二次函数的图像及其性质收集资料.doc

26.2 26.2 二次函数的图像二次函数的图像 【学习目标】1、会做函数 y=ax2和 y=ax2+c 的图象，并能比较它们的异同；理解 a,c 对二次函数图象的影响，能正确说出两函数的开口方向，对称轴和顶点坐标；2、了解抛物线 y=ax2上下平移规律；3、熟练掌握二次函数的性质；4、应用二次函数解决实际问题。【主要概念】【1】二次函数的图像 二次函数的图像是一条关于abx2对称的曲线，这条曲线叫抛物线。抛物线的主要特征：有开口方向；有对称轴；有顶点。【2】二次函数图像的画法 五点法：1、先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点 M，并用虚线画出对称轴 2、求抛物线cbxaxy2与坐标轴的交点：当抛物线与 x 轴有两个交点时，描出这两个交点 A,B 及抛物线与 y 轴的交点 C，再找到点 C 的对称点 D。将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图像。当抛物线与 x 轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与 y 轴的交点 C 及对称点D。由 C、M、D 三点可粗略地画出二次函数的草图。如果需要画出比较精确的图像，可再描出一对对称点 A、B，然后顺次连接五点，画出二次函数的图像。【3】二次函数的性质 函数 二次函数)0,(2acbacbxaxy是常数，图像 a0 a0 y 0 x y 0 x 性质（1）抛物线开口向上，并向上无限延伸；（2）对称轴是 x=ab2，顶点坐标是（ab2，abac442）；（3）在对称轴的左侧，即当 xab2时，y 随 x 的增大而增大，简记左减右增；（4）抛物线有最低点，当 x=ab2时，y 有最小值，abacy442最小值（1）抛物线开口向下，并向下无限延伸；（2）对称轴是 x=ab2，顶点坐标是（ab2，abac442）；（3）在对称轴的左侧，即当 xab2时，y 随 x 的增大而减小，简记左增右减；（4）抛物线有最高点，当 x=ab2时，y有最大值，abacy442最大值 【4】二次函数)0,(2acbacbxaxy是常数，中，cb、a的含义 a表示开口方向：a0 时，抛物线开口向上 a0 时，图像与 x 轴有两个交点；当=0 时，图像与 x 轴有一个交点；当0)【或左(h0)【或下(k0)【或左(h0)【或左(h0)【或下(k0)【或向下(k0.抛物线开口向 a0.抛物线对称轴在 y 轴的 侧 b=0 抛物线对称轴是 轴 b0.抛物线与 y 轴交于 C=0 抛物线与 y 轴交于 c0.抛物线与 x 轴有 个交点 acb42=0 抛物线与 x 轴有 个交点 acb420,b0,c0 B、a0,b0 C、a0,b0,c0,b0,c0,图象交 y 轴于负半轴,可得 c0,图象对称轴在 y 轴的左侧,知 x=-ab20,可得 b0.选 C【例 14】如图 2，正方形 ABCD 边长是 16 cm，P 是 AB 上任意一点（与 A、B 不重合），QPDP.设 AP=x cm，BQ=y cm.试求出 y 与 x 之间的函数关系式.图 2【解】ABCD 是正方形,A=B=90,ADP+APD=90.又QPDP,APD+QPB=90.ADP=QPB.有ADPBPQ.APBQ=DAPB.xy=1616x.y=-161x2+x.【例 15】如图，已知抛物线C1：522xay的顶点为P，与 x 轴相交于A、B两点（点A在点B的左边），点B的横坐标是 1 1、求P点坐标及a的值；2、如图（1），抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称，将抛物线C2向右平移，平移后的抛物线记为C3，C3的顶点为M，当点P、M关于点B成中心对称时，求C3的解析式；3、如图（2），点Q是x轴正半轴上一点，将抛物线C1绕点Q旋转 180后得到抛物线C4抛物线C4的顶点为N，与x轴相交于E、F两点（点E在点F的左边），当以点P、N、F为顶点的三角形是直角三角形时，求点Q的坐标 【解】1、由抛物线C1：522xay得 顶点P的为（-2，-5）点B（1，0）在抛物线C1上 52102 a 解得，a59 2、连接PM，作PHx轴于H，作MGx轴于G 点P、M关于点B成中心对称 PM过点B，且PBMB PBHMBG MGPH5，BGBH3 顶点M的坐标为（4，5）抛物线C2由C1关于x轴对称得到，抛物线C3由C2平移得到 抛物线C3的表达式为54952xy 3、抛物线C4由C1绕点x轴上的点Q旋转 180得到 顶点N、P关于点Q成中心对称 由（2）得点N的纵坐标为 5 设点N坐标为（m，5）y x A O B P M 图 1 C1 C2 C3 图（1）y x A O B P N 图 2 C1 C4 Q E F 图（2）y x A O B P M 图(1)C1 C2 C3 H G y x A O B P N 图(2)C1 C4 Q E F H G K 作PHx 轴于H，作NGx 轴于G 作PKNG于K 旋转中心Q在x轴上 EFAB2BH6 FG3，点F坐标为（m+3，0）H坐标为（2，0），K坐标为（m，-5），根据勾股定理得 PN2NK2+PK2m2+4m+104 PF2PH2+HF2m2+10m+50 NF252+3234 当PNF90时，PN2+NF2PF2，解得m443，Q点坐标为（193，0）当PFN90时，PF2+NF2PN2，解得m103，Q点坐标为（23，0）PNNK10NF，NPF90 综上所得，当Q点坐标为（193，0）或（23，0）时，以点P、N、F为顶点 的三角形是直角三角形 【例 16】如图，直线y34x+6 分别与x轴、y轴交于A，B两点，直线y54x与AB交于点C，与过点A且平行于y轴的直线交于点D.点E从点A出发，以每秒 1 个单位的速度沿x轴向左运动过点E作x轴的垂线，分别交直线AB、OD于P、Q两点，以PQ为边向右作正方形PQMN，设正方形PQMN与ACD重叠部分（阴影部分）的面积为S（平方单位）.点E的运动时间为t（秒）.（1）求点C的坐标.（2）当 0t5 时，求S与t之间的函数关系式.（3）求（2）中S的最大值.（4）当t0 时，直接写出点(4，92)在正方形PQMN内部时t的取值范围.【参考公式：二次函数yax2+bx+c图象的顶点坐标为2424bacbaa，.】【分析】（1）由两条直线的解析式可直接求得点C的坐标.（2）若AEt，则OE8t，于是所以点Q的纵坐标为45(8t)，点P的纵坐标为43t，于是可构造方程求得t，进而分情况求解.（3）由二次函数的性质并利用配方分别求解，并加以比较确定S的最大值.（4）结合图形可求得.y x D N M Q B C O P E A【解】（1）由题意，得.45,643xyxy解得.415,3yx所以C(3，154).（2）根据题意，得AEt，OE8t.所以点Q的纵坐标为45(8t)，点P的纵坐标为43t，所以PQ45(8t)43t102t.当MN在AD上时，102tt，解得t310.当 0t310时，St(102t)，即S2t2+10t.当310t5 时，S(102t)2，即S4t240t+100.（3）当 0t310时，S2(t25)2+225，所以t25时，S最大值225.当310t5 时，S4(t5)2，因为t5 时，S随t的增大而减小，所以t310时，S最大值9100.而2259100，所以S的最大值为225.（4）依题意，结合图形可知，4t522，或t6.【说明】本题意在考查平面内点的坐标的意义，二元一次方程组的应用，不等式（组）的简单应用二次函数与一元二次方程根之间的内在联系，是一道比较好的动态的二次函数综合题.二次函数 1、一个小球由静止开始在一个斜坡上向下滚动，通过仪器观察得到小球滚动的距离 s（米）与时间 t（秒）的数据如下表：时间 t（秒）1 2 3 4 距离 s（米）2 8 18 32 写出用 t 表示 s 的函数关系式.2、下列函数：23yx=；()21yxxx=-+；()224yxxx=+-；21yxx=+；()1yxx=-，其中是二次函数的是 ，其中a=，b=，c=3、当m 时，函数()2235ymxx=-+-（m为常数）是关于x的二次函数 4、当_ _ _ _m=时，函数()2221mmymm x-=+是关于x的二次函数 5、当_ _ _ _m=时，函数()2564mmymx-+=-+3x 是关于x的二次函数 6、若点 A(2,m)在函数 12 xy的图像上，则 A 点的坐标是.7、在圆的面积公式 Sr2 中，s 与 r 的关系是（）A、一次函数关系 B、正比例函数关系 C、反比例函数关系 D、二次函数关系 8、正方形铁片边长为 15cm，在四个角上各剪去一个边长为 x（cm）的小正方形，用余下的部分做成一个无盖的盒子 (1)求盒子的表面积 S（cm2）与小正方形边长 x（cm）之间的函数关系式；(2)当小正方形边长为 3cm 时，求盒子的表面积 9、如图，矩形的长是 4cm，宽是 3cm，如果将长 和宽都增加 x cm，那么面积增加 ycm2，求 y 与 x 之间的函数 关系式.求当边长增加多少时，面积增加 8cm2.10、已知二次函数),0(2acaxy当 x=1 时，y=-1；当 x=2 时，y=2，求该函数解析式.11、富根老伯想利用一边长为 a 米的旧墙及可以围成 24 米长的旧木料，建造猪舍三间，如图，它们的平面图是一排大小相等的长方形.（1）如果设猪舍的宽 AB 为 x 米，则猪舍的总面积 S（米2）与 x 有怎样的函数关系？（2）请你帮富根老伯计算一下，如果猪舍的总面积为 32 米2，应该如何安排猪舍的长BC和宽AB的长度？旧墙的长度是否会对猪舍的长度有影响？怎样影响？参考答案 1：1、22ts；2、，-1，1，0；3、2，3，1；6、（2，3）；7、D；8、),2150(2254S2xx189；9、xxy72，1；10、22 xy；11、,244S2xx 当 a0，0，0，小，0;(2)x=0,y 轴，（0，0），0，大，0;2、；3、C；4、A；5、B；6、-2；7、3；8、021 yy；9、（1）2 或-3，（2）m=2、y=0、x0，（3）m=-3，y=0，x0；10、292xy 函数caxy2的图象与性质 1、抛物线322xy的开口 ,对称轴是 ,顶点坐标是 ,当 x 时,y 随 x 的增大而增大,当 x 时,y 随 x的增大而减小.2、将抛物线231xy 向下平移 2 个单位得到的抛物线的解析式为 ,再向上平移 3 个单位得到的抛物线的解析式为 ,并分别写出这两个函数的顶点坐标 、.3、任给一些不同的实数 k，得到不同的抛物线kxy2，当 k 取 0，1时，关于这些抛物线有以下判断：开口方向都相同；对称轴都相同；形状相同；都有最底点.其中判断正确的是 .4、将抛物线122xy向上平移 4 个单位后，所得的抛物线是 ，当x=时，该抛物线有最 （填大或小）值，是 .5、已知函数2)(22xmmmxy的图象关于 y 轴对称，则 m_；6、二次函数caxy20a中，若当 x 取 x1、x2（x1x2）时，函数值相等，则当 x 取 x1+x2时，函数值等于 .参考答案 3：1、下，x=0，（0，-3），0；2、2312xy，1312xy，（0，-2），（0，1）；3、；4、322xy，0，小，3；5、1；6、c.函数2hxay的图象与性质 1、抛物线2321xy，顶点坐标是 ,当 x 时,y 随 x 的增大而减小，函数有 最 值 .2、试写出抛物线23xy 经过下列平移后得到的抛物线的解析式并写出对称轴和顶点坐标.（1）右移 2 个单位；（2）左移32个单位；（3）先左移 1 个单位，再右移 4 个单位.3、请你写出函数21 xy和12 xy具有的共同性质（至少 2 个）.4、二次函数2hxay的图象如图：已知21a，OA=OC，试求该抛物线的解析式.5、抛物线2)3(3xy与 x 轴交点为 A，与 y 轴交点为 B，求A、B 两点坐标及AOB 的面积.6、二次函数2)4(xay，当自变量 x 由 0 增加到 2 时，函数值增加 6.（1）求出此函数关系式.（2）说明函数值 y 随 x 值的变化情况.7、已知抛物线9)2(2xkxy的顶点在坐标轴上，求 k 的值.参考答案 4：1、（3，0），3，大，y=0;2、2)2(3xy，2)32(3xy，2)3(3xy;3、略；4、2)2(21xy；5、（3，0），（0，27），40.5；6、2)4(21xy，当 x4 时，y 随 x 的增大而减小；7、-8，-2，4.khxay2的图象与性质 1、请写出一个二次函数以（2,3）为顶点，且开口向上.2、二次函数 y(x1)22，当 x时，y 有最小值.3、函数 y12(x1)23，当 x时，函数值 y 随 x 的增大而增大.4、函数 y=21(x+3)2-2 的图象可由函数 y=21x2的图象向 平移 3 个单位，再向 平移 2 个单位得到.5、已知抛物线的顶点坐标为()2,1，且抛物线过点()3,0，则抛物线的关系式是 6、如图所示，抛物线顶点坐标是 P（1，3），则函数 y 随自变量 x 的增大而减小 的 x 的取值范围是（）A、x3 B、x1 D、x1；4、左、下；5、342xxy；6、C；7、（1）下，x=2，（2，9），（2）2、大、9，（3）2,(4)(32,0)、(32,0)、32，（5）（0，-3）；（6）向右平移 2 个单位，再向上平移 9 个单位；8、（1）上、x=-1、（-1，-4）；（2）（-3，0）、（1，0）、（0，-3）、6，（3）-4，当 x-1 时，y随 x 的增大而增大；当 x1 或 x-3、-3x）参考答案 7：1、1162xxy；2、（-4，-4）；3、1；4、-3；5、；6、二；7、；8、-7；9、C；10、D；11、B；12、C；13、B；14、4422xxy；15、aacb42 二次函数解析式 1、抛物线 y=ax2+bx+c 经过 A(-1,0),B(3,0),C(0,1)三点，则 a=,b=,c=2、把抛物线 y=x2+2x-3 向左平移 3 个单位，然后向下平移 2 个单位，则所得的抛物线的解析式为 .3、二次函数有最小值为1-，当0 x=时，1y=，它的图象的对称轴为1x=，则函数的关系式 为 4、根据条件求二次函数的解析式（1）抛物线过（-1，-6）、（1，-2）和（2，3）三点（2）抛物线的顶点坐标为（-1，-1），且与 y 轴交点的纵坐标为-3（3）抛物线过（1，0），（3，0），（1，5）三点；（4）抛物线在 x 轴上截得的线段长为 4，且顶点坐标是（3，2）；5、已知二次函数的图象经过()1,1-、()2,1两点，且与x轴仅有一个交点，求二次函数的解析式 6、抛物线 y=ax2+bx+c 过点(0,-1)与点(3,2)，顶点在直线 y=3x-3 上，a0,求此二次函数的解析式.7、已知二次函数的图象与 x 轴交于 A（-2，0）、B（3，0）两点，且函数有最大值是 2.（1）求二次函数的图象的解析式；（2）设次二次函数的顶点为 P，求ABP 的面积.8、以 x 为自变量的函数)34()12(22mmxmxy中，m 为不小于零的整数，它的图象与 x 轴交于点 A 和 B，点 A 在原点左边，点 B 在原点右边.(1)求这个二次函数的解析式；(2)一次函数 y=kx+b 的图象经过点 A，与这个二次函数的图象交于点 C，且ABCS=10,求这个一次函数的解析式.参考答案 8：1、31、32、1；2、1082xxy；3、1422xxy；4、（1）522xxy、（2）3422xxy、（3）41525452xxy、（4）253212xxy；5、9194942xxy；6、142xxy；7、（1）25482582582xxy、5；8、322xxy、y=-x-1 或 y=5x+5 二次函数与方程和不等式 1、已知二次函数772xkxy与 x 轴有交点，则 k 的取值范围是 .2、关于 x 的一元二次方程02nxx没有实数根，则抛物线nxxy2的顶点在第_象限；3、抛物线222kxxy与x轴交点的个数为（）A、0 B、1 C、2 D、以上都不对 4、二次函数cbxaxy2对于 x 的任何值都恒为负值的条件是（）A、0,0a B、0,0a C、0,0a D、0,0a 5、12kxxy与kxxy2的图象相交，若有一个交点在 x 轴上，则 k 为（）A、0 B、-1 C、2 D、41 6、若方程02cbxax的两个根是3 和 1，那么二次函数cbxaxy2的图象的对称轴是直线（）A、x3 B、x2 C、x1 D、x1 7、已知二次函数2yxpxq=+的图象与x轴只有一个公共点，坐标为()1,0-，求,p q的值 8、画出二次函数322xxy的图象，并利用图象求方程0322 xx的解，说明 x 在什么范围时0322 xx.9、如图：（1）求该抛物线的解析式；（2）根据图象回答：当 x 为何范围时，该函数值大于 0.10、二次函数cbxaxy2的图象过 A(-3,0),B(1,0),C(0,3),点 D 在函数图象上，点 C、D 是二次函数图象上的一对对称点，一次函数图象过点 B、D，求（1）一次函数和二次函数的解析式，（2）写出使一次函数值大于二次函数值的 x 的取值范围.11、已知抛物线22yxmxm=-+-.（1）求证此抛物线与x轴有两个不同的交点；（2）若m是整数，抛物线22yxmxm=-+-与x轴交于整数点，求m的值；（3）在（2）的条件下，设抛物线顶点为 A，抛物线与x轴的两个交点中右侧交点为 B.若 M 为坐标轴上一点，且 MA=MB，求点 M 的坐标.参考答案 9：1、47k且0k；2、一；3、C；4、D；5、C；6、C；7、2，1；8、31,3,121xxx；9、（1）xxy22、x2；10、y=-x+1，322xxy,x1;11、（1）略,(2)m=2,(3)(1，0)或（0，1）二次函数解决实际问题 1、某农场种植一种蔬菜，销售员张平根据往年的销售情况，对 今年种 蔬菜的销售价格进行了预测，预测情况如图，图中的抛物线 表示这种蔬 菜销售价与月份之间的关系.观察图像，你能得到关于这种蔬 菜销售 情况的哪些信息？（至少写出四条）2、某企业投资 100 万元引进一条农产品生产线，预计投产后每年可创收 33 万元，设生产线投产后，从第一年到第 x 年维修、保养费累计为 y（万元），且 yax2bx，若第一年的维修、保养费为 2 万元，第二年的为 4 万元.求：y 的解析式.3、校运会上，小明参加铅球比赛，若某次试掷，铅球飞行的高度 y(m)与水平距离 x(m)之间的函数关系式为 y112x223x53，求小明这次试掷的成绩及铅球的出手时的高度.4、用 6m 长的铝合金型材做一个形状如图所示的矩形窗框，应做成长、宽各为 多少时，才能使做成的窗框的透光面积最大？最大透光面积是多少？5、商场销售一批衬衫，每天可售出 20 件，每件盈利 40 元，为了扩大销售，3.5 0.5 0 2 7 月份月份 千克销售价千克销售价(元元)减少库存，决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果一件衬衫每降价 1 元，每天可多售出 2 件.设每件降价 x 元，每天盈利 y 元，列出 y 与 x 之间的函数关系式；若商场每天要盈利 1200 元，每件应降价多少元？每件降价多少元时，商场每天的盈利达到最大？盈利最大是多少元？6、有一个抛物线形的拱形桥洞，桥洞离水面的最大高度为 4m，跨度为 10m，如图所示，把它的图形放在直角坐标系中.求这条抛物线所对应的函数关系式.如图，在对称轴右边 1m 处，桥洞离水面的高是多少？7、有一座抛物线形拱桥，正常水位时桥下水面宽度为 20m，拱顶距离水面 4m.（1）在如图所示的直角坐标系中，求出该抛物线的解析式.（2）在正常水位的基础上，当水位上升 h(m)时，桥下水面的宽度为 d(m)，试求出用 d 表示 h 的函数关系式；（3）设正常水位时桥下的水深为 2m，为保证过往船只顺利航行，桥下水面的宽度不得小于 18m，求水深超过多少米时就会影响过往船只在桥下顺利航行？8、某一隧道内设双行线公路，其截面由一长方形和一抛物线构成，如图所示，为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有 0.5m，若行车道总宽度 AB 为 6m，请计算车辆经过隧道时的限制高度是多少米？（精确到 0.1m）.参考答案 10：1、2 月份每千克 3.5 元 7 月份每千克 0.5 克 7 月份的售价最低 27 月份售价下跌；2、yx2x；3、成绩 10 米，出手高度35米；4、23)1(232xS，当 x1 时，透光面积最大为23m2；5、（1）y(40 x)(202x)2x260 x800，（2）12002x260 x800，x120，x210 要扩大销售 x取 20 元，（3）y2(x230 x)8002(x15)21250 当每件降价 15 元时，盈利最大为 1250 元；6、（1）设 ya(x5)24，0a(5)24，a254，y254(x5)24，（2）当 x6 时，y25443.4(m)；7、（1）2251xy，（2）hd410，（3）当水深超过 2.76m 时；8、)64(6412xxy，x 3，my75.3496，m2.325.35.075.3，货车限高为 3.2m.1二次函数2yax的图像开口向，对称轴是，顶点坐标是，图像有最点，x时，y 随 x 的增大而增大，x时，y 随 x 的增大而减小。2关于213yx，2yx，23yx的图像，下列说法中不正确的是（）A顶点相同 B对称轴相同 C图像形状相同 D最低点相同 3两条抛物线2yx与2yx 在同一坐标系内，下列说法中不正确的是（）A顶点相同 B对称轴相同 C开口方向相反 D都有最小值 4在抛物线2yx 上，当 y0 时，x 的取值范围应为（）Ax0 Bx0 Cx0 Dx0 5对于抛物线2yx与2yx 下列命题中错误的是（）A两条抛物线关于x轴对称 B两条抛物线关于原点对称 C两条抛物线各自关于y轴对称 D两条抛物线没有公共点 6抛物线 y=b2x3 的对称轴是，顶点是。7抛物线 y=21(2)2x4 的开口向，顶点坐标，对称轴，x时，y 随 x 的增大而增大，x时，y 随 x 的增大而减小。8抛物线22(1)3yx的顶点坐标是（）A（1，3）B（1，3）C（1，3）D（1，3）9已知抛物线的顶点为（1，2），且通过（1，10），则这条抛物线的表达式为（）Ay=32(1)x2 By=32(1)x2 Cy=32(1)x2 Dy=32(1)x2 10二次函数2yax的图像向左平移 2 个单位，向下平移 3 个单位，所得新函数表达式为（）Ay=a2(2)x3 By=a2(2)x3 Cy=a2(2)x3 Dy=a2(2)x3 11抛物线244yxx的顶点坐标是（）A（2，0）B（2，-2）C（2，-8）D（-2，-8）12 对抛物线 y=22(2)x3 与 y=22(2)x4 的说法不正确的是（）A抛物线的形状相同 B抛物线的顶点相同 C抛物线对称轴相同 D抛物线的开口方向相反 13 函数y=a2xc与y=axc(a0)在同一坐标系内的图像是图中的（）14化243yxx为 y=243xx为y a2()xhk的形式是，图像的开口向，顶点是，对称轴是。15抛物线 y=24xx1 的顶点是，对称轴是。16函数 y=122x2x5 的图像的对称轴是（）A直线 x=2 B直线 a=2 C直线 y=2 D直线 x=4 17二次函数 y=221xx图像的顶点在（）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 18如果抛物线 y=26xxc的顶点在 x 轴上，那么 c 的值为（）A0 B6 C3 D9 19抛物线 y=222xmxm的顶点在第三象限，试确定 m 的取值范围是（）Am1 或 m2 Bm0 或 m1 C1m0 Dm1 20已知二次函数2yaxbxc，如果 a0,b0,c0，那么这个函数图像的顶点必在（）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 21如图所示，满足 a0,b0 的函数 y=2axbx的图像是（）22 画出214102yxx的图像，由图像你能发现这个函数具有什么性质？23通过配方变形，说出函数2288yxx 的图像的开口方向，对称轴，顶点坐标，这个函数有最大值还是最小值？这个值是多少？24根据下列条件，分别求出对应的二次函数关系式。已知抛物线的顶点是（1，2），且过点（1，10）。25已知一个二次函数的图像过点（0，1），它的顶点坐标是（8，9），求这个二次函数的关系式。参考答案 1上 y 轴 （0，0）低 0 0 2C 3D 4C 5D 6y 轴 (0,3)7下 （2，4）x=2 2 2 8D 9C 10D 11C 12B 13B 14y=2(2)x1 上 (2,1)x=2 15.(2,5)x=2 16A 17B 18D 19D 20D 21C 22图像略，性质：（1）图像开口向上，对称轴是直线 x=4，顶点（4，2）。（2）x4 时，y 随 x 增大而增大，x4 时，y 随 x 增大而减小。（3）x=4 时，y最小=2.23.y=2288xx=22(2)x,开口向下，对称轴 x=2，顶点（2，0），x=2时，y最小=0 24设抛物线是 y=2(1)a x2，将 x=1,y=10 代入上式得 a=3,函数关系式是 y=32(1)x2=32x 6x1.25.解法 1：设 y=a2(8)x9，将 x=0,y=1 代入上式得 a=18,y=21(8)8x9=21218xx 解法 2：设 y=2axbxc,由题意得21,8,249,4cbaacba 解之1,82,1.abc y=21218xx 一、选择题：1.抛物线3)2(2 xy的对称轴是（）A.直线3x B.直线3x C.直线2x D.直 线2x 2.二次函数cbxaxy2的图象如右图，则点),(acbM在（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.已知二次函数cbxaxy2，且0a，0cba，则一定有（）A.042 acb B.042 acb C.042 acb D.acb420 4.把抛物线cbxxy2向右平移 3 个单位，再向下平移 2 个单位，所得图象的解析式是532xxy，则有（）O x y O x y A.3b，7c B.9b，15c C.3b，3c D.9b，21c 5.已知反比例函数xky 的图象如右图所示，则二次函数222kxkxy的图象大致为（）O x y A O x y B O x y C O x y D 6.下面所示各图是在同一直角坐标系内，二次函数cxcaaxy)(2与一次函数caxy的大致图象，有且只有一个是正确的，正确的是（）O x y A O x y B O x y C O x y D 7.抛物线322xxy的对称轴是直线（）A.2x B.2x C.1x D.1x 8.二次函数2)1(2 xy的最小值是（）A.2 B.2 C.1 D.1 9.二次函数cbxaxy2的图象如图所示，若cbaM24cbaN，baP 4，则（）A.0M，0N，0P B.0M，0N，0P C.0M，0N，0P D.0M，0N，0P 二、填空题：10.将二次函数322xxy配方成 khxy2)(的形式，则y=_.11.已知抛物线cbxaxy2与x轴有两个交点，那么一元二次方程 2 1-1 O x y 02cbxax的根的情况是_.12.已知抛物线cxaxy2与x轴交点的横坐标为1，则ca=_.13.请你写出函数2)1(xy与12 xy具有的一个共同性质：_.14.有一个二次函数的图象，三位同学分别说出它的一些特点：甲：对称轴是直线4x；乙：与x轴两个交点的横坐标都是整数；丙：与y轴交点的纵坐标也是整数，且以这三个交点为顶点的三角形面积为3.请你写出满足上述全部特点的一个二次函数解析式：15.已知二次函数的图象开口向上，且与y轴的正半轴相交，请你写出一个满足条件的二次函数的解析式：_.16.如图，抛物线的对称轴是1x，与x轴交于A、B两点，若B点坐标是)0,3(，则A点的坐标是_.O x y A B 1 1 16 题图 三、解答题：1.已知函数12bxxy的图象经过点（3，2）.（1）求这个函数的解析式；（2）当0 x时，求使y2 的x的取值范围.2.如右图，抛物线nxxy52经过点)0,1(A，与y轴交于点B.（1）求抛物线的解析式；（2）P是y轴正半轴上一点，且PAB是以AB为腰的等腰三角形，试求点P的坐标.3.某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到赢利的过程，下面的二次函数图象（部分）刻画了该公司年初以来累积利润s（万元）与销售时间t（月）之间的关系（即前t个月的利润总和s与t之间的关系）.（1）由已知图象上的三点坐标，求累积利润s（万元）与销售时间t（月）之间的函数关系式；（2）求截止到几月累积利润可达到 30 万元；（3）求第 8 个月公司所获利润是多少万元？提高题 1.如图，有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面AB的宽为 20m，如果水位上升 3m 时，水面CD的宽是 10m.（1）求此抛物线的解析式；（2）现有一辆载有救援物资的货车从甲地出发需经过此桥开往乙地，已知甲地距此桥 280km（桥长忽略不计）.货车正以每小时 40km 的速度开往乙地，当行驶 1 小时时，忽然接到紧急通知：前方连降暴雨，造成水位以每小时 0.25m 的速度持续上涨（货车接到通知时水位在CD处，当水位达到桥拱最高点O时，禁止车辆通行）.试问：如果货车按原来速度行驶，能否安全通过此桥？若能，请说明理由；若不能，要使货车安全通过此桥，速度应超过每小时多少千米？O x y 1-1 B A 2.某机械租赁公司有同一型号的机械设备 40 套.经过一段时间的经营发现：当每套机械设备的月租金为 270 元时，恰好全部租出.在此基础上，当每套设备的月租金提高 10 元时，这种设备就少租出一套，且未租出的一套设备每月需要支出费用（维护费、管理费等）20 元，设每套设备的月租金为x（元），租赁公司出租该型号设备的月收益（收益=租金收入支出费用）为y（元）.（1）用含x的代数式表示未租出的设备数（套）以及所有未租出设备（套）的支出费用；（2）求y与x之间的二次函数关系式；（3）当月租金分别为 4300 元和 350 元时，租赁公司的月收益分别是多少元？此时应该租出多少套机械设备？请你简要说明理由；（4）请把（2）中所求的二次函数配方成abacabxy44)2(22的形式，并据此说明：当x为何值时，租赁公司出租该型号设备的月收益最大？最大月收益是多少？参考答案 一、选择题：题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 D D A A D D D B D 二、填空题：1.2)1(2 xy 2.有两个不相等的实数根 3.1 4.（1）图象都是抛物线；（2）开口向上；（3）都有最低点（或最小值）5.358512xxy或358512xxy或178712xxy或178712xxy 6.122xxy等（只须0a，0c）7.)0,32(8.3x，51 x，1，4 三、解答题：1.解：（1）函数12bxxy的图象经过点（3，2），2139 b.解得2b.函数解析式为122xxy.（2）当3x时，2y.根据图象知当x3 时，y2.当0 x时，使y2 的x的取值范围是x3.2.解：（1）由 题 意 得051n.4n.抛 物 线 的 解 析 式 为452xxy.（2）点A的坐标为（1，0），点B的坐标为)4,0(.OA=1，OB=4.在 RtOAB中，1722OBOAAB，且点P在y轴正半轴上.当PB=PA时，17PB.417 OBPBOP.此时点P的坐标为)417,0(.当PA=AB时，OP=OB=4 此时点P的坐标为（0，4）.3.解：（1）设s与t的函数关系式为cbtats2，由 题 意 得；5.2525,224,5.1cbacbacba或.0,224,5.1ccbacba 解 得.0,2,21cba tts2212.（2）把s=30 代入tts2212，得.221302tt 解得101t，62t（舍去）答：截止到 10 月末公司累积利润可达到 30 万元.（3）把7t代入，得.5.10727212s 把8t代入，得.16828212s 5.55.1016.答：第 8 个月获利润 5.5 万元.4.解：（1）由于顶点在y轴上，所以设这部分抛物线为图象的函数的解析式为1092 axy.因为点)0,25(A或)0,25(B在抛物线上，所以109)25(02 a，得12518a.因此所求函数解析式为109125182xy（25x25）.（2）因为点D、E的纵坐标为209，所以10912518209，得245x.所以点D的坐标为)209,245(，点E的坐标为)209,245(.所以225)245(245DE.因此卢浦大桥拱内实际桥长为385227501.01100225（米）.5.解：（1）AB=3，21xx，312 xx.由根与系数的关系有121 xx.11x，22x.OA=1，OB=2，221amxx.1tantanABCBAC，1OBOCOAOC.OC=2.2m,1a.此二次函数的解析式为22xxy.（2）在第一象限，抛物线上存在一点P，使SPAC=6.解法一：过点P作直线MNAC，交x轴于点M，交y轴于N，连结PA、PC、MC、NA.MNAC，SMAC=SNAC=SPAC=6.O A B M x P N y C 由（1）有OA=1，OC=2.6121221CNAM.AM=6，CN=12.M（5，0），N（0，10）.直线MN的解析式为102 xy.由,2,1022xxyxy 得；4311yx18,422yx（舍去）在 第一象限，抛物线上存在点)4,3(P，使SPAC=6.解法二：设AP与y轴交于点),0(mD（m0）直线AP的解析式为mmxy.,22mmxyxxy 02)1(2mxmx.1mxxPA，2 mxP.又SPAC=SADC+SPDC=PxCDAOCD2121=)(21PxAOCD.6)21)(2(21mm，0652 mm 6m（舍去）或1m.在 第一象限，抛物线上存在点)4,3(P，使SPAC=6.提高题 1.解：（1）抛物线cbxxy2与x轴只有一个交点，方程02cbxx有两个相等的实数根，即042 cb.又点A的坐标为（2，0），024cb.由得4b，4a.（2）由（1）得抛物线的解析式为442xxy.当0 x时，4y.点B的坐标为（0，4）.在 RtOAB中，OA=2，OB=4，得5222OBOAAB.OAB的周长为5265241.2.解：（1）76)34()10710710(1022xxxxxS.当3)1(26x时，16)1(467)1(42最大S.当广告费是 3 万元时，公司获得的最大年利润是 16 万元.（2）用于投资的资金是13316万元.经分析，有两种投资方式符合要求，一种是取 A、B、E 各一股，投入资金为13625（万元），收益为 0.55+0.4+0.9=1.85（万元）1.6（万元）；另一种是取 B、D、E 各一股，投入资金为 2+4+6=12（万元）1.6（万元）.3.解：（1）设抛物线的解析式为2axy，桥拱最高点到水面CD的距离为h米，则),5(hD，)3,10(hB.3100,25haha 解得.1,251ha 抛物线的解析式为2251xy.（2）水位由CD处涨到点O的时间为 10.25=4（小时），货车按原来速度行驶的路程为 401+404=200280，货车按原来速度行驶不能安全通过此桥.设货车的速度提高到x千米/时，当2801404x时，60 x.要使货车安全通过此桥，货车的速度应超过 60 千米/时.4.解：（1）未出租的设备为10270 x套，所有未出租设备的支出为)5402(x元.（2）54065101)5402()1027040(2xxxxx