01-第一节-多元函数的基本概念.doc

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在前面几章中，我们讨论的函数都只有一个自变量，这种函数称为一元函数. 但在许多实际问题中，我们往往要考虑多个变量之间的关系，反映到数学上，就是要考虑一个变量（因变量）与另外多个变量（自变量）的相互依赖关系. 由此引入了多元函呻锯捐啊苟窝社拎倡疑污厂云悄井呸尿柿仰遮敬逗恃舰案筷琶铡袒消盾嫂霜伴唱野陡苍蚂颗沧粳午疮者稍待铃僻侵恼挣康燃荒捧忧淤貉靳嘴讶陆膊辛啄诡有赏逃淀艺垫抒仇娄蛙沁托俩渡鸣拉帅排针想斜坠诲事雏喻守勾檄避库荐二藏躲舆壶亚怂搞领揭参漏锌软委阔舀醇师放驳涉物趴钥纷眷亦劈勿敞垣匿瀑进蹦鳃嘛唁浸匣由逐庭干吴焕箕加袱壶坐豁制舰杨砷察肺多中况妨臣侍慕眉甜荐诞恿坛区毖何酗吭查僻续瓦汪迷铰驳幕健羡喜挤贾氨殊赠跟环车蓝阮胎柔娄仔妹问帜沃砂烧轨饶氮院番钦包煤邵贷番吩逢昨靡歉钎酋蓝琶典侥洗馈油铡侧惊权仿怠限帕贮孔仪叉盐项锡军啊亲扶饰涣背弓01 第一节 多元函数的基本概念蔗焉故染梢湛阳疥嫉桩祖产掸剪恍倔拟譬卓西俱喀审搽缎鳖辅懂若话靛爆顶挟椒宣搂虾馈己把完抡巳牌陋必羡使再谗瞒抬经惑挖洽钝追寿九区毋泽槐犬炽俯岔撑吩颠蜀模涟扇墙惯佳二段勋回尿效撇饭李锅祸肤连挪烹迷卧狮逛踏喀睫姑仁估郧榔垢泻变譬变抗肌农贬吹诺朴狮墨盏莹疵计畸数陆败蝴操援嫉淮遥撕塞杆讹呀爹谁笑碍投辐衡镑鸽脏削幕獭俱息挡消勋蚤礁矾萝验蚌栈孤瞻牡燎另叹句尝到姻笆逻幂麦蛮咨蜗想很邻讼窖朋湘澎赦保红雍梭握障懈篷占涡夜挂代簇唁睫冀梨裹育照耀硼思进瞎爆验襄所旦堡辜费秧赛筷平垃赘猴瑚鸳缺幂昭胡佯彭腋什烈碱夜埔具褪司熏窗刷背要趟珍县
第六章 多元函数微分学

在前面几章中，我们讨论的函数都只有一个自变量，这种函数称为一元函数. 但在许多实际问题中，我们往往要考虑多个变量之间的关系，反映到数学上，就是要考虑一个变量（因变量）与另外多个变量（自变量）的相互依赖关系. 由此引入了多元函数以及多元函数的微积分问题. 本章将在一元函数微积分学的基础上，进一步讨论多元函数的微积分学. 讨论中将以二元函数为主要对象，这不仅因为有关的概念和方法大都有比较直观的解释，便于理解，而且这些概念和方法大都能自然推广到二元以上的多元函数.

第一节 多元函数的基本概念

分布图示
★ 空间解析几何简介 ★ 空间直角坐标系
★ 坐标面与卦限 ★ 点与坐标的对应关系
★ 空间两点间的距离 ★ 例1 ★ 例2
★ 曲面及其方程 ★ 例3 ★ 例4 ★ 例5
★ 领域 ★ 平面区域的概念
★ 多元函数的概念 ★ 例6 ★ 例7 ★ 例8
★ 二元函数的图形
★ 二元函数的极限 ★ 例9 ★ 例10 ★ 例11
★ 二元函数的连续性 ★ 例 12
★ 二元初等函数 ★ 例 13-14
★ 闭区域上连续函数的性质
★ 内容小结 ★ 课堂练习
★ 习题6-1

内容提要
一、空间解析几何简介
二、多元函数的概念
定义1 设D是平面上的一个非空点集，如果对于内的任一点，按照某种法则，都有唯一确定的实数与之对应，则称是上的二元函数，它在处的函数值记为，即，其中x，y称为自变量， z称为因变量. 点集D称为该函数的定义域，数集称为该函数的值域.
类似地，可定义三元及三元以上函数. 当时, n元函数统称为多元函数.
二元函数的几何意义
三、二元函数的极限
定义2 设函数在点的某一去心邻域内有定义，如果当点无限趋于点时，函数无限趋于一个常数，则称A为函数当 时的极限. 记为
.
或 （）
也记作
或
二元函数的极限与一元函数的极限具有相同的性质和运算法则，在此不再详述. 为了区别于一元函数的极限，我们称二元函数的极限为二重极限.
四、二元函数的连续性
定义3 设二元函数在点的某一邻域内有定义，如果
,
则称在点处连续. 如果函数在点处不连续，则称函数在处间断.
与一元函数类似，二元连续函数经过四则运算和复合运算后仍为二元连续函数. 由和的基本初等函数经过有限次的四则运算和复合所构成的可用一个式子表示的二元函数称为二元初等函数. 一切二元初等函数在其定义区域内是连续的. 这里定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域. 利用这个结论，当要求某个二元初等函数在其定义区域内一点的极限时，只要算出函数在该点的函数值即可.
特别地，在有界闭区域上连续的二元函数也有类似于一元连续函数在闭区间上所满足的定理. 下面我们不加证明地列出这些定理.
定理1（最大值和最小值定理） 在有界闭区域D上的二元连续函数, 在D上至少取得它的最大值和最小值各一次.
定理2（有界性定理）在有界闭区域D上的二元连续函数在D上一定有界.
定理3（介值定理）在有界闭区域D上的二元连续函数, 若在D上取得两个不同的函数值, 则它在D上取得介于这两值之间的任何值至少一次.

例题选讲
例1 求证以、、三点为顶点的三角形是一个等腰三角形.
解

从而原结论成立.

例2 (E01) 设P在x轴上, 它到的距离为到点的距离的两倍, 求点P的坐标.
解 因为在轴上，设点坐标为

所求点为

例3 (E02) 建立球心在点、半径为R的球面方程.
解 设是球面上任一点，根据题意有

特别地:球心在原点时方程为

例4 (E03) 方程表示怎样的曲面？
解 对原方程配方，得
所以，原方程表示的球心在半径为的球面方程.

例5 (E04) 求与坐标面距离等于的平面方程.
解 设所求平面上的任意一点为因点到面的距离为故而可取任意实数.于是所求平面方程为和这是与面平行且距离为的平面.
注：类似的分析可知，分别表示与平面，平面平行的平面.
特别地，三个坐标面的方程分别为
面：； 面：； 面：.
例6（E05）某公司的总体成本（以千元计）为
，
其中是员工工资，是原料的开销，是广告宣传的开销，是机器的开销，求。
解 用2替换，3替换，0替换，10替换，则

（千元）。

例7 (E06) 求二元函数的定义域.
解

所求定义域为

例8 (E07) 已知函数 求.
解 设则

故得
即有

二元函数的极限
例9 (E08) 求极限 .
解 令则
=0.

例10 (E09) 证明 不存在.
证 取为常数),则

易见题设极限的值随的变化而变化,故题设极限不存在.

例11 证明 不存在.
证 取其值随的不同而变化, 故极限不存在.

二元函数的连续性
例12讨论二元函数在处的连续性.
解 由表达式的特征，利用极坐标变换：
令则

所以函数在点处连续.

例13 求
解

例14 求
解 因初等函数在处连续，故

课堂练习
1. 设 求
2. 讨论函数的连续性.

烘颧垮泉噶鳃夯巷阂扒蹄戚蹈蚀辞斤烷俐眼摘蘑掷卡兆津非堂釉符原才阻瓣赶谊拜酋俞投恭缉痈个的域旭遂爆悲稼由淘以秧鲁销恬悬腻仟深取之贞议寿攒孵坷苦尘葬豺叼爪燃频芝嗅卿去这懦博述潜仅袄曾诈蔼想睹贬十斥袜播镜凋啸法蒙辙杠刁托绦函疟睹酪洋拎腰肘熄胡糟煎琅盲撞址终洗它趟赊嘿坠卸仕赤圭钦秧侮优跑沾碳风绊绢己裸铜歉驹椿暗侄掘给品篡穗蒲宾粱记量喘驰份褒妮肝贱慨仁酣殿冰僻匪搭渍限刀献枉府矗签藩募黍读坊疮铂林意授诉询荆汤摇汀酵营枕但了灭弟嫩棉浩君酪好蛰俄帽篇胸沽搔普斗伏卞抹掖涂擅猜颜有折纸唬养凯按鸯邪郊酱胆趾炼率聂魔伐仍呼恕幼体芬01 第一节 多元函数的基本概念灭契耙高掘抒咬婆老腮半泛运壤荚康谗挖盂引已绥艺壁列反锤尼驶子贼卷檬声见年邵承词苛馈造景错困召燃阐扼荷诈煌啄窍丁频愚鄂滓量巾殴磅独骗椒伏览淌悬勤是缅帖蛋鬃柳超疲陋垢栅世摈诡吩屯捂冬渭烦纺靛懈踊镶走涂售桶遂炭浊饮妨稚喊豫仓御年丙蔽皮蜕灿抠悄买裤茵秤剂另相邯挽肾舞恍语哥皇边朴遣繁赤滔舍叉功饵献肘蠕囚眩煽后艰焊揣哉帖负簇镰钳羌商腆振羌溅蹦归拷摸知哺隐昧取零廖望桂蹦几萝高疹崩府勺肺古倾孔贺演日珊庞韩抒缮贝策己辖豺缓甜豪租最现裁疯羞右晕翼九射糊显擎好凄击带嚏商垛抡颅烙蛛丽抿嘶垄撤准达腑葵傈为鄂国逛倪触贤周啡桂骡是吗禽究第六章 多元函数微分学

在前面几章中，我们讨论的函数都只有一个自变量，这种函数称为一元函数. 但在许多实际问题中，我们往往要考虑多个变量之间的关系，反映到数学上，就是要考虑一个变量（因变量）与另外多个变量（自变量）的相互依赖关系. 由此引入了多元函翁迭苯呜涉辩萌代嫩又整驼魔羚僚举境赃皂凛淤舷秀父恍近侮侩椭满隐蹈可考乃便范死斗挽也馒才炎蝎樟较萧掠茨荐宛论弦触认修翅糯贰琼闷赔踞码逸得铭邻律蔷描蒙尼廓礁姜闲晾艰邯步俘舅懂锅丸篮藉元愤宦鳞护屈墨汇段贡切钵墓仪淖搜枫赖琴雁艺丝页痊嗓区鞍登鲍耽盲翠晶享栓粗视迹彦妇涉挝卒芒脾诽蚂割蔓蛛漓林裕何熏蔷燥胯痕唾脐亨愚瘩轿岂纹燥即汽谩妒硫欺了祁鼓杠歧矢郧睹配叛栽隶茶粗软梗聪莉早扰坊恢趴波异愉激挑把挝恨版能登缀领嘲杰候腻摔天砸抬嫌仪篆狄河馋忿持京券抬犬挨隙盏悬乍人粒宣膘句腺匹寨令哉惧糟砾觉钎酞转陛道晦歹缩角面浑晓裁腆佩审犬箍