统计学总复习题解答.doc

11

习题1.1解答
1. 将一枚均匀的硬币抛两次，事件分别表示“第一次出现正面”,“两次出现同一面"，“至少有一次出现正面"。试写出样本空间及事件中的样本点。
解：（正，正)，（正，反)，（反，正），(反，反）
（正,正），（正，反）;(正，正)，（反，反）
(正，正），（正，反），（反，正）
2。 在掷两颗骰子的试验中，事件分别表示“点数之和为偶数”，“点数之和小于5"，“点数相等",“至少有一颗骰子的点数为3”。试写出样本空间及事件中的样本点。
解：;
;
;
；；

3。 以分别表示某城市居民订阅日报、晚报和体育报。试用表示以下事件：
（1）只订阅日报； （2)只订日报和晚报；
（3)只订一种报; (4)正好订两种报;
（5)至少订阅一种报； (6）不订阅任何报;
（7）至多订阅一种报； （8）三种报纸都订阅;
（9)三种报纸不全订阅。
解：(1)； （2）； (3）;
（4)； （5）；
（6)； （7）或
（8); (9）
4。 甲、乙、丙三人各射击一次，事件分别表示甲、乙、丙射中。试说明下列事件所表示的结果：, , , ， ， .
解：甲未击中；乙和丙至少一人击中；甲和乙至多有一人击中或甲和乙至少有一人未击中；甲和乙都未击中；甲和乙击中而丙未击中；甲、乙、丙三人至少有两人击中。
5. 设事件满足，试把下列事件表示为一些互不相容的事件的和:，，.
解：如图：

6。 若事件满足，试问是否成立？举例说明。
解：不一定成立。例如：，，,
那么，，但。
7。 对于事件，试问是否成立？举例说明.
解：不一定成立. 例如：,，,
那么，但是。
8. 设，，试就以下三种情况分别求：
(1)， (2)， （3）。
解：
（1）；
(2）;
（3）。
9。 已知，,求事件全不发生的概率。
解:
=
10。 每个路口有红、绿、黄三色指示灯，假设各色灯的开闭是等可能的.一个人骑车经过三个路口,试求下列事件的概率：“三个都是红灯”=“全红”； “全绿”； “全黄”; “无红”; “无绿"； “三次颜色相同”； “颜色全不相同”； “颜色不全相同”。
解：
；；
；;
.
11。 设一批产品共100件，其中98件正品，2件次品,从中任意抽取3件(分三种情况:一次拿3件;每次拿1件，取后放回拿3次；每次拿1件，取后不放回拿3次），试求：
（1） 取出的3件中恰有1件是次品的概率；
（2） 取出的3件中至少有1件是次品的概率。
解：
一次拿3件：
（1）； （2）；
每次拿一件，取后放回,拿3次:
（1)； （2）;
每次拿一件，取后不放回，拿3次：
（1）；
（2)
12。 从中任意选出3个不同的数字，试求下列事件的概率：
，。
解：
；
或
13。 从中任意选出4个不同的数字，计算它们能组成一个4位偶数的概率。
解：
14. 一个宿舍中住有6位同学，计算下列事件的概率：
（1）6人中至少有1人生日在10月份；
（2）6人中恰有4人生日在10月份;
（3）6人中恰有4人生日在同一月份；
解：
(1)； （2）；
（3）
15。 从一副扑克牌(52张)任取3张（不重复），计算取出的3张牌中至少有2张花色相同的概率。
解：
或
习题1.2解答
1. 假设一批产品中一、二、三等品各占60％，30％、10％,从中任取一件,结果不是三等品，求取到的是一等品的概率。
解：
令“取到的是等品”，
。
2。 设10件产品中有4件不合格品，从中任取2件，已知所取2件产品中有1件不合格品，求另一件也是不合格品的概率。
解：
令 “两件中至少有一件不合格"， “两件都不合格”

3。 为了防止意外，在矿内同时装有两种报警系统I和II。两种报警系统单独使用时，系统I和II有效的概率分别0。92和0.93,在系统I失灵的条件下,系统II仍有效的概率为0.85，求
（1） 两种报警系统I和II都有效的概率；
（2） 系统II失灵而系统I有效的概率；
（3） 在系统II失灵的条件下，系统I仍有效的概率.
解：令 “系统（Ⅰ）有效” ， “系统（Ⅱ)有效"
则
(1)

（2）
（3）
4。 设，证明事件与独立的充要条件是
证：
：与独立,与也独立。

：
又
而由题设
即
，故与独立.
5. 设事件与相互独立，两个事件只有发生的概率与只有发生的概率都是，求和.
解：，又与独立

即。
6。 证明 若>0，>0，则有
（1） 当与独立时，与相容；
（2） 当与不相容时，与不独立.
证明：
（1）因为与独立,所以
,与相容.
（2）因为,而，
，与不独立。
7。 已知事件相互独立，求证与也独立.
证明:因为、、相互独立，

与独立。
8. 甲、乙、丙三机床独立工作,在同一段时间内它们不需要工人照顾的概率分别为0。7,0。8和0.9,求在这段时间内，最多只有一台机床需要工人照顾的概率.
解：
令分别表示甲、乙、丙三机床不需要工人照顾，
那么
令表示最多有一台机床需要工人照顾,
那么

9. 如果构成系统的每个元件能正常工作的概率为,（称为元件的可靠性），假设各元件能否正常工作是相互独立的，计算下面各系统的可靠性.
系统I
1
2
n
n+1
n+2
2n

系统II
1
n+1
2
n+2
n
2n

注：利用第7题的方法可以证
明与
时独立。
解:令 “系统（Ⅰ)正常工作" “系统（Ⅱ）正常工作”
“第个元件正常工作”，
相互独立。
那么

10. 10张奖券中含有4张中奖的奖券，每人购买1张,求
（1） 前三人中恰有一人中奖的概率；
（2） 第二人中奖的概率.
解:令“第个人中奖”,
（1）

或
（2）

11。 在肝癌诊断中，有一种甲胎蛋白法，用这种方法能够检查出95%的真实患者，但也有可能将10%的人误诊.根据以往的记录，每10 000人中有4人患有肝癌，试求:
（1）某人经此检验法诊断患有肝癌的概率；
（2）已知某人经此检验法检验患有肝癌，而他确实是肝癌患者的概率。
解：
令“被检验者患有肝癌”， “用该检验法诊断被检验者患有肝癌"
那么，
（1）

（2)

12。 一大批产品的优质品率为30%，每次任取1件，连续抽取5次，计算下列事件的概率：
(1）取到的5件产品中恰有2件是优质品；
（2） 在取到的5件产品中已发现有1件是优质品,这5件中恰有2件是优质品。
解:令“5件中有件优质品"，
(1）
（2)

13. 每箱产品有10件,其次品数从0到2是等可能的。开箱检验时，从中任取1件，如果检验是次品，则认为该箱产品不合格而拒收。假设由于检验有误，1件正品被误检是次品的概率是2％，1件次品被误判是正品的概率是5％，试计算：
（1）抽取的1件产品为正品的概率；
（2）该箱产品通过验收的概率。
解：令 “抽取一件产品为正品”
“箱中有件次品”，
“该箱产品通过验收"
（1）
（2）

14。 假设一厂家生产的仪器，以概率0。70可以直接出厂，以概率0。30需进一步调试，经调试后以概率0.80可以出厂,并以概率0.20定为不合格品不能出厂.现该厂新生产了台仪器（假设各台仪器的生产过程相互独立）,求：
（1)全部能出厂的概率；
（2）其中恰有2件不能出厂的概率；
（3）其中至少有2件不能出厂的概率.
解:令 “仪器需进一步调试" ； “仪器能出厂"
“仪器能直接出厂” ； “仪器经调试后能出厂”
显然，
那么

所以
令“件中恰有件仪器能出厂”，
(1）
（2）
（3）
15. 进行一系列独立试验,每次试验成功的概率均为，试求以下事件
的概率：
（1)直到第次才成功；
（2）第次成功之前恰失败次；
(3)在次中取得次成功；
（4）直到第次才取得次成功。
解：
（1）
(2)
（3）
（4）
16。 对飞机进行3次独立射击，第一次射击命中率为0.4，第二次为0.5，第三次为0。7. 击中飞机一次而飞机被击落的概率为0.2，击中飞机二次而飞机被击落的概率为0。6，若被击中三次,则飞机必被击落。求射击三次飞机未被击落的概率.
解：令“恰有次击中飞机”,
“飞机被击落”
显然：

而,，，
所以
；
习题1。3解答
1. 设为随机变量,且()， 则
（1） 判断上面的式子是否为的概率分布；
（2） 若是，试求和。
解：令
（1）显然，且

所以为一概率分布.
(2）为偶数

2。设随机变量X的概率分布为（)， 且，求常数。
解：，而
，即
3. 设一次试验成功的概率为，不断进行重复试验，直到首次成功为止。用随机变量表示试验的次数,求的概率分布。
解：
4。 设自动生产线在调整以后出现废品的概率为p=0.1，当生产过程中出现废品时立即进行调整，X代表在两次调整之间生产的合格品数，试求
（1）的概率分布； （2）。
解：
（1)
（2）
5。 一张考卷上有5道选择题，每道题列出4个可能答案,其中有1个答案是正确的。求某学生靠猜测能答对至少4道题的概率是多少？
解:因为学生靠猜测答对每道题的概率为，所以这是一个，的独立重复试验。

6. 为了保证设备正常工作，需要配备适当数量的维修人员。根据经验每台设备发生故障的概率为0。01,各台设备工作情况相互独立.
(1）若由1人负责维修20台设备，求设备发生故障后不能及时维修的概率；
（2)设有设备100台，1台发生故障由1人处理，问至少需配备多少维修人员,才能保证设备发生故障而不能及时维修的概率不超过0.01？
解：
（1）(按（泊松）分布近似）
（2）(按(泊松)分布近似）

查表得
7. 设随机变量服从参数为的Poisson（泊松）分布,且，求
(1）； （2）.
解：

8。 设书籍上每页的印刷错误的个数X服从Poisson(泊松）分布。经统计发现在某本书上，有一个印刷错误与有两个印刷错误的页数相同，求任意检验4页,每页上都没有印刷错误的概率。
解:，即

9。 在长度为的时间间隔内，某急救中心收到紧急呼救的次数服从参数为的Poisson分布,而与时间间隔的起点无关(时间以小时计），求
(1）某一天从中午12时至下午3时没有收到紧急呼救的概率；
（2）某一天从中午12时至下午5时收到1次紧急呼救的概率；
9. 在长度为t的时间间隔内，某急救中心收到紧急呼救的次数X服从参数为的Poisson（泊松)分布,而与时间间隔的起点无关（时间以小时计)。 求
（1）某一天从中午12时至下午3时没有收到紧急呼救的概率;
（2）某一天从中午12时至下午5时收到1次紧急呼救的概率；
解：
（1）
（2）
10. 已知的概率分布为:

-2
-1
0
1
2
3

2a

3a
a
a
2a
试求（1）； (2）的概率分布。
解：
(1）
.
(2）

11。 设连续型随机变量的概率密度曲线如图1。3.8所示。
f (x)
图1.3.8
x
t
o
1
2
3
0.5

试求:（1）的值; （2）的概率密度； （3）.
解：
（1）

（2)
（3)
12. 设连续型随机变量的概率密度为
试确定常数并求.
解：令,即
,即

13。 乘以什么常数将使变成概率密度函数?
解:令
即
即
14. 随机变量，其概率密度函数为
(）
试求；若已知，求.
解：

,
若，由正态分布的对称性
可知 .
15。 设连续型随机变量的概率密度为
以表示对的三次独立重复试验中“”出现的次数，试求概率.
解：
。
16. 设随机变量服从[1，5]上的均匀分布，试求。 如果
（1）； （2）。
解：的概率密度为
（1）
（2)
17. 设顾客排队等待服务的时间(以分计）服从的指数分布。某顾客等待服务，若超过10分钟，他就离开。他一个月要去等待服务5次，以表示一个月内他未等到服务而离开的次数，试求的概率分布和.
解：

习题1.4解答
1。 已知随机变量的概率分布为，，，试求的分布函数；；画出的曲线。
解：
;
曲线：
2。 设连续型随机变量的分布函数为
试求：（1）的概率分布； (2）。
解:
（1)

(2)
3. 从家到学校的途中有3个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的概率是相互独立的,且概率均是0.4,设为途中遇到红灯的次数，试求（1)的概率分布； （2) 的分布函数.
解：
(1）
列成表格

（2)
4. 试求习题1.3中第11题的分布函数，并画出的曲线。
解：

5. 设连续型随机变量的分布函数为
试求:（1)的值； (2）； （3）概率密度函数.
解：
（1）
又
（2）
(3)
6。 设为连续型随机变量，其分布函数为
试确定中的的值.
解：
又
又
又 即
7. 设随机变量的概率密度函数为，试确定的值并求和。
解:
即

8。 假设某地在任何长为（年）的时间间隔内发生地震的次数服从参数为的Poisson（泊松）分布，表示连续两次地震之间相隔的时间（单位:年）,试求：
（1）证明服从指数分布并求出的分布函数;
（2)今后3年内再次发生地震的概率;
（3）今后3年到5年内再次发生地震的概率。
解：
（1) 当时，

当时，

服从指数分布（）
(2）
（3）
9. 设，试计算（1）； （2）；(3); （4）.
解：
(1）
（2）

（3)

（4）

10. 某科统考成绩近似服从正态分布，第100名的成绩为60分，问第20名的成绩约为多少分？
解：
而
又

即
，，
11. 设随机变量和均服从正态分布，，，而，,试证明 。
证明：