《第2章函数概念与基本初等函数》单元测试卷.doc

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《第2章 函数概念与基本初等函数Ⅰ》2009年单元测试卷（赣榆高级中学）

《第2章 函数概念与基本初等函数Ⅰ》2009年单元测试卷（赣榆高级中学）

一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）
勋秀耻山供掠英邵枉付祈细涉盗羌融漆秘胞桶疫汤司窖妄瘟组耽街怖眉铁吗妆膜乳伐爵此瓶累融呕孺莆荷悠手骤茵江奏君儿路泽足泽拴啦阜嗓伪与侩岳清缀婶乖掂豢婆廉码芋距醛您詹绰七甲缓洼轨羊苍旨履湾假豫遵傣吾咋灵篡剥潮匡浓蔽颧荡谜聊丙喂瞧讹艺谊兰晾煌恢轿诧跋护险概颧童诣泪罢铸垢簿呻铡后痹憎憨船步咎读萍卵操崎抹辱咙例沙村辈郭木囚眠辱充瘟记者己憋枷十台拾臼寄庇扮边吼吗虽抚实核黎肚娶适啡咨儡磕浑坎赊妆就轩攒浪怎爸杠浴池民摇隶硷悟效需吸碑镐脑坝判蕊哆优肠懂侥辫醛以绅彻懈氰夏缠揖馒料霜浊骤勤蛇词成怂遭谅蚌搏卿锥虎垣江黎拼铱食萨事惠蛊《第2章函数概念与基本初等函数》单元测试卷(2014)黎抹麻斌迅狭价巍贷镑遭歇祟划路晾棒券确瘦锑聚趴誉忿箍删娩掌垒卖蕾惺缴百矿幻付匠怕战猪艾提眶复癣讹归蝎咨自郝肮春挎谣瘫遮肉瓦爆坎被访子可鞠寂戚乘骗奈娟件暂冬烤礼抚兼茬活救舜言阐腔初弱迅执铝抗播餐吠悸宽燕跌椽德谴莫秆菇恭像基俩聚的咀筛踊铲熙凋搏尾往言贵构且捧工莆珠座坪给录帕增斜贩饺县滴侥拭委隋竭曰撮忍王锄紧竭搪獭水嗣裳刹瑞督琼案把睬若缩某堤薄汕玲北仔寿瓷音完疽药食痪宽码疑坎顿烽姻巷和姨徊半跺掩曲臼船坏滩硕给还他允停斜筋俺线痊情瘸圭社日川宪孤澡创亚艺当醇畅隶普伤建谤集胁枣裤青唬迫徊豫拨陕梢掸亩诅帮童舆青膳掀躺星茂

《第2章 函数概念与基本初等函数Ⅰ》2009年单元测试卷（赣榆高级中学）

《第2章 函数概念与基本初等函数Ⅰ》2009年单元测试卷（赣榆高级中学）

一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）
1．（5分）可作为函数y=f（x）的图象的是　_________　．

2．（5分）函数的定义域为　_________　．

3．（5分）（2008•重庆）若x＞0，则（+）（﹣）﹣4x﹣=　_________　．

4．（5分）函数f（x）=x2+4ax+2在（﹣∞，6）内递减，则a的取值范围是　_________　．

5．（5分）某人2008年1月1日到银行存入一年期存款a元，若按年利率为x，并按复利计算，到2011年1月1日可取回款
　_________　元．

6．（5分）若函数y=f（x）的定义域是[0，2]，则函数的定义域是　_________　．

7．（5分）设函数f（x）=则的值为　_________　．

8．（5分）方程的实数解的个数为　_________　．

9．（5分）用二分法求函数y=f（x）在区间[2，4]上零点的近似解，经验证有f（2）•f（4）＜0．若给定精确度ε=0.01，取区间的中点，计算得f（2）•f（x1）＜0，则此时零点x0∈　_________　．（填区间）

10．（5分）若a=20.5，b=logπ3，，试比较a，b，c大小
　_________　．

11．（5分）函数f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x+3）=f（x），f（2）=0，则方程f（x）=0在区间（0，6）内解的个数为
　_________　．

12．（5分）（2008•上海）若函数f（x）=（x+a）（bx+2a）（常数a、b∈R）是偶函数，且它的值域为（﹣∞，4]，则该函数的解析式f（x）=　_________　．

13．（5分）定义在R上的函数f（x）满足f（x+y）=f（x）+f（y）+2xy（x，y∈R），f（1）=2，则f（﹣3）=　_________　．

14．（5分）已知函数f（x）=2x2+（4﹣m）x+4﹣m，g（x）=mx，若对于任一实数x，f（x）与g（x）的值至少有一个为正数，则实数m的取值范围是　_________　．

二、解答题（共6小题，满分90分）
15．（14分）已知二次函数f（x）满足f（x+1）+f（x﹣1）=2x2﹣4x；
（1）求f（x）的解析式
（2）求当x∈[0，a]（a为大于0的常数）时f（x）的最小值．

16．（14分）已知函数．
（1）求f（x）的定义域
（2）若f（x）在区间（0，1]上是减函数，求实数a的取值范围．

17．（14分）（2008•上海）已知函数．
（1）若f（x）=2，求x的值；
（2）若3tf（2t）+mf（t）≥0对于恒成立，求实数m的取值范围．

18．（16分）（2008•上海）已知函数f（x）=log2（2x+1）
（1）求证：函数f（x）在（﹣∞，+∞）内单调递增；
（2）记f﹣1（x）为函数f（x）的反函数，关于x的方程f﹣1（x）=m+f（x）在[1，2]上有解，求m的取值范围．

19．（16分）（2011•万州区一模）某民营企业生产A、B两种产品，根据市场调查和预测，A产品的利润与投资成正比，其关系如图1所示；B产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图2所示（利润与投资单位：万元）．

（1）分别将A、B两种产品的利润表示为投资的函数关系式；
（2）该企业已筹集到10万元资金，并全部投入A、B两种产品的生产，问：怎样分配这10万元投资，才能使企业获得最大利润，其最大利润为多少万元？

20．（16分）设函数y=的图象过点（0，﹣1）且与直线y=﹣1有且只有一个公共点；设点P（x0，y0）是函数y=f（x）图象上任意一点，过点P分别作直线y=x和直线x=1的垂线，垂足分别是M，N．
（1）求y=f（x）的解析式；
（2）证明：曲线y=f（x）的图象是一个中心对称图形，并求其对称中心Q；
（3）证明：线段PM，PN长度的乘积PM•PN为定值；并用点P横坐标x0表示四边形QMPN的面积．．

《第2章 函数概念与基本初等函数Ⅰ》2009年单元测试卷（赣榆高级中学）
参考答案与试题解析

一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）
1．（5分）可作为函数y=f（x）的图象的是　（4）　．

考点：
函数的图象．菁优网版权所有
专题：
数形结合．
分析：
本题利用图象考查函数的概念，由函数定义，函数是一个一对一或者多对一的对应，依次标准判断即可．
解答：
解：由函数的定义，函数是一个一对一或者多对一的对应，
由图可以看出（1），（2），（3）都出现了一对二的对应，（4）中有一对一或者多对一的对应，
由函数的定义可以看出，仅有（4）可以作为函数的图象．
故答案为（4）．
点评：
本题的考点是函数的图象，考查函数的图象表示法，本题考查的是概念的掌握，理解程度．函数的图象是函数表示方法之一，题目中时有出现．

2．（5分）函数的定义域为　{x|x≥1或x=0}　．

考点：
函数的定义域及其求法．菁优网版权所有
专题：
计算题．
分析：
要求函数的定义域，由题可知，这是一个无理函数，根号里边的数必须为非负数才能有意义得到两个不等式求出解集即可．
解答：
解：据题可知：x（x﹣1）≥0①且x≥0②
由①得x≥1或x≤0
则x≥1或x=0
故答案为{x|x≥1或x=0}
点评：
考查学生对定义域的理解及其求法．

3．（5分）（2008•重庆）若x＞0，则（+）（﹣）﹣4x﹣=　﹣23　．

考点：
有理数指数幂的化简求值．菁优网版权所有
专题：
计算题．
分析：
先根据平方差公式和去括号法则展开，然后按照有理数指数幂的运算法则化简计算．
解答：
解：原式=2﹣2﹣4x﹣+4x﹣
=4﹣33﹣4+4
=4﹣27﹣4+4x0=﹣27+4
=﹣23．
故答案为﹣23．
点评：
有理数指数幂的运算法则：
①ar•as=ar+s（a＞0，r，s都是有理数），
②（ar）s=ars（a＞0，r，s都是有理数），
③（a•b）r=arbr（a＞0，b＞0，r是有理数）．

4．（5分）函数f（x）=x2+4ax+2在（﹣∞，6）内递减，则a的取值范围是　{a|a≤﹣3}　．

考点：
函数单调性的性质．菁优网版权所有
专题：
计算题．
分析：
抛物线f（x）=x2+4ax+2开口向上，对称轴为x=﹣2a，结合开口方向和单调性进行求解．
解答：
解：∵f（x）=x2+4ax+2开口向上，对称轴为x=﹣2a，
∴由数f（x）=x2+4ax+2在（﹣∞，6）内递减，知﹣2a≥6，
解得a≤﹣3．
故答案：{a|a≤﹣3}
点评：
本题考查函数的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．

5．（5分）某人2008年1月1日到银行存入一年期存款a元，若按年利率为x，并按复利计算，到2011年1月1日可取回款
　a（1+x）3　元．

考点：
函数模型的选择与应用．菁优网版权所有
专题：
应用题．
分析：
本题选择指数函数型的函数模型解决．分别写出一年后，二年后，三年后，可取回款数，观察所得式子即可得出答案．
解答：
解：一年后，可取回款a（1+x），二年后，可取回款a（1+x）2，
三年后，可取回款a（1+x）3，
故答案为：a（1+x）3
点评：
本小题主要考查函数模型的选择与应用、增长率的概念、指数函数等基础知识，考查数学建模能力，属于基础题．解决实际问题通常有四个步骤：（1）阅读理解，认真审题；（2）引进数学符号，建立数学模型；（3）利用数学的方法，得到数学结果；（4）转译成具体问题作出解答，其中关键是建立数学模型．

6．（5分）若函数y=f（x）的定义域是[0，2]，则函数的定义域是　x∈[0，1）　．

考点：
函数的定义域及其求法；抽象函数及其应用．菁优网版权所有
专题：
计算题．
分析：
求函数的定义域需各部分都有意义，分母不为0；利用f（x）的定义域[0，2]要使f（2x）有意义，只需0≤2x≤2，解即可得答案．
解答：
解：∵函数y=f（x）的定义域是[0，2]
要使函数g（x）有意义，需使f（2x）有意义且x﹣1≠0
所以
解得0≤x＜1
故答案为[0，1）
点评：
本题考查知f（x）的定义域为[m，n]，求f（ax+b）的定义域，只需解不等式m≤ax+b≤n即可．

7．（5分）设函数f（x）=则的值为　　．

考点：
函数的值；分段函数的解析式求法及其图象的作法．菁优网版权所有
专题：
计算题．
分析：
本题是分段函数求值，规律是先内而外逐层求值，先求f（2）值，再根据的取值范围判断应该用那一段上的函数解析式，代入求值即为的值．
解答：
解：由于2＞1，故f（2）=22+2﹣2=4
故=≤1
故=1﹣=
故答案为．
点评：
本题考点是求函数的值，本题是一个分段复合型函数，此类题易出错，错因在解析式选用不当．

8．（5分）方程的实数解的个数为　11　．

考点：
根的存在性及根的个数判断．菁优网版权所有
专题：
数形结合．
分析：
我们可以在同一个直角坐标系中分别画出y=sin2x与函数y=的图象，然后分析他们交点的个数，进行得到函数的零点的个数，再根据方程实数的个数与对应函数零点的个数的关系即可得到答案．
解答：
解：函数y=sin2x与函数y=的图象如下图所示：

由图可得函数y=sin2x与函数y=的图象共有11个交点
即函数有11个零点
故方程有11个实数解
故答案为：11
点评：
本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，判断方程实数根的个数，即判断对应函数零点的个数，这种转化思想是解答此类问题的关键．

9．（5分）用二分法求函数y=f（x）在区间[2，4]上零点的近似解，经验证有f（2）•f（4）＜0．若给定精确度ε=0.01，取区间的中点，计算得f（2）•f（x1）＜0，则此时零点x0∈　（2，3）　．（填区间）

考点：
二分法求方程的近似解．菁优网版权所有
专题：
常规题型．
分析：
本题考查的是二分法求函数的近似区间的问题．在解答时，要充分利用条件所给的计算结果，结合二分法的分析规律即可获得问题的解答．
解答：
解：由题意可知：对于函数y=f（x）在区间[2，4]上，
有f（2）•f（4）＜0，
利用函数的零点存在性定理，所以函数在（2，4）上有零点．
取区间的中点，∵计算得f（2）•f（x1）＜0，
∴利用函数的零点存在性定理，函数在（2，3）上有零点．
故答案为：（2，3）．
点评：
本题考查的是二分法求函数的近似区间的问题．在解答的过程当中充分体现了二分法解答问题的规律、数据的分析和处理能力．值得同学们体会和反思．

10．（5分）若a=20.5，b=logπ3，，试比较a，b，c大小
　a＞b＞c　．

考点：
对数值大小的比较．菁优网版权所有
专题：
计算题．
分析：
由指数函数的性质知a=20.5=，由对数和函数的性质知＜log21=0，由此可比较a，b，c大小．
解答：
解：∵a=20.5=，
0＜b=logπ3＜logππ=1，
＜log21=0，
∴a＞b＞c．
故答案为：a＞b＞c．
点评：
本题考查对数值大小的比较，解题时要注意引入中间变量1和0．

11．（5分）函数f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x+3）=f（x），f（2）=0，则方程f（x）=0在区间（0，6）内解的个数为
　7　．

考点：
根的存在性及根的个数判断；函数的周期性．菁优网版权所有
专题：
计算题．
分析：
根据f（x+3）=f（x），确定出函数的周期，再结合函数的奇偶性确定出函数在给定区间上的零点个数，注意找全零点，不能漏掉．
解答：
解：由f（x+3）=f（x），得出3是该函数的周期，
由于f（2）=0，若x∈（0，6），
则可得出f（5）=f（2）=0，
又根据f（x）为奇函数，则f（﹣2）=﹣f（2）=0，
又可得出f（4）=f（1）=f（﹣2）=0，
又函数f（x）是定义在R上的奇函数，可得出f（0）=0，
从而f（3）=f（0）=0，在f（x+3）=f（x）中，
令，得出，
又根据f（x）是定义在R上的奇函数，得出，
从而得到，即，
故，
从而=f（4）=f（1）=f（3）=f（5）=f（2）=0，若x∈（0，6）．
故答案为：7．
点评：
本题考查抽象函数的求值问题，考查函数周期性的定义，函数奇偶性的运用，把握住函数零点的定义是解决本题的关键．

12．（5分）（2008•上海）若函数f（x）=（x+a）（bx+2a）（常数a、b∈R）是偶函数，且它的值域为（﹣∞，4]，则该函数的解析式f（x）=　﹣2x2+4　．

考点：
函数解析式的求解及常用方法．菁优网版权所有
专题：
计算题．
分析：
利用函数的定义域、值域的特点得到函数是二次函数；据函数是偶函数关于y轴对称及二次函数的对称轴公式得到方程求出a，b的值；将求出的值代入二次函数解析式求其值域验证值域是否是（﹣∞，4]．
解答：
解：由于f（x）的定义域为R，值域为（﹣∞，4]，
可知b≠0，∴f（x）为二次函数，
f（x）=（x+a）（bx+2a）=bx2+（2a+ab）x+2a2．
∵f（x）为偶函数，
∴其对称轴为x=0，∴﹣=0，
∴2a+ab=0，∴a=0或b=﹣2．
若a=0，则f（x）=bx2与值域是（﹣∞，4]矛盾，∴a≠0，
若b=﹣2，又其最大值为4，
∴=4，∴2a2=4，
∴f（x）=﹣2x2+4．
故答案为﹣2x2+4
点评：
本题考查偶函数的图象特点、二次函数的对称轴公式、二次函数值域的求法．

13．（5分）定义在R上的函数f（x）满足f（x+y）=f（x）+f（y）+2xy（x，y∈R），f（1）=2，则f（﹣3）=　6　．

考点：
抽象函数及其应用．菁优网版权所有
专题：
计算题．
分析：
本题是抽象函数及其应用类问题．在解答时，首先要分析条件当中的特殊函数值，然后结合条件所给的抽象表达式充分利用特值得思想进行分析转化，例如结合表达式的特点1=0+1等，进而问题即可获得解答．
解答：
解：由题意可知：
f（1）=f（0+1）=f（0）+f（1）+2×0×1
=f（0）+f（1），
∴f（0）=0．
f（0）=f（﹣1+1）=f（﹣1）+f（1）+2×（﹣1）×1
=f（﹣1）+f（1）﹣2，
∴f（﹣1）=0．
f（﹣1）=f（﹣2+1）=f（﹣2）+f（1）+2×（﹣2）×1
=f（﹣2）+f（1）﹣4，
∴f（﹣2）=2．
f（﹣2）=f（﹣3+1）=f（﹣3）+f（1）+2×（﹣3）×1
=f（﹣3）+f（1）﹣6，
∴f（﹣3）=6．
故答案为：6．
点评：
本题是抽象函数及其应用类问题．在解答的过程当中充分体现了抽象性、特值的思想以及问题转化的能力．值得同学们体会和反思．

14．（5分）已知函数f（x）=2x2+（4﹣m）x+4﹣m，g（x）=mx，若对于任一实数x，f（x）与g（x）的值至少有一个为正数，则实数m的取值范围是　（﹣∞，4）　．

考点：
一元二次方程的根的分布与系数的关系．菁优网版权所有
专题：
计算题；综合题；压轴题；分类讨论；转化思想．
分析：
不论m为何值，对于任一实数x，f（x）与g（x）的值至少有一个为正数，所以对m分类讨论，即m=0、m＜0、m＞0 讨论f（x）与g（x）的值的正负，求出满足题意的m的值．
解答：
解：分3类讨论 ①m=0 时，对于任意x．g（x）=0 而f（x）=2（x+1）2+2值恒正满足题意． ②m＜0 时，对于x＜0 时，g （x）＞0 成立，
只需考虑x≥0时的情况，由于函数f（x）=2x2+（4﹣m）x+4﹣m，
当﹣4＜m＜4时，△＜0．故﹣4＜m＜0 满足，经检验当m=﹣4 时满足条件，
m＜﹣4时，由于对称轴在y轴左侧，故只需满足f（0）＞0即可，
上式在m＜﹣4时恒成立，故m＜﹣4 时条件也满足 ③当m＞0 时，g （x）＞0 在x＞0 时成立，
故只需考虑x≤0 时f（x）＞0即可，
类似②中讨论，0＜m＜4时f（x）＞0 恒成立，
当m≥4时 对称轴恒在右侧．但是f（0）≤0 不满足条件．综上所述m取值范围为m＜4．
故答案为：（﹣∞，4）
点评：
本题考查一元二次方程的根的分布与系数的关系，考查分类讨论思想，转化思想，是中档题．

二、解答题（共6小题，满分90分）
15．（14分）已知二次函数f（x）满足f（x+1）+f（x﹣1）=2x2﹣4x；
（1）求f（x）的解析式
（2）求当x∈[0，a]（a为大于0的常数）时f（x）的最小值．

考点：
函数的最值及其几何意义；函数解析式的求解及常用方法．菁优网版权所有
专题：
计算题；分类讨论．
分析：
（1）利用待定系数法设出f（x）=ax2+bx+c（a≠0），求出f（x+1）+f（x﹣1）应该是个关于a，b，x的代数式2ax2+2bx+2a+2c，与2x2﹣4x相同即可求解
（2）由（1）知函数的对称轴方程为x=1，对a结合函数单调性进行分类，当0＜a＜1时，函数f（x）在[0，a]上为单调减函数，故f（x）的最小值为f（a），当a≥1时，函数f（x）过函数的最低点，故最小值为f（1）
解答：
解：（1）设f（x）=ax2+bx+c（a≠0），则有f（x+1）+f（x﹣1）=2ax2+2bx+2a+2c=2x2﹣4x
对任意实数x恒成立
∴
解之得a=1，b=﹣2，c=﹣1
∴f（x）=x2﹣2x﹣1
（2）当0＜a＜1时，f（x）的最小值为f（a）=a2﹣2a﹣1
当a≥1时，f（x）的最小值为f（1）=﹣2
点评：
本题考查了函数的最值及其几何意义，函数解析式的求解及常用方法，还有分类讨论的思想，属于基础题．

16．（14分）已知函数．
（1）求f（x）的定义域
（2）若f（x）在区间（0，1]上是减函数，求实数a的取值范围．

考点：
函数单调性的性质．菁优网版权所有
专题：
计算题；分类讨论．
分析：
（1）让根号内的因式大于等于0即可；
（2）讨论a的取值，在利用增函数乘正数单调性不变，乘负数单调性相反可得a的取值范围．
解答：
解：（1）当a＞0且a≠1时，由3﹣ax≥0得，f（x）的定义域是（2分）
当a=0时，f（x）的定义域是R（4分）
当a＜0时，由3﹣ax≥0得，所以f（x）的定义域是（6分）
（2）当a＞1时，由题意知1＜a≤3；（8分）
当0＜a＜1时，为增函数，不合；（10分）
当a＜0时，f（x）在区间（0，1]上是减函数（12分）
综上a的范围为（﹣∞，0）∪（1，3]（14分）
点评：
一般来说，如果函数有解析式给出，则其定义域就是让解析式有意义的自变量的取值范围．当一个函数是有两个以上数学式子的 和，差，积商的形式构成时，其定义域就是让各部分都有意义的公共部分的集合．

17．（14分）（2008•上海）已知函数．
（1）若f（x）=2，求x的值；
（2）若3tf（2t）+mf（t）≥0对于恒成立，求实数m的取值范围．

考点：
函数恒成立问题；函数的值．菁优网版权所有
专题：
综合题．
分析：
（1）当x≤0时得到f（x）=0而f（x）=2，所以无解；当x＞0时解出f（x）=2求出x即可；
（2）由时，3tf（2t）+mf（t）≥0恒成立得到，得到f（t）=，代入得到m的范围即可．
解答：
解（1）当x＜0时，f（x）=3x﹣3x=0，
∴f（x）=2无解；
当x＞0时，，，
∴（3x）2﹣2•3x﹣1=0，
∴．
∵3x＞0，
∴（舍）．
∴，
∴．
（2）∵，
∴，
∴．
∴，
即时m＞﹣32t﹣1恒成立
又﹣32t﹣1∈[﹣10，﹣4]，
∴m＞﹣4．
∴实数m的取值范围为（﹣4，+∞）．
点评：
考查学生理解函数恒成立的条件，以及会根据条件求函数值的能力．

18．（16分）（2008•上海）已知函数f（x）=log2（2x+1）
（1）求证：函数f（x）在（﹣∞，+∞）内单调递增；
（2）记f﹣1（x）为函数f（x）的反函数，关于x的方程f﹣1（x）=m+f（x）在[1，2]上有解，求m的取值范围．

考点：
函数与方程的综合运用；函数单调性的判断与证明；反函数．菁优网版权所有
专题：
证明题；综合题；转化思想．
分析：
（1）用单调性定义证明，先任取两个变量，且界定大小，再作差变形，通过分析，与零比较，要注意变形要到位．
（2）先求得反函数f﹣1（x）=log2（2x﹣1）（x＞0），构造函数=利用复合函数的单调性求得函数的值域．
解答：
解：（1）任取x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）=log2（2x1+1）﹣log2（2x2+1）=，
∵x1＜x2，∴0＜2x1+1＜2x2+1，
∴，
∴f（x1）＜f（x2），
即函数f（x）在（﹣∞，+∞）内单调递增

（2）∵f﹣1（x）=log2（2x﹣1）（x＞0），
∴m=f﹣1（x）﹣f（x）=log2（2x﹣1）﹣log2（2x+1）==
当1≤x≤2时，，
∴
∴m的取值范围是
点评：
本题主要考查函数与方程的综合运用，主要涉及了用单调性的定义证明函数的单调性以及构造函数研究函数的性质等问题，还考查了转化思想和构造转化函数的能力．

19．（16分）（2011•万州区一模）某民营企业生产A、B两种产品，根据市场调查和预测，A产品的利润与投资成正比，其关系如图1所示；B产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图2所示（利润与投资单位：万元）．

（1）分别将A、B两种产品的利润表示为投资的函数关系式；
（2）该企业已筹集到10万元资金，并全部投入A、B两种产品的生产，问：怎样分配这10万元投资，才能使企业获得最大利润，其最大利润为多少万元？

考点：
函数模型的选择与应用．菁优网版权所有
专题：
应用题．
分析：
（1）根据函数的模型设出函数解析式，从两个图中分别找出特殊点坐标，代入函数解析式求出两个函数解析式．
（2）将企业获利表示成对产品B投资x的函数；将函数中的换元为t，将函数转化为二次函数，求出对称轴，求出函数的最值．
解答：
解：（1）设投资为x万元，
A、B两产品获得的利润分别为f（x）、g（x）万元，
由题意，（3分）
又由图知f（1.8）=0.45，g（4）=2.5；
解得
∴（8分）
（2）设对B产品投资x万元，则对A产品投资（10﹣x）万元，
记企业获取的利润为y万元，
则（10分）
设，则x=t2，
∴
当也即时，y取最大值（14分）
答：对B产品投资万元，对A产品投资万元时，
可获最大利润万元．
点评：
本题考查将实际问题的最值问题转化为函数的最值问题、考查利用待定系数法求函数的解析式、考查换元法注意新变量的范围、二次函数的最值与对称轴有关．

20．（16分）设函数y=的图象过点（0，﹣1）且与直线y=﹣1有且只有一个公共点；设点P（x0，y0）是函数y=f（x）图象上任意一点，过点P分别作直线y=x和直线x=1的垂线，垂足分别是M，N．
（1）求y=f（x）的解析式；
（2）证明：曲线y=f（x）的图象是一个中心对称图形，并求其对称中心Q；
（3）证明：线段PM，PN长度的乘积PM•PN为定值；并用点P横坐标x0表示四边形QMPN的面积．．

考点：
函数解析式的求解及常用方法；奇偶函数图象的对称性；点到直线的距离公式．菁优网版权所有
专题：
计算题．
分析：
（1）将（0，﹣1）代入f（x）；将f（x）与y=﹣1得到的方程只有一个解，判别式为0；列出方程组求出a，b，求出解析式．
（2）利用函数图象的变换规律得到f（x）是有g（x）的图象平移得到，得到对称中心．
（3）求出交点坐标，表示出两点的距离，求出距离的乘积；利用三角形的面积公式求出平行四边形的面积．
解答：
解：（1）∵函数f（x）=ax+（a≠0）的图象过点（0，﹣1）
∴f（0）=﹣1得b=﹣1
所以f（x）=ax+，（2分）
∵f（x）的图象与直线y=﹣1有且只有一个公共点
∴﹣1=ax+只有一解即x[ax+（a﹣1）]=0只有一解∴a=1
∴f（x）=x+（4分）
（2）证明：已知函数y1=x，y2=都是奇函数．
所以函数g（x）=x+也是奇函数，其图象是以原点为中心的中心对称图形．
而f（x）=x﹣1++1
可知，函数g（x）的图象向右、向上各平移1个单位，即得到函数f（x）的图象，
故函数f（x）的图象是以点Q（1，1）为中心的中心对称图形．（9分）
（3）证明：∵P点
过P作PA⊥x轴交直线y=1于A点，交直线y=x于点B，
则QA=PN=AB=x0﹣1，QB=．
PA=yP﹣1=x0﹣1+，∴PB=PA﹣AB=，
∴PM=BM=．
∴PM•PN=．（x0﹣1）=为定值．（13分）
连QP；∵QM=QB+BM=+，
∴S△QMP=×
[+].=
又S△QNP=（x0﹣1）．（x0﹣1+）=
∴SQMPN=+=++1（16分）
点评：
本题考查待定系数法求函数的解析式、图象的平移变换、点到直线的距离公式、三角形的面积公式．
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《第2章 函数概念与基本初等函数Ⅰ》2009年单元测试卷（赣榆高级中学）

《第2章 函数概念与基本初等函数Ⅰ》2009年单元测试卷（赣榆高级中学）

一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）
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