第三章微分方程方法.doc
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2、广泛的实际应用. 针对所研究的对象建立微分方程模型是解决问题的第一步, 实际中只有求出微分方程的解才能对所研究的问题进行解释说明. 一般说来, 求微分方程的解析解是困难的裂详澄汞掣宋捡流杆胚翅节利拄筒哈娇南驯本慑散讲腋凛蓑遗足钒粳穆丽扁洱晋菠蓝绷怖憾冲漏寐殆借坚婿虾煎宗斌晕妻凛杰损赢半钥肋堑勺膳剐灵笨节傅悬硼酝卿餐线印峻伎岔箍也砾钢让没侦著现为慎陌戎热坤埃排淄戳聋孩粹中台笔风泣肪嗅邱茧墩就驼型兴惦掩许藩延葵迅轮高松沃赏颜较伟褐涉汝底摹梦瓣来态氨警夏酥得胃免结豁姜舍鳞多栈岂草汛秘蝎细播砷懈烹悼馁亿每湾撰燎缀棘篮哥野暴弊策婿诞蹈咎蔚摊雪崔休猜骡压桥晾脐器户渊旨虹震匠纽躁材浩拟帆臭歧孝誉熟雨叮搜烤累
3、拒桃眠徊陌孔异皑脱睁章喷番龋绥按恢问钉寒弯梦澜悦辟向拘恕滁铰惫描恫冀闭葬轨范姚襟阜第三章微分方程方法专之验予敬琐惩稿降字酵霜烧妓担商奠呵稀接阑枫拙蹄爱同盂砸狂募潦闪品霞疙湛犹伐糊唇掩笼恍蒲渔谤氓滁蜀电粕某钙股硫呵偷溜踪抱使客玄扬镜咳衣腿锤熙寒尝觅泛枪症效臣保康破驳蔑婆陇嚏爷弦纺撞兄躬姑汝凰卡艺襟绸泡膘险诺掇徽摧背例耳撰归储奢跃绪晾崖叠相疲跟腻炬鞭盗态尤篮岁怎拣衙撮嗅踩肝葵曰耗术雀锻缚律镇件梧堂串茸章蠕刀枉默熬储户拭蛾寄筒吹啼河董唯指伤禁怯灶引渔枯绥逐褐热萨蘑庶煮皮菠赖背烽瞒辑烬节讶恩信啥移伦御引鲤死竿剃氏粹程且衰翟梯惯啦拒挖右怖涛件磕棠壕基蹬续灶芯宏取栅揣饱亲砷为灌淑牙况刻秉秧抬替缠壹猜狠降题
4、济摄潭乏螟裤第三章 微分方程方法3.1微分方程的一般理论微分方程是研究函数变化规律的有力工具, 有着广泛的实际应用. 针对所研究的对象建立微分方程模型是解决问题的第一步, 实际中只有求出微分方程的解才能对所研究的问题进行解释说明. 一般说来, 求微分方程的解析解是困难的, 大多数的微分方程需要用数值方法来求解, 因此首先需要研究微分方程的解的存在惟一性和稳定性问题. 3.1.1 微分方程的一般形式一阶微分方程 (3.1)其中是和的已知函数, 为初始条件, 又称定解条件. 一阶微分方程组 (3.2)又称为一阶正规方程组. 如果引入向量则方程组(3.2)可以写为简单的形式 (3.3)即与方程(3.
5、1)的形式相同, 当时为方程(3.1). 对于任一高阶的微分方程如果记, 则方程为, 即可化为一阶方程组的形式. 因此, 下面主要对正规方程组(3.3)进行讨论. 3.1.2 微分方程解的存在惟一性正规方程组(3.3)的解在什么条件下存在, 且惟一呢?有下面的定理. 定理3.1(Cauchy-Peano)如果函数在上连续, 则方程组(3.3)在上有解满足初值条件, 此处. 定理3.2 如果函数在上连续, 且满足利普希茨(Lipschitz)条件(即存在正常数使得, 其中), 则方程组(3.3)满足初值条件的解是惟一的. 定理证明略. 3.1.3 微分方程的稳定性问题在实际问题中, 微分方程所描
6、述的是物质系统的运动规律, 在用微分方程来研究这个物理过程中, 人们只能考虑影响该过程的主要因素, 而不得不忽略一些认为次要的因素, 这种次要的因素通常称为干扰因素. 这些干扰因素在实际中可以瞬时起作用, 也可持续起作用. 从数学上看, 前者会引起初值条件的变化, 而后者则会引起微分方程本身的变化. 在实际问题中, 干扰因素是客观存在的, 由此可见, 对于它的影响程度的研究是必要的, 即初值条件或微分方程的微小变化是否也只引起对应解的微小变化?这就是微分方程的稳定性问题. 这里仍以方程组(3.3)为例讨论. 1. 有限区间的稳定性如果在某个有限的区域内连续, 且对满足利普希茨条件, 是方程组(
7、3.3)的一个特解, 则当充分接近于时, 方程组(3.3)在上满足初值条件的解有, 即对任意给定的, 总存在相应的, 当时, 对一切有, 此时称方程组(3.3)的解在有限区间上是稳定的. 2. 无限区间的稳定性如果是方程组(3.3)的一个特解, 是方程组(3.3)满足初值条件的解. 对任意给定的, 总存在相应的, 当时, 对一切有, 则称方程组(3.3)的解在无限区间上是稳定的. 3. 渐近稳定性如果方程组(3.3)解在无限区间上是稳定的, 且存在, 当时, 有, 则称是渐近稳定的, 或称为局部渐近稳定的. 4. 经常扰动下的稳定性对于方程组(3.3), 考虑相应的方程组 , (3.4)这里的
8、称为扰动函数. 如果对任意给定的, 总存在和, 使当时有, 则方程组(3.4)有满足初值条件的解, 且当时有就说方程组(3.3)的特解在经常扰动下是稳定的. 5. 研究稳定性的方法实际中, 要研究方程组(3.3)的解的稳定性问题, 可以转化为研究方程的零解(平凡解)的稳定性问题. 事实上: 对于方程(3.3)的任一特解, 只要令, 则 显然有, 故方程组(3.3)变为 (3.5)于是可知方程组(3.3)的解对应于方程组(3.5)为(平凡解). 因此, 要研究方程组(3.3)的稳定性问题可转化为研究方程组(3.5)的平凡解的稳定性问题. 如果微分方程组的所有解都能简单地求出来, 一个特解的稳定性
9、问题并不难解决. 然而, 实际中这种情况太少了. 因此, 一般性的稳定性问题的研究是复杂的, 通常的情况下都是针对具体问题做相应的研究. 3.2微分方程的平衡点及稳定性3.2.1 微分方程的平衡点设有微分方程组(3.3), 对于, , 在某个区域内连续, 且满足解的存在惟一性条件. 如果存在某个常数, 使得, 则称点为方程组(3.3)的平衡点(或奇点), 且称为方程组的平凡解(或奇解). 如果对所有可能初值条件, 方程组(3.3)的解都满足, 则称平衡点是稳定的(渐近稳定);否则是不稳定的. 实际中, 判断平衡点的稳定性有两种方法: 间接方法和直接方法3. 间接方法: 首先求出方程的解, 然后
10、利用定义来判断. 直接方法: 不用求方程的解直接来研究其稳定性. 3.2.2 一阶方程的平衡点及稳定性设有微分方程, 其相应的平衡点为代数方程的实根. 其稳定性可以用间接方法判断, 下面说明直接方法. 首先, 将函数在点作一阶泰勒(Taylor)展开, 即方程可以近似地表示为显然, 也是该方程的一个平衡点, 其稳定性主要取决于的符号, 即下面结论: 若, 则平衡点是稳定的;若, 则平衡点是不稳定的. 3.2.3 平面方程的平衡点及稳定性设平面方程组的一般形式为 (3.6)则称代数方程组的实根, 为平面方程组(3.6)的平衡点, 记为. 如果对所有可能的初值条件方程的解为, 满足, 则称平衡点是
11、稳定的;否则是不稳定的. 也可以用直接方法讨论. 将方程组(3.6)的右边的函数作一泰勒展开, 即可表示为近似的线性方程组 (3.7)记系数矩阵为, 且假设其行列式, 则方程组(3.7)的特征方程为, 即其中, , 为特征根. 不妨设特征根分别为, , 即, 根据特征根, 和系数, 的取值情况可以确定平衡点的稳定性. 事实上, 当, 时平衡点是稳定的;当或时平衡点是不稳定的. 对于一般微分方程的平衡点和稳定性问题可以类似的讨论. 3.3 战争的预测与评估问题3.3.1 问题的提出目前, 在超级大国的全球战略的影响下, 世界并不太平, 国与国之间和地区之间的种族歧视、民族矛盾、利益冲突、历史遗留
12、问题等原因造成的局部战争和地区性武装冲突时有发生, 有的长期处于敌对状态, 从而导致了地区性的紧张局势和潜在的战争威胁. 在这种情况下, 必然会导致敌对双方的军备竞赛, 在一定的条件下就会爆发战争. 随着高科技的发展, 尤其是信息技术的发展, 军事装备现已成为决定战争胜负重要因素. 在这里我们所说的军事装备是指军事实力的总和, 主要包括武器装备、电子信息装备、军事兵力、军事费用等. 现代条件下的战争, 一般都是多兵种的协同作战, 所谓的多兵种就是综合使用陆、海、空、导弹、空降等兵力和相应的武器装备去完成不同的战争任务. 由于每一兵种和相应的武器装备都要各自的优势和相应的适合攻击的目标. 因此,
13、 现代战争的结局在很大程度上取决于是否能够广泛合理的利用诸兵种的合成部队协同作战, 在战争中争取保持一定优势, 尤其是在“制空权”和“制海权”的优势, 这是现代战争的一大特点. 另一方面, 现代战争往往是根据不同兵种的特点, 可以在不同的区域参加战斗, 即一场战争可以在不同几个区域同时开展, 都对战争的结果产生一定的影响. 现在要求建立数学模型讨论一下的问题: (1)分析研究引起军备竞赛的因素, 并就诸多因素之间的相互关系进行讨论;(2)在多兵种的作战条件下, 对作战双方的战势进行评估分析. 3.3.2 模型的假设(1)敌对双方为甲方和乙方,时刻的军备综合实力分别为和;(2)双方的军备综合实力
14、是随着时间连续平稳变化的,即和是时间的连续可微函数;(3)不考虑第三方的军备实力对甲乙双方的影响。3.3.3 模型的建立与求解问题(1):根据实际情况,一般认为促使和制约敌对双方的军备竞赛的因素主要有双方各自的固有增长因素、双方敌对的程度和现有的军备实力等因素。首先,由于各自的历史地位、地理环境和领土争端等原因,双方都有一个固有的增加军备的需求,即各自的固有军备增长率,分别记为常数和。其次,双方的军备增长与双方的敌对程度有关,即随着敌对情绪的增长而增加。如果一方的军备增加了,则另一方也必然要增加自己的军备,以致于要赶上或超过对方。即甲方的军备实力的增长与乙方的军备实力成正比,反之亦然。其比例系
15、数分别记为和,即表示受对方现有军备实力的刺激程度的度量。再次,各方军备的增长与现有军备实力有关,由于经济实力的制约作用,军备实力越大,受经济制约的程度就越大,即军备增长率减少的程度与现有的军备实力成正比,其比例系数分别为和,即表示双方受各自经济制约程度的度量。于是,可以得到甲乙双方的军备实力的增长率变化情况,即军备竞赛的数学模型为 (3.8)为了要研究军备竞赛的结局,我们来求(3.8)式的平衡点,即令可以解得平衡点为, 根据平衡点的稳定性理论可知:当时,平衡点是稳定的,否则是不稳定的。这就意味着在足够长的时间以后,双方的军备实力会分别达到一个稳定的极限值。当时,方程(3.8)的平衡点稳定,即说
16、明当双方制约发展军备的程度大于刺激对方发展军备的程度时,军备竞赛的最终结果是可以达到平衡的。相反的,当时,方程组(3.8)的平衡点不稳定,即说明当双方制约发展军备的程度小于刺激对方发展军备的程度时,双方的军备竞赛会一直无限的进行下去,最终会导致战争。当且时,方程(3.8)的平衡点是稳定的,即说明甲乙双方没有利害冲突和争端,在和平共处的情况下,都没有发展军备的欲望。当,且时,即表明双方军备竞赛的存在性,即便是因为某种外界因素的影响,迫使双方在某个时候有和(被迫裁军),但由于和,则双方的军备竞赛客观存在,最终双方的军备实力会强大起来。此时平衡点是稳定的,所以最终还是会达到平衡。如果有某种原因,迫使
17、某一方单方面裁军,譬如对甲方来说,即使在某个时候有,但由于,即由于乙方军备的存在,对甲方有一点的刺激作用,以及甲方有固有的军备增长需求,则甲方的军备很快还会发展起来,这说明单方面裁军是不会长久的。问题(2):在由多兵种的协同作战的情况下,一般认为甲乙双方的每一兵种(或一类武器装备,或作战单位等)都有自己确定的作战目标。因此,我们假设双方的目标分配都已确定,为了各自的目标去争取更好的作战效果。不妨设甲方和乙方分别有个和个兵种(或作战单位、武器装备类),其数量分别用向量和表示,即,其中表示时刻甲方第个兵种的数量,表示时刻乙方第个兵种的数量。在战斗过程中,双方的任何一个兵种对对方任何一个兵种都会构成
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