二次函数程基础讲义1.doc
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1、龙文学校-您值得信赖的专业化个性化辅导学校 赵老师课堂讲析: 相关概念及定义 二次函数的概念:一般地,形如(是常数,)的函数,叫做二次函数。这里需要强调:和一元二次方程类似,二次项系数,而可以为零二次函数的定义域是全体实数 二次函数的结构特征: 等号左边是函数,右边是关于自变量的二次式,的最高次数是2 是常数,是二次项系数,是一次项系数,是常数项 二次函数各种形式之间的变换 二次函数用配方法可化成:的形式,其中. 二次函数由特殊到一般,可分为以下几种形式:;. 二次函数解析式的表示方法 一般式:(,为常数,); 顶点式:(,为常数,); 两根式:(,是抛物线与轴两交点的横坐标). 注意:任何二
2、次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式,但并非所有的二次函数都可以写成交点式,只有抛物线与轴有交点,即时,抛物线的解析式才可以用交点式表示二次函数解析式的这三种形式可以互化. 二次函数的图像和性质0yxO0图 象开 口对 称 轴顶点坐标最 值当x 时,y有最 值当x 时,y有最 值增减性在对称轴左侧y随x的增大而 y 随x的增大而 在对称轴右侧y随x的增大而 y随x的增大而 抛物线的三要素:开口方向、对称轴、顶点. 的符号决定抛物线的开口方向:当时,开口向上;当时,开口向下;相等,抛物线的开口大小、形状相同. 对称轴:平行于轴(或重合)的直线记作.特别地,轴记作直线. 顶点坐标: 顶点决定抛物
3、线的位置.几个不同的二次函数,如果二次项系数相同,那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同,只是顶点的位置不同.a越大,开口越小,图像两边越靠近y轴,a越小,开口越大,图像两边越靠近x轴当时,即抛物线的对称轴就是轴 当时,抛物线与轴的交点在轴上方,即抛物线与轴交点的纵坐标为正; 当时,抛物线与轴的交点为坐标原点,即抛物线与轴交点的纵坐标为; 当时,抛物线与轴的交点在轴下方,即抛物线与轴交点的纵坐标为负 用待定系数法求二次函数的解析式 一般式:.已知图像上三点或三对、的值,通常选择一般式. 顶点式:.已知图像的顶点或对称轴,通常选择顶点式. 交点式:已知图像与轴的交点坐标、,通常选用交点式:. 直
4、线与抛物线的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定: 有两个交点抛物线与轴相交; 有一个交点(顶点在轴上)抛物线与轴相切; 没有交点抛物线与轴相离. 平行于轴的直线与抛物线的交点 可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时,两交点的纵坐标相等,设纵坐标为,则横坐标是的两个实数根. 抛物线与轴两交点之间的距离:若抛物线与轴两交点为,由于、是方程的两个根,故 二次函数图象的平移 平移步骤: 将抛物线解析式转化成顶点式,确定其顶点坐标; 保持抛物线的形状不变,将其顶点平移到处,具体平移方法如下:平移规律 在原有函数的基础上“值正右移,负左移;值正上移,负下移”概括成八个字“左加右减
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