 巾， 便 于T程应用 。 2 2 模 型 的参数确 定 J o n e s 提 小崩 简单 试验 的 个点 解联立 方程来确 定式 ( 1 ) 叶 】 的 4 ， ， 值 ； ，4 代表 弹性力学 性能 ， 最和 c 由 y 一 曲线上 最后一点( 即破坏点 ) 及 2所对应 的点确定 。 由于这两点相对 于所有试验点 ， 不可能准确地描述 和 c 的值 ， 它受试验 的 偶然误差及人为选点的随机因素影响较大 ， 不同的选点就会产 生不同的 B 和 C 的值： 所 以， 我们采用最小二乘极值原理 ， 对所 有试验点进行同归拟合来确定 疗 和 G的值 ， 使 Y ， 一 U预测曲线 与实测曲线之间 的拟合程度大幅度提高。 以 y 为割线模 量 E ( s ) 为 例 ， A 为弹性 阶段 的初始 弹性模 量 ， 求 B、 c： 则模型为 ： ( s ) 【 】 一 曰 ( ( 3 ) 对式( 3 ) 作变换后两边取对数可得： B U Un =1 E A l n B+ c l n ( U I U o ) = 1 n ( 1 一 E A) 令 x = l n U， ， 一 l n ( 1 一 E A) ， 采 最小二乘法 ， 则 ： 。 n( z ) 一 ( ) 一 n( ) 一 y n( x 2 一 ) - t ) 厶 厶 厂 可参照此方法求泊松 比 ， 此时 ， 式( 1 ) 变为 ： v = Af I - B ( f U o ) c一 式中 ： A 初始 泊松 比， 按式 ( 4 ) 、 式 ( 5 ) 求得 、 C 。 3 混凝 土非线性 本构模 型的建立 ( 5) ( 6) 从 图 2可以看 出混 凝土应力一 应变试验 曲线呈非线性 ( 在 4 O 峰值应力以内基本呈线性) ， 应用 J o n e s Ne l s o n Mo r g a n非线 性模型， 根据单轴试验数据， 按上述求解参数的方法， 求得材料 忤质常数见表 2 。 表 2混凝土单轴压应力状态材料性质常数 注 ： A为弹性阶段初始弹件模 量 ， ( s) 为割线模量 。 E ( e ) 【 1 一 B 。 ( U U o ) e 1 、 1 一 B ( U U 0 ) “ 】 ( 7 ) E( F) = 材料参数确定后， 利用式( 7 ) ， 材料模型需要编制程序利用 增量迭代方 法求解 ， 从而得到混凝土非线性的应力一 应变关 系。 第 i 增量步应力状态下的材料性能由第 i - 1 步的应变能确 定， 并通过迭代方法使得第 i 迭代步的应变能 与第 i - 1 迭代步 的应变能 羞为小值( 本文取 = 0 5 ) ， 其第 i 增量步的计算 框 图如下 ： 可 以得到混凝 土应 力 、 应 变的理论值 。 图 5 第， 增量 步的计算框 图 6给 L叶 J _ 单轴应力状态下混凝 土的试 验数据应力一 应变 关系曲线与模拟 后的应力一 应变曲线的对 比。 可以看到 ： 在 4 0 峰值应力以内的线性阶段 ， 误差在 2 以内； 在 8 0 峰值应力以 内， 误差在 5 以内； 在接近 8 0 峰值应力至峰值应力之间， 二者 误差有所增加，在 8 左右。 说明混凝土单轴应力状态下应力一 虚变关系的试验曲线 与理 论曲线吻 合较好 。 0 0 001 0 002 0 003 应 变 图 6单轴压应 力一 应变关 系试验 曲线与模拟曲线对 比图 冈 7给出了单轴应力状态下混凝土的试验数据泊松比曲 线与模拟后的泊松 比曲线的对比。可以看到 ： 泊松 比一 应力关 系 的试验曲线与理论曲线吻合较好 3 5 3O 日 25 20 1 5 1 0 5 0 0 2 0 4 0 6 泊松 比 图 7泊松比试验 曲线与模拟 曲线对 比图 4 混凝土非线性本构模型在双轴应力状态下 的扩展 应用 由图 4可见 ， 混凝 土在双轴压 应力状态 下 ， 表现 出明显 的 非线性， 将第 4节建立的混凝土非线性本构模型扩展应用于双 轴应力状态 。 引入双轴广 义虎克定律 ， 见式( 8 ) ， 利用 式 ( 7 ) ，同时 ， 能量 取双轴两个 方向应变 能密度之和 ， 此时 ， 割线模量 E( ) 也为应 变能密度 U的函数， 参照第 4节的框图编制程序， 其中 ，材料性 2 5 学兔兔 w w w .x u e t u t u .c o m 质常数见表 2 ， 求得混 凝土两个方 向的应力一 应变关 系 ， 与试验 数据进行对比， 从而验证模型在双轴应力状态下的适用性。 O- x 一 音 o 3 =0 图 8给出了不同应力比的双轴压应力状态混凝土的试验 数据应力一 应变关系曲线与模拟后的应力一 应变曲线的对比。应 力 比为 Y 方 向应力与 方 向应力之 比。 日 5O 塞 4 o 30 20 喀 。 0 5 O 日 室 4 o 。 3 0 星 z o 喀 。 O 5 O 日 室 4 0 。 3 0 2 0 。 0 X 方 向应变 Y 方 向应变 X 方 向应变 0 0 O 1 0 0 0 2 方 向应变 50 4O 皇3 0 4、 R、 2 0 1 O O 氇 1 5 y T Y向应 变 0 003 0 f c ) 应 力L L = O 7 5 O OOl 0 0 02 0 0 03 Y 方 向应 变 应 变 f d ) 应力 比=I 0 图 8 混凝土双轴压应力状态的应力一 应变试验曲线与模拟 曲线的对比 图 8 ( a ) 图的左图为应力比为 O 2 5时， 方向应力一 应变试 验 曲线 与理论 曲线对 比图 ， 可 以看 出二者符 合较好 ； 右图为应 力比为 0 2 5时， Y方向应力一 应变试验曲线与理论曲线对 比图， 二者存在一些误差 ， 但曲线的趋势是一致的。 图 8 ( b ) 的左图为应力 比为 0 5时 ， 方 向应力一 应变试验 曲 线与理论 曲线对比图， 可以看出二者符合较好； 右图为应力比 为0 5 时， y 方向应力一 应变试验曲线与理论曲线对比图， 二者稍 有误差 ， 但 曲线 的趋势是一致 的。 图 8 ( C ) 的左 图为应力 比为 O 7 5时 ， 方向应力一 应 变试 验 曲线 与理论 曲线对 比图 ， 右图为应力比为 0 7 5时 ， Y 方 向应力一 应变试验 曲线与理论曲线对 比图 ， 可 以看 出， 应力 比为 O 7 5 时 ， 两个方向的应力一 应变试验曲线与理论曲线符合得很好。 图 8 ( d ) 为应力 比为 1时 ， 应力一 应变试验 曲线 与理论 曲线 对比图， 可以看出二者符合很好。 26 从图 8可以看出， 混凝土非线性程度与应力比有关。在各 种应力 比下 ， 混凝土两个方 向的应力一 应变试验曲线和理论曲线 吻合 较好 ， 误差较小 。 只有 在应 力 比为 0 2 5及 0 5时 ， y 方 向的 应力一 应变试 验 曲线 和理 论曲线存在一 定误差 ， 但 曲线 的趋势 是一致 的。 这与小应力 比时 方 向试验数据 的离散性有一定关 系 ， 必要 时 ， 进行大量试验 ， 并 引入统计学 的观点来处理小应力 比时离散性 问题 。 5结 论 ( 1 ) 本文结合 J o n e s N e l s o n Mo r g a n模型， 建立了混凝土材 料的非线性本构模型 ， 通过大量试验验证了模 型的可靠性 ， 为研 究混凝土材料 的非线性提供 了一种新方法。 ( 2 ) 引入双轴广义虎克定律， 同时， 考虑材料力学性能也为 应变能的函数 ， 成功地将模型扩展应用于处于复杂应力状态的 混凝土本构关系分析 ， 具有理论和实际意义。 ( 3 ) 本 文建立的混凝 土非 线性本构模 型形式简单 ， 材料 力 学性 能只用应变能一个参数表达 ， 实现了用简单 的模 型对复杂 问题进行分析。 可与有限元方法相结合， 用于结构分析， 便于工 程应 用 参 考文献 ： 1 K AN D A R P A S ， K I RK N E R D J S t o c h a s t i c d a ma g e mo d e l f o r b ri t t l e ma t e r - i a l s s u b j e c t e d t o n l o n o t o n i c l o a d - i n g J J o u r n a l o f E n g i n e e ri n g Me c h a n i c s ， 1 9 9 6 ， 1 2 2 ( 8 ) ： 7 8 8 7 9 5 2 C H AB OC H E J 1 ， L E S N E P M ， MAI R E J F C o n t i n u u m d a ma g e m e c h a n i c s a n i s o t r o p y a n d d a ma g e d e a c t i v a t i o n for b r i t t l e ma t e r i a l s l i k c n n c r e t e a n d e c e r a mi c c o mp c s i t e s J 1 n t J Da ma g e Me c h a n i c s ， 1 9 9 5 ( 4 ) ： 5 - 2 2 3 P I E T R u s z C z A K S ， J I A NG J ， MI R Z A F A A n e l a s t o p l a s t i c c o n s t i t u t i v e m o d e l for c o n c r e t e - J l J I n t J S o l i d s a n d S t r u c t u r e s ， 1 9 8 8 ， 2 4 ( 7 ) ： 7 0 5 - 7 2 2 【 4 E L WI A A， MU R R A Y D WA3 d h y p o e l a s t i c c o n c r e t e c o n s t i t u t i v e r e l a t i o n s h i p J J o u r n a l o f E n g i n e e r - i n g Me c h a n i c s ， 1 9 7 9 ， 1 0 5 ( 4 ) ： 6 2 3 6 4 1 5 】过镇海 混凝土的强度和本构关系一 原理与应用 M I 北京 ： 中国建筑 工业出版社 ， 2 0 0 4 ( 3 ) 6 宋玉普 多种混凝土材料的本构关系和破坏准则【 M 1 E 京： 中国水利 水电出版社 ， 2 o o 2 ( 1 2 ) 7 1 J O N E S R M， N E L S ON D A R Ma t e r i a l mo d e l s fo r n o n l i n e a r d e f o r m a t i o n o f g r a p h i t e J A I A A j ， 1 9 7 6 ( 1 6 ) ： 7 0 9 7 1 7 【 8 J O N E S R M， N E L S O N D A R F u r t h e r c h a r a c t e r i s t i c s o f a n o n l i n e a r ma t e r i a l mo d e l f o r A 一 S g r a p h i t e J -1 C o mp o s i t e Ma t e r i a l s ， 1 9 7 5 ( 9 ) ： 2 51 2 6 5 9 陈浩然 J o n e s N e l s o n Mo r g a n非线 性复合材料模型的增量表达式【 J l_ 大连工学院学报 ， 1 9 8 4 ， 2 3 ( 1 )： 4 1 4 7 1 O 陈浩然 非线性多模量复合材料的卸载模型【 J J 大连工学院学报， 1 9 8 4， 2 3 ( 3 ) ： 9 3 9 9 1 1 J ON E S R M， D U DL E Y A R， NE L S O N J R N o n l i n e a r d e f o r m a t i o n o f g r a p h i t e ma t e ria l s ， AFML TR一 7 4 25 9 作者简介 联 系地址 联 系电话 姚家伟( 1 9 6 4 一 ) ， 男， 副教授， 硕士， 主要从事建筑结构工程 研究。 大连市经济技术开发区辽河西 l 8 号 大连民族学院土木 建筑工程学 院( 1 1 6 6 0 0 ) 1 3 9 4 1 1 4 4 7 5 2 学兔兔 w w w .x u e t u t u .c o m