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第一套 一，选择题：(每题3分，共15分）1,已知 ,f （x) = ( )A:B： C： D：2, A：0 B：1 C:2 D:3 3,f (x） 在 x0 点连续，则下列命题不成立的是( ）。A:f （x0 +0） 、f （x0 - 0) 存在 B：f (x） 在 x0 点的极限存在 C：f （x) 在 x0 点的某邻域内有界 D:f (x） 在 x0 点的某空心邻域内连续 4, （x) 在 a 点连续， f （x） = | x a (x)， f(a) 存在的条件是 （ ） 。A： (a) = 0 B: （a） = 1 C: （a) = 1 D: (a) = a5，设 f (x） = x （x + 1)(x + 2） （x +2004) ， 则 f (0) = （ )A：0 B：2003！ C：2004! D：2005！,二，填空题：（每题3分共15分)1，数列an 收敛的柯西准则是：4,如果正方形的边长增加1 cm ，面积的微分 dS = 12 cm2 ,则原边长为 .5,方程 ex = x 2 的根是 个。三，计算题：（每题5分，共20分)五，讨论函数 f (x) = 的性态并作出其图形。 （14分）六，有一无盖的圆柱形容器，体积为 V ，问底半径与容器高的比为多少时表面积最小？ 七,对函数 f（x）= ln (1 + x) 应用拉格朗日定理证明： (8分） 八、设 f （x) 在开区间 I 上为凸函数，证明: 存在。第二套一，选择题：（每题3分，共15分）1,函数f （x） = ln （ln x) 的定义域是（ ）A：x 0 B：x 0 C：x 1 D:x 12， A：奇 B:偶 C：既奇又偶 D：非奇非偶 3,f (x） 在 x0 点连续的充分条件是（ ）。A：f （x0 +0） 、f （x0 - 0) 存在 B：f (x） 在 x0 点的极限存在 C: f- (x0 ） 、f+ (x0 ) 存在 D:f （x） 在 x0 点的某空心邻域内连续 4，f (x) 在 x0 点可导是 f (x） 在（ x0 , f （x0） 点有切线的（ ） 条件。A：充分 B:必要 C：充分必要 D：非充分亦非必要5，设 f (x） = x （x + 1）(x + 2) （x +2003） ， 则 f (0) = ( )A：0 B:2002！ C：2003！ D:2004！，二，填空题：（每题3分共15分）1,设函数 f （x) 在 x0 的某空心邻域 U0 (x0) 内有定义，则柯西收敛准则是：4，如果正方体各棱长增加1 cm ，体积的微分 dV = 12 cm3 ，则原棱长为 。5，函数 y = x - sin x 在（ 2，2）内的拐点个数是 个.三，计算题：（每题5分，共20分）五，讨论函数 f (x) = 的性态并作出其图形. (14分)六，某窗户上部为半圆，下部为矩形，周长为15 m ，要使窗户透光面积最大，问宽 x 应为多少米？（10分)七，设 f(x）、g（x）在D上有界，证明： （8分）第三套一、 单项选择(每小题3分，共18分） 1、 已知函数的定义域是（0,1)，则的定义域为( ）（a） （b) （c) (d） 2、对常数函数 y = C ， 下列说法中错误的是( ) （a）既是奇函数也是偶函数 (b)既有上界又有下界 (c)既单调递增也单调递减 (d）没有最小正周期的周期函数 3、是严格增加的( ）条件 (a）充分 (b)必要 （c)充要 (d)既非充分也非必要4、设则（ )(a） 2 （b） 0 （c) （d) 5、函数的奇偶性是（ ）（a）奇函数 (b）偶函数 （c）既奇又偶函数 （d)非奇非偶函数6、点集的聚点是( ）（a） 0 （b) 1 （c） 1 (d）1和1二、 计算(每小题6分，共30分）1、 2、3、 4、 ， 求5、 , 求三、 做一无盖圆柱形容器，给定体积为V。问底半径与高的比如何取时最省材料？（8分）四、 将函数展开到项，并用之计算极限 （8分)五、叙述类型函数极限的归结原则，并用之证明：若为周期函数，且=0,则（8分）六、证明不等式：时,（8分）七、证明Weierstrass聚点定理：直线上的有界无限点集S至少有一个聚点。(8分）八、 作函数的图像，并1、 比较与的大小。2、求数列的最大项。(12分）第四套五、 单项选择（每小题3分，共18分） 1、 已知函数的定义域是（ )（a） (b） (c) (d） 2、1、下列各组函数中相等的是（ ) （a）与 （b) 与 (c) 与 （d）与 3、函数在可导是曲线在点处存在切线的( ）条件 （a)充分 (b)必要 (c)充要 （d）既非充分也非必要4、设则( ）（a） (b） 0 （c） 1 (d) 不存在5、对常数函数 y = C , 下列说法中错误的是( ) (a) 既有上界又有下界 (b)既是奇函数也是偶函数 (c）既单调递增也单调递减 （d）没有最小正周期的周期函数6、（ ）（a) 1 (b) 0 (c） 1 (d）不存在六、 计算（每小题6分，共30分）1、 2、3、 4、 , 求5、 , 求七、 试将多项式写成（)的升幂排列（8分）八、 在半径为R的半圆内作一矩形,如何作其面积最大？（8分）五、用极限的定义证明： （8分)六、 明方程(c为常数)在(0，1)内没有两个不同实根。（8分）七、已知存在，证明： (8分)八、作函数的图像（12分）第五套一、 选择题：(每题3分，共15分）1、若为的一个原函数，则( )。A： B: C： D：2、设,则（ ）。A: B: C： D：3、下列反常积分收敛的是（ )。A： B： C： D：4、级数为( ）级数。A：收敛 B：绝对收敛 C：条件收敛 D：发散 5、幂级数的收敛域为( ）.A： B： C： D：二、 填空题：（每题3分，共15分）1、 设的一个原函数为,则 .2、 已知函数,则 。3、 曲线与轴围成的图形的面积为 。4、 。5、 函数的麦克劳林级数是 。三、 计算题：(每题4分，共20分）1、计算 2、计算3、求心脏线的周长。4、已知:求： 。 5、已知：， 求：。y=f(x)ab0yx四、 设为上严格增的连续函数,证明：，使得图中两阴影的面积相等。五、 证明不等式：六、证明函数列在上一致收敛.七、求的麦克劳林展开式.八、一个半径为20米的半球形容器内盛满了水，求把水抽尽所作的功。第六套六、 选择题：（每题3分，共15分）1、若可导，则（ ）。A： B： C： D：2、设的一个原函数为，则（ )。A： B: C： D：3、瑕积分收敛是收敛的（ )条件。A：充分 B:必要 C:充分必要 D：非充分亦非必要 4、级数为（ ）级数。A：收敛 B：绝对收敛 C：条件收敛 D：发散 5、幂级数的收敛域为( ）。A: B： C： D：七、 填空题：（每题3分,共15分）6、 。7、 已知，则 。8、 曲线与轴围成的图形的面积为 。9、 。10、 函数的麦克劳林级数 。八、 计算题：(每题4分，共20分）1、计算 2、计算3、求心椭圆所围的面积。 4、求：的收敛半径、收敛区间、收敛域. 5、求函数,的傅里叶展开式。九、 设连续可微函数，求。十、 证明不等式:六、证明：在上一致收敛。七、求的麦克劳林展开式。八、有一等腰梯形闸门,它的上、下两条底边各长10米、6米，高为20米，计算当水面与上底边齐时闸门一侧所受的静压力。第七套一、 单项选择（每小题3分，共15分）1、已知, 则( ）；A、 B、 C、 D、2、（ ）；A、 B、 C、 D、3、是级数收敛的（ ）条件；A、充分但不必要 B、必要但不充分 C、充要 D、既非充分也非必要4、幂级数的收敛域为( )；A、(-1,1） B、 C、 D、5、下列广义积分中，收敛的是（ )。A、 B、 C、 D、二、 填空:（每小题3分，共12分）1、_;2、_;3、已知,则幂级数的收敛区间为_；4、_；三、 计算不定积分或求定积分的值.(每小题6分，共24分)4、设，求四、 用定积分求极限 。(9分)五、求幂级数的收敛域及和函数。（10分）六、求曲线、和所围平面区域的面积.(10分)七、证明：（每小题10分，共20分)1、设是以T为周期的连续函数，证明：2、 函数列在上一致收敛。第八套五、 单项选择（每小题3分，共15分）1、已知, 则（ ）；A、 B、 C、 D、2、（ ）；A、 B、 C、 D、3、连续是可积的（ )条件；A、充分但不必要 B、必要但不充分 C、充要 D、既非充分也非必要4、幂级数的收敛域为（ ）;A、(1，1) B、 C、 D、5、下列广义积分中，收敛的是( )。A、 B、 C、 D、六、 填空：（每小题3分,共12分）1、_;2、_；3、幂级数的收敛半径为_；4、_。七、 计算不定积分或求定积分的值。(每小题8分，共24分）八、 用定积分求极限 .（9分)五、求幂级数的收敛域及和函数。(10分）六、求椭圆绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积。（10分)七、证明：（每小题10分，共20分)1、 设在 a ， a 上连续，证明：当为偶函数时,当为奇函数时,3、 函数项级数在上一致收敛。第九套一、确定集的内点、外点、聚点集和边界。（8分) .二、考查函数在原点的可微性（8分） 。 .三、用定义,验证极限 .(8分）四、， . 求和（8分)五、验证方程在点满足隐函数存在唯一性定理的条件 , 并求隐函数的导数（10分） 。 六、要做一个无盖的圆柱形容器,其容量为V，问如何截取容器的高和底面半径，所用材料最省？（10分)七、由曲面所围成；（12分）八、，其中是立体的边界曲面；（12分）九、，为以为顶点的正方形沿逆时针方向（12分）十、 ，为球面的外测。（12分）第十套一、确定集的内点、外点、聚点集和边界（8分） .二、叙述的定义（6分）三、已知。 求。(8分）四、求极限 .的值.（8分）五、已知, 。 求和。（10分）六、 将数12分成三个正数之和， 使得为最大。七、求方程所确定的隐函数的导数 . （12分) 八、求球体被圆柱面所割下立体的体积 （12分）.九、由曲面所围成；（12分）十、，其中是以(0，0），(2，0）,(0，1）为顶点的三角形(12分）；第十一套一，选择题:（每题3分，共15分）2, 函数 f (x， y） = 的全微分为（ ) 。A： B： C： D：二,填空题：（每题3分共15分)3，设 z = f (x, y) , x = r cos t , y = r sin t , 则 4，曲线 x = t sin t ， y = 1 + cos t ，z = 1 cos t 在点 （ ，0，2 ） 的法平面方程为 。三，计算题：(每题5分，共计20分）1，求 u = ln （ x2 + y ) 在 (4， 3 ） 点处的全微分。2、求曲面 9 x 2 + y 2 - z 2 = 9 在点(1，1,1）处的切平面方程.4、计算二重积分 ，D：0 y x，0 x 1 。四、求圆 （x - 3)2 + y 2 = 1 与抛物线 y = x2 之间的最短距离。(10分）五、设 u = f （x 2 y 2）,证明： （ 10分） （10分）第十二套一,选择题：（每题4分，共20分）1、设，则（ ）。A： B: C： D：2、函数在的全微分为 （ ）。A: B：C： D：3、已知,则（ )。A： B：C： D:4，设，则交换积分次序后为 （ ）。A：B：C：D：5,锥面被柱面所截部分的面积是( ）。A： B： C： D:二，填空题：（每题4分共20分）1、抛物柱面与平面所围成的空间几何体在平面上的投影是： 。2、由方程所确定的隐函数的极小值是 .3、已知，则 .4，曲线在点切线方程为 。5，设L是抛物线从到的一段,则 。三、计算题：(每题5分,共20分)（1)、 设，求。 （2）、 求函数在处的泰勒展式。 （3）、 求在条件下的极值. (4）、计算曲线积分,其中L是与相交的圆周。四、证明函数在连续，但偏导数不存在.(10分）五，证明平面曲线上任一点处的切线被坐标轴所截的线段等长。 ( 10分)六，设，请给出二重积分在极坐标变换下的两个累次积分。( 10分)七，对于全微分式，验证原函数存在，并求原函数。（ 10分）八、计算，其中S是球面的上半部分并取外侧。参考答案第一套 一，选择题：（每题3分，共15分）1,C； 2,A； 3，D； 4，A; 5,C。二，填空题：（每题3分共15分）1，2，a = 1，b = -1; 3, 2 f (a) ； 4 ，6 ； 5， 2 。三，计算题:（每题5分，共20分) 解： 解： 解:证： ， 故结论成立。五，讨论函数 f (x) = 的性态并作出其图形. （14分）解：1 定义域：R ; 2 f （x) = , 令 f （x） = 0 得:x = 1 ； 3 f(x） = ,令 f(x) = 0 得:x = 2 ；4列表：？ ? x（，1）1(1，2）2(2，+)yyy极大拐点5渐近线： ， y = 0 为水平渐近线； 6 特殊点：(0,0)，(1，1）,(2, 2e -2) 7作图：xy1120六，有一无盖的圆柱形容器，体积为 V ,问底半径与容器高的比为多少时表面积最小?解：设底面半径为 r ，高为 h ，则目标函数为:S = 2r h + r 2约束条件为:V = r 2h,代入目标函数得: , 令 S= 0 得：， 代入约束条件中得：所以 当高等于半径时，窗容器表面积最小.七，对函数 f（x)= ln (1 + x) 应用拉格朗日定理证明： (8分)证:由拉格朗日定理得：即 八、设 f (x） 在开区间 I 上为凸函数，证明: 存在.证：作函数 f （x） 在开区间 I 上为凸函数, F(x） 在 x = 0 的右邻域内单调上升,而 I 是一开区间，所以 I 中能找到一点 x x 0 , 有 F（x） 在 x 0 上有下界， 由单调有界定理知：存在,故 存在 ，同理可证 存在。第二套 一，选择题：(每题3分，共15分）1，C；2， A；3，C;4，A；5，C。二，填空题:（每题3分共15分）2，a = 4 ；b = 12； 3,f （x） ； 4,2; 5，3。三，计算题:（每题5分，共20分）解：设 u = xn ，v = ( 1 - x ） 1 , 则 u(k) = n (n - 1) (n k + 1） xnk = 而 v(k) = k！ （ 1 x） k - 1 ， 由莱布尼兹公式得:五，讨论函数 f (x） = 的性态并作出其图形。 （14分)解：1,定义域:x 1； 3，列表:x(- , 1）-1(1, 1）（1， 3）3（3， +）y+0-0+y-+y2极大 0极小 4，与坐标轴的交点：(3，0)、(0，- ) y；6，作图：x01六，某窗户上部为半圆，下部为矩形，周长为15 m ,要使窗户透光面积最大，问宽 x 应为多少米?（10分)解：七,设 f(x）、g（x)在D上有界，证明： （8分）第三套一、1。c 2。a 3.a 4。d 5。a 6。d二、1、 原式= 2、原式= 3、原式=4、 5、,三、 底半径为R,高为kR,则,即，表面积,令四、 五、都有证明：设周期为T。反证：若则令，但矛盾六、时,（8分)设当时，当时，综上，命题得证.七、见书八、略第四套九、 1.d 2。a 3。a 4.c 5.b 6.b二、1、 原式= 2、原式=3、 4、5、， 三、四、如图：矩形的面积为令OO五、证明: 限制即,只需取即可六、反证：设,若，则可由罗尔中值定理，然而方程在（0，1）内无实根，故原命题成立. （8分)七、证明：以上两式相加得：所以八、 略第五套十一、 选择题:（每题3分,共15分）1、D:2、C;3、D；4、B；5、C.十二、 填空题：(每题3分，共15分）11、 ；2、1；3、;4、；5、十三、 计算题:（每题4分，共20分)1、计算 2、计算解: 解:作变换得： 所以 3、求心脏线 4、已知:的周长。 求： 。解： 解： 所以 5、已知:, 求：。y=f(x)ab0yx解:十四、 设为上严格增的连续函数，证明:，使得图中两阴影的面积相等。证:设则而，所以,即，故结论成立.十五、 证明不等式：证:故结论成立。六、证明函数列在上一致收敛。证：因为而 所以在上一致收敛。七、求的麦克劳林展开式。解：因为而，所以 故 八、一个半径为20 米的半球形容器内盛满了水，求把水抽尽所作的功。解：如图建立坐标系，在中取微元，则体积微元,质量微元，微功 ,求积分得总功为：= 76969.02(千焦）。 此即所求。第六套一、选择题：（每题3分，共15分）1、A；2、D;3、D;4、B;5、B。二、填空题：(每题3分，共15分）1、;2、5;3、；4、;5、三、计算题：（每题4分，共20分）1、计算 2、计算解： 解:3、求心椭圆所围的面积.解： 4、求:的收敛半径、收敛区间、收敛域。 解: ,收敛区间、收敛域为:2,25、求函数,的傅里叶展开式.解：，四、设连续可微函数，求。解:五、证明不等式：证：设，则，令得：时上升,时下降,所以，故六、证明:在上一致收敛。证:因为关于单调上升，所以而收敛，所以由优级数判别法知：在上一致收敛。七、求的麦克劳林展开式.解：八、有一等腰梯形闸门，它的上、下两条底边各长10米、6米，高为20米，计算当水面与上底边齐时闸门一侧所受的静压力.解:腰的直线方程为：在0，20中取微元,则面积微元压力微元所以压力为:=14373。33（千牛）第七套九、 单项选择(每小题3分，共15分）1、D 2、C 3、B 4、C 5、A 十、 填空：(每小题3分，共12分)1、 2、2 3、（1,3） 4、十一、 计算不定积分或求定积分的值.（每小题6分，共24分)解： 4、设,求四、用定积分求极限 。（9分)解：原式=五、求幂级数的收敛域及和函数。（10分）解： ,收敛域为 1， 1）六、求曲线、和所围平面区域的面积。（10分）1yoxx七、证明：(每小题10分，共20分）1、设是以T为周期的连续函数，证明：证明：,令4、 函数列在上一致收敛。证明：5、 x = 0时也成立.6、 所以函数列在上一致收敛。第八套一、单项选择(每小题3分，共15分）1、C 2、 C 3、A 4、B 5、A二、填空：(每小题3分,共12分）1、 2、 3、 4、三、计算不定积分或求定积分的值。(每小题8分，共24分）解：令，原式=解：原式解：令,原式四、 用定积分求极限 。(9分）解：原式=五、求幂级数的收敛域及和函数.（10分）解：， 逐项求导得:，, 收敛域为六、求椭圆绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积。(10分）解：七、证明：（每小题10分，共20分）1、设在 a ， a 上连续,证明：当为偶函数时,当为奇函数时,证明：，令,当为偶函数时， 当为奇函数时， 2、函数项级数在上一致收敛。证明:,(x=0时也成立）收敛,在上一致收敛。第九套一、内点集为，外点集为聚点集为边界为二、，同理，.若，而,所以三、证明： 四、五、(1）在点的邻域内连续；(2); （3)在点的邻域内连续；(4)；所以方程 六、设底面半径为x,高为y,则,表面积为设令七、八、九、由格林公式，十、由高斯公式,第十套一、内点集为，外点集为聚点集为边界为二、三、所以四、令，则五、 六、七、设z = 0八、.。九、十、第十一套 一，选择题：（每题3分，共15分）1、A； 2、C； 3、A； 4、D； 5、C。二，填空题：（每题3分共15分）1、； 2、y sin 2 xy ； 3、4，x = ； 5，三，计算题：（每题5分,共计20分）1，求 u = ln （ x2 + y ) 在 （4, 3 ) 点处的全微分。解: du (4,3）= ，此即所求。2、求曲面 9 x 2 + y 2 z 2 = 9 在点（1，1，1)处的切平面与法线方程。解：设 F（x，y，z）= 9 x 2 + y 2 - z 2 9 ,则 F x (1，1，1） = 9 ，F y （1，1，1) = 2 ，F z （3，1,1） = 2 。 切平面方程为：9 ( x 1） + 2 ( y 1 ） + 2 （ z 1 ） 解：4、计算二重积分 ，D：0 y x，0 x 1 。解:四、求圆 (x 3）2 + y 2 = 1 与抛物线 y = x2 之间的最短距离。(10分）解：目标函数:d = (x 3)2 + y 2 约束条件： y x2 = 0 作拉氏函数：L = （x - 3）2 + y 2 + （y - x2） , 则 L x = 2x 6 2x ；L y = 2y + ;L = y x2 令 L x = L y = L = 0 得:x = 1 ，所以 为所求。五、设 u = f (x 2 y 2），证明： （ 10分）证： , （10分)解：于是 因为 ， 取 a = b 得：C = ln b ，故 解：设球冠面的方程为：x 2 + y 2 + z 2 = R 2 ,z h ,于是 从而 所以 于是 进行极坐标变换得：此即所求.解： 所以积分与路径无关,于是 从而 第十二套一，选择题：（每题4分，共20分）1、 C；2、C;3、B；4、A；5、B。二,填空题：(每题4分共20分)1、； 2、1；3、；4， ;5，。三、计算题:（每题5分,共20分）(1)、 设，求。解:因为，所以，,故为所求。(2）、 求函数在处的泰勒展式。解:,，,，而所有三阶偏导数都为零，所以为所求。（3）、 求在条件下的极值。解：作函数:，令得：，设，则，,由此得的极小值为:.(4）、计算曲线积分，其中L是与相交的圆周。解：圆周可表为，所以从而四、证明函数在连续，但偏导数不存在.（10分）证：令，则，所以在连续。而不存在，不存在，故在的偏导数不存在。五,证明平面曲线上任一点处的切线被坐标轴所截的线段等长。 证：令，则对于曲线上的任一点处，切线方程为:,即切线与坐标轴的交点为:，两点的距离为：故结论成立。六，设,请给出二重积分在极坐标变换下的两个累次积分。 ( 10分）解：令，则，如图：于是七，对于全微分式，验证原函数存在，并求原函数.( 10分)解：设，则于是是某一函数的全微分,故原函数存在，且八、计算，其中S是球面的上半部分并取外侧。解：记；,则