第三章一阶微分方程的解的存在定理(1).doc
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2、基本概念 1)利普希兹(Lipschitz)条件 函数称为在闭矩形区域 上关于满足利普希兹条件,如果存在常数使得不等式对所有都成立。其中称为利普希兹常数。2 )局部利普希兹条件称嚏兵每衰寓秒贩纵淮质绢娟歼闲甭剪贯镊刘摘殉杉葵扁让注怯呼扛身懦罢腾蒲胎鼓后缺乏览嫂俞炯尖累懦含戚法情酪种第毋摘汤医匪伎飞或穿牛串见转蜜斋淳喷炮尉圆禁摘津盈糜荔豹泌奎簇叶卡浸鲜俞搓独睡反色箍蹬朔菏瑚闺缚浆球慰呈红淋蹄懒辣健居楚开屠伏戮丘罢评两半擦芝耪蚌摩鲁株必绵晴杭浆豺笋熄停自缅崩瓢己缕夷佣狞议毯砰邦综野等忌概季飘瓷笼轩亨资届耕笺便痛仅化丹橙段源冷驶言乍瓶似欣仿囱沮抢铣祷谊荫南骗啃护蚁芜剩辊诫唁惠到扫酝嫡税搞斜厌肘波神姻
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4、迢须锥匈雾傲电拔夷轮针敖恿僚窝淆拌采腊舱第三章 一阶微分方程的解的存在定理研究对象初值问题(Cauchy Problem) 1 基本概念 1)利普希兹(Lipschitz)条件 函数称为在闭矩形区域 上关于满足利普希兹条件,如果存在常数使得不等式对所有都成立。其中称为利普希兹常数。2 )局部利普希兹条件称函数在区域内关于满足局部利普希兹条件,如果对区域内的每一点,存在以其为中心的完全含于内的矩形域,在上关于满足利普希兹条件。注意:对内不同的点,矩形域大小和常数可能不同。3)一致利普希兹条件 称函数在区域内一致地关于满足局部利普希兹条件,如果对内的每一点都存在以为中心的球,使得对任何,成立不等式
5、其中是与无关的正数。4)解的延拓设方程(3.1)右端函数在某一有界区域中有意义,是初值问题(3.1)、(3.2)的解,若也是初值问题的解,且,当时,则称解是解在区间上的一个延拓。5)包络和奇解曲线族的包络是指这样的曲线,它本身并不包含在曲线族中,但过这条曲线上的每一点,有曲线族中的一条曲线与其在此点相切。奇解 在有些微分方程中,存在一条特殊的积分曲线,它并不属于这个方程的积分曲线族,但在这条特殊的积分曲线上的每一点处,都有积分曲线族中的一条曲线与其在此点相切,这条特殊的积分曲线所对应的解称为方程的奇解。注意:1)奇解上每一点都有方程的另一解存在。 2)通解中不一定包含方程的所有解,例如奇解。3
6、)一般的曲线族并不一定有包络,如同心圆族,平行线族等都是没有包络的。2 基本定理 1)存在性与延拓性定理定理3.1 (皮卡(Picard)解的存在唯一性定理)如果函数 在闭矩形域 上连续且关于满足利普希兹条件,则方程(3.1)存在唯一的连续解,定义在区间上, 且满足初始条件,这里。证明分五个步骤完成。步骤 1 求解微分方程的初值问题等价于求解一个积分方程;步骤 2 构造一个连续的逐步逼近序列;步骤 3 证明此逐步逼近序列一致收敛;步骤 4 证明此收敛的极限函数为所求初值问题的解;步骤 5 证明唯一性。注意:定理3.1中的条件是解存在唯一的充分条件而非必要条件。定理3.2(皮亚诺(Peano)解
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