线性代数期末考试试卷+答案合集-大一期末线性代数试卷.doc

大学生校园网—VvSchool.CN 线性代数 综合测试题
×××大学线性代数期末考试题
一、填空题（将正确答案填在题中横线上。每小题2分，共10分）
1. 若,则__________。
2．若齐次线性方程组只有零解，则应满足 。
3．已知矩阵，满足，则与分别是 阶矩阵。
4．矩阵的行向量组线性 。
5．阶方阵满足，则 。
二、判断正误(正确的在括号内填“√”，错误的在括号内填“×”。每小题2分，共10分）
1。 若行列式中每个元素都大于零，则。( )
2。 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。（ ）
3。 向量组中,如果与对应的分量成比例，则向量组线性相关。（ )
4。 ，则。（ ）
5。 若为可逆矩阵的特征值，则的特征值为。 （ ）
三、单项选择题 （每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号内。每小题2分,共10分）
1. 设为阶矩阵，且，则（ ）。
① ② ③ ④ 4
2。 维向量组 （3 £ s £ n）线性无关的充要条件是（ )。
① 中任意两个向量都线性无关
② 中存在一个向量不能用其余向量线性表示
③ 中任一个向量都不能用其余向量线性表示
④ 中不含零向量
3. 下列命题中正确的是( )。
① 任意个维向量线性相关
② 任意个维向量线性无关
③ 任意个 维向量线性相关
④ 任意个 维向量线性无关
4。 设，均为n 阶方阵，下面结论正确的是（ )。
① 若,均可逆，则可逆 ② 若，均可逆，则 可逆
③ 若可逆，则 可逆 ④ 若可逆，则 ，均可逆
5. 若是线性方程组的基础解系，则是的（ ）
① 解向量 ② 基础解系 ③ 通解 ④ A的行向量
四、计算题 ( 每小题9分，共63分）
1。 计算行列式。
解·
2。 设,且 求。
解。 ，
3。 设 且矩阵满足关系式 求。
4. 问取何值时,下列向量组线性相关？。
5。 为何值时，线性方程组有唯一解，无解和有无穷多解？当方程组有无穷多解时求其通解。
① 当且时，方程组有唯一解；
②当时方程组无解
③当时，有无穷多组解，通解为
6。 设 求此向量组的秩和一个极大无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表示。
7。 设，求的特征值及对应的特征向量。
五、证明题 （7分)
若是阶方阵，且 证明 .其中为单位矩阵。
×××大学线性代数期末考试题答案
一、填空题
1。 5 2。 3. 4. 相关
5.
二、判断正误
1。 × 2。 √ 3。 √ 4. √ 5. ×
三、单项选择题
1。 ③ 2。 ③ 3。 ③ 4。 ② 5. ①
四、计算题
1。
2。
，
3。
4.
当或时,向量组线性相关。
5.
① 当且时，方程组有唯一解；
②当时方程组无解
③当时,有无穷多组解,通解为
6。
则 ,其中构成极大无关组，
7。
特征值,对于λ1＝1,，特征向量为
五、证明题
∴, ∵
一、选择题（本题共4小题，每小题4分，满分16分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求)
1、设，为n阶方阵,满足等式，则必有（ )
(A）或； （B）; （C）或; (D).
2、和均为阶矩阵,且,则必有( ）
(A) ； （B)； （C） . （D） 。
3、设为矩阵，齐次方程组仅有零解的充要条件是（ ）
(A) 的列向量线性无关; (B） 的列向量线性相关；
（C） 的行向量线性无关； （D） 的行向量线性相关。
4、 阶矩阵为奇异矩阵的充要条件是( ）
（A） 的秩小于； （B) ；
（C) 的特征值都等于零; （D） 的特征值都不等于零；
二、填空题（本题共4小题，每题4分,满分16分）
5、若4阶矩阵的行列式，是A的伴随矩阵，则= 。
6、为阶矩阵,且，则 。
7、已知方程组无解，则 。
8、二次型是正定的，则的取值范围是 .
三、计算题（本题共2小题，每题8分，满分16分）
9、计算行列式
10、计算阶行列式
四、证明题（本题共2小题，每小题8分，满分16分。写出证明过程）
11、若向量组线性相关，向量组线性无关。证明:
(1) 能有线性表出；
(2） 不能由线性表出。
12、设是阶矩方阵,是阶单位矩阵，可逆，且.
证明
(1） ;
（2） 。
五、解答题（本题共3小题，每小题12分，满分32分。解答应写出文字说明或演算步骤）
13、设，求一个正交矩阵使得为对角矩阵.
14、已知方程组与方程组有公共解。
求的值。
15、设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，已知，,是它的三个解向量，且
，
求该方程组的通解。
解答和评分标准
一、选择题
1、C； 2、D； 3、A; 4、A。
二、填空题
5、—125; 6、； 7、—1； 8、.
三、计算题
9、解：第一行减第二行，第三行减第四行得：
第二列减第一列,第四列减第三列得： （4分）
按第一行展开得
按第三列展开得
。 （4分）
10、解:把各列加到第一列,然后提取第一列的公因子，再通过行列式的变换化为上三角形行列式
(4分）
(4分)
四、证明题
11、证明:
(1）、 因为线性无关，所以线性无关。，
又线性相关，故能由线性表出。 （4分）
，
（2)、(反正法）若不，则能由线性表出，
不妨设。
由（1）知,能由线性表出，
不妨设。
所以，
这表明线性相关，矛盾。
12、证明
（1)
(4分）
（2）
由（1）得:,代入上式得
(4分）
五、解答题
13、解：
（1)由得的特征值为，，。 （4分）
(2）的特征向量为,
的特征向量为,
的特征向量为。 （3分)
（3）因为特征值不相等，则正交。 (2分）
(4）将单位化得，， （2分)
（5）取
(6） （1分）
14、解：该非齐次线性方程组对应的齐次方程组为
因,则齐次线性方程组的基础解系有1个非零解构成，即任何一个非零解都是它的基础解系。 （5分）
另一方面，记向量，则
直接计算得，就是它的一个基础解系。根据非齐次线性方程组解的结构知，原方程组的通解为
，。 （7分）
15、解:将①与②联立得非齐次线性方程组：
若此非齐次线性方程组有解， 则①与②有公共解, 且③的解即为所求全部公共解。
对③的增广矩阵作初等行变换得:
。 （4分）
1°当时，有,方程组③有解， 即①与②有公共解, 其全部公共解即为③的通解,此时
，
则方程组③为齐次线性方程组，其基础解系为: ，
所以①与②的全部公共解为,k为任意常数. (4分）
2° 当时,有,方程组③有唯一解, 此时
，
故方程组③的解为：, 即①与②有唯一公共解。 （4分)
线性代数习题和答案
第一部分 选择题 （共28分）
一、 单项选择题(本大题共14小题，每小题2分,共28分）在每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填在题后的括号内。错选或未选均无分。
1。设行列式=m，=n,则行列式等于（ ）
A. m+n B. -（m+n）
C. n-m D. m—n
2.设矩阵A=，则A—1等于（ ）
A。 B.
C. D。
3。设矩阵A=，A*是A的伴随矩阵，则A *中位于（1，2）的元素是（ )
A. –6 B. 6
C。 2 D. –2
4.设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC，则必有（ ）
A. A =0 B。 BC时A=0
C. A0时B=C D。 ｜A|0时B=C
5。已知3×4矩阵A的行向量组线性无关,则秩（AT）等于（ )
A。 1 B。 2
C. 3 D。 4
6。设两个向量组α1,α2，…,αs和β1，β2,…，βs均线性相关，则（ ）
A。有不全为0的数λ1,λ2，…,λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λsβs=0
B。有不全为0的数λ1，λ2,…,λs使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+…+λs（αs+βs）=0
C。有不全为0的数λ1，λ2,…，λs使λ1（α1—β1）+λ2（α2—β2）+…+λs（αs—βs）=0
D。有不全为0的数λ1，λ2，…,λs和不全为0的数μ1，μ2，…，μs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=0
7。设矩阵A的秩为r,则A中（ ）
A。所有r-1阶子式都不为0 B.所有r-1阶子式全为0
C。至少有一个r阶子式不等于0 D。所有r阶子式都不为0
8.设Ax=b是一非齐次线性方程组，η1,η2是其任意2个解，则下列结论错误的是（ ）
A。η1+η2是Ax=0的一个解 B.η1+η2是Ax=b的一个解
C.η1-η2是Ax=0的一个解 D。2η1—η2是Ax=b的一个解
9。设n阶方阵A不可逆，则必有（ ）
A.秩(A）〈n B。秩（A）=n—1
C。A=0 D。方程组Ax=0只有零解
10.设A是一个n(≥3)阶方阵，下列陈述中正确的是（ ）
A。如存在数λ和向量α使Aα=λα，则α是A的属于特征值λ的特征向量
B。如存在数λ和非零向量α，使(λE-A）α=0，则λ是A的特征值
C。A的2个不同的特征值可以有同一个特征向量
D。如λ1，λ2，λ3是A的3个互不相同的特征值，α1,α2，α3依次是A的属于λ1,λ2,λ3的特征向量，则α1，α2，α3有可能线性相关
11。设λ0是矩阵A的特征方程的3重根，A的属于λ0的线性无关的特征向量的个数为k,则必有（ )
A. k≤3 B。 k<3
C。 k=3 D. k>3
12。设A是正交矩阵，则下列结论错误的是( ）
A。｜A｜2必为1 B。｜A｜必为1
C.A—1=AT D。A的行(列）向量组是正交单位向量组
13。设A是实对称矩阵，C是实可逆矩阵，B=CTAC.则( ）
A.A与B相似
B。 A与B不等价
C. A与B有相同的特征值
D。 A与B合同
14.下列矩阵中是正定矩阵的为( ）
A. B。
C. D.
第二部分 非选择题（共72分)
二、填空题(本大题共10小题,每小题2分，共20分）不写解答过程，将正确的答案写在每小题的空格内。错填或不填均无分。
15. 。
16。设A=，B=。则A+2B= 。
17.设A=（aij）3×3，｜A｜=2，Aij表示｜A|中元素aij的代数余子式（i，j=1,2，3），则（a11A21+a12A22+a13A23）2+（a21A21+a22A22+a23A23）2+（a31A21+a32A22+a33A23)2= 。
18。设向量（2，-3，5）与向量（—4，6，a）线性相关,则a= 。
19。设A是3×4矩阵，其秩为3，若η1，η2为非齐次线性方程组Ax=b的2个不同的解，则它的通解为 .
20。设A是m×n矩阵，A的秩为r(<n），则齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系中含有解的个数为 。
21.设向量α、β的长度依次为2和3，则向量α+β与α—β的内积（α+β，α-β）= .
22。设3阶矩阵A的行列式|A|=8,已知A有2个特征值—1和4，则另一特征值为 .
23。设矩阵A=，已知α=是它的一个特征向量，则α所对应的特征值为 .
24.设实二次型f（x1，x2,x3，x4,x5)的秩为4，正惯性指数为3，则其规范形为 。
三、计算题（本大题共7小题，每小题6分，共42分）
25。设A=，B=.求(1）ABT；（2）｜4A|。
26.试计算行列式。
27.设矩阵A=，求矩阵B使其满足矩阵方程AB=A+2B。
28。给定向量组α1=，α2=，α3=，α4=。
试判断α4是否为α1，α2，α3的线性组合；若是，则求出组合系数。
29。设矩阵A=.
求:(1）秩（A）；
（2)A的列向量组的一个最大线性无关组。
30.设矩阵A=的全部特征值为1,1和-8.求正交矩阵T和对角矩阵D，使T—1AT=D。
31。试用配方法化下列二次型为标准形
f(x1,x2，x3)=，
并写出所用的满秩线性变换.
四、证明题（本大题共2小题，每小题5分，共10分）
32。设方阵A满足A3=0，试证明E-A可逆，且（E-A）—1=E+A+A2.
33.设η0是非齐次线性方程组Ax=b的一个特解，ξ1，ξ2是其导出组Ax=0的一个基础解系.试证明
（1）η1=η0+ξ1，η2=η0+ξ2均是Ax=b的解；
（2）η0,η1,η2线性无关。
答案：
一、单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分）
1。D 2.B 3.B 4。D 5。C
6。D 7。C 8.A 9.A 10。B
11。A 12。B 13。D 14.C
二、填空题（本大题共10空，每空2分，共20分）
15。 6 16。 17。 4 18. –10 19。 η1+c（η2—η1）（或η2+c（η2-η1））,c为任意常数
20。 n-r 21. –5 22. –2 23. 1 24.
三、计算题（本大题共7小题，每小题6分，共42分）
25.解（1）ABT==.
(2）|4A｜=43|A|=64｜A｜，而
｜A|=。 所以|4A｜=64·(-2）=—128
26.解 ==
27。解 AB=A+2B即(A—2E）B=A，而
(A-2E）-1=
所以 B=(A-2E)-1A==
28。解一
所以α4=2α1+α2+α3,组合系数为（2,1，1)。
解二 考虑α4=x1α1+x2α2+x3α3，
即
方程组有唯一解（2,1，1)T,组合系数为(2,1，1）.
29.解 对矩阵A施行初等行变换
A=B.
（1）秩（B)=3，所以秩（A）=秩(B)=3.
（2）由于A与B的列向量组有相同的线性关系，而B是阶梯形，B的第1、2、4列是B的列向量组的一个最大线性无关组，故A的第1、2、4列是A的列向量组的一个最大线性无关组。
(A的第1、2、5列或1、3、4列，或1、3、5列也是）
30.解 A的属于特征值λ=1的2个线性无关的特征向量为
ξ1=（2,—1,0）T, ξ2=（2，0，1）T。 经正交标准化,得η1=，η2=。
λ=-8的一个特征向量为 ξ3=，经单位化得η3=
所求正交矩阵为 T=. 对角矩阵 D=
（也可取T=.）
31。解 f(x1，x2，x3）=（x1+2x2-2x3）2-2x22+4x2x3—7x32=（x1+2x2—2x3）2-2（x2-x3）2-5x32.
设，即，因其系数矩阵C=可逆，故此线性变换满秩.
经此变换即得f(x1,x2,x3）的标准形 y12-2y22-5y32 .
四、证明题(本大题共2小题，每小题5分,共10分）
32.证 由于(E-A）(E+A+A2)=E—A3=E,
所以E—A可逆，且（E-A）—1= E+A+A2 。
33.证 由假设Aη0=b，Aξ1=0,Aξ2=0.
（1)Aη1=A（η0+ξ1）=Aη0+Aξ1=b，同理Aη2= b, 所以η1，η2是Ax=b的2个解。
(2）考虑l0η0+l1η1+l2η2=0， 即 （l0+l1+l2）η0+l1ξ1+l2ξ2=0。
则l0+l1+l2=0，否则η0将是Ax=0的解，矛盾。所以
l1ξ1+l2ξ2=0。 又由假设，ξ1，ξ2线性无关，所以l1=0，l2=0，从而 l0=0 。
所以η0，η1，η2线性无关.
共3页第8页