统计学常用公式.doc

公式一
1. 众数【MODE】
（1） 未分组数据或单变量值分组数据众数的计算
未分组数据或单变量值分组数据的众数就是出现次数最多的变量值.
（2） 组距分组数据众数的计算
对于组距分组数据，先找出出现次数最多的变量值所在组，即为众数所在组,再根据下面的公式计算计算众数的近似值。
下限公式：
式中：表示众数；L表示众数的下线；表示众数组次数与上一组次数之差；表示众数组次数与下一组次数之差；表示众数组的组距。
上限公式:
式中：U表示众数组的上限。
2．中位数【MEDIAN】
（1）未分组数据中中位数的计算
根据未分组数据计算中位数时,要先对数据进行排序,然后确定中位数的位置。设一组数据按从小到大排序后为，中位数，为则有：
当N为奇数
当N为偶数
（2）分组数据中位数的计算
分组数据中位数的计算时，要先根据公式N / 2 确定中位数的位置，并确定中位数所在的组，然后采用下面的公式计算中位数的近似值：
式中：表示中位数;L表示中位数所在组的下限；表示中位数所在组以下各组的累计次数；表示中位数所在组的次数；表示中位数所在组的组距。
3．均值的计算【AVERAGE】
（1）未经分组均值的计算
未经分组数据均值的计算公式为:
（2）分组数据均值计算
分组数据均值的计算公式为：
4．几何平均数【GEOMEAN】
几何平均数是N个变量值乘积的N次方根，计算公式为：
式中:G表示几何平均数；表示连乘符号。
5．调和平均数【HARMEAN】
调和平均数是对变量的倒数求平均，然后再取倒数而得到的平均数,它有简单调和平均数与加权调和平均数两种计算形式。
简单调和平均数:
加权调和平均数：
式中：H表示调和平均数。
6．极差【Range】
极差也称全距,是一组数据的最大值与最小值之差，即
式中：R表示极差；和分别表示一组数据的最大值与最小值。
7．平均差【Mean Deviation】
平均差是各标志值与其平均数的绝对离差的算术平均。
（1） 根据未分组资料的计算公式：
（2） 根据分组资料的计算公式：
式中：AD表示平均差
8．方差【Variance】和标准差【Standard Deviation】
方差是各变量值与其均值离差平方的平均数。要求掌握方差和标准差的计算方法。
未分组数据方差的计算公式为：
分组数据方差的计算公式为：
式中：表示方差。
方差的平方根即为标准差，其相应的计算公式为:
未分组数据：
分组数据：
式中：表示标准差。
9．离散系数
离散系数通常是就标准差来计算的，因此，也称为标准差系数，它是一组数据的标准差与其相应的均值之比，是测度数据离散程度的相对指标.
其计算公式为：
式中:表示离散系数.
10．偏态【SKEW】
偏态是对分布偏斜方向及程度的测度。利用众数、中位数和均值之间的关系就可以判断分布是左偏还是右偏。显然,判别偏态的方向并不困难，但要测度偏斜的程度就需要计算偏态系数了.
EXCEL中偏态系数的计算公式为：
11．峰值【KURT】
EXCEL中峰值系数的计算公式为：
式中:s 表示样本标准差。
公式二
1． 均值估计
(1)样本均值的标准差
样本均值的标准差,即为样本均值的标准误差，又称为样本均值的抽样平均误差，它反映的是所有可能样本的均值与总体均值的平均差异程度，反映了所有可能样本的实际抽样误差水平。
样本均值的抽样平均误差计算公式为：
重复抽样方式：
不重复抽样方式：
通常情况下，当N很大时，(N—1）几乎等于N，样本均值的抽样平均误差的计算公式也可简化为：
在公式中,是总体标准差.但实际计算时,所研究总体的标准差通常是未知的，在大样本的情况下，通常用样本标准差S代替。
（2)大样本均值的极限误差
(3)大样本下总体均值的区间估计
总体均值的置信度为（)的置信区间:
即
（4)总体方差未知，小样本正态总体均值的区间估计
总体均值的置信度为（）的置信区间：
即
2．比例估计
（1）样本比例的抽样平均误差
样本比例的抽样平均误差为：
重复抽样下：
上式中，p应为总体比例,实际计算时通常用样本比例p代替。
不重复抽样下：
（2）样本比例的抽样极限误差
（3)总体比率的区间估计
总体比例P的置信度为（)的置信区间为：
即
3． 总体均值检验
（1） 单一总体均值检验
①正态总体（总体方差已知）或大样本均值检验
检验统计量Z为：
②正态总体（总体方差未知）小样本均值检验
检验统计量t为：
（2） 两个总体的均值检验
①两个正态总体均值检验——两个总体方差已知或大样本
Z检验统计量为：
大样本下对两个总体均值进行检验时，在总体标准差未知的情况下，可用样本标准差代替总体标准差进行计算，检验统计量不变.
②两个正态总体均值检验（小样本）——两个总体方差未知但相等
T检验统计量为：
其中： ；
4． 总体比例检验
（1） 单一总体的比例检验
Z检验统计量：
（2） 两个总体比例的检验
检验的统计量为:
其中：,为当时和的联合估计值。
5． 总体方差假设检验
（1） 单一正态总体方差的假设检验
检验统计量为：
其中：为的估计量.
（2） 两个正态总体的方差假设检验
检验统计量为：
其中： ； .
公式三
1。单因素方差分析
设总体共分为k种处理进行观察，第j种处理试验了容量为的样本.
（1） 计算各项离差平方和
在单因素方差分析中，需要计算的离差平方和有3个，它们分别是总离差平方和，误差项离差平方和以及水平项离差平方和。
总离差平方和，用SST（Sum of Squares for Total ）代表：
式中:表示全部样本观测值的总均值。其计算公式为：
误差离差平方和，用SSE(Sum of Squares for Error）代表：
式中：表示第j种水平的样本均值,
水平项离差平方和。为了后面叙述方便，可以把单因素方差分析中的因素称为A。于是水平项离差平方和可以用SSA（Sum of Squares for Factor A）表示。
SSA的计算公式为：
（2） 计算平均平方
用离差平方和除以自由度即可得到平均平方和（Mean Square）。对SST来说，其自由度为（n-1）；对SSA来说,其自由度为（r—1）,这里r表示水平的个数；对SSE来说,其自由度为（n-r).与离差平方和一样，SST、SSA、SSE之间的自由度也存在着如下的关系：
n—1=（r-1）+（n—r）
对于SSA，其平均平方MSA（组间均方差)为：
对于SSE，其平均平方MSE(组内均方差）为：
（3） 检验统计量F
2．两因素方差分析
设两个因素A、B分别有k个水平和n个水平，共进行nk次试验。
（1） 计算各项离差平方和
在两因素方差分析中，需要计算的离差平方和有4个，它们分别是总离差平方和，误差项离差平方和以及水平A、B项离差平方和.
总离差平方和，用SST（Sum of Squares for Total)代表：
式中：表示全部样本观察值的总均值，其计算公式为：
水平项离差平方和可以分别用SSA（Sum of Squares for Factor A）和SSB（Sum of Squares for Factor B）表示。
SSA的计算公式为：
式中：
SSB的计算公式为：
式中:
误差离差平方和，用SSE(Sum of Squares for Error）代表：
（2） 计算平均平方
用离差平方和除以自由度即可得到平均平方和（Mean Square）。对SST来说，其自由度为（nk—1）；对SSA来说，其自由度为（k—1），这里k表示水平A的个数;对SSB来说，其自由度为（n-1），这里n表示水平B的个数；对SSE来说,其自由度为(n-1）（k-1）。这样,把各项离差平方和除以各自的自由度，即得到平均的离差平方和,简称为均方：
（3） 检验统计量F
公式四
1．拟合优度的检验统计量：
式中：表示类别i的观察频数；表示假设为真时,类别i的期望频数;k表示类别总数.
注意：当所有种类的期望频数均大于或等于5时，检验统计量服从自由度为（k—1）的分布。