现代数学与中学数学考试卷a卷-(1).doc

研究生课程进修班试卷封面
姓 名： 徐 竞
单　　位 河南驻马店平舆县第一高级中学
专 业： 数学
考试科目：现代数学与中学数学
考试分数:
2011年 12 月 29 日
东北师范大学研究生课程进修班考试试卷评分表
课程名称 现代数学与中学数学
姓 名 徐竞
单　　位 河南驻马店平舆县一高
专 业 数学
2011年12 月29　日
题 号
分 数
签 名
1

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3

4

5

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9

10

总 分

评阅教师签字:
年 月 日
现代数学与中学数学
考试卷
一、（10分） 对下列各式，判断其对错,或加以证明,或举出反例
（1） （2)
解：(1）令
则
（2）设的定义域分别为A、B、C，
对
二、（10分) 若函数在点可导,计算
（1) （2）
解：（1）
（2)
三、(10分） 求一函数,其曲线过坐标原点且曲线上每一点切线斜率是该点横坐标的2倍。
解：由题意，即 ①
①式两边积分，有
又过点,从而C=0
四、（10分）证明：若，则
解：记，由于,故在上连续，在内可导。
由拉格朗日中值定理存在，有,
即,同理存在,有
又在上递减,，
,也就是：
五、（10分）求顶点在坐标原点的锥面与平面所围成的锥体的体积.
解：任取，过点作垂直于轴的平面，截面为椭圆，其方程为，截面面积
故
六、(10分） 甲、乙两人投篮,投中的概率分别为0。3,0.6.今各投2次。求甲比乙投中次数多的概率。
解：设甲、乙两人各投篮两次，投中的次数分别为，则，。
甲比乙投中次数多的概率为0。1248.
七、（10分) 要研究某种物质致癌性质，用小白鼠做试验.假定把50只小白鼠随机地分成10组，每组5只，对每只小白鼠注射该物质，经过一段时间后，观察每组小白鼠患癌的个数，得到，则，这里就是这种物质致癌的概率.试导出的最大似然估计值的计算公式。
解：由有：
现有样本，故似然函数为
①
①式两边取自然对数，得：
两边对求导,得：
令,解得
的最大似然估计值的计算公式为
八、（10分） 甲同学在他的盒子中放了200个玻璃球（盒子中黑球、白球究竟各有多少他并未告诉其他任何人），甲同学当众宣布：他的这些球中黑球所占比例p=3%,乙同学从甲同学的盒子中任意取若干个球（比如：10个)，观察并记录取到球的颜色。该实验的结果有多种可能。（1）假如乙同学发现他任取的10个球中2个黑球，问此时乙同学能否相信甲同学的说法？(2）假如乙同学发现他任取的10个球没有黑球,问此时乙同学对甲同学的说法又应做何反应？
解：（1）、把甲同学的说法当作一种假设，即令H0：p=3％,假定p=3％真确,这时200个球中的黑球数应为6，用我们在概率中学过的方法，来计算任取10个球中至少有2个是黑球的概率。
令表示任取10个球中恰有个黑球这一事件的概率，则
= P｛“乙同学所取的10个球中无黑球"｝
= P{“乙同学所取的10个球中恰有一个黑球”｝
=0.237451
于是
1－－ = 1－0.732140－0。237451 = 0。030409。
上述结果表明，若甲同学所说的200个球中黑球所占比例为3%为真的话，则任取10个球，出现至少2个黑球的概率为0。030409。这样的抽样做100回,遇到这种情况（至少取到2个黑球）将不到4回，现在，只做一回抽样（乙同学取10个球）就遇上了这种罕见的事情,这和实际推断原理断定的结果：小概率事件在一次实验中实际上是不可能发生的,产生了矛盾,究其原因，产生这种矛盾的根源在于甲同学的说法p=3％，因此乙同学应该拒绝假设H0：p=3％，认为甲同学的200个球中黑球所占比例将远大于3％,从而拒绝甲同学的说法，认为甲同学宣称的200个球中黑球所占比例为3%不可信.
（2）、如果乙同学任取的10个球中没有黑球，全是白球的话，则乙同学只好承认甲同学宣称的200个球中黑球所占比例为3％可能是可信的。
九、(10分) 用选主元素的Gauss消元法求解
请指明消元、回代过程.
解：
做（第i个方程）+(第1个方程),。完成第一步消元得：
做第三个方程+第二个方程，完成第二步消元得:
回代求得：
所以原方程组的解为
十、（10分） 使用二分法求解于［1,2］内的根，二分3次即可。
解:记,，在区间（1，2)内有零点,记为.
取区间(1，2)的中点,,所以；
取区间（1，1.5)的中点，，所以；
取区间(1.25，1.5）的中点，，所以
所以的近似解为1.375。