一元二次方程试题及答案.doc

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一元二次方程根与系数的关系
一、选择题
1。 （2011•南通)若3是关于方程x2－5x＋c＝0的一个根，则这个方程的另一个根是（　　）
A、﹣2 B、2 C、﹣5 D、5
分析：由根与系数的关系,即3加另一个根等于5，计算得．
解答：解：由根与系数的关系,设另一个根为x，则3+x=5,即x=2．故选B．
点评：本题考查了根与系数的关系,从两根之和出发计算得．
2。 (2011南昌，9，3分）已知x=1是方程x2+bx﹣2=0的一个根，则方程的另一个根是(　　 ）
A.1 B。2 C.﹣2 D.﹣1
分析：根据根与系数的关系得出x1x2==﹣2,即可得出另一根的值．
解答:解：∵x=1是方程x2+bx﹣2=0的一个根,∴x1x2==﹣2,∴1×x2=﹣2,则方程的另一个根是：﹣2,故选C．
点评：此题主要考查了一元二次方程根与系数的关系,得出两根之积求出另一根是解决问题的关键．
3。 （2011湖北荆州,9,3分）关于x的方程ax2－（3a+1）x+2（a+1）=0有两个不相等的实根x1、x2，且有x1－x1x2+x2=1－a，则a的值是（　　)
A、1 B、－1 C、1或－1 D、2
分析：根据根与系数的关系得出x1+x2=－ ba，x1x2= ca,整理原式即可得出关于a的方程求出即可．
解答:解:依题意△＞0，即（3a+1)2－8a(a+1)＞0，
即a2－2a+1＞0,(a－1）2＞0，a≠1，
∵关于x的方程ax2－(3a+1）x+2（a+1)=0有两个不相等的实根x1、x2，且有x1－x1x2+x2=1－a,
∴x1－x1x2+x2=1－a,
∴x1+x2－x1x2=1－a，
∴ 3a+1a－ 2a+2a=1－a，
解得:a=±1，又a≠1,
∴a=－1．
故选：B．
点评:此题主要考查了根与系数的关系,由x1－x1x2+x2=1－a,得出x1+x2－x1x2=1－a是解决问题的关键．
4. （2011湖北咸宁，6,3分)若关于x的方程x2﹣2x+m=0的一个根为﹣1，则另一个根为(　　）
A、﹣3 　　　　 B、﹣1　　　　　　　C、1 　　　 D、3
分析:设方程另一个根为x1，根据一元二次方程根与系数的关系得到x1+(﹣1）=2，解此方程即可．
解答：解：设方程另一个根为x1，
∴x1+(﹣1）=2,
解得x1=3．
故选D．
点评：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根分别为x1，x2，则x1+x2=﹣，x1•x2=．
5. （2011•贵港）若关于x的一元二次方程x2﹣mx﹣2=0的一个根为﹣1，则另一个根为(　　）
A、1 B、﹣1
C、2 D、﹣2
分析：根据一元二次方程的根与系数的关系x1•x2=来求方程的另一个根．
解答：解：设x1、x2是关于x的一元二次方程x2﹣mx﹣2=0的两个根，
∴由韦达定理,得x1•x2=﹣2,即﹣x2=﹣2,
解得，x2=2．
即方程的另一个根是2．
故选C．
点评:此题主要考查了根与系数的关系．在利用根与系数的关系x1+x2=﹣、x1•x2=时，要注意等式中的a、b、c所表示的含义．
6. （2011年四川省绵阳市，12，3分）若x1，x2(x1＜x2）是方程（x－a）(x－b）=1(a＜b)的两个根，则实数x1，x2，a，b的大小关系为（　　）
A、x1＜x2＜a＜b B、x1＜a＜x2＜b C、x1＜a＜b＜x2 D、a＜x1＜b＜x2．
分析:因为x1和x2为方程的两根，所以满足方程（x－a）（x－b）=1，再有已知条件x1＜x2、a＜b可得到x1，x2，a，b的大小关系．
解答：解：∵x1和x2为方程的两根，
∴（x1－a)(x1－b）=1且（x2－a)（x2－b）=1，
∴(x1－a）和(x1－b）同号且(x2－a)和（x2－b)同号；
∵x1＜x2，
∴（x1－a）和（x1－b）同为负号而(x2－a)和（x2－b）同为正号，可得:x1－a＜0且x1－b＜0,x1＜a且x1＜b，
∴x1＜a，∴x2－a＞0且x2－b＞0，
∴x2＞a且x2＞b，
∴x2＞b，
∴综上可知a，b，x1，x2的大小关系为:x1＜a＜b＜x2．
故选C．
点评:本题考查了一元二次方程根的情况，若x1和x2为方程的两根则代入一定满足方程，对于此题要掌握同号两数相乘为正；异号两数相乘为负．
7 （2011年江西省，5,3分）已知x=1是方程x2+bx－2=0的一个根,则方程的另一个根是（　　）
A。1 B.2 C.－2 D。－1
分析：根据根与系数的关系得出x1x2=－2,即可得出另一根的值．
解答：解：∵x=1是方程x2+bx－2=0的一个根,
∴x1x2=－2，
∴1×x2=－2,
则方程的另一个根是：－2,
故选C．
点评:此题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，得出两根之积求出另一根是解决问题的关键．
8。(2011湖北武汉，5，3分）若x1，x2是一元二次方程x2+4x+3=0的两个根,则x1•x2的值是(　　）
A．4 B．3 C．﹣4 D．﹣3
分析：根据一元二次方程的根与系数的关系x1•x2=解答并作出选择．
解答：解：∵一元二次方程x2+4x+3=0的二次项系数a=1，常数项c=3,
∴x1•x2==3．
故选B．
点评：此题主要考查了根与系数的关系．解答此题时,注意，一元二次方程的根与系数的关系x1•x2=中的a与c的意义．
二、填空题
1. (2011江苏苏州，15，3分)巳知a、b是一元二次方程x2－2x－1=0的两个实数根，则代数式(a－b）（a+b－2）+ab的值等于____．
考点：根与系数的关系．
专题：计算题．
分析:欲求（a－b）（a+b－2)+ab的值,先把此代数式变形为两根之积或两根之和的形式，代入数值计算即可．
解答:解：∵a、b是一元二次方程x2－2x－1=0的两个实数根,
∴ab=－1，a+b=2,∴(a－b）（a+b－2）+ab=（a－b）(2－2)+ab=0+ab=－1,
故答案为：－1．
点评：此题主要考查了根与系数的关系,将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．
2。 （2011江苏镇江常州,12,3分）已知关于x的方程x2+mx﹣6=0的一个根为2,则m=　1　,另一个根是　﹣3　．
分析:根据一元二次方程的解定义，将x=2代入关于x的方程x2+mx﹣6=0，然后解关于m的一元一次方程；再根据根与系数的关系x1+x2=﹣解出方程的另一个根．
解答:解:根据题意，得
4+2m﹣6=0,即2m﹣2=0,
解得,m=1;
由韦达定理，知
x1+x2=﹣m；
∴2+x2=﹣1,
解得,x2=﹣3．
故答案是：1．﹣3．
点评:本题主要考查了一元二次方程的解．根与系数的关系．在利用根与系数的关系x1+x2=﹣．x1•x2=来计算时,要弄清楚a．b．c的意义．
3. （2011山东日照，14，4分）如图，在以AB为直径的半圆中,有一个边长为1的内接正方形CDEF,则以AC和BC的长为两根的一元二次方程是　如：x2﹣x+1=0　．
分析：连接AD，BD，OD，由AB为直径与四边形DCFE是正方形，即可证得△ACD∽△DCB,则可求得AC•BC=DC2=1,又由勾股定理求得AB的值,即可得AC+BC=AB,根据根与系数的关系即可求得答案．注意此题答案不唯一．
解答：解:连接AD，BD，OD,
∵AB为直径，
∴∠ADB=90°，
∵四边形DCFE是正方形，
∴DC⊥AB，
∴∠ACD=∠DCB=90°，
∴∠ADC+∠CDB=∠A+∠ADC=90°，
∴∠A=∠CDB，
∴△ACD∽△DCB，
∴，
又∵正方形CDEF的边长为1，
∵AC•BC=DC2=1,
∵AC+BC=AB，
在Rt△OCD中，OC2+CD2=OD2，
∴OD=,
∴AC+BC=AB=,
以AC和BC的长为两根的一元二次方程是x2﹣x+1=0．
故答案为：此题答案不唯一,如:x2﹣x+1=0．
点评：此题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质以及根与系数的关系．此题属于开放题,注意数形结合与方程思想的应用．
4。 （2011•德州,14，4分)若x1,x2是方程x2+x﹣1=0的两个根,则x12+x22= ．
分析：先根据根与系数的关系求出x1+x2和x1•x2的值，再利用完全平方公式对所求代数式变形，然后把x1+x2和x1•x2的值整体代入计算即可．
解答：解：∵x1，x2是方程x2+x﹣1=0的两个根,
∴x1+x2=﹣=﹣1，x1•x2==﹣1，
∴x12+x22=（x1+x2)2﹣2x1•x2=（﹣1）2﹣2×（﹣1）=1+2=3．
故答案是:3．
点评：本题考查了根与系数的关系、完全平方公式．解题的关键是先求出x1+x2和x1•x2的值．
5. （2011四川眉山,17，3分)已知一元二次方程y2﹣3y+1=0的两个实数根分别为y1、y2，则(y1﹣1)（y2﹣1）的值为　﹣1　．
分析：先根据一元二次方程y2﹣3y+1=0的两个实数根分别为y1、y2，求出y1+y2及y1•y2的值，再代入（y1﹣1)（y2﹣1)进行计算即可．
解答：解：∵一元二次方程y2﹣3y+1=0的两个实数根分别为y1．y2，
∴y1+y2=3，y1•y2=1，
∴（y1﹣1）（y2﹣1)，
=y1y2﹣y1﹣y2+1，
=y1y2﹣(y1+y2)+1，
=1﹣3+1，
=﹣1．
故答案为:﹣1．
点评:本题考查的是一元二次方程根与系数的关系及代数式求值,若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0）的两根时，x1+x2=﹣，x1x2=．
6。 (2011四川泸州，16，3分)已知关于x的方程x2+（2k+1）x+k2－2=0的两实根的平方和等于11，则k的值为 ．
分析：由题意设方程x2+(2k+1）x+k2－2=0两根为x1，x2，得x1+x2=－（2k+1）,x1•x2=k2－2，然后再根据两实根的平方和等于11,从而解出k值．
解答:解：设方程方程x2+(2k+1)x+k2－2=0设其两根为x1，x2,得x1+x2=－(2k+1）,x1•x2=k2－2,
△=（2k+1)2－4×(k2－2）=4k+9＞0，∴k＞－,
∵x12+x22=11，∴（x1+x2）2－2 x1•x2=11,∴（2k+1）2－2（k2－2）=11,
解得k=1或－3;∵k＞－，故答案为k=1．
点评：此题应用一元二次方程根与系数的关系解题，利用两根的和与两根的积表示两根的平方和，把求未知系数的问题转化为解方程的问题．
7。 （2011四川遂宁，12，4分）若x1、x2是方程x2﹣2x﹣5=0的两根，则x12+x1x2+x22=　　．
分析：由于方程x2﹣2x﹣5=0的两个实数根为x1，x2,所以直接利用根与系数的关系即可得到两根之和和两根之积,然后利用完全平方公式就可以求出x12+x1x2+x22的值．
解答：解：∵x1、x2是方程x2﹣2x﹣5=0的两根，∴x1+x2=2,x1•x2=﹣5， x12+x1x2+x22=(x1+x2）2﹣x1x2=4+5=9．故答案为9．
点评：此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．
8。 （2011四川省宜宾市,12,3分)已知一元二次方程x2–6x–5=0两根为a、b，
则 + 的值是
分析:根据根与系数的关系，得到a+b=6，ab=－5，把a+b和ab的值代入化简后的代数式,求出代数式的值．
答案：解：∵a，b是一元二次方程的两根，
∴a+b=6，ab=－5，
+ = = =－ ．
故答案是：－ ．解：∵a，b是一元二次方程的两根，
∴a+b=6，ab=－5，
+ = = =－ ．
故答案是：－ ．
点评：本题考查的是一元二次方程根与系数的关系,利用根与系数的关系求出代数式的值．
9.(2011杭州,15，4分）已知分式,当x=2时,分式无意义,则a= ；当a＜6时，使分式无意义的x的值共有 个．
分析：根据分式无意义的条件：分母等于零求解．
解答:解：由题意,知当x=2时,分式无意义，
∴分母=x2－5x+a=22－5×2+a=－6+a=0，
∴a=6；
当x2－5x+a=0时，△=52－4a=25－4a,
∵a＜6,
∴△＞0，
∴方程x2－5x+a=0有两个不相等的实数根，
即x有两个不同的值使分式无意义．
故当a＜6时,使分式无意义的x的值共有2个．
故答案为6,2．
点评：本题主要考查了分式无意义的条件及一元二次方程根与系数的关系．（2）中要求当a＜6时,使分式无意义的x的值的个数,就是判别当a＜6时，一元二次方程x2－5x+a=0的根的情况．
10。 （2011广西来宾，17，3分）已知一元二次方程的两个实数根分别是。则=
分析：根据一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0）的根与系数的关系：设方程的两根分别为x1，x2,则x1+x2=﹣，x1•x2=即可得到答案．
解答：解：∵一元二次方程x2+mx﹣2=0的两个实数根分别为x1，x2，
∴x1•x2==﹣2．
故答案为﹣2．
点评：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0）的根与系数的关系：设方程的两根分别为x1，x2，则x1+x2=﹣,x1•x2=．
三、解答题
1。 (2011湖北潜江,17，6分）若关于x的一元二次方程x2—4x＋k—3＝0的两个实数根为x1、x2，且满足x1＝3x2,试求出方程的两个实数根及k的值．
分析：根据根与系数的关系（x1＋x2＝—，x1•x2＝）列出等式，再由已知条件“x1＝3x2"联立组成三元一次方程组，然后解方程组即可．
解答:解：由根与系数的关系,得
x1＋x2＝4 ①，
x1•x2＝k—3 ②（2分)
又∵x1＝3x2 ③，
联立①、③,解方程组得（4分)
∴k＝x1·x2＋3＝3×1＋3＝6（5分）
答：方程两根为x1＝3，x2＝1；k＝6．（6分)
点评：此题主要考查了根与系数的关系：x1＋x2＝—，x1•x2＝．解答此题时，一定要弄清楚韦达定理中的a、b、c的意义．
2。 (2011•南充，18,8分）关于的一元二次方程x2+2x+k+1=0的实数解是x1和x2．
(1）求k的取值范围；
(2）如果x1+x2﹣x1x2＜﹣1且k为整数，求k的值．
分析：(1）方程有两个实数根，必须满足△=b2﹣4ac≥0,从而求出实数k的取值范围;
（2）先由一元二次方程根与系数的关系,得x1+x2=﹣2，x1x2=k+1．再代入不等式x1+x2﹣x1x2＜﹣1，即可求得k的取值范围,然后根据k为整数，求出k的值．
解答：解：（1）∵方程有实数根，
∴△=22﹣4(k+1）≥0，
解得k≤0．
故K的取值范围是k≤0．
(2)根据一元二次方程根与系数的关系，得x1+x2=﹣2，x1x2=k+1
x1+x2﹣x1x2=﹣2﹣(k+1）．
由已知,得﹣2﹣(k+1）＜﹣1,解得k＞﹣2．
又由(1)k≤0，
∴﹣2＜k≤0．
∵k为整数,
∴k的值为﹣1和0．
点评:本题综合考查了根的判别式和根与系数的关系．在运用一元二次方程根与系数的关系解题时，一定要注意其前提是此方程的判别式△≥0．
3. （2011•湖南张家界,23,8)阅读材料：
如果x1、x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根，那么， ，．这就是著名的韦达定理．现在我们利用韦达定理解决问题：
已知m与n是方程2x2﹣6x+3=0的两根
(1）填空:m+n=　 　，m•n=　 　 ;
（2）计算的值．
分析：(1）直接根据韦达定理计算即可得到m+n和mn；
(2）先把变形，用m+n和mn表示，然后把（1)的值整体代入进行计算即可．
解答：解：（1)答案为3，．
（2）==2．
点评：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根分别为x1，x2，则，．
4。 （2011湖北孝感,22，10分)已知关于x的方程x2﹣2(k﹣1）x+k2=0有两个实数根x1，x2．
（1）求k的取值范围；
（2)若|x1+x2|=x1x2﹣1，求k的值．
分析：（1）方程有两个实数根，可得△=b2﹣4ac≥0,代入可解出k的取值范围；
（2）结合（1）中k的取值范围,由题意可知,x1+x2=2（k﹣1）＜0，去绝对值号结合等式关系，可得出k的值．
解答：解：（1）由方程有两个实数根，可得
△=b2﹣4ac=4（k﹣1）2﹣4k2≥0，
解得，k≤;
（2)依据题意可得,x1+x2=2(k﹣1），
由（1）可知k≤,
∴2(k﹣1)＜0，
∴﹣2(k﹣1）=k2﹣1，
解得k1=1(舍去）,k2=﹣3,
∴k的值是﹣3．
答：(1）k的取值范围是k≤；(2）k的值是﹣3．
点评：本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式相结合解题是一种经常使用的解题方法；注意k的取值范围是正确解答的关键．
5. （2011•玉林，20，6分）已知：x1、x2是一元二次方程x2﹣4x+1的两个实数根．
求:（x1+x2)2÷（）的值．
分析：先根据一元二次方程根与系数的关系确定出x1与x2的两根之积与两根之和的值,再根据=即可解答．
解答：解：∵一元二次方程x2﹣4x+1=0的两个实数根是x1、x2，
∴x1+x2=4，x1•x2=1,
∴（x1+x2)2÷()
=42÷
=42÷4
=4．
点评：本题考查的是一元二次方程根与系数的关系,是一道基础题型．
6。 （2011贵州遵义，24,10分)有四张卡片(背面完全相同），分别写有数字1、2、－1、－2，把它们背面朝上洗匀后，甲同学抽取一张记下这个数字后放回洗匀,乙同学再从中抽出一张，记下这个数字,用字母b、c分别表示甲、乙两同学抽出的数字。
(1）用列表法求关于的方程有实数解的概率；
（2)求（1)中方程有两个相等实数解的概率。
【考点】列表法与树状图法；根的判别式．
【分析】(1）根据题意列表，然后根据表格求得所有等可能的结果与关于x的方程x2+bx+c=0有实数解的情况数，根据即可概率公式求解;
（2）首先求得（1)中方程有两个相等实数解的情况,然后即可根据概率公式求解．
【解答】解：（1）列表得：
(1，－2）
(2,－2)
（－1,－2）
(－2,－2）
（1，－1)
（2，－1）
（－1,－1）
(－2，－1)
（1，2）
（2，2）
（－1，2）
（－2，2）
（1，1）
（2,1)
(－1,1）
（－2，1）
∴一共有16种等可能的结果,
∵关于x的方程x2+bx+c=0有实数解，即 b2－4c≥0，
∴关于x的方程x2+bx+c=0有实数解的有（1，－1），（1,－2)，（2,1），（2，－1），(2，－2），（－1,－1），（－1,－2)，（－2,1），(－2，－1），(－2，－2）共10种情况，
∴关于x的方程x2+bx+c=0有实数解的概率为: =；
(2）（1）中方程有两个相等实数解的有(－2，1）,（2,1),
∴(1）中方程有两个相等实数解的概率为: = ．
【点评】此题考查了列表法求概率与一元二次方程根的情况的判定．注意△＞0，有两个不相等的实数根,△=0,有两个相等的实数根，△＜0，没有实数根．
7.。（2011广西防城港 20，6分）已知：x1、x2是一元二次方程x2－4x＋1＝0的两个实数根．求（x1＋x2）2÷的值．
分析：先根据一元二次方程根与系数的关系，确定出x1与x2的两根之积与两根之和的值,再根据即可解答．
解答：∵一元二次方程x2－4x＋1＝0的两个实数根是x1、x2
∴x1＋x2＝4,x1•x2＝1
∴（x1＋x2）2÷＝42÷＝42÷＝16÷4＝4．
点评:本题考查的是一元二次方程根与系数的关系,是一道基础题型．
8。 （2011湖北潜江、天门、仙桃、江汉油田,17,6分）若关于x的一元二次方程的两个实数根为、，且满足，试求出方程的两个实数根及k的值。
分析：根据根与系数的关系（x1+x2=－ ，x1•x2= ）列出等式，再由已知条件“x1=3x2”联立组成三元一次方程组，然后解方程组即可．
答案：17.解：由根与系数的关系得:① ，②
又∵③，联立①、③，解方程组得
∴
答：方程两根为。
点评：此题主要考查了根与系数的关系：x1+x2=－ ,x1•x2= ．解答此题时，一定要弄清楚韦达定理中的a、b、c的意义．
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