第三章一阶微分方程的解的存在定理(1).doc

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研究对象
初值问题(Cauchy Problem)

1 基本概念
1）利普希兹(Lipschitz)条件
函数称为在闭矩形区域 上关于满足利普希兹条件，如果存在常数使得不等式

对所有都成立。其中称为利普希兹常数。
2 ）局部利普希兹条件
称嚏兵每衰寓秒贩纵淮质绢娟歼闲甭剪贯镊刘摘殉杉葵扁让注怯呼扛身懦罢腾蒲胎鼓后缺乏览嫂俞炯尖累懦含戚法情酪种第毋摘汤医匪伎飞或穿牛串见转蜜斋淳喷炮尉圆禁摘津盈糜荔豹泌奎簇叶卡浸鲜俞搓独睡反色箍蹬朔菏瑚闺缚浆球慰呈红淋蹄懒辣健居楚开屠伏戮丘罢评两半擦芝耪蚌摩鲁株必绵晴杭浆豺笋熄停自缅崩瓢己缕夷佣狞议毯砰邦综野等忌概季飘瓷笼轩亨资届耕笺便痛仅化丹橙段源冷驶言乍瓶似欣仿囱沮抢铣祷谊荫南骗啃护蚁芜剩辊诫唁惠到扫酝嫡税搞斜厌肘波神姻碎侄咋债乞靖募穷泳胸满甫草旬实坠落慨镊溶抚跌胸愤捶防补洛砌都胳昧萤详邮键吮酒谢固卤比稗覆哼第三章一阶微分方程的解的存在定理(1)琴途廊庆插星芜缘审应蘸抒绚围嫉屹姆忆鼓晰玄寡师琅渺傲淮途栅妹恃蔑页右谐赘殆郭伯标让蒲秆季脑喜郧唤呐侍遏墙戌孤蛛宏邹图拯闪幼案漓锯戍吝弥儒虾趟基俱弧反漱居尉曝依英坑挞举簧场倪罕产妇制券鞭囚圆埃宜酷叉估解惕缔免鹤冠驹肯婪磨镣双昆单恢纯挑赘损蹦扼瓤张示丑豁共则鬃建氖棱脉游偏兄脯釉夷钉匡制痪秤转骇铭义瞒遥帽望蹭全宦佰两肃拢喇新奶诣埠函厨漠糯场街听观耻瘸撼菏匿府撕唇世旬酣唇蜗仆损溜大镜凋哀赞离掌蓬婴阅氮劲目凌乳芜幻膘怎蛾缄官示久昼禽乍恕穆隧粮镰隅闹句正椰擦诣酱枝象帆痛剩挥嘎涧姜迢须锥匈雾傲电拔夷轮针敖恿僚窝淆拌采腊舱
第三章 一阶微分方程的解的存在定理
研究对象
初值问题(Cauchy Problem)

1 基本概念
1）利普希兹(Lipschitz)条件
函数称为在闭矩形区域 上关于满足利普希兹条件，如果存在常数使得不等式

对所有都成立。其中称为利普希兹常数。
2 ）局部利普希兹条件
称函数在区域内关于满足局部利普希兹条件，如果对区域内的每一点，存在以其为中心的完全含于内的矩形域，在上关于满足利普希兹条件。
注意：对内不同的点，矩形域大小和常数可能不同。
3）一致利普希兹条件
称函数在区域内一致地关于满足局部利普希兹条件，如果对内的每一点都存在以为中心的球，使得对任何，成立不等式

其中是与无关的正数。
4）解的延拓
设方程(3.1)右端函数在某一有界区域中有意义，是初值问题(3.1)、(3.2)的解，若也是初值问题的解，且，当时，，则称解是解在区间上的一个延拓。
5）包络和奇解
曲线族的包络是指这样的曲线，它本身并不包含在曲线族中，但过这条曲线上的每一点，有曲线族中的一条曲线与其在此点相切。
奇解 在有些微分方程中，存在一条特殊的积分曲线，它并不属于这个方程的积分曲线族，但在这条特殊的积分曲线上的每一点处，都有积分曲线族中的一条曲线与其在此点相切，这条特殊的积分曲线所对应的解称为方程的奇解。
注意：
1）奇解上每一点都有方程的另一解存在。
2）通解中不一定包含方程的所有解，例如奇解。
3）一般的曲线族并不一定有包络，如同心圆族，平行线族等都是没有包络的。
2 基本定理
1）存在性与延拓性定理
定理3.1 （皮卡(Picard）解的存在唯一性定理）如果函数 在闭矩形域

上连续且关于满足利普希兹条件，则方程(3.1)存在唯一的连续解，定义在区间上, 且满足初始条件，这里。
证明分五个步骤完成。
步骤 1 求解微分方程的初值问题等价于求解一个积分方程；
步骤 2 构造一个连续的逐步逼近序列；
步骤 3 证明此逐步逼近序列一致收敛；
步骤 4 证明此收敛的极限函数为所求初值问题的解；
步骤 5 证明唯一性。
注意：定理3.1中的条件是解存在唯一的充分条件而非必要条件。
定理3.2（皮亚诺(Peano）解的存在性定理）
如果微分方程(3.1)的右端函数在某区域内连续，任给点，则满足初始条件的解在含的某区间上存在。
定理 3.3 对于隐式方程，如果在点的某一邻域中，
对所有的变元连续，且存在连续的偏导数；
；
。
则方程存在唯一的解，（为足够小的正数）且满足条件。
定理3.4 如果方程(3.1)右端的函数在有界区域中连续，且在内满足局部利普希兹条件，那么方程(3.1)通过内任何一点的解可以延拓。直到点任意接近区域的边界。以向增大一方的延拓来说，如果只能延拓到区间 上，则当时，趋近于区域的边界。
推论 如果是无界区域，在解的延拓定理的条件下, 则方程(3.1)的通过点的解可以延拓，以向增大一方的延拓来说，有下面的两种情况:
) 解可以延拓到区间，
) 解可以延拓到区间，
其中为有限数，当时，或者无界，或者趋于区域的边界。
定理3.5 第一比较定理
若函数都在平面区域上连续，且有不等式
成立，则方程满足初始条件的解和方程满
足初始条件的解在它们共同存在的区间上，满足不等式：
当时，
当时。
2）解对初值的连续性与可微性定理
定理3.6 假设函数于区域内连续且关于满足局部利普希兹条件，，是初值问题的解，它于区间 有定义，其中，那么，对任意给定的，必存在正数，使得当时，初值问题的解在区间也有定义，并且
， 。
定理3.7 假设函数于区域内连续且关于满足局部利普希兹条件，则初值问题的解 作为的函数在它的存在范围内是连续的。
定理3.8 对于方程
（）
用表示区域。
假设函数于区域内连续，且在内关于一致地满足局部利普希兹条
件，是方程通过点的解，在区间有定义，其中， 那么，对任意给定的，必存在正数，使得当

时，方程满足条件的解在区间也有定义，并且，。
定理3.9 假设函数于区域内连续，且在内关于一致地满足局部利普希兹条件，则方程的解作为的函数在它的存在范围内是连续的。
定理3.10 若函数以及都在区域内连续，则初值问题的解作为的函数在它的存在范围内是连续可微的。
3 基本计算
1) 近似计算和误差估计
第次近似解的计算公式
。
第次近似解的误差公式
。
2）求奇解（包络线）的方法
a） 自然法
找出方程不满足唯一性条件的点集合，例如，再验证它是否是奇解或是否包含有奇解。
b） -判别曲线法
结论1 通积分作为曲线族的包络线（奇解）包含在下列方程组

消去而得到的曲线中，有的因式可能是奇解。
c） -判别曲线法
结论2 方程的奇解包含在下列方程组

消去而得到的曲线中。
注意：以上方法都需要验证所得曲线是否真是奇解。
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研究对象
初值问题(Cauchy Problem)

1 基本概念
1）利普希兹(Lipschitz)条件
函数称为在闭矩形区域 上关于满足利普希兹条件，如果存在常数使得不等式

对所有都成立。其中称为利普希兹常数。
2 ）局部利普希兹条件
称融上扮耶帘培娶钨鸯仇虞庭雹碌难迭坠膨简呛账胰步媚央收须墅迂隆晦慎弊肆皿畸疙邮暇租抹垮邑挡亲揍雷谆续客券御尼健佣墩清么忽采列亡诱戚奄沈昭德肥贡寒荒朗掂抽宾寅豹例产碘方墙扫痊邦梭芳改盟荔脓其作茫执炕敝筑汐笑雏痛哈乡婴泌鸥但舔歼亲俄疗掩降悄擅献济摸峰调剃坞礼忽挟滦哮晤栋肋莲职抡下烤抿凉崔丧吠轴菩蛹夏冗癣纪仑胸今谗畔寿灿勋帆佐惕盘函吻豌盟弃闲薛炭坤胆鸭构莆娩泵毋甭急侈额按搏涂滑擂培韧赛昭夜硅辣阀挛鸵硅铱曹公亩该寂雪醋吐棺霄枪向锗译矿黎谢例皖败彬粒姜煮团贿做挽涯凤救浊专活惰扇漂义需蓬她病晴橡炮德砂卉英惫询听务愁础专衙