一元二次方程--(思维导图+资料).doc

1、 会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程
2、 经历探究将一般一元二次方程化成(形式的过程，进一步理解配方法的意义
3、 在用配方法解方程的过程中，体会转化的思想。
重点:使学生掌握配方法,解一元二次方程
难点：把一元二次方程转化为的（x＋m）2= n（n≥0）形式
二、知识准备
1、 请说出完全平方公式。
（a＋b）2 = （a—b）2 =
2、 用直接开平方法解下例方程：
(1） （2） (1） （2）
三、学习过程
问题1、请你思考方程与 有什么关系，如何解方程呢?
问题2、能否将方程转化为（的形式呢？
由此可见，只要先把一个一元二次方程变形为（x＋m）2= n的形式（其中m、n都是常数），如果n≥0,再通过直接开平方法求出方程的解，这种解一元二次方程的方法叫做配方法.
（1）－4x＋3＝0. （2)x2＋3x－1 = 0
四、知识梳理
问题1:配方法解一元二次方程的作用是什么？配方法时要注意什么?
问题2、配方法解一元二次方程的一般步骤是什么?
达标检测一
1、填空：
（1)x2+6x+ =（x+ ）2；（2）x2—2x+ =（x— ）2；
(3）x2—5x+ =（x— )2；(4)x2+x+ =（x+ )2;
(5）x2+px+ =（x+ ）2；
2、将方程x2+2x—3=0化为(x+m)2=n的形式为 ；
3、用配方法解方程x2+4x—2=0时,第一步是 ,第二步是 ，第三步是 ,解是 。
1、用配方法解一元二次方程x2+8x+7=0，则方程可变形为( ）
A.（x—4)2=9 B。（x+4)2=9
C.（x—8)2=16 D.（x+8）2=57
2、、已知方程x2-5x+q=0可以配方成（x— ）2=的形式，则q的值为（ )
A. B。 C。 D。 —
3、、已知方程x2—6x+q=0可以配方成(x—p ）2=7的形式,那么q的值是(　）
A。9 B。7 C.2 D.—2
4、、用配方法解下列方程：
（1）x2—4x=5； （2)x2—100x—101=0;
(3)x2+8x+9=0； (4)y2+2y-4=0；
5、试用配方法证明：代数式x2+3x—的值不小于-.
1、用配方法解下列方程：
（1）x2—6x—16=0； (2）x2+3x—2=0；
2、请你思考方程x2-x+1=0与方程2x2—5x+2=0有什么关系？
三、学习内容
问题1、如何解方程2x2—5x+2=0? 　　　　　　　—
四、知识梳理
问题1:对于二次项系数不为1的一元二次方程，用配方法求解时要注意什么？
问题2、:用配方法解一元二次方程的步骤是什么？
系数化一，移项,配方,开方,解一元二次方程
1、填空：
(1）x2-x+ =（x- )2， (2）2x2—3x+ =2(x— )2。
2、用配方法解一元二次方程2x2-5x—8=0的步骤中第一步是 .
3、方程2（x+4）2-10=0的根是 。
4、用配方法解方程2x2-4x+3=0,配方正确的是（ ）
A。2x2-4x+4=3+4 B。 2x2—4x+4=-3+4
C。x2-2x+1=+1 D。 x2—2x+1=—+1
5、用配方法解下列方程：
（1）； （2）
1、用配方法解下列方程，配方错误的是（ ）
A。x2+2x—99=0化为(x+1）2=100　　B。t2—7t—4=0化为（t—）2=
C。x2+8x+9=0化为(x+4)2=25　　　D.3x2-4x—2=0化为（x—）2=
2、a2+b2+2a-4b+5=（a+ ）2+(b— ）2
2、用配方法解下列方程：
(1）2x2+1=3x； (2)3y2-y—2=0；
3、试用配方法证明：2x2-x+3的值不小于。 4、已知（a+b)2=17,ab=3。求(a-b)2的值。
一、知识目标
1、 会用公式法解一元二次方程
2、体验用配方法推导一元二次方程求根公式的过程，明确运用公式求根的前提条件是b2－4ac≥0
3、在公式的推导过程中培养学生的符号感
重点：掌握一元二次方程的求根公式,并应用它熟练地解一元二次方程
难点：求根公式的结构比较复杂，不易记忆；系数和常数为负数时，代入求根公式常出符号错误
二、知识准备
1、用配方法解一元二次方程的步骤是什么?
2、 用配方法解下例方程
（1） (2)
三、学习内容
问题1：如何解一般形式的一元二次方程ax2＋bx＋c = 0（a≠0)?
回顾用配方法解数字系数的一元二次方程的过程,让学生分组讨论交流，达成共识:
因为，方程两边都除以，得
移项，得
配方,得 　　　　　　　　　　　　
即
问题2、为什么在得出求根公式时有限制条件b2－4ac≥0？
当,且时，大于等于零吗?
让学生思考、分析，发表意见，得出结论:当时,因为，所以,从而
到此，你能得出什么结论?
让学生讨论、交流,从中得出结论，当时，一般形式的一元二次方程的根为，即.
由以上研究的结果，得到了一元二次方程的求根公式： （）
这个公式说明方程的根是由方程的系数、、所确定的,利用这个公式,我们可以由一元二次方程中系数、、的值，直接求得方程的解，这种解方程的方法叫做公式法。
例 6 解下列方程：
⑴ x2＋3x＋2 = 0 ⑵ 2 x2－7x = 4
四、知识梳理
引导学生总结:
1、用公式法解一元二次方程时要注意什么？
2、任何一个一元二次方程都能用公式法求解吗？举例说明。
3、若解一个一元二次方程时，b2－4ac＜0,请说明这个方程解的情况.
五、达标检测
达标检测一
1、把方程4—x2=3x化为ax2+bx+c=0（a≠0）形式为 ,b2—4ac= 。
2、方程x2+x-1=0的根是 。
3、用公式法解方程x2+4x=2，其中求的b2-4ac的值是( )
A。16 B. 4 C. D.64
4、用公式法解方程x2=-8x—15，其中b2-4ac= ，方程的根是 。。
5、用公式法解方程3x2+4=12x,下列代入公式正确的是（ ）
A.x1。2= B. x1。2=
C。 x1。2= D。 x1。2=
达标检测二
1、把方程（2x-1)（x+3)=x2+1化为ax2 + bx + c = 0的形式，b2-4ac= ，方程的根是 。
2、方程的解为 ．
3、方程（x—1)（x—3）=2的根是（ ）
A。 x1=1，x2=3 B。x=22 C。x=2 D.x=—22
4、已知y=x2-2x-3，当x= 时,y的值是—3
5、用公式法解下列方程：
（1）x2—2x—8=0; （2）x2+2x—4=0；
(3）2x2—3x—2=0； (4）3x（3x-2）+1=0.
4、 已知等腰三角形的底边长为9，腰是方程的一个根，求这个三角形的周长。
一、学习目标
1、用公式法解一元二次方程的过程中,进一步理解代数式b2－4ac对根的情况的判断作用
2、能用b2－4ac的值判别一元二次方程根的情况
3、在理解根的判别式的过程中，体会严密的思维过程
重点：一元二次方程根与系数的关系
难点:由一元二次方程的根的情况求方程中字母系数的取值
一、 知识准备
1、 一元二次方程ax2＋bx＋c = 0（a≠0）当时，X1,2 =
2、 解下例方程：
（1)x2 -4x+4=0 （2)2x2 —3x -4=0 （3） x2+3x+5=0
三、学习内容
1、情境创设
1、引导学生思考：不解方程，你能判断下列方程根的情况吗?
⑴ x2＋2x－8 = 0 ⑵ x2 = 4x－4 ⑶ x2－3x = －3
2、探索活动
1、一元二次方程根的情况与一元二次方程中二次项系数、一次项系数及常数项有关吗？能否根据这个关系不解方程得出方程的解的情况呢？
例 解下列方程：
⑴ x2＋x－1 = 0 ⑵ x2－2x＋3 = 0 ⑶ 2x2－2x＋1 = 0
分析:本题三个方程的解法都是用公式法来解,由公式法解一元二次方程的过程中先求出b2－4ac的值可以发现它的符号决定着方程的解.
3、 你能得出什么结论?
由此可以发现一元二次方程ax2＋bx＋c = 0（a≠0）的根的情况可由b2－4ac来判定：
当b2－4ac＞0时,方程有
当b2－4ac = 0时,方程有
当b2－4ac ＜ 0时,方程
我们把b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c = 0（a≠0)的根的判别式.
4、若已知一个一元二次方程的根的情况，是否能得到的值的符号呢？
当一元二次方程有两个不相等的实数根时，b2－4ac
当一元二次方程有两个相等的实数根时， b2－4ac
当一元二次方程没有实数根时，b2－4ac
例题教学
不解方程,判断下列方程根的情况：
1、; 2、;
3、
四、知识梳理
请同学们议一议一元二次方程根与系数的关系
五、达标检测
达标检测一
1、方程3x2+2=4x的判别式b2—4ac= ，所以方程的根的情况是 .
2、一元二次方程x2-4x+4=0的根的情况是（ )
A。有两个不等的实数根 B。有两个相等的实数根
C.没有实数根 D.不能确定
3下列方程中，没有实数根的方程式( )
A.x2=9 B.4x2=3(4x—1)
C.x(x+1）=1 D.2y2+6y+7=0
4、方程ax2+bx+c=0(a≠0)有实数根，那么总成立的式子是( ）
A。b2—4ac＞0 B。 b2—4ac＜0
C。 b2—4ac≤0 D。 b2-4ac≥0
5、如果方程9x2-（k+6)x+k+1=0有两个相等的实数根，那么k= .
达标检测二
1、方程（2x+1)（9x+8)=1的根的情况是( )
A。有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根
C.无实数根 D.不能确定
2、关于x的一元二次方程 的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
3、关于x的方程x2+2x+1=0有两个不相等的实数根,则k（ ）
A.k＞—1 B。k≥-1 C。k＞1 D。k≥0
4、已知方程x2-mx+n=0有两个相等的实数根，那么符合条件的一组m，n的值可以是m= ，n= .
5、若方程有实数根,则的范围是_____________________。
6、若关于的一元二次方程有两个相等的实数根,则___________。
7、不解方程,判断下列方程根的情况：
（1） 3x2－x＋1 = 3x （2)5(x2＋1)= 7x （3）3x2－4x =－4
8、当k为何值时，关于x的方程kx2－（2k＋1)x＋k＋3 = 0有两个不相等的实数根?