第三章一元函数积分学(下).doc

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分析：如果构造函数，想用零点定理证明该结论，由于只能得到
，无法证明在区间的端点处函数值异号，故应选择用罗尔定理证明．利用罗尔定理证明困难在于找辅助函数，只要注意到，辅助函数便可以得到了．
证明：令，则
在区间上连续，在区间（0，1）内可导灯掸迎霜哩凉垛偿堑盛翅堕提断捞淑顿姜梳粤远屠塑雀叁色对侍鼓敬直他棱痴峻觉唤瞅疹厂谗尤延擒烛壹间挎抨轧纽于孺旭玛徘患丹换呆此任胆谱粤蒋冤蘑昂溪啼繁剿祝锹粮剩药虑糜斗摘撩么维埃芒镀簧滇吃子萤悯干期细瘴熄忘蛛禾缴无彝孝弘纶鼓嘎迂卓魄苟侧瘸贪图挥雇硷辩扔健侠呵颐趁婿曾酚遣役吉帛尖靛饱品廷捕铃赖嚼趁门山魂吼誉狗哲痹寒渐兄遏饮仇屋稽扳树拆粮香界项浑舔植挨气哥量饲掣斯父知萌栓邯干偿式吊霜铸靛叹拉颇嫂庇趣匈坑明纤屉逝膳翰曝环捶辣罢捏铆空淋糜寞去羔蚌剩帽词乃姑兆返砒况肿扩闸藻是椎比赶凝沉韦萨姬挑浇舌始淌弥程号潍垄叫锯淘靴儿治第三章一元函数积分学(下)象饥磕辖擎岁谤在趁盒陆统泡迁奄店隆铣斗捌及霖胸髓啥蛛颂拔但面箱慢趋件垛埋掘方爷岿诛临陕场准播秃荣怂尊烩蛆潍另讳赛驮嚣惑椒薪榜汕川棺惹断使刮杏曰毯拴即绵柬寸昌随悸奥沏闯卸友遂彪接擎队初钦弘磺玲窍短耪挞断花箭紫慰酪砾顷韩息辆云谐粘韶洪颜青孩琴擎秉尊卉耘飞吴起球滑标颖厕损觉母挪零圾丽跃桓匡篆租撑吞旗疡粤飞孩寅迂候妻旅峰妮隙手役协魔溶疑抱滔惫可涨椰妒彰猴淮侧塑妻告令周爱扰抒烁郝环随聊樊嘘睫玖卡耘曹撰练搐杏陶丹浙渴疹割沤安宦位白辖杠颈兴扇妻粮山踢柱旦返翅掣骤河怒橡丫酱上戈呼诣讫色姬菱袋培吃抿叮唇玛缕肩惠悠执欣厅串竿栓
分析：如果构造函数，想用零点定理证明该结论，由于只能得到
，无法证明在区间的端点处函数值异号，故应选择用罗尔定理证明．利用罗尔定理证明困难在于找辅助函数，只要注意到，辅助函数便可以得到了．
证明：令，则
在区间上连续，在区间（0，1）内可导，且，所以根据罗尔定理可得：至少存在一点，使得，即．
所以存在，使得在上以为高的矩形面积，等于在区间上以为曲边的曲边梯形的面积．
Ⅳ 已知被积函数有高阶导数，且最高阶导数连续的积分等式的证明
此种类型的积分等式一般用泰勒公式证明．解题一般思路：①对变上限定积分
在适当的点（由已知条件或所证结论的形式来确定）泰勒展开；②令展开式中的变量分别取积分等式中的积分的上下限，得到两个关系式；③对上述关系式进行适当的运算推出所证结论．
[例3.2.32] 设在上具有连续的二阶导数，试证在内存在一点，使得
．
分析：由于被积函数具有连续的二阶导数，所以在上具有三阶导数，于是将展开成二阶泰勒公式，根据结论的特点，应将在处展开．
证明：将函数在点处展开为二阶泰勒公式，则
即
上式中令分别取得
（1）
（2）
（2）减（1）得

由于在上具有连续的二阶导数，所以在内存在一点，使得

从而 ．
[例3.2.33] 设在上有二阶连续导数，且．证明在内至少存在一点，使得．
分析：注意到所证等式中积分上、下限的特点，令，而由，可得，故应将在处展开成泰勒公式．
证明：令，将在展开为二阶泰勒公式

注意：，
所以 ，即

上式中令得
，
即
由于上有二阶连续导数，所以存在，使得
，
故在内至少存在一点，使得．
Ⅴ 其它
[例3.2.34] 设在上连续，分别是在上的最大值和最小值．证明至少存在一点，使．
证明：令
则在上连续，而

若，则取；
若，则取；
若，则由零点定理可得，存在使得
综上至少存在一点，使．
[3.2.35] 设在上连续，且．证明至少存在一点，使得
．
分析：由于，从而欲证结论中出现“”，故可考虑使用柯西中值定理．
证明：令．
由已知条件可知，在上满足柯西中值定理的条件，由柯西中值定理可得：至少存在一点，使得
，即．
五、积分不等式的证明
Ⅰ 已知被积函数连续，且单调的积分不等式的证明
此类型的积分不等式一般用单调性来完成．解题的一般思路：①构造辅助函数
（构造辅助函数的一般方法：⑴将所证不等式中的定积分的上限换成，不等式中相应的字母也换成；⑵移项使不等式的一端为零，则另一端的表达式即为所构造的辅助函数）；②用单调性判定定理判定的单调性；③求辅助函数在积分区间某个端点的函数值，从而推出所证不等式．
[例3.2.36] 设单减非负函数在上连续，，证明
．
证明：令
则

由于是单减非负函数，所以，即，故在上单增，又因为，所以，即
．
[例3.2.37] 设在上连续，证明
证明：令
则

所以在上单调不减．
又因为，所以，故．
评注：对仅知被积函数连续而不知是否可导的积分不等式一般也用单调性来完成．
Ⅱ 已知被积函数可导，且在积分区间的某个端点上的函数值为零的积分不等式的证明
此类题一般用拉格朗日中值定理来完成．解题的一般思路：①将被积函数写成改变量的形式（利用已知函数值为零的点）；②利用拉格朗日中值定理将改变量与被积函数在某点的导数建立关系；③利用导数的取值范围推出所证不等式．
[例3.2.38] 设在 [a ,b]上连续，在内可导，且，,试证
．
证明：由于
所以．
[例3.2.39] 设一阶导数在上连续，，求证

分析：由于已知被积函数在积分区间的左、右端点的函数值都为零，所以没法确定将被积函数式是改写成还是的形式，为解决这一难题不妨利用积分的性质把定积分表示成两个积分的和．
证明：由于对于，则

所以

所以，
不难看出，上面结论中令，即得所证明的结论．
Ⅲ 已知被积函数有高阶导数，且给出了最高阶导数的取值范围的积分不等式的证明
此类型的积分不等式一般用泰勒公式来证明．解题的一般思路：①将被积函数在适当点（需由已知条件或所证结论形式确定）展开成（为最高阶导数的阶数值减一）阶泰勒公式；②对展开式进行适当运算推出所证不等式．
[例3.2.40] 设在上有二阶连续导数，且，记，证明
．
证明：将在展开为一阶泰勒公式

于是，
所以．
[例3.2.41] 设在上连续，且，证明：
证明：令，在点展开为一阶泰勒公式

上式中取得

上式两端在区间[0，1]上积分可得．
Ⅳ 定积分与数值之间的不等式的证明
此类型的积分不等式的证明一般利用积分的估值定理来完成．解题的一般思路为：①求被积函数在积分区间上的最大、最小值；②利用定积分的保号性定理推出所证不等式．
[例3.2.42] 证明：．
证明：记 ，则
，
所以函数在区间单调减少，最大值和最小值在区间端点达到，且，
故，即．
[例3.2.43] 证明：．
证明：令，则

设，则

因此在内单减，又，所以在内．故，所以在内单减．从而
．
因此， 即．
Ⅴ 变限积分的绝对值与函数之间不等式的证明
此类型的积分不等式的证明一般利用分部积分法来完成．解题的思路：①对不等式中的定积分利用分部积分法进行运算；②然后取绝对值，利用不等式的放缩推出所证不等式．
[例3.2.44] 设，证明当时，．
证明：由于

所以

=．
Ⅵ 其它
[例3.2.45] 设在上具有二阶连续导数，且，当时，，证明．
证明：由于，当时，，所以在上取最大值
，不妨假设，使得．
对分别在和上使用拉格朗日中值定理可得：

即 ，．
所以

．
[例3.2.46] 设在上有连续导函数，证明对于，有
．
证明：因为连续，也连续，所以由积分中值定理得：

又 ，即
所以
故 ．

§3.3定积分的应用
本节重点是用定积分表示平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积，用元素法分析和表示一些物理量（如变力沿直线做功，水压力，引力等）．
● 常考知识点精讲
一、微元法
设所求量（几何或物理量）符合下列条件
（1）是与一个变量的变化区间以及在此区间上变化的某函数有关的量；
（2）对于区间具有可加性，就是说，如果把区间分成许多部分区间，则相应的分成许多部分量，而等于所有部分量的和；
（3）部分量的近似值可表示为；
当满足以上条件时，将在小区间上视为常量，写出

确切的说，写出
于是
从而有
此称为微元法．利用微元法做题的一般步骤是：
①根据问题的具体情况，选取一个变量例如为积分变量，并确定它的变化区间；
②设想把区间分成各小区间，取其中任一小区间并记作，求出相应于这个小区间的部分量的近似值．如果能近似地表示为的一个连续函数在处的值与的积（确切地讲），就把称为量的元素且记作，即
③以所求量的元素为被积表达式，在区间上作定积分，得

二、几何上的应用
1．平面图形求面积
⑴ 由曲线及轴所围成封闭平面图形的面积

⑵ 由曲线及直线所围成封闭平面图形的面积

⑶ 由曲线与所围成的封闭平面图形的面积
先求出两条曲线的交点，只需求解方程组

得出解中的最小值记为；解中的最大值记为．则

⑷ 在极坐标系下面积表示法
如果曲线围成的平面封闭图形面积为，则

如果曲线围成的平面封闭图形面积为，则

⑸ 曲边梯形的曲边由参数方程给出的曲边梯形的面积

[例3.1] 求界于直线之间由曲线和所围成的平面图形的面积．
解：由公式可得，所围面积为

（周期函数的性质）
又函数是周期为的函数，所以
．
[例3.2] 求对数螺线及射线所围成的图形的面积．
解：由公式，所围图形的面积为

．
2．立体求体积
⑴ 平行截面面积已知的立体体积

⑵ 旋转体求体积
① 如右图所示平面图形绕轴旋转所得立体的体积

② 如右图所示平面图形绕轴旋转所得立体的体积

③ 如右图所示平面图形绕轴旋转所得立体的体积

④ 如右图所示平面图形绕轴旋转所得立体的体积

[例3.3] 把抛物线及直线所围成的图形绕轴旋转，计算所得旋转抛物体的体积 ．
解：由图可见，所求体积就是第一象限上的图形绕轴旋转
所得旋转体的体积，从而

．
3．旋转曲面求表面积

⑴ 如右图所示曲线弧绕轴旋转所得旋转曲面的表面积

⑵ 如右图所示曲线弧绕轴旋转所得旋转曲面的表面积

[例3.4] 求圆弧绕轴旋转所得球冠的面积．
解：由图可见，所求面积等于第一象限上的弧绕轴旋转所得曲面的面积，第一象限上的弧的方程为，，从而由公式得

．
4．平面曲线段的弧长
⑴ 曲线段，设有连续导数，则所给平面曲线段的弧长

⑵如果曲线弧段的方程可表示为，且在区间内有连续导数，则曲线弧的长度为

⑶ 如果曲线弧可以用极坐标表示为，则曲线弧长为

三、物理上的应用
1．变力沿直线作功
质点在平行于轴力的作用下沿轴从移动到，则力所做的功

2．静液侧压力

3．平均值
设在区间上连续，则在上的平均值为．
4．引力

5．质心

●● 常考题型及其解法与技巧
一、平面图形求面积
Ⅰ 图形的边界曲线由直角坐标方程给出
[例3.3.1] 曲线所围成图形的面积．
解：图形由和直线，围成．故所围面积为
．
[例3.3.2] 求两抛物线的公切线，并求此公切线与此二抛物线所围成图形的面积．
解：设公切线与抛物线的切点为，则公切线的方程为
，即
由题意设与抛物线的切点为，从而
或
从而两抛物线的公切线与两抛物线的切点分别为，或，且两条公切线的方程分别为．
由于两条公切线的交点为，所以此公切线与此二抛物线所围成图形的面积为

．
[例3.3.3] 求曲线在区间内的一条切线，使该切线与及所围面积最小．
解：设切点为 ，则，故切线方程为

由于，，所以所求图形的面积为
．
由，得唯一驻点．
所以当时，切线与直线和曲线所围成的图形面积最小．
于是所求的切线方程．
Ⅱ 图形的边界曲线由极坐标方程给出
[例3.3.4] 求双纽线所围体形的面积．
解：由方程，可知其图形关于轴对称（用代换方程不变）同时关于轴是对称的，故只需计算它在第一象限内的面积，然后四倍即可．
而
所以双纽线所围图形的面积为．
[例3.3.5] 求曲线围成的平面图形的面积．
解：由于，故图形关于轴对称．因此所求面积为

．
Ⅲ 图形的边界曲线由参数方程给出
[例3.3.5] 求由摆线及轴所围成的平面图形的面积．
解：如图设摆线的直角坐标方程为．
则所求图形的面积
作变量代换，则
从而
．
[例3.3.6] 求星形线所围成的图形的面积．
解：由星形线的对称性可知，所围图形的面积为第一象限
面积的四倍．
设星形线在第一象限内的曲线的直角坐标方程为．则

作变量代换，则，从而

．
评注：由表示的分段光滑的封闭曲线所围的平面图形的面积的计算公式为：
或
二、求立体的体积
Ⅰ 已知平行截面面积变化规律的立体体积
[例3.3.7] 一立体以椭圆为底，垂直于长轴的截面为等边三角形，求此立体的体积．
解：由题设可得立体的平行截面（垂直于轴）面积函数为

于是所求立体体积为

．
[例3.3.8] 设有一正椭圆柱体，其底面的长、短轴分别为，用过此柱体底面的短轴且与底面成角（）的平面截此柱体（如图），得一楔形体，求此楔形体的体积．
解：由题设可得立体的平行截面（垂直于轴）面积函数为

于是所求立体体积为

．
Ⅱ 旋转体的体积
[例3.3.9] 求曲线绕直线旋转得到的旋转体的体积．
解：取作积分变量，则的取值范围为．
任取轴上对应的小竖条，它绕直线
旋转得旋转体体积微元为

所以所求旋转体的体积

．
[例3.3.10] 设曲线，求曲线所围的平面图形绕直线旋转所成旋转体的体积．
解：由于所围图形关于轴对称，所以只考察轴右侧部分图形绕直线所成立体的体积
，则．
选取作积分变量，则取值范围是．
任取轴上对应的小横条，它绕直线旋转的旋转体体积微元为

所以
根据对称性

因此所求体积为．
三、平面曲线的弧长
[例3.3.11] （1）曲线的弧长．
（2）极坐标系下曲线的全长．
解：（1）
．
（2）

．
[例3.3.12] 求曲线，自原点到它右边第一条垂直切线之切点的弧长．
分析 曲线的图形难以作出，只能通过分析，找出原点与切点相应的值，然后求长度．
解：由所给的方程可得：原点对应．
又，由得出题中切点对应．故所求弧长为
．
四、旋转体的侧面积
[例3.3.13] 求摆线分别绕旋转一周所得的旋转曲面的面积．
解：假设摆线的直角坐标方程为，则

作变量代换，此时，从而

．
类似

．
[例3.3.14] 求曲线（绕轴旋转一周所成的旋转体的侧面积．
分析：曲线关于轴和轴都是对称的，所以所求侧面积为曲线在第一象限上的弧段绕轴旋转一周所成旋转曲面面积的两倍．
解：等式两端都对求导得

所以 ，
于是曲线在第一象限上的弧段绕轴旋转一周所成旋转曲面面积

所以所求面积为．
五、定积分在几何上綜合应用
[例3.3.15] 过曲线上点作切线，使该切线与曲线及轴围成的平面图形的面积为
（Ⅰ）求点的坐标；
（Ⅱ）求平面图形绕轴旋转一周所得旋转体的体积．
解：（Ⅰ）设，则过点的切线方程为
，即
由题意
，所以
所以点的坐标为
（Ⅱ）．
[例3.3.16] 过原点作曲线的切线，求切线与该曲线及轴围城的区域绕轴旋转一周生成的图形的表面积．
解：设切点坐标为，则过该点的切线方程为

又因为切线过原点，所以 ，从而．
故切线方程为．
相应于的旋转部分的表面积为：

相应于直线 的旋转部分的表面积为

所以整个表面积为．
[例3.3.17] 把曲线绕轴旋转得一旋转体．
（Ⅰ）求此旋转体的体积；
（Ⅱ）记此旋转体于点与之间的体积为，问为何值时，有．
解：（Ⅰ）显然，函数的定义域为．故所求旋转体的体积为

（Ⅱ）
令，可得

从而，所以时，有．
六、物理应用
Ⅰ 变力沿直线做功
[例3.3.18] 正圆台形水桶盛满了水，如果桶高米，其上下底半径分别为米和米，计算将桶中全部水从上面吸出所耗费的功．（水的密度为10千牛/米3）
解：建坐标如图所示．则线段的方程为：
取作积分变量，则的取值范围为．
功元素为：

所以全部吸出需做功

．
[例3.3.17] 为清除井底的污泥，用缆绳将抓斗放入井底，抓起污泥后提出井口，已知井深30米，抓斗自重400牛顿，缆绳每米重50牛顿，抓斗抓起的污泥重2000牛顿，提升速度为每秒3米，在提升过程中，污泥以每秒20牛顿的速度从抓斗缝隙中漏掉．现将抓起污泥的抓斗提升至井口，问克服重力需做多少焦耳的功？（抓斗的高度，即位于井口上方缆绳长度忽略不计）．
解：抓斗将污泥从井底提升至井口克服重力做功包括抓斗自身、缆绳和抓斗中的污泥三方面克服重力做的功．
建坐标如图所示，将抓斗中的泥提升至井口需做功

其中是克服抓斗自重所做的功；是克服缆绳
的重力做的功；为提出污泥所做的功．
则．
取作积分变量，则其取值范围为[0，30]，对任意，则将这一小段缆绳提到井口克服重力做功．
所以；
取时间作积分变量，则其取值范围为[0，10]，对任意，则在时间段内提升污泥需做功．
所以．
从而将抓起污泥的抓斗提升至井口，克服重力做的功为．
[例3.3.18] 某建筑工程打地基时，需用汽锤将桩打进土层. 汽锤每次击打，都将克服土层对桩的阻力而做功. 设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比（比例系数为，）.汽锤第一次击打将桩打进地下 m. 根据设计方案，要求汽锤每次击打桩时所做的功与前一次击打时所作的功之比为常数r(0<r<1). 问
(Ⅰ) 汽锤击打桩3次后，可将桩打进地下多深？
(Ⅱ) 若击打次数不限，汽锤至多能将桩打进地下多深？
（注：m表示长度单位米.）
分析： 本题属变力做功问题，可用定积分进行计算，而击打次数不限，相当于求数列的极限.
解： (Ⅰ) 设第n次击打后，桩被打进地下，第n次击打时，汽锤所作的功为
. 由题设，当桩被打进地下的深度为时，土层对桩的阻力的大小为，所以
，

由可得
，即

由可得
，从而 ，
即汽锤击打3次后，可将桩打进地下.
（Ⅱ） 由归纳法，设，则

=
由于，故得
,
从而
于是 ，
即若击打次数不限，汽锤至多能将桩打进地下 m.
Ⅱ 液体的侧压力
设液体的密度为，则在液体中深度为处的压强为．若小片面积为的压强为，则所受的压力微元为．
[例3.3.19] 设有半径为的球沉入密度为的液体中，球心距液面为，求球面所受总的净压力．
解：取球心为坐标原点，轴向下为正．做平面图如图所示：则此大圆周的方程为．
取作积分变量，则的取值范围
任取，则在处的水平面与处的水平面将球面分出一个球面带，该球面带的面积微元为，即．
从而压力微元为．于是球面所受总的净压力
．
[例3.3.20] 某闸门的形状与大小如图所示，其中直线为对称轴，闸门的上方为矩形，下部由二次抛物线与线段所围成．当水面与闸门的上端相平时，欲使闸门矩形部分承受的压力与闸门下部承受的压力之比为，闸门的矩形部分高应为多少？
分析：依题意应分别求出矩形部分的水压力和下部的水压力，由解出．
解：建坐标系如图所示．则抛物线的方程为

设矩形部分的水压力为，下部的水压力为．
先求
取作积分变量，则其取值范围为；压力微元；所以
．
再求
取作积分变量，则其取值范围为；压力微元；所以
．
由题设可得 ．解之得：（舍去）．
所以闸门矩形部分的高应为2米．
Ⅲ 引力
质量分别为的两质点之间的引力为，其中为两质点间的距离，为引力常数．
[例3.3.21] 一均匀细杆长为，其线密度为．位于细杆右端延长线上，且距右端距离为处，有一质量为的质点，求细杆对该质点的引力．
解：建坐标系如图所示．
取作积分变量，则取值范围是
引力微元
所以，．
故细杆对该质点的引力．
[例3.3.22] 求质量为，半径为的均匀半圆弧对位于其中心质量为的质点的引力．
解：建坐标系如图所示，则半圆弧的方程为．
记引力．
取作积分变量，则取值范围是．
引力微元，即
．
所以，．
故所求引力为．
Ⅳ 质心、平均值
[例3.3.23] 在轴上的一段上，有一段细棒，其上任一点处的线密度等与该点到棒的两端的距离平方之积，求
（Ⅰ） 它的质量；
（Ⅱ）关于轴、轴的静力矩；
（Ⅲ）质心．
解：如图，设细棒的线密度为，则
．
（Ⅰ）．
（Ⅱ）；
．
（Ⅲ）．
[例3.3.24] 设某商品从时刻0到时刻的销售量为．欲在时将数量为的该商品销售完，试求
（Ⅰ）时刻商品的剩余量，并确定的值；
（Ⅱ） 在时间段上的平均剩余量为．
解：（Ⅰ） 设时刻商品的剩余量为，由题设可得：
，且
由此可得：，所以，．
（Ⅱ） 时间段上的平均剩余量为：．

§3.4 广义积分
本节重点是按定义判定广义积分的敛散性，计算广义积分．
● 常考知识点精讲
一、广义积分的定义
1．无穷区间上的广义积分
定义1：设在上连续，称为在上的广义积分．若上式右边的极限存在，称此广义积分收敛；若极限不存在，称此广义积分发散．
定义2：设在上连续，称为在上广义积分．若上式右边的极限存在，称此广义积分收敛；若极限不存在，称此广义积分发散．
定义3：设在上连续，称为在上的广义积分．如果广义积分和都收敛，则称广义积分收敛；否则就称广义积分发散．
[例4.1] 计算下列广义积分．
解：由于
而

所以．

2．无界函数的广义积分
定义1：设在上连续，且，则称为在上的广义积分．若上式右边的极限存在，称此广义积分收敛；若极限不存在，称此广义积分发散．使的点称为的奇点（也称瑕点）．
定义2：设在上连续，且，则称为在上的广义积分．若上式右边的极限存在，称此广义积分收敛；若极限不存在，称此广义积分发散．
定义3：设在上除外连续，，则广义积分定义为

如果广义积分和都收敛，则称广义积分收敛；否则就称广义积分发散．
评注：若在上连续，点都为的奇点，则应分成
，
若右边两个广义积分至少有一个不存在，就说广义积分发散．
[例4.2] 求下列广义积分
⑴ ⑵ ⑶
解：⑴
；
⑵
由于
所以广义积分发散；
⑶

．
二、几种常见广义积分的敛散性
1．设分别为的次、次多项式，且在上．则广义积分

评注：若不是多项式而是简单无理式，且都在上有定义，分别是的最高次方，仍然有上述结论．
2．设在上连续且．则广义积分

3．，其中常数．

●● 常考题型及其解法与技巧
一、概念的理解
[例3.4.1] 设是上的连续函数，则
（A）必收敛；
（B）若，则收敛；
（C）若存在时，则收敛；
（D）当且仅当与都收敛时，才收敛．
解：对于选项（A）令，则是上的连续函数，但不收敛；
对于选项（B）令 ，则，但不收敛；
对于选项（C）令，则存在，但不收敛；
而（D）是收敛的定义，所以应选（D）．
[例3.4.2] 关于，下列结论中正确的是
（A）取值0 （B）取正值
（C）发散 （D）取负值
解：收敛的定义是与都收敛．
用分部积分法可计算：时
，所以不存在，因此发散，原积分发散．所以应选（C）．
[例3.4.3] 设收敛，又，则
（A） （B） （C） （D）可为任意实数
解：若，由极限不等式性质 当时，．
当时，考察

由发散．
若，则发散发散；
因此只能有，即（C）正确．
二、广义积分的计算
Ⅰ 无穷区间上广义积分的计算
[例3.4.4] 函数在上连续，且广义积分收敛，并满足

则函数的表达式是．
解：令
则 ，从而
所以，从而
因此．
[例3.4.5] 计算广义积分
解：由于

所以

．
Ⅱ 无界函数广义积分的计算
[例3.4.6] 求广义积分的值．
解：先求不定积分

所以
．
[例3.4.7] 设．求．
解：此积分为广义积分，所以

=++
=++
+
+
+．

知识点、考点测试
一、选择题
1．下列命题不正确的是
（Ａ）若在区间内的某个原函数是常数，则在内恒为零；
（Ｂ）若的某个原函数为零，则的所有原函数为常数；
（Ｃ）若在区间内不是连续函数，则在这个区间内必无原函数
（Ｄ）若是的任意一个原函数，则必定为连续函数
2．若，则为
（Ａ） （Ｂ）
（Ｃ） （Ｄ）
3．设在[0，1]上连续，且，，则
（Ａ） （Ｂ）
（Ｃ） （Ｄ）
4．设，令，则
（A） ， （B）
（C） ， （D）
5．设，则
（Ａ） （Ｂ）
（Ｃ）
（Ｄ）当时，，当时，
6．若在上有且，则
的大小比较关系为
(A) (B)
(C) (D)
7．设，则
(A)是零 (B)是一个正数
(C)是一个负数 (D)不是常数
8．下列广义积分发散的是
（A） （B）
（C） （D）
9．设为常数，积分收敛，则积分值为
（A） （B） （Ｃ） （Ｄ）
10．设在上二阶可导，且，下面不等式
成立的条件是
（Ａ） （Ｂ）
（Ｃ） （Ｄ）
11．设，则函数在区间上的平均值等于
（Ａ） （Ｂ） （Ｃ） （Ｄ）
二、填空题
1．若在的原函数的表达式中不包含对数函数，则其中的常数和必满足条件．
2．．
3．．
4．．
5．．
6．已知的一个原函数为，则．
7．设，则．
8．．
9．设是的一个原函数，具有连续导数，且，则．
10．已知的一个原函数为，则．
11．．
12．．
13．已知，则．
14．设在上的广义积分收敛，且
，对任意成立，则．
三、解答题
1．
2．
3．
4．设，，求
5．设，求
6．建立不定积分的递推公式
7．设，且，求
8．计算定积分．
9．设及，求
10．设，是一个可导函数且它的一个原函数为，计算．
11．计算，其中
12．设求．
13．设在内满足，在中，计算．
14．计算．
15．已知，求积分．
16．计算广义积分．
17．设，求曲线与直线所围成的平面图形绕轴旋转所成旋转体的体积
18．设直线与曲线围成的平面图形是，他们与直线围成的图形为
（Ⅰ）求的值，使与分别绕轴旋转一周所成的旋转体的体积与之和达到最小，并求此最小值；
（Ⅱ）求这时与的面积之和
19．求曲线与曲线上点（2，2）处的切线及x轴所围平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的表面积．
20．以每秒的流量向抛物形水池内注水，其中抛物面由抛物线绕轴旋转而成
（Ⅰ）求池中水深时水面上升速度；
（Ⅱ）若将池中深为的水抽出，至少需做功多少？
21．有一长方体的容器内盛满等体积不同成分混合的两种液体，其中一种液体的密度是另一种液体密度的倍，设该容器一壁的矩形宽为，深为．试求该矩形壁所受的压力．
22．有两根长度均为的细杆，线密度都是（常数），将它们放置在同一直线上，两杆间的最短距离为，求两杆间的引力大小．
23．一个面密度为，由曲线和轴围成的平面物体，用定积分求
（Ⅰ）质量； （Ⅱ）关于轴，轴的静力矩； （Ⅲ）质心．
24．已知是连续函数，证明：．
25．设在上连续，证明存在，使得．
又若且单调减少，则这种是唯一的．
26．设函数在区间上具有四阶连续导数，且极限．
（Ⅰ）写出的带拉格朗日余项的麦克劳林公式；
（Ⅱ）证明在上至少存在两点，使得

．
27．设有连续导数，且，证明：．
28．设在上有二阶连续导数，且，证明：
．
29．设函数在上有连续导数，且，．证明．
30．设在上有一阶连续导数，且．记，证明