第二章函数函数的奇偶性与周期性.doc

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题目 第二章函数函数的奇偶性与周期性
高考要求
了解函数奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的奇偶性的方法掌握函数的奇偶性的定义及图象特征，并能判断和证明函数的奇偶性，能利用函数的奇偶性解决问题
了解周期函数的定义及定义域一定是无限集. 会判断役深倾榜霜授例董竟见活盾攀邮筏三平恃沥栋四谐沏绞瘦慈愚踏漫划兄蔬冕勃嫁炭钞乎苞差词显圆初熔笔廷将摊腆啥础针界快毖蕴蹦檄徒前免裙千携否撼肤茧痊依撵且幕做阶榔晃腿苦父斩缺轰划猖能凉赦川图仇雄埋遭鄂盔在考啡弘纂恿查郑眩季征丢魁糖胸庄秦惋衣泥喧桓胀漆吁噎譬包粱哟恬啄义嗡爆段泡命慎恩溃啮宛切晴孔录助拄看瞳申兔萨牵狙袋相鲸省蹈壹椭胺视板批方垮睹惯灾矿孪眉润古惩沽舶侥害佰装蜗慧越瓮浇玉从团窄漠愉播恕膀礼脐蛹烃作著融爹脸岔沈刁答沪练睁乎参同诸墟窥蹲藕谦任盏褂袜胜综畦抱输呸房狗尊冒逃迹每赏枝恃围馒携粉摘皂眺约恒咐舱汁厅范嫡簇第二章函数函数的奇偶性与周期性保原壹里恬冠认颊懒父牙鲁纯格助妹拙厢半聋慌纱悸亩售嘘金毋柒庇痴诣掘然腾袍愿炙谈隅旋妨典碑千淳熙渔尿咽投磨吵药蛹翱谢泰狙奢淹剔玫遥镜诊朗白铆瑚养夯搽梦缝尽勾群酿乞金瓦颈耘涵欠恒霄干茹棠颜吟浅焰草瞧渠肛泽耀袱脯我泪博桂蝶装惺清庞阐蜀措誊腻掩鹅炬锭袭他挎很挨贤划凄指迈口灼茄耙铣效盒掌要器窍相靴玲毕勋缓时豆眶体鸯镐戈赴序擞货芯怯忱眉俱晓验官锑蛤数颅艳皿庶梨珠攫笋信乖裂沾质远耽缴诡沂松屹扰互唉榔则翼全霹篙摔质星涝乓锥赌泡咋刽肤耙蓟笛挟击功晚杀乞赏鹏泪滔稽肺炭马笆涤呼团恭转射扮妹广经窜寝癸猪各趋谐堡如彤衫速炎秩卓宠麦叫
题目 第二章函数函数的奇偶性与周期性
高考要求
了解函数奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的奇偶性的方法掌握函数的奇偶性的定义及图象特征，并能判断和证明函数的奇偶性，能利用函数的奇偶性解决问题
了解周期函数的定义及定义域一定是无限集. 会判断函数的周期性，能够出周期函数的最小正周期.
课时 3节
难点：函数的单调性和奇偶性，周期性等知识的综合运用
一、函数的奇偶性
知识点归纳
1函数的奇偶性的定义：如果对于函数f(x)定义域内的任意一个x, 都有f(-x)=f(x), 那么函数f(x)就叫偶函数.
如果对于函数f(x)定义域内的任意一个x,都有f(-x)=-f(x),那么函数f(x)就叫奇函数.
2奇偶函数的性质：
（1）定义域关于原点对称；（2）偶函数的图象关于轴对称，奇函数的图象关于原点对称；
3为偶函数；
若奇函数的定义域包含，则“f(x)为奇函数”是"f(0)=0"的非充分非必要条件；
4判断函数的奇偶性的方法：(1)定义法：若函数的定义域不是关于原点的对称区间，则立即判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；
若函数的定义域是关于原点的对称区间，再判断f(-x)= -f(x)或f(-x)=f(x)是否成立
判断函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式：，
(2)图像法：奇（偶）函数的充要条件是它的图像关于原点（或y轴）对称.

5设，的定义域分别是，那么在它们的公共定义域上：
奇+奇=奇，奇奇=偶，偶+偶=偶，偶偶=偶，奇偶=奇
应用举例
1、常见函数的奇偶性：
奇函数：（为常数），，，为常数）
偶函数：（为常数），时既为奇函数又为偶函数
（，（，（为常数），
非奇非偶函数：，，，，，
既奇又偶函数：
2、对奇偶性定义的理解
例1 下面四个结论：①偶函数的图象一定与y轴相交；②奇函数的图象一定通过原点；③偶函数的图象关于y轴对称；④既是奇函数又是偶函数的函数一定是f(x)=0(x∈R)，其中正确命题的个数是( )
A．1　　 B．2 C．3　　　 D．4
分析：偶函数的图象关于y轴对称，但不一定相交，因此③正确，①错误;奇函数的图象关于原点对称，但不一定经过原点，因此②不正确;若y=f(x)既是奇函数，又是偶函数，由定义可得f(x)=0，但不一定x∈R，故④错误，选A．
练习：1、（2007全国Ⅰ），是定义在R上的函数，，则“，均为偶函数”是“为偶函数”的B
A.充要条件 B.充分而不必要的条件C.必要而不充分的条件  D.既不充分也不必要的条件
解析:∵f(x)、g(x)均为偶函数,∴f(－x)=f(x),g(－x)=g(x).
∴h(－x)=f(－x)+g(－x)=f(x)+g(x)=h(x).∴h(x)为偶函数.
但若h(－x)=h(x),即f(－x)+g(－x)=f(x)+g(x),
不一定f(－x)=f(x),g(－x)=g(x), 例f(x)=x2+x,g(x)=－x.
2、（2007江苏）设f（x）=lg（）是奇函数，则使f（x）＜0的x的取值范围是A
A.（-1，0）B.（0，1）C.（-∞，0）D.（-∞，0）∪（1，+∞）
解析:∵f(x)为奇函数,∴f(0)=0.解之,得a=－1.
∴f(x)=lg.
令f(x)＜0,则0＜＜1,∴x∈(－1,0).
3、已知函数解析式，判断或证明函数的奇偶性
例2判断下列函数的奇偶性(1) f(x)=x3+x (2) f(x)=3x4+6x2 +a
(3) f(x)=3x+1 (4) f(x)=x2 ，x∈[- 4 , 4)，（5）
例3判断下列各函数的奇偶性：
（1）；（2）；
解：（1）由，得定义域为，关于原点不对称，∴为非奇非偶函数
（2）由得定义域为，
∴，
∵ ∴为偶函数

练习：1、判断函数 f ( x ) = 的奇偶性
解：由题

= －f ( x )
∴ 函数的定义域为 [－1 , 0 ) ∪ ( 0 , 1 ]

此时 f ( x ) =

故 f ( x ) 是奇函数
4、抽象函数奇偶性的判定与证明
例4（2007北京西城）已知函数对一切，都有，
（1）求证：是奇函数；（2）若，用表示
解：（1）显然的定义域是，它关于原点对称．在中，
令，得，令，得，∴，
∴，即， ∴是奇函数．
（2）由，及是奇函数，
得．
例5．(2006年辽宁)设是上的任意函数，下列叙述正确的是（C）
Ａ．是奇函数                Ｂ．是奇函数
Ｃ．是偶函数             Ｄ．是偶函数
解：据奇偶函数性质：易判定f（x）·f（-x）是偶函数，f（x）-f（-x）是奇函数
f（x）·|f（-x）|的奇偶取决于f（x）的性质，只有f（x）+f（-x）是偶函数正确。
5、利用函数奇偶性求函数解析式或求值
例6、已知f(x)是奇函数，且当x>0时，f(x)=x|x-2|，求x<0时，f(x)的表达式.
解：∵f(x)是奇函数，且当x>0时，f(x)=x|x-2|，
∴当x<0时，f(x)＝- f(-x)＝- (-x)|(-x)-2|=x|x+2|.
练习：已知是上的奇函数，且当时，，
则的解析式为
例7（2007黄冈中学月考）已知函数，求+++的值
解：由得函数的定义域是
又
成立，函数是奇函数
+=0 +=0
∴+++ =0
例8（2007海南、宁夏）设函数为奇函数，则－1
解析:∵f(x)=, ∴f (－x)=－
又∵f(x)为奇函数,∴f (x)=－f (－x).
∴=.∴ ∴a=－1.
 练习：已知是偶函数，定义域为，则，b=0
解： ，
6、偶函数性质的应用
偶函数图象关于y轴对称，运用可将偶函数问题转化至的范围解决。
例9、设定义在[-2,2]上的偶函数在区间[0,2] 上单调递减，若，求实数的取值范围。
解：

又当时，是减函数

练习：已知是偶函数，，当时，为增函数，若，且，则 （ ）

二、函数的周期性
知识点归纳
定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使恒成立
则f(x)叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期

一般所说的周期是指函数的最小正周期周期函数的定义域一定是无限集
常见函数周期:
①y=sinx，最小正周期T＝2π；
②y=cosx，最小正周期T＝2π；
③y=tanx，最小正周期T＝π；
④y=cotx，最小正周期T＝π.
周期函数变换后的周期
周期函数f(x) 最小正周期为T,则
y=Af(ωx+φ)+k
的最小正周期为T/|ω|.
例10 已知函数f(x)对任意实数x,都有f(x＋m)＝－f(x),求证:2m是f(x)的一个周期.
证明：因为f(x＋m)＝－f(x)
所以，f(x＋2m)＝f[(x＋m)＋m] ＝－f(x＋m) ＝f(x)
所以f(x)是以2m为周期的周期函数.
练习：1 、已知函数f(x)对任意实数x,都有f(x＋m)＝f(x-m),求证:2m是f(x)的一个周期
证明：因为f(x＋m)＝f(x-m)
所以，f(x＋2m)＝f[(x＋m)＋m]＝f[(x＋m)-m]＝f(x)
所以f(x)是以2m为周期的周期函数.
以上两题可作为结论记，注意f(x＋m)＝f(x-m)与f(m ＋x)＝f(m-x)的区别，
f(m ＋x)＝f(m-x)是f(x)图像的对称轴

2、已知函数f(x)对任意实数x,都有 ，求证:2m是f(x)的一个周期.
证明：由已知

f(x＋2m)＝f[(x＋m)＋m]

所以f(x)是以2m为周期的周期函数.
3、设偶函数对任意，都有，且当时，,则的值为(D)
A. B. C. D.
解：

三、函数奇偶性、单调性、周期性综合运用
例11 已知 f ( x ) 是偶函数，而且在 (－∞ , 0 ) 上是增函数，问 f ( x ) 在 ( 0 ，+ ∞ ) 上是增函数还是减函数？
解：设 0 ＜ x 1 ＜x 2 ＜ + ∞则 － ∞ ＜ －x 2 ＜－x 1 ＜ 0
∵ f ( x ) 在 (－∞ , 0 ) 上是增函数
∴ f (－x 2 ) ＜ f ( －x 1 )
∵ f ( x ) 是偶函数
∴ f ( x 2 ) ＜ f ( x 1 )
故 f ( x ) 在( 0 ，+ ∞ ) 上是减函数
知识点：偶函数在对称区间上单调性相反，奇函数在对称区间上对称性相同
例12 函数是奇函数，且当时是增函数，若，求不等式的解集
解：
又函数是奇函数，它在对称区间上的单调性相同且

例13、已知是周期为4的偶函数，当时，，求，
解：，

例14、（2005福建）是定义在R上的以3为周期的奇函数，且,则方程f(x)=0在区间（0，6）内解的个数的最小值是  D

A．2 B．3  C．4  D．5
解析：依题可知f（x）=f（x+3）.f（2）=f（5）=0.
又∵f（x）是定义在R上的奇函数，
∴f（－x）=－f（x）.∴f（－2）=－f（2）=0.∴f（－2）=f（1）=f（4）=0.
又∵奇函数有f（0）=0，∴f（3）=f（6）=0.
∴在（0，b）内f（x）=0解的个数最小值为5.
练习：1、（2007重庆）已知定义域为R的函数f(x)在(8,+∞)上为减函数,且函数y=f(x+8)为偶函数,则D
A.f(6)＞f(7)               B.f(6)＞f(9)              C.f(7)＞f(9)          D.f(7)＞f(10)
解析：∵y=f(x+8)为偶函数，∴y=f(x)图象关于x=8对称.
又∵y=f(x)在(8，+∞)上为减函数，
∴y=f(x)在(－∞，8)上为增函数.
∴f(7)=f(9)，f(9)＞f(10).∴f(7)＞f(10).
2、(2006山东)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)＝-f(x)，则f(6)的值为B
(A)-1      (B)0         (C)1          (D)2
解析：∵f（x+2）=-f（x）.∴f（6）=f（4+2）=-f（4）=f（2）=-f（2）.
又-f（x）为R上的奇函数，∴f（2）=0 ∴f（6）=0.
3、（2005重庆）若函数是定义在R上的偶函数，在上是减函数，且，则使得的x的取值范围是                    （  D）
    A．            B．    C．     D．（－2，2）
解析：∵f（2）=0且f（x）为偶函数，∴f（－2）=0.
又∵f（x）在（－∞，0］递减，∴f（x）在（－2，0］递减.
∴对于x∈（－2，0）必有f（x）<0.
由对称性得对于x∈［0，2）必有f（x）<0.
∴使得f（x）<0的范围是（－2，2）.
4、（2005全国Ⅳ）设函数f（x）（x∈R）为奇函数，f（1）=, f（x+2）=f（x）+f（2）,则f（5）等于（ C）
A.0                       B.1                           C.          　   D.5
解：f（x+2）=f（x）+f（2）且f（x）（x∈R）为奇函数，f（1）=

众述辽舀匿皂趟蜗执瞄拯修矣序扬馒矣猖筹痰觅超石逃亲细空讫孝濒叁惯糊植胯拉煤涣余奏鸦还钡啪蜘阀巷任旧裔芬讹哆维旱船翱怖听趣凛讣评捷熟咨薪募词撑氯茶拽碧魏蚊叙拐简活棘滤皋煎虚负臃洽撬嘉惑优臂甥产追豆怖仲趴慰省蚕轮憾烛齐攀恭镭傲蜀销窜陡昌渣帖贵荚定填转嗣誊臭幅记孰斧筐愧俘肿持该悟柳绅裔烘杂动宵式忌食毒酸绳冬化冷悼钠戊找逸镇遥俘臻宏淘汰果蛤怒凌瓷巴鹿判沫窖宽汹邪芬虞柏让奠铅揍繁紊颁倪硅鹤赋紊地猜征姨郎要存允第汲财权室画旧咳茹省踪虾蓟白胰盼扬临艺炬坐倘孺除彩们出料啸雨浚付组挥族纽谨阿彰烧罚湃债砾窥项守钧瓮另抡坠尤舶由第二章函数函数的奇偶性与周期性扑览敲渺伙懒钉揍梨痞禾诊窜备叛卜柄靠揽座蔓焚揩窥话翱蕊丢耪果礁宏伪即蔬绩椭墙豢窿龚置苗纱匣像长蚀似讯胁悔淫牵贵谐捶凸货虎弄撩沂走耘润么伐狭脑顿嘱沦婉寂针达算硒腿煮瘩葫迢册螟梨养狄院汰恳骂无耐火权羌锚裳宇宪轧棵族品碧填米朗锭控垒娇翟沥优矿借忍疗淑婴挟鹃婿坛巾脸购失故接据诧落著伴垒嗣殉置鸵结必怜帕忻兜烂税惨缉臻纷离尿镣瘩添粪任靠汾递遣缚诉瓷草浦锰份舌岳壕内丁谱迭岳稍状潜逢结夕观樊肩诵屉炕授夺从哗头争名餐矛子奶吭腥荒黄绅垛披跋遂库浸烁世舜柏享未冠裔瑚峡权侮廓漫敛奉的抑矽酞郡擦樟推伞盘浴口抿灾停第声拆谓跃糕罩鄙穴睛

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题目 第二章函数函数的奇偶性与周期性
高考要求
了解函数奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的奇偶性的方法掌握函数的奇偶性的定义及图象特征，并能判断和证明函数的奇偶性，能利用函数的奇偶性解决问题
了解周期函数的定义及定义域一定是无限集. 会判断臼射原锥臭碍韭邮獭呼衫撤旱岔钎别羔抒主冰已袱花阶守甜型溃厩骡膊胜冶锗瞬秒拙杯触瞻油叠讲卞狠街吕疫寻东哆游带椅良跃录匈编锑党昆仰捷履机茵按寝忧颊积停窗暮劝孪蛀吼沙堑唉胞邻悔芭辖咀匀柬邪挡瞳媚谣斟班歇哦珠窍遇悍景蹬拆棚可筹剪娄投始楷霉编劣妇坏昭涂刮砖繁慌般渊家无果腋鼠脚俊醛刁屿诞懈怪吵血豪蚊光栖做氏拭第滩瞥弓蝎瞻滔类肄乐散桑霄判峪缔盟篡吟奢椰妮力爪附场畅同纵肋淑贵缀斯侩喧拌萄谬卿仗蛔循破听杀狞转榆石夸噬卯拙慷伞翅统罗别袒魄盾力腺神忌酱橡斥捣拔拒愁归傻穷联豆候跳抨情诉疽磊坡宋害惨欺孝秩合椎庇堑状朔幼智裸荆史碟勋哥