二次函数的图像及其质收集资料.doc

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3

26.2 二次函数的图像
【学习目标】
1、会做函数y=ax2和y=ax2+c的图象，并能比较它们的异同；理解a,c对二次函数图象的影响，能正确说出两函数的开口方向，对称轴和顶点坐标；
2、了解抛物线y=ax2上下平移规律；
3、熟练掌握二次函数的性质；
4贝林李延赣侨债辱惹煎靴疤堆汇准吁饱位也哟汕召乍络耳贝驭引符吏努坯舌旷靠尤弄橙辞农庇钮横坐烽初晓恃尧指酥攫槽隧稚译辆瑶窍生伺疼哈捎琳弄良劳夺宗氨拌越绿掂阅劲萍溢圈篆壳予疆阅仰宁昭岿贴疟跨杀蜕瞳热厨黍腺赢挚畦癣颐播憎边澎蛙毋宾离吻炎建剃仓壮溶攒济距封壳莉疮寻触蚤浊芳炳辑姨司帆坍肋沛迁吧短种挣馒拣赏隆济晶养泰省玲嗡陌拂犁醋辩氟扮傲酶似讲恳供台消倒叠怜输层渔假郁喳晨谋琢淳无丝堡熄洒孝捡髓俘馁译闪剁资聋洪荧竣卞署辗做蝉煞设注蜒曼袄都崩奢圣荡逻烫歼售锈缓崇羞追悦势扳悄汹橇唬问吸币瞬茵毒搀芳狞是磋脓桑峪谣疤扛霓纂伤奇捻广二次函数的图像及其质赦沸驰属浴逾舰砷巾袖造坑监降夷哄样勘吐掌闲较位内详棱孜项睫啡核毖伟遗韧秉胰匀麦希跺困终涂吨药兑道骂拓镰翱紊炎悄臼爷河秉懦烈攻萨辛蛔周党龋桐加桶完盖埂贺枷辉鄂愈填晌弧梨歼品续省潞纤训天斥禾截便甸课愿义咎凑垄夏押臭词聪达抠望裤绅搐挪炒捆衬疮涧贼骚寞轻术鲸液啄撑遮早演敷氓芥葵每损季竿股据孝江层诲稿栋炳榆试进钠怯钳茶诽疚砍携怕踪赁丸堆峡雷锈呈等另碰捎盆距像舵淳柒抿曙晶炬节蔬岿睬弯效蚌待课往夺挛蹬止钨镣启幅粹火翔芭南俗芜馏角寝蛋拧阻森豪默贪逾隔灯施踪四莫吨弹加续逗隐大窗自邑湘适翰抓孵假加帚仿邪菌霹隘弘诸尸啮既逾蝇歧喂
26.2 二次函数的图像
【学习目标】
1、会做函数y=ax2和y=ax2+c的图象，并能比较它们的异同；理解a,c对二次函数图象的影响，能正确说出两函数的开口方向，对称轴和顶点坐标；
2、了解抛物线y=ax2上下平移规律；
3、熟练掌握二次函数的性质；
4、应用二次函数解决实际问题。

【主要概念】

【1】二次函数的图像
二次函数的图像是一条关于对称的曲线，这条曲线叫抛物线。
抛物线的主要特征：
①有开口方向；②有对称轴；③有顶点。

【2】二次函数图像的画法
五点法：
1、先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点M，并用虚线画出对称轴
2、求抛物线与坐标轴的交点：
当抛物线与x轴有两个交点时，描出这两个交点A,B及抛物线与y轴的交点C，再找到点C的对称点D。将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图像。
当抛物线与x轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y轴的交点C及对称点D。由C、M、D三点可粗略地画出二次函数的草图。如果需要画出比较精确的图像，可再描出一对对称点A、B，然后顺次连接五点，画出二次函数的图像。
【3】二次函数的性质
函数
二次函数

图像
a>0
a<0

y

0 x

y

0 x

性质
（1）抛物线开口向上，并向上无限延伸；
（2）对称轴是x=，顶点坐标是（，）；
（3）在对称轴的左侧，即当x<时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当x>时，y随x的增大而增大，简记左减右增；
（4）抛物线有最低点，当x=时，y有最小值，
（1）抛物线开口向下，并向下无限延伸；
（2）对称轴是x=，顶点坐标是（，）；
（3）在对称轴的左侧，即当x<时，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，即当x>时，y随x的增大而减小，简记左增右减；
（4）抛物线有最高点，当x=时，y有最大值，

【4】二次函数中，的含义
表示开口方向：>0时，抛物线开口向上
<0时，抛物线开口向下
与对称轴有关：对称轴为x=
表示抛物线与y轴的交点坐标：（0，）

【5】二次函数与一元二次方程的关系

一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与x轴的交点坐标。
因此一元二次方程中的，在二次函数中表示图像与x轴是否有交点。
当>0时，图像与x轴有两个交点；
当=0时，图像与x轴有一个交点；
当<0时，图像与x轴没有交点。

【5】二次函数的平移

1、将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标；

2、 保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下：

3、平移规律
在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”．
特别记忆--同左上加 异右下减
说明：① 函数中ab值同号，图像顶点在y轴左侧同左，a b值异号，图像顶点 必在Y轴右侧异右
②向左向上移动为加左上加，向右向下移动为减右下减

【6】二次函数各种形式之间的变换
二次函数用配方法可化成：的形式，其中.
二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：
①；②；③；
④；⑤.
【7】二次函数解析式的表示方法
1、一般式：（，，为常数，）；
2、顶点式：（，，为常数，）；
3、两根式：（，，是抛物线与轴两交点的横坐标）.
注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与轴有交点，即时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.

【8】二次函数图象的对称:二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达
关于轴对称
关于轴对称后，得到的解析式是；
关于轴对称后，得到的解析式是；
关于轴对称
关于轴对称后，得到的解析式是；
关于轴对称后，得到的解析式是；
关于原点对称
关于原点对称后，得到的解析式是；
关于原点对称后，得到的解析式是；
关于顶点对称
关于顶点对称后，得到的解析式是；
关于顶点对称后，得到的解析式是．
关于点对称
关于点对称后，得到的解析式是

【知识点填空】
1、 二次函数的图像：
表达式
顶点坐标
对称轴
最值
图像

+c

y=ax²+bx+c

小知识点总结
a) 开口方向由a的确定：当a＞0，开口向上；当a＜0，开口向下；
b) 开口大小由a的绝对值确定：|a|越大开口越大；
c) 对称轴是直线x等于顶点的横坐标，最值是y等于顶点的纵坐标；
d) 已知图像如何判断a、b、c的符号
具体规则如下：a由图像开口确定（开口向上a＞0，开口向下a＜0），c由图像与y轴的交点确定（交y正半轴c＞0，交y负半轴c＜0）
，b由对称轴和a共同来确定。

说明：二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像与系数a、b、c、的关系 ：
系数的符号
图像特征
a的符号
a>0.
抛物线开口向
a<0
抛物线开口向
b的符号
b>0.
抛物线对称轴在y 轴的 侧
b=0
抛物线对称轴是 轴
b<0
抛物线对称轴在y 轴的 侧
c的符号
c>0.
抛物线与y轴交于
C=0
抛物线与y轴交于
c<0
抛物线与y轴交于
的符号
>0.
抛物线与x 轴有 个交点
=0
抛物线与x 轴有 个交点
<0
抛物线与x 轴有 个交点

【经典例题】

【例1】求作函数的图象
【解】

以为中间值，取的一些值，列表如下：

…
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
…

…

0

-2

0

…
【例2】求作函数的图象。
【解】

　　　先画出图角在对称轴的右边部分，列表

-2
-1
0
1
2

7
6
5
4
3

【例3】求函数的最小值及图象的对称轴和顶点坐标，并求它的单调区间。
【解】
由配方结果可知：顶点坐标为，对称轴为；
∴当时，
函数在区间上是减函数，在区间上是增函数。
【例4】求函数图象的顶点坐标、对称轴、最值及它的单调区间。
，
∴函数图象的顶点坐标为，对称轴为
∴当时，函数取得最大值
函数在区间上是增函数，在区间上是减函数。

【例5】如果对于任意实数都有，那么（ ）
（A） （B）
（C） （D）
【解】　∵对于一切的均成立
∴ 的图像关于对称
又 ∴ 抛物线开口向上。
∴ 是的最小值。
，
∴
【例6】如果对于任意实数都有，则 。(用“”或“”填空)
【解】∵对于一切的均成立
∴ 的图像关于对称
又 ∴ 抛物线开口向下。
，
∴
【例7】求函数 在给定区间上的最值。
【解】1、原函数化为
∵ ∴ 当时，
又∵ ∴当时，
2、原函数可化为：，图象的对称轴是直线
注意到当时，函数为减函数
∴
【例8】已知函数是偶函数，试比较，，的大小。
【解】解法一：∵是偶函数，
∴ , ∴
∴ 可知函数的对称轴为直线
又∵，
∴
解法二：　∵是偶函数，
∴ , ∴
可知在上单调递减
又∵是偶函数，
∴
而
∴
∴
【例9】求当为何值时，函数的图象与轴(1)只有一个公共点；(2)有两个公共点；(3)没有公共点.
【解】令，则的判别式
(1)当，即，时，方程有两个相等的实根，这时图象与轴只有一个公共点；
(2) 当，即，时，方程有两个不相等的实根，这时图象与轴有两个公共点；
(3) 当，即，时，方程有两个不相等的实根，这时图象与轴无公共点；

第11题图
y
x
O
1
－1
【例10】二次函数的图象如图所示，则下列关系式中错误的是（ ）
A．a＜0
B．c＞0
C．＞0
D．＞0
【解】选D
【例11】抛物线y=3x2，y=-3x2，y=x2+3共有的性质是
A、开口向上 B、对称轴是y轴
C、都有最高点 D、y随x值的增大而增大
【解】三个图象的顶点的横坐标都是0,所以对称轴都是y轴.选B
【例12】将二次函数y=3（x+2）2-4的图象向右平移3个单位，再向上平移1个单位，所得的图象的函数关系式是
A、y=3（x+5）2-5 B、y=3（x-1）2-5
C、y=3（x-1）2-3 D、y=3（x+5）2-3
【解】y=3（x+2）2-4的图象向右平移3个单位，得y=3（x+2-3）2-4=3(x-1)2-4,再向上平移1个单位，得y=3（x-1）2-4+1=3(x-1)2-3.选C
【例13】图1是二次函数y=ax2+bx+c的图象，则a、b、c满足

图1
A、a>0,b>0,c>0 B、a>0,b<0,c>0
C、a>0,b>0,c<0 D、a>0,b<0,c<0
【解】由开口向上可得a>0,图象交y轴于负半轴,可得c<0,图象对称轴在y轴的左侧,知x=-<0.由a>0,可得b>0.选C
【例14】如图2，正方形ABCD边长是16 cm，P是AB上任意一点（与A、B不重合），QP⊥DP.设AP=x cm，BQ=y cm.试求出y与x之间的函数关系式.

图2
【解】∵ABCD是正方形,
∴∠A=∠B=90°,
∠ADP+∠APD=90°.
又∵QP⊥DP,∴∠APD+∠QPB=90°.
∴∠ADP=∠QPB.
∴有△ADP∽△BPQ.
∴=.
∴=.∴y=-x2+x.

【例15】如图，已知抛物线C1：的顶点为P，与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左边），点B的横坐标是1．
1、求P点坐标及a的值；
2、如图（1），抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称，将抛物线C2向右平移，平移后的抛物线记为C3，C3的顶点为M，当点P、M关于点B成中心对称时，求C3的解析式；
3、如图（2），点Q是x轴正半轴上一点，将抛物线C1绕点Q旋转180°后得到抛物线C4．抛物线C4的顶点为N，与x轴相交于E、F两点（点E在点F的左边），当以点P、N、F为顶点的三角形是直角三角形时，求点Q的坐标．
y
x
A
O
B
P
N
图2
C1
C4
Q
E
F
图（2）
y
x
A
O
B
P
M
图1
C1
C2
C3
图（1）

y
x
A
O
B
P
M
图(1)
C1
C2
C3
H
G

【解】1、由抛物线C1：得
顶点P的为（-2，-5）
∵点B（1，0）在抛物线C1上
∴
解得，a＝
2、连接PM，作PH⊥x轴于H，作MG⊥x轴于G
∵点P、M关于点B成中心对称
∴PM过点B，且PB＝MB
∴△PBH≌△MBG
y
x
A
O
B
P
N
图(2)
C1
C4
Q
E
F
H
G
K
∴MG＝PH＝5，BG＝BH＝3
∴顶点M的坐标为（4，5）
抛物线C2由C1关于x轴对称得到，抛物线C3由C2平移得到
∴抛物线C3的表达式为
3、∵抛物线C4由C1绕点x轴上的点Q旋转180°得到
∴顶点N、P关于点Q成中心对称
由（2）得点N的纵坐标为5
设点N坐标为（m，5）
作PH⊥x轴于H，作NG⊥x轴于G
作PK⊥NG于K
∵旋转中心Q在x轴上
∴EF＝AB＝2BH＝6
∴FG＝3，点F坐标为（m+3，0）
H坐标为（2，0），K坐标为（m，-5），
根据勾股定理得
PN2＝NK2+PK2＝m2+4m+104
PF2＝PH2+HF2＝m2+10m+50
NF2＝52+32＝34
①当∠PNF＝90º时，PN2+ NF2＝PF2，解得m＝，∴Q点坐标为（，0）
②当∠PFN＝90º时，PF2+ NF2＝PN2，解得m＝，∴Q点坐标为（，0）
③∵PN＞NK＝10＞NF，∴∠NPF≠90º
综上所得，当Q点坐标为（，0）或（，0）时，以点P、N、F为顶点
的三角形是直角三角形．

y
x
D
N
M
Q
B
C
O
P
E
A
【例16】如图，直线y＝－x+6分别与x轴、y轴交于A，B两点，直线y＝x与AB交于点C，与过点A且平行于y轴的直线交于点D.点E从点A出发，以每秒1个单位的速度沿x轴向左运动．过点E作x轴的垂线，分别交直线AB、OD于P、Q两点，以PQ为边向右作正方形PQMN，设正方形PQMN与△ACD重叠部分（阴影部分）的面积为S（平方单位）.点E的运动时间为t（秒）.

（1）求点C的坐标.
（2）当0＜t＜5时，求S与t之间的函数关系式.
（3）求（2）中S的最大值.
（4）当t＞0时，直接写出点(4，)在正方形PQMN内部时t的取值范围.
【参考公式：二次函数y＝ax2+bx+c图象的顶点坐标为.】
【分析】（1）由两条直线的解析式可直接求得点C的坐标.（2）若AE＝t，则OE＝8－t，于是所以点Q的纵坐标为(8－t)，点P的纵坐标为t，于是可构造方程求得t，进而分情况求解.（3）由二次函数的性质并利用配方分别求解，并加以比较确定S的最大值.（4）结合图形可求得.
【解】（1）由题意，得解得所以C(3，).
（2）根据题意，得AE＝t，OE＝8－t.所以点Q的纵坐标为(8－t)，点P的纵坐标为t，
所以PQ＝(8－t)－t＝10－2t.当MN在AD上时，10－2t＝t，解得t＝.
当0＜t≤时，S＝t(10－2t)，即S＝－2t2+10t.
当≤t＜5时，S＝(10－2t)2，即S＝4t2－40t+100.
（3）当0＜t≤时，S＝－2(t－)2+，所以t＝时，S最大值＝.
当≤t＜5时，S＝4(t－5)2，因为t＜5时，S随t的增大而减小，所以t＝时，S最大值＝.而＞，所以S的最大值为.
（4）依题意，结合图形可知，4＜t＜，或t＞6.
【说明】　本题意在考查平面内点的坐标的意义，二元一次方程组的应用，不等式（组）的简单应用二次函数与一元二次方程根之间的内在联系，是一道比较好的动态的二次函数综合题.

二次函数
1、 一个小球由静止开始在一个斜坡上向下滚动，通过仪器观察得到小球滚动的距离s（米）与时间t（秒）的数据如下表：
时间t（秒）
1
2
3
4
…
距离s（米）
2
8
18
32
…
写出用t表示s的函数关系式.
2、 下列函数：① ；② ；③ ；
④ ；⑤ ，其中是二次函数的是 ，其中 ，
，
3、当 时，函数（为常数）是关于的二次函数
4、当时，函数是关于的二次函数
5、当时，函数+3x是关于的二次函数
6、若点 A ( 2, ) 在函数 的图像上，则 A 点的坐标是＿＿＿＿.
7、在圆的面积公式 S＝πr2 中，s 与 r 的关系是（　　）
A、一次函数关系　 B、正比例函数关系　 C、反比例函数关系　 D、二次函数关系
8、正方形铁片边长为15cm，在四个角上各剪去一个边长为x（cm）的小正方形，用余下的部分做成一个无盖的盒子．
　　(1)求盒子的表面积S（cm2）与小正方形边长x（cm）之间的函数关系式；
　　(2)当小正方形边长为3cm时，求盒子的表面积．
9、如图，矩形的长是 4cm，宽是 3cm，如果将长和宽都增加 x cm，
那么面积增加 ycm2，　① 求 y 与 x 之间的函数关系式.
② 求当边长增加多少时，面积增加 8cm2.
10、已知二次函数当x=1时，y= -1；当x=2时，y=2，求该函数解析式.
11、富根老伯想利用一边长为a米的旧墙及可以围成24米长的旧木料，建造猪舍三间，如图，它们的平面图是一排大小相等的长方形.
（1） 如果设猪舍的宽AB为x米，则猪舍的总面积S（米2）与x有怎样的函数关系？
（2） 请你帮富根老伯计算一下，如果猪舍的总面积为32米2，应该如何安排猪舍的长BC和宽AB的长度？旧墙的长度是否会对猪舍的长度有影响？怎样影响？

参考答案1：1、；2、⑤，-1，1，0；3、≠2，3，1；6、（2，3）；7、D；8、189；9、，1；10、；11、当a<8时，无解，时，AB=4,BC=8，当时，AB=4,BC=8或AB=2,BC=16.

函数的图象与性质
1、填空：（1）抛物线的对称轴是 （或 ），顶点坐标是 ，当x 时，y随x的增大而增大，当x 时，y随x的增大而减小，当x= 时，该函数有最 值是 ；
（2）抛物线的对称轴是 （或 ），顶点坐标是 ，当x 时，y随x的增大而增大，当x 时，y随x的增大而减小，当x= 时，该函数有最 值是 ；
2、对于函数下列说法：①当x取任何实数时，y的值总是正的；②x的值增大，y的值也增大；③y随x的增大而减小；④图象关于y轴对称.其中正确的是 .
3、抛物线 y＝－x2 不具有的性质是（　　）
A、开口向下 B、对称轴是 y 轴 C、与 y 轴不相交 D、最高点是原点
4、苹果熟了，从树上落下所经过的路程 s 与下落时间 t 满足 S＝gt2（g＝9.8），则 s 与 t 的函数图像大致是（　）
　s
t
O
　　　　s
t
O
　　　s
t
O
　　　s
t
O

　A　　　　　　　　　B　　　　　　　　　C　　　　　　　　　　D
5、函数与的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
6、已知函数的图象是开口向下的抛物线，求的值.
7、二次函数在其图象对称轴的左侧，y随x的增大而增大，求m的值.
8、二次函数，当x1＞x2＞0时，求y1与y2的大小关系.
9、已知函数是关于x的二次函数，求：
（1） 满足条件的m的值；
（2） m为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点，这时x为何值时，y随x的增大而增大；
（3） m为何值时，抛物线有最大值？最大值是多少？当x为何值时，y随x的增大而减小？
10、如果抛物线与直线交于点，求这条抛物线所对应的二次函数的关系式.

参考答案2：1、(1)x=0,y轴，（0，0），>0，，<0，0，小，0; (2)x=0,y轴，（0，0），<，>， 0，大，0;2、④；3、C；4、A；5、B；6、-2；7、；8、；9、（1）2或-3，（2）m=2、y=0、x>0，（3）m=-3，y=0，x>0；10、
函数的图象与性质
1、抛物线的开口 ,对称轴是 ,顶点坐标是 ,当x 时, y随x的增大而增大, 当x 时, y随x的增大而减小.
2、将抛物线向下平移2个单位得到的抛物线的解析式为 ,再向上平移3个单位得到的抛物线的解析式为 ,并分别写出这两个函数的顶点坐标 、 .
3、任给一些不同的实数k，得到不同的抛物线，当k取0，时，关于这些抛物线有以下判断：①开口方向都相同；②对称轴都相同；③形状相同；④都有最底点.其中判断正确的是 .
4、将抛物线向上平移4个单位后，所得的抛物线是 ，当x= 时，该抛物线有最 （填大或小）值，是 .
5、已知函数的图象关于y轴对称，则m＝________；
6、二次函数中，若当x取x1、x2（x1≠x2）时，函数值相等，则当x取x1+x2时，函数值等于 .

参考答案3：1、下，x=0，（0，-3），<0，>0；2、，，（0，-2），（0，1）；3、①②③；4、，0，小，3；5、1；6、c.

函数的图象与性质
1、抛物线，顶点坐标是 ,当x 时,y随x的增大而减小， 函数有
最 值 .
2、试写出抛物线经过下列平移后得到的抛物线的解析式并写出对称轴和顶点坐标.
（1）右移2个单位；（2）左移个单位；（3）先左移1个单位，再右移4个单位.
3、请你写出函数和具有的共同性质（至少2个）.
4、二次函数的图象如图：已知，OA=OC，试求该抛物线的解析式.

5、抛物线与x轴交点为A，与y轴交点为B，求A、B两点坐标及⊿AOB的面积.
6、二次函数，当自变量x由0增加到2时，函数值增加6.（1）求出此函数关系式.（2）说明函数值y随x值的变化情况.
7、已知抛物线的顶点在坐标轴上，求k的值.

参考答案4：1、（3，0），>3，大，y=0;2、，，;3、略；4、；5、（3，0），（0，27），40.5；6、，当x<4时，y随x的增大而增大，当x>4时，y随x的增大而减小；7、-8，-2，4.

的图象与性质
1、请写出一个二次函数以（2, 3）为顶点，且开口向上.＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.
2、二次函数 y＝(x－1)2＋2，当 x＝＿＿＿＿时，y 有最小值.
3、函数 y＝ (x－1)2＋3，当 x＿＿＿＿时，函数值 y 随 x 的增大而增大.
4、函数y=(x+3)2-2的图象可由函数y=x2的图象向 平移3个单位，再向 平移2个单位得到.
5、 已知抛物线的顶点坐标为，且抛物线过点，则抛物线的关系式是
6、 如图所示，抛物线顶点坐标是P（1，3），则函数y随自变量x的增大而减小
的x的取值范围是（ ）
A、x>3 B、x<3 C、x>1 D、x<1
7、已知函数.
（1） 确定下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标；
（2） 当x= 时，抛物线有最 值，是 .
（3） 当x 时，y随x的增大而增大；当x 时，y随x的增大而减小.
（4） 求出该抛物线与x轴的交点坐标及两交点间距离；
（5） 求出该抛物线与y轴的交点坐标；
（6） 该函数图象可由的图象经过怎样的平移得到的？
8、已知函数.
（1） 指出函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；
（2） 若图象与x轴的交点为A、B和与y轴的交点C，求△ABC的面积；
（3） 指出该函数的最值和增减性；
（4） 若将该抛物线先向右平移2个单位，在向上平移4个单位，求得到的抛物线的解析式；
（5） 该抛物线经过怎样的平移能经过原点.
（6） 画出该函数图象，并根据图象回答：当x取何值时，函数值大于0；当x取何值时，函数值小于0.

参考答案5：1、略；2、1；3、>1；4、左、下；5、；6、C；7、（1）下，x=2，（2，9），（2）2、大、9，（3）<2、>2,(4)( ,0)、( ,0)、 ，（5）（0，-3）；（6）向右平移2个单位，再向上平移9个单位；8、（1）上、x=-1、（-1，-4）；（2）（-3，0）、（1，0）、（0，-3）、6，（3）-4，当x>-1 时，y随x的增大而增大；当x<-1 时，y随x的增大而减小,(4) ；（5）向右平移1个单位，再向上平移4个单位或向上平移3个单位或向左平移1个单位；（6）x>1或x<-3、-3<x<1

的图象和性质
1、抛物线的对称轴是 .
2、抛物线的开口方向是 ，顶点坐标是 .
3、试写出一个开口方向向上，对称轴为直线x=-2，且与y轴的交点坐标为（0，3）的抛物线的解析式 .
4、将 y＝x2－2x＋3 化成 y＝a (x－h)2＋k 的形式，则 y＝＿＿＿＿.
5、把二次函数的图象向上平移3个单位，再向右平移4个单位，则两次平移后的函数图象的关系式是
6、抛物线与x轴交点的坐标为_________；
7、函数有最____值，最值为_______；
8、二次函数的图象沿轴向左平移2个单位，再沿轴向上平移3个单位，得到的图象的函数解析式为，则b与c分别等于（ ）
A、6，4 B、－8，14 C、－6，6 D、－8，－14
9、二次函数的图象在轴上截得的线段长为（ ）
A、 B、 C、 D、

10、通过配方，写出下列函数的开口方向、对称轴和顶点坐标：
（1）； （2）； （3）
11、把抛物线沿坐标轴先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，问所得的抛物线有没有最大值，若有，求出该最大值；若没有，说明理由.

12、求二次函数的图象与x轴和y轴的交点坐标
13、已知一次函数的图象过抛物线的顶点和坐标原点
1） 求一次函数的关系式；
2） 判断点是否在这个一次函数的图象上
14、某商场以每台2500元进口一批彩电.如每台售价定为2700元，可卖出400台，以每100元为一个价格单位，若将每台提高一个单位价格，则会少卖出50台，那么每台定价为多少元即可获得最大利润？最大利润是多少元？

参考答案6：1、x=-2；2、上、（3，7）；3、略；4、；5、；6、（-2，0）（8，0）；7、大、；8、C；9、A；10、（1）、上、x=2、（2，-1），（2）
、下、、（），（3）、下、x=2、（2，-3）；11、有、y=6；12、（2，0）（-3，0）（0，6）；13、y=-2x、否；14、定价为3000元时，可获最大利润125000元

的性质
1、函数的图象是以为顶点的一条抛物线，这个二次函数的表达式为
2、二次函数的图象经过原点，则此抛物线的顶点坐标是
3、如果抛物线与轴交于点，它的对称轴是，那么
4、抛物线与x轴的正半轴交于点A、B两点，与y轴交于点C，且线段AB的长为1，△ABC的面积为1，则b的值为______.
5、已知二次函数的图象如图所示，
则a___0，b___0，c___0，____0；

6、二次函数的图象如图，则直线
的图象不经过第 象限.

7、已知二次函数（）的图象如图所示，则下列结论：
1）同号；2）当和时，函数值相同；3）；4）当时，的值只能为0；其中正确的是

8、已知二次函数与反比例函数的图象在第二象限内的一个交点的横坐标是-2，则m=
9、二次函数中，若，则它的图象必经过点（ ）

10、函数与的图象如图所示，
则下列选项中正确的是（ ）
A、 B、
C、 D、
11、已知函数的图象如图所示，则函数的图象是（ ）

12、二次函数的图象如图，那么abc、2a+b、a+b+c、
a-b+c这四个代数式中，值为正数的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个

13、抛物线的图角如图，则下列结论：
①＞0；②；
③＞；④＜1.其中正确的结论是（     ）.

（A）①②   （B）②③   （C）②④   （D）③④

14、二次函数的最大值是，且它的图象经过，两点，求、、
15、试求抛物线与轴两个交点间的距离（）

参考答案7：1、；2、（-4，-4）；3、1；4、-3；5、>、<、>、>；6、二；7、②③；8、-7；9、C；10、D；11、B；12、C；13、B；14、；15、
二次函数解析式
1、抛物线y=ax2+bx+c经过A(-1,0), B(3,0), C(0,1)三点，则a= , b= , c=

2、把抛物线y=x2+2x-3向左平移3个单位，然后向下平移2个单位，则所得的抛物线的解析式为 .
3、 二次函数有最小值为，当时，，它的图象的对称轴为，则函数的关系式
为
4、根据条件求二次函数的解析式
（1）抛物线过（-1，-6）、（1，-2）和（2，3）三点
（2）抛物线的顶点坐标为（-1，-1），且与y轴交点的纵坐标为-3
（3）抛物线过（－1，0），（3，0），（1，－5）三点；
（4）抛物线在x轴上截得的线段长为4，且顶点坐标是（3，－2）；

5、已知二次函数的图象经过、两点，且与轴仅有一个交点，求二次函数的解析式

6、抛物线y=ax2+bx+c过点(0,-1)与点(3,2)，顶点在直线y=3x-3上，a<0,求此二次函数的解析式.

7、已知二次函数的图象与x轴交于A（-2，0）、B（3，0）两点，且函数有最大值是2.
（1） 求二次函数的图象的解析式；
（2） 设次二次函数的顶点为P，求△ABP的面积.

8、以x为自变量的函数中，m为不小于零的整数，它的图象与x轴交于点A和B，点A在原点左边，点B在原点右边.(1)求这个二次函数的解析式；(2)一次函数y=kx+b的图象经过点A，与这个二次函数的图象交于点C，且=10,求这个一次函数的解析式.

参考答案8：1、、、1；2、；3、；4、（1）
、（2）、（3）、（4）；5、；6、；7、（1）、5；8、、y=-x-1或y=5x+5

二次函数与方程和不等式
1、已知二次函数与x轴有交点，则k的取值范围是 .
2、关于x的一元二次方程没有实数根，则抛物线的顶点在第_____象限；
3、抛物线与轴交点的个数为（ ）
A、0 B、1 C、2 D、以上都不对
4、二次函数对于x的任何值都恒为负值的条件是（ ）
A、 B、 C、 D、
5、与的图象相交，若有一个交点在x轴上，则k为（ ）
A、0 B、-1 C、2 D、
6、若方程的两个根是－3和1，那么二次函数的图象的对称轴是直线（ ）
A、＝－3 B、＝－2 C、＝－1 D、＝1
7、已知二次函数的图象与轴只有一个公共点，坐标为，求的值
8、画出二次函数的图象，并利用图象求方程的解，说明x在什么范围时.
9、如图：
（1） 求该抛物线的解析式；
（2） 根据图象回答：当x为何范围时，该函数值大于0.

10、二次函数的图象过A(-3,0),B(1,0),C(0,3),点D在函数图象上，点C、D是二次函数图象上的一对对称点，一次函数图象过点B、D，求（1）一次函数和二次函数的解析式，（2）写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围.

11、已知抛物线.
（1）求证此抛物线与轴有两个不同的交点；
（2）若是整数，抛物线与轴交于整数点，求的值；
（3）在（2）的条件下，设抛物线顶点为A，抛物线与轴的两个交点中右侧交点为B.
若M为坐标轴上一点，且MA=MB，求点M的坐标.

参考答案9：1、且；2、一；3、C；4、D；5、C；6、C；7、2，1；8、；9、（1）、x<0或x>2；10、y=-x+1，,x<-