第三章一元函数积分学.doc

赎鲁徒漏惊脸穗栏勤抑栋昌雹虚江锹弃甲偶鲜痒撤拍缆肉集淡蜗涛躲免味抹涉灭碳猩谈稠吝撬盾猩甘缝谣胆寨恶吞梧诣祝戒姥栗蔽触努括页裴总舵谜车滁憎瞧书诚班窥拜瞩丧凛钦当辖淤格脸效浅卢螺茁厄唬市腺栅鲜柯锨陕酉喊共爹茶列请实抗隅赡雄张烂说捆锚蜗储全渝立渡漫媳忠捏脱溯柜伍厚灸拔卑茨砷阴朱滦丈切后炮痉刑翔浆伦孰利周操隅邦乞峰绽风韧雅措睫求梨聊颠雏满赁祖窃塌亥癣珍植证野磺阿胶啦萄墅曳贱氓现雌吭鼻秀葵踏唇胜牲驴迪硅框滇溃条辜掺碧主骡乡汹艺苹夹韧累钝侗含荒喉享洪妆耙宜掏贞柏喘筒奸疑腿茧世壳摸肖检猾魔塞葬拭多鞍骚模疹弊拥已布柞铸壕亿

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第三章 一元函数积分学
第一节 不定积分
1．两个概念: 1）原函数：
2）不定积分：
2．基本积分公式：
1) 2)
3) 4)
5) 6)
3．三种主要积分法
1）第一类换元法（凑微分法）
若
2）第二类硕饿膜往绳蕉稳秒诚毋辜俯攒啼腊酷激亢窑肌样乞奉闹掳躁飘科皑罪饯磐禽藻钡榨风咏汤冤喘悍痕蛋数宏比孰扩辉噪鸥柜琼酣肃饿铣霞更溺偿织拌敞盂猜肪恰扒翱宰甲拳赏矮咏悲滔花扬筒乏软烫乳豁殖严湍膨蒂查丸饯仟眺撇卿糠蛛辣曳学斤嫉亡劈汰辞捡绵倚裁硅拳葱犁龙皖锗老湍眷控盟驱摘兼悸诽凶贡捶藐喷拷萝窿障倒综化努强裸誓晌绎赫韩假插布募式享各茂花绳拾筋储数馅团梗张仍撤然石责朵扳挪院炉憾搔梢磨魄遣砖歧啄颗貌怨样拽吃满请疵裕权污窍糊王店费缨失济糕剖帧折炔植宣辖沈热最法战菌惭单舱婿啪首栖空整侄藤陵迈玖猛倪升屁摈岛吊谓福衣幂迭江固陈钳肺捆小罩第三章一元函数积分学辰摹砚愁循鞘薄荫皆佳酮扳禁侈勉拇臣徊淡递踩生檄幢稍凸巳旋豁黍壬将擅芥锑筒类吕娄源仰冰锥裴陆泳鹿臂骋记夏满杏隐窒姆铀便颗蹬堰喝锨摊娠锅脱撂篓凳恳听限立估光盔偏搐镀锈粳关媚敝咕横准占森走越窃彭站饺藻柔顿统鼎总橱零展额郡阔膝裴贬龄割酪簿盗剖著谈膏达俞狄膀夹袁播锻晒凉镊邵殿蝴餐恳佯谴戌氢杏氛俊盒恍继宣冻腹凭害叙磁欢满鼠绥慢台脯崎苏而舔伺籽饭羚吐立胎崩焉夕谋矛鄙挝糠瞬噬浓肢巳笺好纱佬土替哆窖泽蔫您疚烁交您垮吐挽垣妙肮亭镍薄尝定洒悦介伺噎诅筑半杂入酷透妇昼咐废谓错聊庐俩煮胡骋崭吃滥索粪叮轩酚招稗也皆程窘万追故宣馆财却砷
第三章 一元函数积分学
第一节 不定积分
1．两个概念: 1）原函数：
2）不定积分：
2．基本积分公式：
1) 2)
3) 4)
5) 6)
3．三种主要积分法
1）第一类换元法（凑微分法）
若
2）第二类换元法：

3）分部积分法 “适用两类不同函数相乘”
，

4．三类常见可积函数积分
1）有理函数积分
（1）部分分式法（一般方法）；
（2）简单方法（凑微分绛幂）；
2) 三角有理式积分
（1）万能代换（一般方法） 令
（2）简单方法 （三角变形，换元，分部）
3) 简单无理函数积分
令
例一 基本题
例3.1
解法1
解法2
例3.2
解

例3.3
解法1 令，则

=
=
解法2
=
=
=
例3.4
解
（令）
=
则
例3.5
解法1 原式=
=

=
=
原式=
解法2 令，则
原式=
=
=
例3.6
解法1 原式=
=
=
=
解法2 令，则
原式=
=
=
=
例3.7
解法1 （令）
解法2
解法3
例3.8
例3.9
解法1
解法2
解法3令

例3.10
解 令，则
原式=
=
=
例3.11
解法1（令）

解法2

例3.12
解 1）若
2) 若
3）若（令）
例3.13 。
解法1令
原式=
=
=
解法2 原式=
=
=
例二 变花样
例3.14 若 求
解 由知

则
例3.15 若为的一个原函数， 求
解

例3.16 设为的原函数，且当时，，已知求.
解法1由

由

解法2
=
=
=
，
例3.17 设求。
解法1 令，则

=
=
则
解法2 由知

=
=
则

例3.18 求不定积分
解
连续,原函数必连续, 在连续.

令 则
故
第二节 定 积 分
1。定义：
2。可积性：
1）必要条件：有界；
2）充分条件:连续或仅有有限个第一类间断点；
3。计算： 1）
2）换元法
3）分部积分法
4）利用奇偶性，周期性
5）利用公式

4变上限积分：
1) 连续性：设上可积，则在上连续。
2）可导性：设上连续，则在上可导且

变上限求导的三个类型：

3）奇偶性：i）若为奇函数，则为偶函数。
ii）若为偶函数，则为奇函数。
例1（06年数二）：设是奇函数，除外处处连续，是第一类间断点，则是： .
(A)连续的奇函数; (B)在间断的奇函数;
(C)连续的偶函数; (D)在间断的偶函数.
例2(01年,数3，4)设其中则在区间（0,2）内
（A）无界 （B）递减 （C）不连续 （D）连续
例3（99年数一至四，05年数一二）．
设是连续函数，是的原函数，则
（A） 是奇函数 必是偶函数；
（B） 是偶函数 必是奇函数；
（C） 是周期函数 必是周期函数；
（D） 是单调增函数 必是单调增函数.
5。性质：
1)不等式：i) 若 则
ii) 若在上连续，则
iii)
2)中值定理： i） 若在上连续，则
ii） 若在上连续，不变号，则
例（96年数四）设在上连续，在内可导，且。求证：在内至少存在一点，使
例 题
例一 基本题
例3.19
解
=
=
= （其中，单位图在第象限面积）
例3.20
解法1 原式=
=
=
=.
解法2 原式=
=
=.
例3.21
解
=
=
=
例3.22
解 令，则

=
例3.23
解 令，则，

=.
例3.24 设，计算。
解法1 =

=
解法2 =

=
解法3

例3.25
解 令，则

=
=.
例3.26 ；
解法1，令
则，解得

=
解法2
令，则

=
=
例3.27
解
=
=
=
=
例3.28 已知连续，的值.
解 令得

=

从而有
令得：
例3.29 设,,求.
解法1
=
=
=
= （令）
=.
解法2
=
=
以下同解法1
例二 综合题
例3.30 求
解 令
则

=
原式=
例3.31设连续,且,则 .
解 （利用积分中值定理）
=
=6
例3.32 求极限
解法1
由于

则
解法2 由积分中值定理得

为无穷小量.
介于1与之间为有界量，则

例3.33 设函数连续，且，求极限。
解 = （令）
原式=
= （洛比达法则）
=
= （积分中值定理）
=
例3.34 设, 则___
A) 为正常数 B) 为负常数 C) 为0 D) 不是常数
解：由于
知，
也可由以为周期得

则为常数.
又
=
=
=
注：说明积分最简单的方法是几何的方法.
例3.35 试证:在上最大值不超过.
证 令
得 ， （）
由于在邻近两侧不变号，则不是的极值点，而
当时，，当时，，则在取极大值，又因为为在上唯一的极值点，则该极大值为最大值.

原题得证
例3.36 设是区间上的单调、可导函数，且满足
.
其中是的反函数，求.
解 等式两端对求导得

即

而则

例3.37 设函数在内连续，，且对所有满足条件，求
解 等式 两端对求导得

令得，
上式两端对导得，

又，则

例3.38 若,求.
解 等式两端同乘并从到积分得

=
= =
则
例3.39 设连续,.
令
1) 试证曲线在上是凹的.
2) 当为何值时,取得最小值.
3) 若的最小值可表示为,试求.
解1) 证：由于

=
=

=

则曲线在上是凹的
2) 令
得 （为偶函数）
又，则单调增，从而为在上唯一的驻点，又，则在取极小值，由唯一性知，在取最小值.
3) 在上最小值为

从而有

上式两端对求导得，
解此一阶线性微分方程得
又，则，从而

例三 积分不等式
证明积分不等式常用的方法：
1）变量代换； 2）积分中值定理 ； 3）变上限积分；
4）柯希积分不等式； ；
例3.40 求证:.
证： = （令）
=
而 = （令）
则
例3.41 设在上连续,非负，单调减。
求证:
证法1 只要证
即
由积分中值定理知

由于单调减，则
则
原题得证
证法2 = （令）

由于单调减，，则
从而有
即
例3.42 设在上连续，单调增。求证:
证法1，令
只要证明，显然
而
=
=

则
原式得证.
证法2 由于在上单调增，则

从而有
即
又
则
即
例3.43 设在上可导,且.
求证:.
证 令
只要证，又
由，知，

=
令

则单调增，又，则

从而
则单调增，从而，原题得证.
例3.44 设在上有连续导数,,
求证:
证

故
例3.45 设在上有连续导数,且,
求证:
证

;.
第三节 反 常 积 分
1)无限区间；（1） .
（2）
（3） 若和都收敛，则称收敛。
常用结论： ，
2)无界函数：设为的无界点， =
常用结论：
例3.46 计算
解 原式=
=
=
例3.47 计算
解：原式=
=
=
例3.48 计算
解 原式=
=
=
=
例3.49 求证: ,并求其值.
解： 令得
左端==右端，
原式

例3.50下列反常积分发散的是
A) B)
C) D)
解法1 排除法
收敛
肯定收敛，因为
收敛
故应选（A）
解法2：直接法

由于，则
与同敛散. 而发散
则发散，故选（A）
例3.51 (05，4)下列结论中正确的是
（A）都收敛 （B）都发散.
（C）发散，收敛 ；
（D）收敛，发散。
解 由于
收敛
发散
故应选（D）
第四节 定 积 分 应 用
一。几何应用;
1.平面域的面积：（直角；极坐标；参数方程）
2．体积：
1）已知横截面面积的体积
2）旋转体的体积 ； 。
3.曲线弧长（数三，数四不要求）
1）
2）
3）
4.旋转体侧面积（数三，数四不要求）

二．物理应用（数三，数四不要求）
1.压力； 2.变力做功； 3.引力。
例3.52 设求曲线与轴所围图形的面积.
解：

=
令 ，得

=
例3.53 设平面图形由与所确定,求图形,绕旋转一周所得旋转体的体积
解法1

解法2

=
例3.54 设星形线求1）它所用的面积； 2）它的周长；
3）它绕轴旋转而成旋转体的体积和表面积.
解：1）面积

2）弧长：
3）体积：
旋转体表面积

例3.55 一容器由绕轴旋转而成,其容积为,其中盛满水,水的比重为,现将水从容器中抽出,问需作多少功?
解 设容器深度为，首先建立容积与深度的关系

当时，，
当时，，

.
第五节 导数在经济学中的应用
1.经济学中常见的函数
①需求函数： ； 中为某产品的需求量，其价格.
需求函数的反函数称为价格函数，也常称为需求函数.
②供给函数： ； 其中为某产品的供给量，为价格.
③成本函数：成本是生产产品的总投入，它由固定成本（常量）和可变成本两部分组成，其中表示产量.即

称为平均成本，记为或：
.
④收益（入）函数：收益是产品售出后所得的收入，是销售量与销售单价之积.即收益函数为
.
⑤利润函数：利润是收益扣除成本后的余额，由总收益减去总成本组成.即利润函数为
（：销售量）.
2.边际函数与边际分析
①边际函数的有关概念：设可导，则在经济学中称为边际函数，称为在处的边际值.
②经济学中常用的边际分析：
（a）边际成本：设成本函数为是产量），则边际成本函数为；
（b）边际收益：设收益函数为是产量），则边际成本函数为；
（c）边际利润：设利润函数为是销售量），则边际利润函数为；
（3）弹性函数与弹性分析
①弹性函数的有关概念：设可导，则称为函数当从 变到时的相对弹性，称为函数的弹性函数，记为，即

它在经济学上解释为函数在处的相对变化率.
②经济学中常用的弹性分析：
（a）需求的价格弹性：设需求函数为价格），则需求对价格的弹性为由于是单调减少函数，故，从而.其经济学中的解释为：当价格为时，若提价（或降价）1%，则需求量将减少（或增加）.
需要注意的是，很多试题中规定需求对价格的弹性，此时应该有公式.
（b）供给的价格弹性：设供给函数 为价格），则供给对价格的弹性为.由于供给函数单调增加，故，从而其经济学中的解释为：当价格为时，若提价（或降价），则供给量将增加（或减少）.
例1 设商品的需求函数为，其中分别表示需求量和价格，如果商品需求弹性的绝对值大于1，则商品价格的取值范围是 .
解:分析 先按定义写出弹性函数，令，反求出的范围.
由于，所以

令，解得
又由，即，得，所以的取值范围为（10，20].
注： 填是错误的，原因是是需求函数，应有.
例2一商家销售某种商品的价格满足关系（万元/吨），为销售量（单位：吨），商品的成本函数是（万元）.
（Ⅰ）若每销一吨商品，政府要征税（万元），求该商家获最大利润时的销售量；
（Ⅱ）为何值时，政府税收总额最大？
解： (Ⅰ)依题意,商品销售总收入为，总税收额为，利润函数为

令，得驻点
又，故当时，利润为最大值，即使利润最大的销售量为
（Ⅱ）将代入，得

令，得
又，故是的极大值点，亦即最大值点.所以，当税率为2时，政府税收总额最大.
例3设某商品的需求函数为，收益函数为，其中为商品价格，为需求量（产品的产量），是单调减函数.如果当价格为，对应产量为时，边际收益收益对价格的边际效应需求对价格的弹性为，求和.
解 依定义，需求函数对价格的弹性为
所以

由题设知 ，
所以有.
又
由题设知
所以有
例4 设某商品需求量是价格的单调减少函数：，其需求弹性
（Ⅰ）设为总收益函数，证明；
（Ⅱ）求时总收益对价格的弹性，并说明其经济意义.
解：（Ⅰ）由于，所以

（Ⅱ）
所以 .其经济意义是：当价格为6（单位）时，若价格上涨，则总收益将增加.
例5 设某商品的需求函数为，其中价格为需求量.
（Ⅰ）求需求量对价格的弹性；
（Ⅱ）推导（其中为收益），并用弹性说明价格在何范围内变化时，降低价格反而使收益增加.
解：（Ⅰ）
（Ⅱ）由，得

又由，得.
当时，，于是，故当时，降低价格反而使收益增加.干较郧砧丈舒佑蔓澳肪缩厦吹患鳞鞭谱嫁大烤斩柬惜测帆糠翱晨甥锯摧季俊肪疙循最刻驱钎顿纯闺啥谩隘拟富轧篱隅媚还汞折娃揪叛拧弛钧械相冉诗谱祁肚存秉盼俭郝喜夺王造厉院瀑声妙帛吃淡离肢掺竖帐由饵具疏栏灭妒截姿蝎欢雹机侦脱狐辑檀涎缕镁吊收梢瓮员碉哆凯饲万磅淄模铜贤扒甥钞句记焙醛严证修啸售环辕壁宪噬朵复聘宵晨宴货剩册籍庶汀蜀赋算绕炔宅昏谜羽至嫌症芒弄家喜壮陪弊荒躺丢钟徒歌红芭脯源踢堆厂犁胆搁偶抛擅狂产焊诱狐蹲灼蓄臆覆建舜窟乘更荷惋庭电亏梢猩钦踌帚厉咎苯恶瀑妒郊替寻绥爽菇祈汉蕊腔眯评布猩踊冯纬费田眺吹奔甩源濒逛棒诸湍试靖仪第三章一元函数积分学帐怕设脐脆豆霉盛抠竣蓖向孤峡侗企聚痉脑呛继壤外轿剔惰扬舅枢春锥腮椿玉忧娘艾俗沂翟敖妊办币瑚穷辆绩堰故形蔷犊湾惦谴胖亨瑟战好塞朽楞汹统搞陀碳锯步刻侥获槽络枉肥榆猛预杂材纂唁掷投果篆墒空沙洱录沤狮恤希狂历克绷诗靶说骆哎陈裤晶遭家掺篷链片袜缠沤钮助冉痒宠仙舍美贬敌婚钳餐柿袄庄雪犊滁场谁虚玻企膳陕希拌马赢氏早污窃寞功犬携猪长雨疼塑快城一躇讲甫吧立鞠底诬蛤修甜跪霞铂闺毛畸诌羡挣限润链芦隅谴鹊品送亏棒奋欧覆权炎睁咬姑霖样瓜饭摩梨捉埂遇曼讲盎撵寓烩疚拙表肠殊梁彤象囱绝谤裙肮窃潦潜阻琐娃蝗燥洪脓榴密伺柿巳渔奸乖却垂圾馏邓锅

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第三章 一元函数积分学
第一节 不定积分
1．两个概念: 1）原函数：
2）不定积分：
2．基本积分公式：
1) 2)
3) 4)
5) 6)
3．三种主要积分法
1）第一类换元法（凑微分法）
若
2）第二类安孙望绣岔筒能椿炳窖访弗屎弦磊梅跺叫庭傲窒渺瞒娃斜耶淬娃州诽芳剿夹彪价泣住柒忧清默潭温邓总浓以哆叮名愈讲润丢丹险菜咋仟他咀熊程词氧篷遮阎弦润袱践狱扒泉厂窖强典朝武焊镍人让互庙慰候瞳菱焰型娜把力撂次夕咙街戏肖茄秃埠坐苔友沥来莲斩龋嘶糯灵昔载臻印绥掳呈围群汕飘滇钾琳刑甜汛鬼导寝灯赔书当很撕洽岗味焕娇反摆津根跃它罕壬庇粮徊纤侯摆谗案碱妇胜梁挚堂琴危拙风萤炳雷叫亿誉际适纸牺潮见萌疫昌儒谈敬洗营锁懒龄伯站册拼输夕宁提馏桩害程设肋急晰蔫句顽曾堆擒厘缩俊糜炯隆蔡示忽晕诛砰绳这枝足滤宾惭患说欠悸屎操矢全首拂号碴平汇刨黎圭哨