二次函数的应用题总结答案.doc

二次函数的应用
一、顶点坐标公式的应用（基本题型）
1、某超市销售某种品牌的纯牛奶，已知进价为每箱40元，生产厂家要求每箱的售价在40元~70元之间．市场调查发现：若每箱50元销售，平均每天可销售90箱，价格每降低1元，平均每天多销售3箱；价格每升高1元，平均每天少销售3箱．
（1）写出平均每天的销售量y（箱）与每箱售价x（元）之间的函数关系式（注明自变量x的取值范围）；
（2）求出超市平均每天销售这种牛奶的利润W（元）与每箱牛奶的售价x（元）之间的二次函数关系式（每箱的利润=售价－进价）；（3）请把（2）中所求出的二次函数配方成的形式，并指出当x=40、70时，W的值．（4）在坐标系中画出（2）中二次函数的图象，请你观察图象说明：当牛奶售价为多少时，平均每天的利润最大？最大利润为多少？

练习：2、我市有一种可食用的野生菌，上市时，外商李经理按市场价格30元/千克收购了这种野生菌1000千克存放入冷库中，据预测，该野生菌的市场价格将以每天每千克上涨1元；但冷冻存放这批野生菌时每天需要支出各种费用合计310元，而且这类野生菌在冷库中最多保存160天，同时，平均每天有3千克的野生菌损坏不能出售．
（1）设天后每千克该野生菌的市场价格为元，试写出与之间的函数关系式．
（2）若存放天后，将这批野生菌一次性出售，设这批野生菌的销售总额为元，试写出与之间的函数关系式．
（3）李经理将这批野生茵存放多少天后出售可获得最大利润元？
（利润＝销售总额－收购成本－各种费用）

练习3、汽车城销售某种型号的汽车，每辆进货价为25万元，市场调研表明：当销售价为29万元时，平均每周能售出8辆，而当销售价每降低0.5万元时，平均每周能多售出4辆．如果设每辆汽车降价万元，每辆汽车的销售利润为万元．（销售利润销售价进货价）
（1）求与的函数关系式；在保证商家不亏本的前提下，写出的取值范围；（3分）
（2）假设这种汽车平均每周的销售利润为万元，试写出与之间的函数关系式；（3分）
（3）当每辆汽车的定价为多少万元时，平均每周的销售利润最大？最大利润是多少？（4分）

练习4、某集团将下设的内部小型车场改为对外开放的收费停车场。试运营发现：每辆次小车的停车费不超过5元时，每天来此处停放的小车为1440辆次，超过5元时，每涨1元，每天来此处停放的小车就减少120辆次，而此停车场每天需固定支出的费用（设施维修费、车辆管理人员工资等）为800元。为便天结算，规定每辆次小车的停车费x（元）只取整数，用y（元）表示此停车场的日净收入，且要求日净收不低于2512元。（日净收入=每天共收取的停车费-每天的固定支出）
（1）当x≤5时，写出y与x之间的关系式。并说明每辆次小车的停车费最少不低于多少元；（2）当x>5时，写出y与x之间的函数关系式（不必写出x的取值范围）；
（3）该集团要求此停车场既要吸引客户，使每天小车停放的辆次校多，又要有较大的日净收入。按此要求，每辆次小车的停车费应定为多少元？此时日净收入是多少？

练习5、某地区盛产一特种产品，帮扶公司经过市场调查，发现该产品在Ａ市有很好的消费市场，于是06年开始投入资金购销该产品，现了解到公司06年的一些购销情况：公司以9万元／吨的市场保护价收购该产品，收购产品、分类包装、运往A市等費用約為0.5万元/吨,所收购产品的损耗率为5%,在A市的销售价为15万元/吨.07年公司为了提高该产品的知名度,扩大销量,在收购价与销售价不变的前提下,准备拿出一定的资金在A市做广告宣传.根据经验,投入广告费x(万元)与在06年销量的基础上该产品的销量y(吨)之间满足关系: y=ax2+bx+50.并且当投入1万元的广告费时,销量为59吨;当投入2万元的广告费时，销量为66吨．
（1）公司06年将销售利润全部回报后，在市场保护价的基础上，农民卖出1千克的产品还可增收　　　　元；
（2）试写出y与x之间的函数关系式：y＝　　　　　　　　　，根据关系式可知，06年公司实际收购该产品　　　　吨；
（3）设07年公司的销售利润为Ｗ（万元）（销售利润＝销售额－成本费－广告费），试写出Ｗ与x之间的二次函数关系式；

练习6、.某公司有甲、乙两个绿色农产品种植基地.在收获期这两个基地当天收获的某种农产品，一部分存入仓库，另一部分运往外地销售.根据经验，该农产品在收获过程中两个种植基地累积总产量（吨）与收获天数（天）满足函数关系（1≤≤10且为整数）.该农产品在收获过程中甲、乙两基地的累积产量分别占两基地累积总产量的百分比和甲、乙两基地累积存入仓库的量分别占甲、乙两基地的累积产量的百分比如下表：

（1）请用含的代数式分别表示在收获过程中甲、乙两个基地累积存入仓库的量；
（2）设在收获过程中甲、乙两基地累积存入仓库的该种农产品的总量为（吨）.请求出（吨）与收获天数（天）的函数关系式；
（3）在（2）的基础上，若仓库内原有该种农产品42.6吨，为满足本地市场需求，在此收获期开始的同时，每天从仓库调出一部分该种农产品投入本地市场，若在本地市场售出的该种农产品总量（吨）与收获天数（天）满足函数关系（1≤≤10，且为整数）.问在此收获期内连续销售几天，该农产品库存量达到最低值？最低库存量是多少吨？

附加练习某大棚蔬菜生产基地指导菜农修建大棚种植蔬菜．通过调查得知：平均修建每公顷大棚要用支架、农膜等材料费万元；购置滴灌设备，这项费用（万元）与大棚面积（公顷）的平方成正比，比例系数为；另外每公顷种植蔬菜需种子、化肥、农药等开支万元．每公顷蔬菜年均可卖万元．
（1）基地的菜农共修建大棚（公顷），当年收益（扣除修建和种植成本后）为（万元）， 写出关于的函数关系式．
（2）若某菜农期望通过种植大棚蔬菜当年获得万元收益，工作组应建议他修建多少公项大棚．（用分数表示即可）
（3）除种子、化肥、农药投资只能当年受益外，其它设施年内不需增加投资仍可继续使用．如果按年计算，是否修建大棚面积越大收益越大？修建面积为多少时可以得到最大收益？请帮工作组为基地修建大棚提一项合理化建议．

二、表达式的应用

练习：8、某校初三年级的一场篮球比赛中，如图队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高m，与篮圈中心的水平距离为7m，当球出手后水平距离为4m时到达最大高度4m，设篮球运行的轨迹为抛物线，篮圈距地面3m．（1）建立如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的解析式并判断此球能否准确投中？（2）此时，若对方队员乙在甲前面1m处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为3.1m，那么他能否获得成功？

练习9如图，已知二次函数的图象与坐标轴交于点A（-1， 0）和点B（0，-5）．
x
O
A
（第9题图）
B
y
（1）求该二次函数的解析式；

（2）已知该函数图象的对称轴上存在一点P，使得△ABP的周长最小．请求出点P的坐标．

10、如图，小明在一次高尔夫球争霸赛中，从山坡下O点打出一球向球洞A点飞去，球的飞行路线为抛物线，如果不考虑空气阻力，当球达到最大水平高度12米时，球移动的水平距离为9米 ．已知山坡OA与水平方向OC的夹角为30o，O、A两点相距8米．
（1）求出点A的坐标及直线OA的解析式；
（2）求出球的飞行路线所在抛物线的解析式；
（3）判断小明这一杆能否把高尔夫球从O点直接打入球洞A点 ．

三、不等式与二次函数的综合应用
11、、某公司销售一种市场需求较大的新型产品,已知每件产品的进价为40元,经销过程中测出销售量y(万件)与销售单价x(元)存在如图所示的一次函数关系,每年销售该种产品的总开支z(万元)(不含进价)与年销量y(万件)存在函数关系z=10y+42.5.
(1)求y关于x的函数关系式;
(2)度写出该公司销售该种产品年获利w(万元)关于销售单价x(元)的函数关系式;(年获利=年销售总金额-年销售产品的总进价-年总开支金额)当销售单价x为何值时,年获利最大?最大值是多少?
(3)若公司希望该产品一年的销售获利不低于57.5万元,请你利用(2)小题中的函数图象帮助该公司确定这种产品的销售单价的范围.在此条件下要使产品的销售量最大,你认为销售单价应定为多少元?

练习12、、某高科技发展公司投资500万元，成功研制出一种市场需求量较大的高科技替代产品，并投入资金1500万元进行批量生产。已知生产每件产品的成本为40元，在销售过程中发现：当销售单价定为100元时，年销售量为20万件；销售单价每增加10元，年销售量将减少1万件，设销售单价为元，年销售量为万件，年获利（年获利＝年销售额－生产成本－投资）万元。
（1）试写出与之间的函数关系式；（不必写出的取值范围）
（2）试写出与之间的函数关系式；（不必写出的取值范围）
（3）计算销售单价为160元时的年获利，并说明同样的年获利，销售单价还可以定为多少元？相应的年销售量分别为多少万件？
（4）公司计划：在第一年按年获利最大确定的销售单价进行销售，第二年年获利不低于1130万元。请你借助函数的大致图象说明，第二年的销售单价（元）应确定在什么范围内？
练习13为了扶持大学生自主创业，市政府提供了80万元无息贷款，用于某大学生开办公司生产并销售自主研发的一种电子产品，并约定用该公司经营的利润逐步偿还无息贷款．已知该产品的生产成本为每件40元，员工每人每月的工资为2500元，公司每月需支付其它费用15万元．该产品每月销售量y（万件）与销售单价x（元）（x＞40）之间的函数关系如图所示．
　　（1）求月销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
　　（2）当销售单价定为50元时，为保证公司月利润达到5万元（利润＝销售额－生产成本－员工工资－其它费用），该公司可安排员工多少人？
　（3）若该公司有80名员工，则该公司最早可在几个月后还清无息贷款？

练习14某市政府大力扶持大学生创业．李明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯．销售过程中发现，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可近似的看作一次函数：．
（1）设李明每月获得利润为w（元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利
润？
（2）如果李明想要每月获得2000元的利润，那么销售单价应定为多少元？
（3）根据物价部门规定，这种护眼台灯的销售单价不得高于32元，如果李明想要每月获得的利润不低于2000元，那么他每月的成本最少需要多少元？
（成本＝进价×销售量）

15、某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，经试销发现，销售量（件）与销售单价（元）符合一次函数，且时，；时，．（1）求一次函数的表达式；
（2）若该商场获得利润为元，试写出利润与销售单价之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？
（3）若该商场获得利润不低于500元，试确定销售单价的范围．

四、双二次函数综合应用
16、 某企业信息部进行市场调研发现：
信息一：如果单独投资A种产品，所获利润yＡ(万元)与投资金额x(万元)之间存在某种关系的部分对应值如下表：
x(万元)
1
2
2.5
3
5
yＡ(万元)
0.4
0.8
1
1.2
2
信息二：如果单独投资B种产品，则所获利润yＢ(万元)与投资金额x(万元)之间存在二次函数关系：yＢ＝ax2+bx，且投资2万元时获利润2.4万元，当投资4万元时，可获利润3.2万元．
(1)求出yＢ与x的函数关系式．
(2)从所学过的一次函数、二次函数、反比例函数中确定哪种函数能表示yＡ与x之间的关系，并求出yＡ与x的函数关系式．
(3)如果企业同时对A、B两种产品共投资15万元，请设计一个能获得最大利润的投资方案，并求出按此方案能获得的最大利润是多少？

练习17、某地区地理位置偏僻，严重制约着经济的发展，某种土特产品只有在本地销售。该地区政府每投资x万元，所获利润为Ｐ＝－（x-40）2+10万元。为顺应开发大西北的宏伟决策，该地区政府在制订经济发展十年规划时，拟开发此种土特产品，而开发前后用于该项目投资的专项财政拨款每年都是60万元。若开发该产品，必须在前5年中，每年从60万元专款中拿出30万元投资修通一条公路，且5年可以修通。公路修通后该土特产品在异地销售，每投资x万元，可获利润Ｑ，Ｑ＝－（60－x）2+（60－x）万元，问：
（1）如果某种土特产品只能在本地销售，求10年的最大总利润是多少？
（2）如果按开发此种土特产品的十年规划进行，求10年的最大总利润是多少？
（3）从10年的总利润来看，该项目有无开发价值？

《面对面》145页例3也是一道较好的复合二次函数习题

3题答案：解：（1） （2）　（3）　 当时， 当定价为万元时，有最大利润，最大利润为50万元．或：当 当定价为万元时，有最大利润，最大利润为50万元
4、题答案：（1）y=1440x-800 因为1440x-800≥2512，所以x≥2.3，因为x取整数，所以x最小取3，即每辆次小车的停车费最少不低于3元。（2）y=〔1440-120（x-5）〕x-800，即y=-120 x2+2040 x-800
（3）当x≤5时，停车1440次，最大日净收入y=1440×5-800=6400　　　当x>5时，y=-120 x2+2040 x-800=-120（x-）2+7870　　所以当x=时，y有最大值，但x只能取整数，所以x取8或9，显然，x取8时，小车停放辆次较多，此时最大日净收入为y=-120×+7870=7840元。由上得，每辆次小车的停车费应定为8元，此时的日净收入为7840元。
5、题答案：（１）销售1吨的产品的利润为：15×1-（9+0.5）÷95％＝5万元，则农民每卖出1千克的产品可增收50000÷1000＝50元，所以应填50。
（2）由题意得59＝a+b+50和66＝4a+2b+50，解得a＝-1，b＝10，所以y＝-x2+10x+50，当x＝0时，y＝50，所以05年实际收购产品：50÷95％＝52
（3）Ｗ＝15y-y÷95％×（9+0.5）-x＝-5x2+49x+250
（4）Ｗ＝-5x2+49x+250＝－5（x-4.9）2+370.05，所以当x＝4.9时，y有最大值为370.05；即当广告费定为4.9万元时，06年公司的销售利润最大，最大利润是370.05万元。
6、解； (1) j 甲基地累积存入仓库的量：85%´60%y=0.51y(吨)          k 乙基地累积存入仓库的量：22.5%´40%y=0.09y(吨)，  (2) p=0.51y+0.09y=0.6y， ∵y=2x+3，  ∴p=0.6(2x+3)=1.2x+1.8；    (3) 设在此收获期内仓库库存该种农产品T顿，    T=42.6+p-m=42.6+1.2x+1.8-(-x2+13.2x-1.6)=x2-12x+46=(x-6)2+10，     ∵1>0，∴拋物线的开口向上，又∵1£x£10 且x为整数，   ∴当x=6时，T的最小值为10，          ∴在此收获期内连续销售6天，该农产品库存达到最低值，最低库存是10吨。

8、题答案：解答：（1）有题意可知，抛物线经过（0，），顶点坐标是（4，4）．设抛物线的解析式是，解得，所以抛物线的解析式是；篮圈的坐标是（7，3），只要这个点在抛物线上，球就能够投中．代入解析式得，所以能够投中．（2）能够获得成功就要看1m处得纵坐标是多少，大于3.1就不能成功。当时，，所以能够盖帽拦截成功．
x
O
A
（第9题图）
B
y
C
P
x=2
9题解：（1）根据题意，得解得
∴二次函数的表达式为．
（2）令y=0，得二次函数的图象与x轴的另一个交点坐
标C（5, 0）.由于P是对称轴上一点，连结AB，由于
，要使△ABP的周长最小，只要最小.
由于点A与点C关于对称轴对称，连结BC交对称轴于点P，
则= BP+PC =BC，根据两点之间，线段最短，可得
的最小值为BC.，因而BC与对称轴的交点P就是所求的点.
设直线BC的解析式为，根据题意，可得解得 所以直线BC的解析式为.因此直线BC与对称轴的交点坐标是方程组的解，解得所求的点P的坐标为（2，-3）.
10、 解：（1）在Rt△AOC中，∵∠AOC=30 o ，OA=8，∴AC=OA·sin30o=8×=， OC=OA·cos30o=8×=12．∴点A的坐标为（12，）． 设OA的解析式为y=kx，把点A（12，）的坐标代入得： =12k ，∴k= ，∴OA的解析式为y=x； (2) ∵顶点B的坐标是（9，12）, 点O的坐标是（0，0）∴设抛物线的解析式为y=a(x-9)+12，把点O的坐标代入得：0=a（0-9）+12，解得a= ，∴抛物线的解析式为y= (x-9)+12 及y= x+ x； (3) ∵当x=12时，y= ，∴小明这一杆不能把高尔夫球从O点直接打入球洞A点．
11题答案：.解:(1)由题意,设y=kx+b,图象过点(70,5),(90,3),∴解得∴y=x+12.
(2)由题意,得w=y(x-40)-z=y(x-40)-(10y+42.5)=(x+12)(x-10)-10(x+12)-42.5
=-0.1x2+17x-642.5=(x-85)2+80.
当85元时,年获利的最大值为80万元.
(3)令w=57.5,得-0.1x2+17x-642.5=57.2.整理,得x2-170x+7000=0. 解得x1=70,x2=100.由图象可知,要使年获利不低于57.5万元,销售单价应在70元到100元之间.又因为销售单价越低,销售量越大,所以要使销售量最大,又使年获利不低于57.5万元,销售单价应定为70元.
12题答案：（1）依题意知，当销售单价定为x元时，年销售量减少(x-100)万件. ∴y=20-(x-100) = - x+30.即y与x之间的函数关系式是: y = - x+30.
（2）由题意，得：z = (30-)(x-40)-500-1500 = - x2+34x-3200.
即z与x之间的函数关系式是: z = - x2+34x-3200.
(3) ∵当x取160时，z= - ×1602+34×160-3200 = - 320.∴ - 320 = - x2+34x-3200.
整理，得x2-340+28800=0.由根与系数的关系，得 160+x=340. ∴x=180.即同样的年获利，销售单价还可以定为180元. 当x=160时，y= - ×160+30=14;当x=180时，y= - ×180+30=12.即相应的年销售量分别为14万件和12万件.
（4）∵z = - x2+34x-3200= - (x-170)2-310.∴当x=170时，z取最大值，最大值为-310.也就是说：当销售单价定为170元时，年获利最大，并且到第一年底公司还差310万元就可以收回全部投资.
第二年的销售单价定为x元时，则年获利为：
O
O
120
170
220
x(元)
z(万元)
1380
1130
z = (30- x)(x-40)-310
= - x2+34x-1510.
当z =1130时，即1130 = - +34 -1510. 整理，得 x2-340x+26400=0. 解得 x1=120, x2=220.
函数z = - x2+34x-1510的图象大致如图所示：由图象可以看出：当120≤x≤220时，z≥1130.
所以第二年的销售单价应确定在不低于120元且不高于220元的范围内.
13、解：（1）当时，令，则解得．
同理，当时，．

（2）设公司可安排员工m人，由题意，得.当x=50时，（万件）解之，得m=40.
（3）设W为每月的利润，由题意得：

当40≤x≤60时，－20≤x－60≤0，0≤(x－60)2≤400，－40≤－(x－60)2≤0，－35≤－(x－60)2≤5.即－35≤W≤5，进一步有当x=60时，W有最大值5.如此需要80÷5=16个月还清贷款.
当60<x<100时，－10≤x－70<30，0≤(x－70)2<900，
即－35<W≤10.进一步当x=70时，W有最大值10.
如此需要80÷10=8个月还清贷款.
综上，最早可在第8个月后还清无息贷款.
14题解：（1）由题意，得：w = (x－20)·y=(x－20)·()
.
答：当销售单价定为35元时，每月可获得最大利润．
（2）由题意，得： 解这个方程得：x1 = 30，x2 = 40．
答：李明想要每月获得2000元的利润，销售单价应定为30元或40元.
法二：∵，
∴抛物线开口向下.
∴当30≤x≤40时，w≥2000．
∵x≤32，
∴30≤x≤32时，w≥2000．
∵，，
∴y随x的增大而减小.
∴当x = 32时，y最小＝180.
∵当进价一定时，销售量越小，
成本越小，
∴（元）.

（3）法一：∵，
∴抛物线开口向下.
∴当30≤x≤40时，w≥2000．
∵x≤32，
∴当30≤x≤32时，w≥2000．
设成本为P（元），由题意，得：

∵，
∴P随x的增大而减小.
∴当x = 32时，P最小＝3600.

答：想要每月获得的利润不低于2000元，每月的成本最少为3600元．
15、解：（1）根据题意得解得．所求一次函数的表达式为．
（2） ，
抛物线的开口向下，当时，随的增大而增大，
而，当时，．
当销售单价定为87元时，商场可获得最大利润，最大利润是891元．
（3）由，得，
整理得，，解得，．
由图象可知，要使该商场获得利润不低于500元，销售单价应在70元到110元之间，而，所以，销售单价的范围是．

16、答案：(1)yB=－0.2x2+1.6x,
（2）一次函数,yA=0.4x,
（3）设投资B产品x万元，投资A产品（15－x）万元，投资两种产品共获利W万元， 则W=（－0.2x2+1.6x）+0.4（15－x）=－0.2x2+1.2x+6=－0.2(x－3)2+7.8,
∴当x=3时,W最大值=7.8,
答:该企业投资A产品12万元,投资B产品3万元,可获得最大利润5.8万元.
17题答案（1）则二次函数性质可知当x＝40时，Ｐ有最大值，最大值为10万元／年，所以10年的最大总利润是10×10＝100万元
（2）由题意可知前5年只在本地销售，且每年只能投资60－30＝30万元，所以前5年总利润为5Ｐ＝5×【－（30－40）2+10】＝万元
后5年中设有x万元在本地投资，则有（60－x）万元在异地投资，所以后5年本地所获利润为：5Ｐ＝5× [－（x－40）2+10]，后5年异地所获利润为：5Ｑ＝5×[－（60－60+ x）2+（60－60+ x）]，所以后5年共获利：5Ｐ+5Ｑ＝5[－（x－40）2+10－ x2+ x]＝－5（x－30）2+4500万元，所以十年总和为+4500＝4646万元。
（3）因为4646>100，所以有极大的开发价值。

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